初一数学：三角形提高及辅助线的添加[1]

第五讲全等三角形的有关证明（提高篇）

关键：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。

要说明两边相等，两角相等，最常用的方法就是说明三角形全等

知识点睛

全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．

(3)有公共边的，公共边常是对应边．

(4)有公共角的，公共角常是对应角．

(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．

全等三角形的判定方法：

(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．

(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．

(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．

拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．

板块一、截长补短

【例1】如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.

求证：CD=AD+BC.

分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，

即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相

等的问题，从而达到简化问题的目的.

图2-1

【例2】已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.

求证：∠BAP+∠BCP=180°.

分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.

图3-1

【例3】已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.

求证：AB=AC+CD.

分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，

即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.

图4-1

【例4】(年北京中考题)已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．

【例5】如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?

【变式拓展训练】如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系？

板块二、倍长中线

中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．下面举例说明．

例1 如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD．

例2 如图2，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．

例3 如图4，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD．

板块三全等与角度

【例1】如图，在中，，是的平分线，且，求的度数.

【例2】在四边形中，已知，，，，求

的度数.

第六讲辅助线的添加归纳

Ⅰ.连结

目的:构造全等三角形或等腰三角形

适用情况:图中已经存在两个点—X和Y

例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.

A

1.连结AC，构造全等三角形;

2.连结BD，构造两个等腰三角形

例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD,求证:点M是CD的中点.

B

连结AC、AD构造全等三角形

例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD的中点，求证：∠AMB＝∠AND

B

连结AD构造全等三角形

例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的长.

连结BD构造全等三角形

目的:构造直角三角形,得到距离相等

适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN

例1:如图,△ABC中, ∠C=90o,BC=10,BD=6,AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.

过点D作DE⊥AB.构造了:全等的直角三角形且距离相等

例2:如图,△ABC中, ∠C=90o,AC=BC,AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.

过点D作DE⊥AB.构造了:全等的直角三角形且距离相等

思考:若AB=15cm,则△BED的周长是多少?

例3:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o,BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+CD.

过点E作EF⊥BC.构造了:全等的直角三角形且距离相等

例4:如图,OC 平分∠AOB, ∠DOE +∠DPE =180o,求证: PD=PE.

过点P作PF⊥OA,PG ⊥OB.构造了:全等的直角三角形且距离相等