人教版八年级上册数学专题+全等三角形中辅助线的添加
人教版八年级上册第十二章全等三角形经典题型辅助线作法
全等三角形常见辅助线作法【例1】．已知：如图6，△BCE 、△ACD 分别是以BE 、AD 为斜边的直角三角形，且BE AD =，△CDE 是等边三角形．求证：△ABC 是等边三角形．【例2】、如图，已知BC > AB ，AD=DC 。
BD 平分∠ABC 。
求证：∠A+∠C=180°.一、线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。
1、倍长中线法【例. 3】如图，已知在△ABC 中，90C ︒∠=，30B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D . 求证：2BD CD =证明：延长DC 到E ，使得CE=CD,联结AE ∵∠ADE=60°∵∠C=90° ∴△ADE 为等边三角形 ∴AC ⊥CD ∴AD=DE ∵CD=CE ∵DB=DA∴AD=AE ∴BD=DE ∵∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC ∴∠BAC=60° ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=30°∴DB=DA ∠ADE=60°DCBADCB EA【例4.】 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。
求证：2AC AE =。
证明：延长AE 到点F,使得EF=AE 联结DF在△ABE 和△FDE 中 ∴∠ADC=∠ABD+∠BDABE =DE∵∠ABE=∠FDE∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDE AE=FE 即 ∠ADC = ∠ADF ∴△ABE ≌ △FDE （SAS ） 在△ADF 和△ADC 中 ∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD ∵AB=DC ∠ADF = ∠ADC ∴ FD = DC DF =DC∵∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF ≌ ADC(SAS) ∵ADB BAD ∠=∠ ∴AF=AC ∴AC=2AE【变式练习】、 如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。
中考总复习—全等三角形中辅助线的添加(最经典最全面)-有答案
DC B AEDFCBA全等三角形及其辅助线作法常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”（或构造平行线的X 型全等）．2) 遇到角平分线，一是可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，二是在角的两边上截取相同的线段，构成全等。
利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，也是运用了角的对称性。
3) 截长法与补短法，具体做法是在较长线段上截取一条线段与特定线段相等，使剩下的线段与另一条线段相等；或者是将两条较短线段中的一条延长，使这两条线段的和等于较长的线段。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等题目．4) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．也可以将两腰分拆到两个三角形中，证明这两个三角形全等。
特殊的应用有等边三角形与等腰直角三角形。
5) 此外，还有旋转、折叠等情况。
(一)、中点线段倍长问题（中线倍长或者倍长中线）：1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.2、如图△ABC 中，点D 是BC 边中点，过点D 作直线交AB 、CA 延长线于点E 、F 。
当AE=AF 时，求证BE=CF 。
3、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.4、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.E D CB AA BC D E F5 如图，AB=AC ，AD=AE ，M 为BE 中点，∠BAC=∠DAE=90°。
求证：AM ⊥DC 。
应用：1、以△ABC 以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt △ABD 和等腰Rt △ACE ，且∠BAD=∠CAE-90°，连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当△ABC 为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt △ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转θ° (0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．（二）角平分线与轴对称1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，∠C=2∠B ，求证:AB=AC+CD.2、 如图，直线l 1∥l 2，直线m 与直线l 1 、l 2交于A 、B 两点。
八年级数学上册第12章三角形中常见辅助线的作法(人教版)
三角形中常见辅助线的作法
1、延长中线构造全等三角形
例1 如图1，已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD 的取值范围．
提示：延长AD至A＇，使A＇D＝AD，连结BA＇．根据“SAS”易证△A＇BD≌△ACD，得AC＝A＇B．这样将AC转移到△A＇BA中，根据三角形三边关系定理可解．
2、引平行线构造全等三角形
例2 如图2，已知△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE与BC交于点F．
求证：DF=EF．
提示：此题辅助线作法较多，如：
①作DG∥AE交BC于G；
②作EH∥BA交BC的延长线于H；
再通过证三角形全等得DF＝EF．
3、作连线构造等腰三角形
例3 如图3，已知RT△ACB中，∠C=90°，AC=BC，AD=AC，DE⊥AB，垂足为D，交BC于E．
求证：BD=DE=CE．
提示：连结DC，证△ECD是等腰三角形．
4、利用翻折，构造全等三角形．
例4 如图4，已知△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC交BC于D．求证：AC＝AB＋BD．
提示：将△ADB沿AD翻折，使B点落在AC上点B＇处，再证BD=B＇D ＝B＇C，易得△ADB≌△ADB＇，△B＇DC是等腰三角形，于是结论可证．
5、作三角形的中位线
例5 如图5，已知四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线交EF的延长线于点M、N．求证：∠BME＝∠CNE．提示：连结AC并取中点O，再连结OE、OF．则OE∥AB，OF∥CD，故∠1＝∠BME，∠2＝∠CNE．且OE=OF，故∠1＝∠2，可得证．。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。
我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。
构造全等三角形添加辅助线的方法
构造全等三角形添加辅助线的方法构造全等三角形是初中数学中的一个重要内容，理解并掌握构造全等三角形的方法对同学们建立良好的几何直观和提高几何证明能力等方面有很大帮助。
添加辅助线是构造全等三角形的重要方法之一。
本文列举了10条关于构造全等三角形添加辅助线的方法，并详细描述了每一种方法的步骤和原理。
一、通过中位线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC和它的一条中位线AD；2、将角BAD和角ACD作为两个角，作一个新的三角形BAD，使它的对边和AC平行；3、证明三角形BAC和三角形BAD全等。
原理：两个平行线截一组平行于它们的直线形成的线段，具有相等的长度。
二、通过角平分线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC，以角A为中心画一条角平分线AE；2、将角EAB和角EAC作为两个角，分别连线得到三角形EAB和三角形EAC；3、证明三角形ABC和三角形EAB全等。
原理：在一个三角形中，一边上的角平分线将这条边分成两个相等的线段，同时将对角的两个角平分为两个相等的角。
三、通过三角形内角和不变构造全等三角形步骤：1、作出两个全等三角形ABC和DEF；2、在三角形ABC内部选取一个点M；3、以点M为中心，作一个半径等于EF的圆，在这个圆上分别找到两个点P、Q；4、连接点P、Q和点M，分别得到三角形AMP和BMQ；5、证明三角形AMP和三角形BMQ全等。
原理：三角形中角的和不变，即两个全等三角形中任意两个内角之和相等。
四、通过角平分线和垂线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC，以角A为中心画一条角平分线AE，垂直于BC；2、在AE上选取一点G，将角GAB和角GAC作为两个角，分别连线得到三角形GAB和三角形GAC；3、以点B为中心，作一个半径等于CG的圆，在这个圆上分别找到两个点M、N；4、连接MN和点B，分别得到三角形MBC和NBC；5、证明三角形GAB和三角形MBC全等。
原理：在一个三角形中，角平分线和垂线的交点将底边分成相等的线段，在垂线上的任意一点到底边的两个端点距离相等。
人教版八年级上册第十二章全等三角形——倍长中线 专题教案
三角形全等辅助线之倍长中线【教学目标】熟悉并掌握三角形全等证明中遇见中线时辅助线的添加方法 【教学重难点】教学重点：倍长中线辅助线的添加方法教学难点：证明题中遇见中线时如何思考添加辅助线 课前回顾：1.将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置，∠A=90°， AD 边与AB 边重合， AB ＝2AD ＝4．将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD 的延长线交直线CE 于点P.（1）如图2，BD 与CE 的数量关系是 , 位置关系是 ； （2）在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求出CP 的长；1. “三角形全等”辅助线：见中线，要__________，________之后______________．【例1】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【基础练习1】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为∠CAB 的角平分线．GFEDCBA【基础练习2】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFED CB AFA CD E B【例2】 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．FEMCBA【基础练习3】已知ABC ∆中，AB AC =，BD 为AB 的延长线，且BD AB =，CE 为ABC ∆的AB 边上的中线．求证：2CD CE =DCB A综合训练：1.如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.图22.如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ．求证：AD 为△ABC 的角平分线．GFE DCA3.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．FEDC BA4.如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF ⊥BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．GF EDCB A难度提升：已知：ΔAOB 和ΔCOD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD ，BC ，点H 为BC 中点，连接OH 。
全等三角形添加辅助线的方法
全等三角形添加辅助线的方法1.中线法：将两条边的中点相连并延长，然后证明其与其他一条边的边长和角度相等。
具体步骤如下：a.连接三角形两条边的中点，并延长至交于一点O。
b.证明∆ABC与∆ADB全等，其中∠CAB＝∠DAB（两对顶点角），且AB ＝AD各一边。
c.推导出AC＝BD（全等三角形的边）2.垂直平分线法：通过构造两条垂直平分线使其中两个角相等，从而推导出三角形全等。
具体步骤如下：a.根据题意连接一个角的两边，并找出该两边的垂直平分线。
b.证明∆ABC的两个∠BAC和∠BCA各自与∠ACD和∠ACB相等（垂直平分线构成等腰三角形），即∠BAC＝∠ACD，∠BCA＝∠ACB。
c.推导出∆ABC和∆ACD的三个角相等，从而两个三角形全等。
3.夹边法（重心法）：通过构造两个辅助三角形，使两个夹角相等，从而推导出三角形全等。
具体步骤如下：a.过三角形一边的顶点作该边对边的平行线，分别与另两边相交得到两个辅助三角形。
b.证明这两个辅助三角形的两个夹角分别与原三角形的两个对应夹角相等（平行线与三角形两边的交角），即∠BAC＝∠EAB，∠CBA＝∠DBA。
c.推导出∠ABC和∠EDB相等，从而两个三角形全等。
4.等腰三角形法：通过构造两个等腰三角形，使它们的顶点与原三角形的顶点相连，从而推导出三角形全等。
a.根据题意找到一个角的顶点为原三角形的顶点，并构造一个等腰三角形，顶点为该角的顶点。
b.构造另一个等腰三角形，顶点为原三角形的顶点，并使这两个等腰三角形的顶点分别与原三角形的顶点相连。
c.证明这两个等腰三角形的两个底边与原三角形的两个对应边相等，即AC=DE，BC=DF。
d.推导出∆ABC和∆DEF的三个角相等，从而两个三角形全等。
通过以上几种常见的方法，可以添加辅助线来证明三角形的全等关系。
在实际问题中，根据具体的几何信息和条件，选择合适的辅助线构造方法，可以简化证明过程，并加深对全等三角形的理解。
(完整)八年级数学上册几何添辅助线专题
DCB A全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
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全等三角形中辅助线的添加一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。
二．知识要点：1、添加辅助线的方法和语言表述（1）作线段：连接……；（2）作平行线：过点……作……∥……；（3）作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……；（4）作中线：取……中点……，连接……；（5）延长并截取线段：延长……使……等于……；（6）截取等长线段：在……上截取……，使……等于……；（7）作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……；（8）作一个角等于已知角：作角……等于……。
2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：（1）倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。
（2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。
①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。
（3）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。
（4）角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。
（5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。
（6）构造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。
三、基本模型：（1）△ABC中AD是BC边中线方式1：延长AD到E，使DE=AD，方式2：间接倍长，作CF⊥AD于F，方式3：延长MD到N，连接BE 作BE⊥AD的延长线于E，连接BE 使DN=MD，连接CD（2）由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD（3）角分线，分两边，对称全等要记全角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一）（4）①旋转：方法：延长其中一个补角的线段（延长CD到E，使ED=BM ，连AE或延长CB到F，使FB=DN ，连AF ）结论：①MN=BM+DN②AB CCMN2=∆③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM②翻折：思路:分别将△ABM和△ADN以AM和AN 为对称轴翻折，但一定要证明M、P、N三点共线.（∠B+∠D=0180且AB=AD）（5）手拉手模型①△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC；（2）∠B0E=∠BAE=60°（“八字型”模型证明）；（3）OA平分∠EOF 拓展：条件：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：（1）、AD=BE（2）、∠ACB=∠AOB（3）、△PCQ为等边三角形（4）、PQ∥AE（5）、AP=BQ（6）、CO平分∠AOE（7）、OA=OB+OC（8）、OE=OC+OD（（7），（8）需构造等边三角形证明）②△ABD和△ACE均为等腰直角三角形结论：（1）、BE=CD （2）BE⊥CD ③ABEF和ACHD均为正方形结论：（1）、BD⊥CF（2）、BD=CFnοο360180-变形一：ABEF 和ACHD 均为正方形，AS ⊥BC 交FD 于T ， 求证：①T 为FD 的中点. ②.ADF ABC S S ∆∆=方法一： 方法二： 方法三：变形二：ABEF 和ACHD 均为正方形，M 为FD的中点，求证：AN ⊥BC④当以AB 、AC 为边构造正多边形时，总有：∠1=∠2= PFEDIHG BA21P G FE DKJIHABEDFCBAD CBAED C BA四、典型例题：考点一：倍长中线（或类中线）法：核心母题已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.练习：1、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.2、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.3、如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC，求证：CD=2CE。
4、已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE．求证：AF=BC+FC．5、如图，D 是AB 的中点，∠ACB=90°,求证：2CD=AB.6、已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 。
7、已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 。
8、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠。
FC AD FEC第 1 题图ABFDEC9、以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ，线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．10、已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是 ； （2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． DCB AEMMEABC变式1：已知：在Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ． （1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明； （2）如果将图①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．变式:2：已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°，点M 是CE 的中点，连接BM . （1）如图①，点D 在AB 上，连接DM ，并延长DM 交BC 于点N ，可探究得出BD 与BM 的数量关系为 ； （2）如图②，点D 不在AB 上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.图②M DBA C E图① MD B AC E变式3： 四边形ABCD 是正方形，BEF ∆是等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，BE EF =，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC 。
（1）如图24-1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及ECGC的值； （2）将图24-1中的BEF ∆绕点B 顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）将图24-1中的BEF ∆绕点B 顺时针旋转α（090α︒<<︒），若1BE =，AB =E ，F ，D 三点共线时，求DF 的长及∠ABF 的度数。
图24-1图24-2A B备用图图aFECBA图bFECBA考点二：截长补短法：核心母题 如图，AD ∥BC ，EA ，EB 分别平分∠DAB ，∠CBA ，CD 过点E ，求证：AB=AD+BC ．练习：1、① 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；②、已知：如图，ABC ∆是等边三角形，120BDC ο∠=， 求证：AD BD CD =+.③、已知四边形ABCD 中，AB BC =，60ABC ο∠=°，P 为四边形AAABCD的对角线BD上一点，且120APDο∠=，求证：PA PD PC BD++=2、在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。
3、如图，在ABC∆中，︒=∠60ABC，AD，CE分别为ACBBAC∠∠,的平分线，求证：AC=AE+CD4、如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60°求证：BD+DC=AB－21∠5、已知：如图在△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，∠ABD=60°，∠ADB=90°BDC，求证：AB=BD＋DC。
AB CDEO考点三：一线三等角问题（“K”字图）核心母题已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC边上一点，∠ADE=45°，AD=DE，求证：BD=EC.练习：1、已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．2、两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．3、如图，在ABC∆中，BCACACB=︒=∠,90，直线MN经过点C，且MNAD⊥于点D，MNBE⊥于点E。
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD—BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问：DE，AD，BE有怎样的等量关系？请写出等量关系，并加以证明。
CNDECMDCME4、如图所示，AE ⊥AB ，BC ⊥CD 且AB=AE ，BC=CD ，F 、A 、G 、C 、H 在同一直线上，如按照图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？6、小雨遇到这样一个问题：如图1，直线l 1∥l 2∥l 3 ，l 1与l 2之间的距离是1，l 2与l 3之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，并求出所画等腰直角三角形ABC 的面积．小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线l 1任取一点A ，作AD ⊥l 2于点D ，作∠DAH =90°，在AH 上截取AE =AD ，过点E 作EB ⊥AE 交l 3于点B ，连接AB ，作∠BAC =90°，交直线l 2于点C ，连接BC ，即可得到等腰直角三角形ABC ．请你回答：图2中等腰直角三角形ABC 的面积等于 ． 参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3，直线l 1∥l 2∥l 3, l 1与l 2之间的距离是2，l 2与l 3之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，并直接写出所画等边三角形ABC 的面积（保留画图痕迹）．l 1l 2l 3图3 l 1l 2l 3图1 l 1H C D E l 2l 3图2l 1l 2l 3图37、如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在P（5,5）处，两条直角边与坐标轴分别交于点A和点B.（1）当点A、点B分别在x轴、y轴正半轴上运动时，试探究OA+0B的值或取值范围；（2）点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上时，试探究OA-OB的值或取值范围，直接写出结果。