八年级数学竞赛讲座几何不等式附答案

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数学初中竞赛大题训练：几何专题(含答案)

数学初中竞赛大题训练：几何专题1．阅读理解：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆．（1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝55°；（2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE 的长；（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长．解：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°，故答案为：55°；（2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示：∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB，∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°，∴∠AFD＝135°，∵BE⊥AB，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°，∴∠AFD＝∠DBE，∵AD⊥DE，∴∠ADE＝90°，∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°，∴∠FAD＝∠BDE，在△ADF和△DEB中，，∴△ADF≌△DEB（ASA），∴AD＝DE，∵∠ADE＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝AD＝2；（3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°，∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°，∴△ABK是等边三角形，∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点，∴KM＝AK•sin60°＝2，∵AE＝3，AM＝AB＝2，∴ME＝3﹣2＝1，∴EK＝＝＝，∴EF＝＝＝．2．问题再现：如图1：△ABC 中，AF 为BC 边上的中线，则S △ABF ＝S △ACP ＝S △ABC 由这个结论解答下列问题：问题解决：问题1：如图2，△ABC 中，CD 为AB 边上的中线，BE 为AC 边上的中线，则S △BOC ＝S 四边形ADOE．分析：△ABC 中，CD 为AB 边上的中线，则S △BCD ＝S △ABC ，BE 为AC 边上的中线，则S △ABE ＝S △ABC ∴S △BCD ＝S △ABE∴S △BCD ﹣S △BOD ＝S △ABE ﹣S △BOD又∵S △BOC ＝S △BCD ﹣S △BOD ，S 四边形ADOE ＝S △ABE ﹣S △BOD 即S △BOC ＝S 四边形ADOE问题2：如图3，△ABC 中，CD 为AB 边上的中线，BE 为AC 边上的中线，AF 为BC 边上的中线．（1）S △BOD ＝S △COE 吗？请说明理由．（2）请直接写出△BOD 的面积与△ABC 的面积之间的数量关系：S △BOD ＝ S △ABC ．问题拓广：（1）如图4，E 、F 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点，请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD 的面积之间的数量关系：S 阴＝S 四边形ABCD ．（2）如图5，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 、AB 、CD 的中点，请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD 的面积之间的数量关系：S 阴＝S 四边形ABCD ．（3）如图6，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 、AB 、CD 的中点，若S △AME ＝1、S △BNG ＝1.5、S △CQF ＝2、S △DPH ＝2.5，则S 阴＝ 7 ．解：问题2：S △BOD ＝S △COE 成立，理由：∵△ABC 中，CD 为AB 边上的中线， ∴S △BCD ＝S △ABC ， ∵BE 为AC 边上的中线， ∴S △CBE ＝S △ABC ∴S △BCD ＝S △CBE∵S △BCD ＝S △BOD +S △BOC ，S △CBE ＝S △COE +S △BOC ∴S △BOD ＝S △COE（2）由（1）有S △BOD ＝S △COE ，同（1）方法得，S △BOD ＝S △AOD ，S △COE ＝S △AOE ， S △BOF ＝S △COF ，∴S △BOD ＝S △COE ＝S △AOE ＝S △AOD ， ∵点O 是三角形三条中线的交点， ∴OA ＝2OF ，∴S △AOC ＝2S △COF ＝S △AOE +S △COE ＝2S △COE ， ∴S △COF ＝S △COE ，∴S △BOD ＝S △COE ＝S △AOE ＝S △AOD ＝S △BOF ＝S △COF ， ∴S △BOD ＝S △ABC，故答案为问题拓广：（1）如图4：连接BD，由问题再现：S△BDE ＝S△ABD，S△BDF ＝S△BCD，∴S阴影＝S四边形ABCD，故答案为，（2）如图5：连接BD，由问题解决：S△BMD ＝S△ABD，S△BDN＝S△BCD，∴S阴影＝S四边形ABCD，故答案为；（3）如图6，设四边形的空白区域分别为a，b，c，d，∵S△AME ＝1、S△BNG＝1.5、S△CQF＝2、S△DPH＝2.5，由（1）得出：a+1+2.5＝a+3.5＝S△ACD①，c+1.5+2＝c+3.5＝S△ACB②，b +1+1.5＝b +2.5＝S △ABD ③， d +2+2.5＝d +4.5＝S △BCD ④，①+②+③+④得，a +3.5+c +3.5+b +2.5+d +4.5＝a +b +c +d +14＝S 四边形ABCD ⑤ 而S 四边形ABCD ＝a +b +c +d +7+S 阴影⑥ ∴S 阴影＝7，故答案为7．3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，内切圆⊙I 与边BC 切于点D ，AD 与⊙I 的另一个交点为E ，⊙I 的切线EP 与BC 的延长线交于点P ，CF ∥PE 且与AD 交于点F ，直线BF 与⊙I 交于点M 、N ，M 在线段BF 上，线段PM 与⊙I 交于另一点Q ．证明：∠ENP ＝∠ENQ ．证明：如图，设⊙I 与AC 、AB 分别切于点S 、T ，连接ST 、AI 、IT ，设ST 与AI 交于点G ．则IE ⊥PE ，ID ⊥PD ，故I 、E 、P 、D 四点共圆， ∵AS 2＝AE •AD ＝AG •AI ， ∵∠EAG ＝∠DAI ， ∴△AEG ∽△AID ，∴∠AGE＝∠AID，∴E，G，D，I四点共圆，∴I、G、E、P、D五点共圆，∴∠IGP＝∠IEP＝90°，即IG⊥PG，∴P、S、T三点共线，对直线PST截△ABC，由梅涅劳斯定理知，∵AS＝AT，CS＝CD，BT＝BD，∴，设BN的延长线与PE交于点H，对直线BFH截△PDE，由梅涅劳斯定理知，∵CF∥BE，∴，∴，∴PH＝HE，∴PH2＝HE2＝HM•HN，∴，∴△PHN∽△MHP，∴∠HPN＝∠HMP＝∠NEQ，∵∠PEN＝∠EQN，∴∠ENP＝∠ENQ．4．如图，△ABC的垂心为H，AD⊥BC于D，点E在△ABC的外接圆上，且满足，直线ED交外接圆于点M．求证：∠AMH＝90°．证明：作高BP，CQ．连结MB、MC、MP、MQ、PQ．＝＝＝•①＝•＝•②由①②得：＝，又∵∠MBA＝∠MCA，∴△MBQ∽△MCP，∴点M、A、P、Q四点共圆，即点M、A、P、Q、H五点共圆，又AH为直径，∴∠AMH＝90°．5．如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD 和AC交于点N．求证：OH⊥MN．证明：∵A 、C 、D 、F 四点共圆， ∴∠BDF ＝∠BAC又∵∠OBC ＝（180°﹣∠BOC ）＝90°﹣∠BAC ， ∴OB ⊥DF ． ∵CF ⊥MA ，∴MC 2﹣MH 2＝AC 2﹣AH 2（①） ∵BE ⊥NA ，∴NB 2﹣NH 2＝AB 2﹣AH 2 （②） ∵DA ⊥BC ，∴BD 2﹣CD 2＝BA 2﹣AC 2 （③） ∵OB ⊥DF ，∴BN 2﹣BD 2＝ON 2﹣OD 2 （④） ∵OC ⊥DE ，∴CM 2﹣CD 2＝OM 2﹣OD 2，①﹣②+③+④﹣⑤，得NH 2﹣MH 2＝ON 2﹣OM 2 MO 2﹣MH 2＝NO 2﹣NH 2 ∴OH ⊥MN ．6．在图1到图4中，已知△ABC 的面积为m ．（1）如图1，延长△ABC 的边BC 到点D 使CD ＝BC ，连接DA ，若△ACD 的面积为S 1，则S 1＝ m ．（用含m 的式子表示）（2）如图2，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD ＝BC ，AE ＝CA ，连接DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2＝ 2m ．（用含a 的代数式表示）（3）如图3，在图2的基础上延长AB 到点F ，使BF ＝AB ，连接FD 于E ，得到△DEF ，若阴影部分的面积为S 3，则S 3＝ 6m ．（用含a 的代数式表示）（4）可以发现将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF ，如图3，此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的 7 倍．（5）应用上面的结论解答下面问题：去年在面积为15平方面的△ABC 空地上栽种了各种花卉，今年准备扩大种植规模，把△ABC 内外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH ，如图4，求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？解：（1）∵CD ＝BC ，∴△ABC 和△ACD 的面积相等（等底同高），故得出结论S 1＝m ．（2）连接AD ，，∵AE ＝CA ，∴△DEC 的面积S 2为△ACD 的面积S 1的2倍，故得出结论S 2＝2m ．（3）结合（1）（2）得出阴影部分的面积为△DEC 面积的3倍，故得出结论则S 3＝6m ．（4）S △DEF ＝S 阴影+S △ABC ＝S 3+S △ABC ＝6m +m ＝7m ＝7S △ABC故得出结论扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的7倍．（5）根据（4）结论可得两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为（7×7﹣1）×15＝720（平方米），答：求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为720平方米．7．（1）如图①，AD 是△ABC 的中线，△ABD 与△ACD 的面积有怎样的数量关系？为什么？（2）若三角形的面积记为S ，例如：△ABC 的面积记为S △ABC ，如图②，已知S △ABC ＝1，△ABC 的中线AD 、CE 相交于点O ，求四边形BDOE 的面积．小华利用（1）的结论，解决了上述问题，解法如下：连接BO ，设S △BEO ＝x ，S △BDO ＝y ，由（1）结论可得：S，S △BCO ＝2S △BDO ＝2y ， S △BAO ＝2S △BEO ＝2x ．则有，即．所以．请仿照上面的方法，解决下列问题：①如图③，已知S △ABC ＝1，D 、E 是BC 边上的三等分点，F 、G 是AB 边上的三等分点，AD 、CF 交于点O ，求四边形BDOF 的面积．②如图④，已知S △ABC ＝1，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，G 、H 、I 是AB 边上的四等分点，AD 、CG 交于点O ，则四边形BDOG 的面积为．解：（1）S △ABD ＝S △ACD ． ∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD ＝CD ，又∵△ABD 与△ACD 高相等， ∴S △ABD ＝S △ACD ．（2）①如图3，连接BO ，设S △BFO ＝x ，S △BDO ＝y ，S △BCF ＝S △ABD ＝S △ABC ＝ S △BCO ＝3S △BDO ＝3y ， S △BAO ＝3S △BFO ＝3x ．则有，即，所以x +y ＝，即四边形BDOF 的面积为； ②如图，连接BO ，设S △BDO ＝x ，S △BGO ＝y ，S△BCG ＝S△ABD＝S△ABC＝，S△BCO ＝4S△BDO＝4x，S△BAO ＝4S△BGO＝4y．则有，即，所以x+y＝，即四边形BDOG的面积为，故答案为：．8．我们初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式．【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证：13+23＝32？【解决问题】A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23＝32【递进探究】请仿用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33＝62．要求：自己构造图形并写出详细的解题过程．【推广探究】请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝．（参考公式：）注意：只需填空并画出图形即可，不必写出解题过程．【提炼运用】如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，如图（1）中，共有1个小立方体，其中1个看的见，0个看不见；如图（2）中，共有8个小立方体，其中7个看的见，1个看不见；如图（3）中，共有27个小立方体，其中19个看的见，8个看不见；求：从第（1）个图到第（101）个图中，一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数．解：【递进探究】如图，A表示一个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B、C、D表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，E、F、G表示3个3×3的正方形，即：3×3×3＝33，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个大正方形，边长为：1+2+3＝6，，∵S A+S B+S C+S D+S E+S F+S G＝S大正方形∴13+23+33＝62；【推广探究】由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，又∵1+2+3+…+n＝，∴13+23+33+…+n3＝（）2＝．【提炼运用】图（1）中，共有1个小立方体，其中1个看的见，0＝（1﹣1）3个看不见；如图（2）中，共有8个小立方体，其中7个看的见，1＝（2﹣1）3个看不见；如图（3）中，共有27个小立方体，其中19个看的见，8＝（3﹣1）3个看不见；…，从第（1）个图到第（101）个图中，一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为：（1﹣1）3+（2﹣1）3+（3﹣1）3+…+（101﹣1）3＝03+13+23+…+1003＝50502＝25502500．故一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为25502500．故答案为：62；．9．问题引入：如图，在△ABC中，D是BC上一点，AE＝AD，求：尝试探究：过点A作BC的垂线，垂足为F，过点E作BC的垂线，垂足为G，如图所示，有＝，＝，．类比延伸：若E为AD上的任一点，如图所示，试猜S四边形ABEC 与S△ABC的比是图中哪条线段的比，并加以证明．拓展应用：如图，E为△ABC内一点，射线AE于BC于点D，射线BE交AC于点F，射线CE交AB于点G，求的值．解：问题引入：∵在△ABC中，D是BC上一点，AE＝AD，∴，，∴＝＝；尝试探究：∵AE＝AD，∴＝，∵AF⊥BC，EG⊥BC，∴AF∥EG，∴△EDG∽△ADB，∴＝；∵＝＝＝，∴＝1﹣＝；故答案为：，，；类比延伸：＝，∵E为AD上的一点，∴＝，＝，∴＝＝；拓展应用：∵＝＝，同理：＝，＝，∴＝＝2．10．如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC＝MD，分别过点C、D作边BC、AD 的垂线，设两条垂线的交点为P，过点P作PQ⊥AB于Q，求证：∠PQC＝∠PQD．证明：连接AP、BP，取AP的中点E，取BP的中点F，连接DE、ME、QE、CF、QF、MF，如图．∵E为AP的中点，F为BP的中点，M为AB的中点，∴EM∥BP，EM＝BP，MF∥AP，MF＝AP．∵E为AP的中点，F为BP的中点，∠ADP＝∠BCP＝90°，∴DE＝AE＝EP＝AP，FC＝PF＝BF＝BP，∴DE＝MF，EM＝FC．在△DEM和△MFC中，，∴△DEM≌△MFC（SSS），∴∠DEM＝∠MFC．∵EM∥BP，MF∥AP，∴四边形PEMF是平行四边形，∴∠PEM＝∠PFM．又∵∠DEM＝∠MFC，∴∠DEP＝∠CFP．∵DE＝AE，FC＝BF，∴∠DAE＝∠ADE＝∠DEP，∠FBC＝∠FCB＝∠CFP，∴∠DAE＝∠FBC，即∠DAP＝∠PBC．∵∠ADP＝∠AQP＝90°，E为AP中点，∴ED＝EA＝EQ＝EP＝AP，∴D、A、Q、P四点共圆，∴∠PQD＝∠DAP．同理可得：∠PQC＝∠PBC，∴∠PQD＝∠PQC．11．如图：D是以AB为直径的圆O上任意一点，且不与点A、B重合，点C是弧BD的中点，作CE∥AB，交AD或其延长线于E，连接BE交AC与G，AE＝CE，过C作CM⊥AD交AD延长线于点M，MC与⊙O相切，CE＝7，CD＝6，求EG的长．解：连接OC，如图．∵MC与⊙O相切，∴OC⊥MC．∵CM⊥AD，∴OC∥AM．∵CE∥AB，∴四边形AOCE是平行四边形，∴OA＝CE＝7，∴AB＝14．∵点C是弧BD的中点，∴BC＝CD＝6．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝4．∵CE∥AB，∴△CGE∽△AGB，∴＝＝＝，∴AG＝AC＝．在Rt△ACB中，cos∠BAC＝＝＝．∵点C是弧BD的中点，∴∠BAC＝∠CAD，即∠BAC＝∠EAG，∴cos∠EAG＝．在△EAG中，cos∠EAG＝．∴＝．∵AG＝，AE＝CE＝7，∴＝．整理得：GE2＝．∵GE＞0，∴GE＝．∴EG的长为．12．如图，圆内接四边形ABCD的边AB、DC的延长线交于E，AD、BC延长线交于F，EF中点为G，AG与圆交于K．求证：C、E、F、K四点共圆．证明：延长AG到H，使得GH＝AG，连接EH、FH、CK，如图所示．∵GH＝AG，EG＝FG，∴四边形AEHF是平行四边形，∴∠EAG＝∠GHF，∠GAF＝∠GHE．∵A、B、C、K四点共圆，∴∠KCF＝∠EAG，∴∠KCF＝∠GHF，∴K、C、H、F四点共圆．∵K、C、A、D四点共圆，∴∠KCD＝∠KAF，∴∠KCD＝∠GHE，∴K、C、E、H四点共圆，∴K、C、E、H、F五点共圆，∴C、E、F、K四点共圆．13．在半圆O中，AB为直径，一直线交半圆周于C、D，交AB延长线于M（MB＜MA，AC＜MD），设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点，求证：∠MKO＝90°．证明：连接CK，BK，BC，如图所示．∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OAC+∠ABC＝90°．∵A、B、C、D四点共圆，∴∠BDC＝∠BAC．∵A、O、C、K四点共圆，∴∠CKO＝∠OAC．∵D、O、B、K四点共圆，∴∠BKO＝∠BDO．∴∠BKC＝∠BKO﹣∠CKO＝∠BDO﹣∠OAC．∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠BDO．∴∠BMC＝∠ABD﹣∠BDC＝∠BDO﹣∠BAC＝∠BKC．∴B、C、K、M四点共圆．∴∠ABC＝∠MKC．∴∠MKO＝∠MKC+∠CKO＝∠ABC+∠OAC＝90°．14．已知，在△ABC中，AC＞AB，BC边的垂直平分线与∠BAC的外角∠PAC的平分线相交于E，与BC相交点D，DE与AC相交于点F．（1）如图1，当∠ABC＝3∠ACB时，求证：AB＝AE；（2）如图2，当∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACB，过点D作AC的垂线，垂足为点H，并延是点D关于直线AC的对长DH交射线AE于点M，过点E作BP的垂线，垂足为点G，点D1之间的数量关系，并证明你的结论．称点，试探究AG和MD1解：（1）证明：连接BF，如图1．设∠A CB＝x，则∠ABC＝3x，∵FD垂直平分BC，∴FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB＝x，∴∠ABF＝∠AFB＝2x，∴AB＝AF，∠PAC＝4x．∵AE平分∠PAC，∴∠EAC＝2x．∵∠AFE＝∠DFC＝90°﹣x，∴∠AEF＝180°﹣∠EAF﹣∠AFE＝180°﹣2x﹣（90°﹣x）＝90°﹣x，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∴AB＝AE．．（2）AG＝MD1证明：作EN⊥AC于N，取EC中点O，、NM、MC、MO、NO、EB、EC，如图2．连接AD1∵AE平分∠PAC，EN⊥AC，EG⊥AP，∴EG＝EN，∠EGA＝∠ENA＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠EGA＝∠ENA＝∠BAC＝90°，∴四边形EGAN是矩形．∵EG＝EN，∴矩形EGAN是正方形，∴AG＝AN，∠EAN＝45°，∠GEN＝90°．∵ED垂直平分BC，∴EB＝EC．在Rt△BEG和Rt△CEN中，，∴Rt△BEG≌Rt△CEN（HL），∴∠GBE＝∠NCE，∠GEB＝∠NEC，∴∠GEN＝∠BEC＝90°∵EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝45°．∵∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACB，∴∠ABC＝60°，∠ACB＝30°，∴∠ABE＝∠ACE＝15°．∵∠BAC＝90°，点D为BC中点，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝30°．∵点D与点D关于AC对称，1AC＝∠DAC＝30°，∴∠D1＝45°﹣30°＝15°．∴∠MAD1∵DA＝DC，DM⊥AC，∴DM垂直平分AC，∴MA＝MC，∴∠CMH＝∠AMH＝90°﹣45°＝45°，∴∠AMC＝90°，∴∠ENC＝∠AMC＝90°．∵点O为EC中点，∴ON＝OM＝OE＝OC＝EC，∴E、N、C、M四点共圆，∴∠EMN＝∠ECN＝15°，∴∠MAD＝∠EMN＝15°，1中，在△AMN和△MAD1，，∴△AMN≌△MAD1，∴AN＝MD1．∴AG＝MD115．在平面直角坐标系中，已知A（2，2），AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C．（1）如图1，E为线段OB上一点，连接AE，过A作AF⊥AE交x轴于F，连EF，ED平分∠OEF交OA于D，过D作DG⊥EF于G，求DG+EF的值；（2）如图2，D为x轴上一点，AC＝CD，E为线段OB上一动点，连接DA、CE、F是线段CE的中点，若BF⊥FK交AD于K，请问∠KBF的大小是否变化？若不变，求其值；若改变，求其变化范围．解：（1）∵AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C，∴∠ABO＝∠ACO＝90°．∵∠BOC＝90°，∴四边形ABOC是正方形，∴AB＝AC＝BO＝CO＝2，OA平分∠BOC，∠BAC＝90°．∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAF．在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE＝AF，BE＝CF．设BE＝CF＝t，OE＝2﹣t，OF＝2+t．∵ED平分∠OEF，∴点D是△OEF的内心．如图1，作DM⊥OB于M，作DH⊥OF于H，且DG⊥EF于G，∴DG＝DM＝DH，∴四边形MOHD是正方形，∴MO＝HO＝DM＝DG．设DG＝MO＝x，∴x＝，∴x＝，∴EF＝4﹣2x，∴WF＝2﹣x．∴DG+EF＝x+2﹣x＝2．即DG+EF的值为2；（2）∠KBF的大小不变，∠KBF＝45°如图2，延长BF交AC于G，连接KG，作KM⊥AB于M，KN⊥AC于N，∵四边形ABOC是正方形，∴O B∥AC．∴∠EBF＝∠CGF，∠BEF＝∠GCF．∵F是CE的中点，∴EF＝CF．在△BEF和△GCF中，，∴△BEF≌△GCF（AAS），∴BF＝GF．∵BF⊥FK，∴∠BFK＝∠GFK＝90°．在△BFK和△GFK中，，∴△BFK≌△GFK（SAS）∴BK＝GK．∵AC＝CD，∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°．∵KN⊥AC，∴∠ANK＝90°，∴∠AKN＝45°，∴AN＝KN．∵KM⊥AB，∴四边形AMKN是正方形，∴KM＝KN．∠M＝∠GNK＝90°AM∥KN．在Rt△BKM和Rt△GKN中，，∴Rt△BKM≌Rt△GKN（HL），∴∠MBK＝∠NGK．∠GKN＝∠BKM．∵AM∥KN，∴∠BKN＝∠MBK．∵∠BKM+∠BKN＝90°，∴∠GKN+∠BKN＝90°，即∠BKG＝90°．∵BK＝GK，∴△BKG是等腰直角三角形．∴∠KBF＝45°，∴∠KBF的大小不变，∠KBF＝45°．16．如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，直线MN⊥AB于A，且分别与⊙O1，⊙O2交于M、N，P为线段MN的中点，又∠AO1Q1＝∠AO2Q2，求证：PQ1＝PQ2．解：连接MQ1、BQ1、BQ2、NQ2，过点P作PH⊥Q1B于H，如图所示．则由圆内接四边形的性质可得：∠Q1MA+∠ABQ1＝180°，∠ABQ2+∠ANQ2＝180°，∠MAB＝∠BQ2N．由圆周角定理可得：∠ABQ 1＝∠AO 1Q 1，∠ANQ 2＝∠AO 2Q 2． ∵∠AO 1Q 1＝∠AO 2Q 2， ∴∠ABQ 1＝∠ANQ 2，∴∠ABQ 2+∠ABQ 1＝∠ABQ 2+∠ANQ 2＝180°， ∴Q 1、B 、Q 2三点共线．由圆内接四边形的性质可得：∠ABQ 1＝∠ANQ 2， ∴∠Q 1MA +∠ANQ 2＝∠Q 1MA +∠ABQ 1＝180°， ∴MQ 1∥NQ 2． ∵AB ⊥MN ， ∴∠MAB ＝90°，∴∠Q 1Q 2N ＝∠MAB ＝90°． ∵PH ⊥Q 1B ，即∠Q 1HP ＝90°， ∴∠Q 1HP ＝∠Q 1Q 2N ， ∴PH ∥NQ 2， ∴MQ 1∥PH ∥NQ 2． ∵P 为线段MN 的中点， ∴H 为线段Q 1Q 2的中点， ∴PH 垂直平分Q 1Q 2， ∴PQ 1＝PQ 2．。

八年级数学竞赛讲座平行截割附答案

八年级数学竞赛讲座平行截割附答案第十九讲平行截割平行线是初中平面几何中基本而重要的图形，平行线能改变角的位置并传递角，可“送”线段到恰当处，完成等积变形，当一组平行线截两条直线时就得到比例线段，平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论．利用、挖掘、创造平行线，是运用平行线分线段成比例定理解题的关键，另一方面，需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造如下形如“E ”、“A ”型或“X ”型的基本图形：例题求解【例1】如图，已知在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP ：PQ ：QC= ．(河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)思路点拨图中有形如“X ”型的基本图形，建立含AP ，PQ ，QC 的比例式，并把AP ，PQ ，QC 用同一条线段的代数式表示．【例2】如图，已知在△ABC 中，AE ：EB=1：3，BD ：DC=2：1，AD 与CE 相交于F ，则FDAF FC EF 的值为( )A ．21B ．1C ．23D ．2 (江苏省泰州市中考题)思路点拨已知条件没有平行线，需恰当作平行线，构造基本图形，产生含FCEF ，FD AF 的比例线段，并设法沟通已知比例式与未知比例式的联系．【例3】如图，BD 、BA ，分别是∠ADC 与它的邻补角∠ABP 的平分线，AE ⊥BE ，AD ⊥BD ，E 、D 为垂足．(1)求证：四边形AEBD 为矩形；(2)若AD AE =3，F 、G 分别为AE 、AD 上的点，FG 交AB 于点H ，且3=AGAF ，求证：△AHG 是等腰三角形．(厦门市中考题)思路点拨对于(2)，由比例线段导出平行线，证明∠HAG=∠AHG ．【例4】如图，梯形AB CD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ．(1)如果P 、E 、F 分别是BC 、AC 、BD 的中点，求证：AB=PE+PF ；(2)如果P 是BC 上的任意一点(中点除外)，PE ∥AB ，PF ∥DC ，那么AB=PE+PF 这个结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．(上海市闽行区中考题)思路点拨对于(2)，先假设结论成立，从平行线出发证明AB=PC+PF ，即需证明1=+AB PF AB PE ，将线段和差问题的证明转化为与比例线段有关问题的证明．注若题设条件无平行线，需作平行线．而作平行线要考虑好过哪一点作平行线，一般是由比的两条线段启发而得的，其目的是构造基本图形．平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，比例线段丰富了我们研究几何问题的方法，主要体现在：(1)利用比例线段求线段的长度；(2)运用比例线段证明线段相等，线段和差倍分关系、两直线平行等问题．【例5】如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P ，求证：PM ×PN=PR ×PS(山东省竞赛题)。

初中数学方程与不等式的应用题(附答案)

初中数学方程与不等式的应用题（附答案）知识点睛1．理解题意：分层次，找结构借助表格等梳理信息2．建立数学模型：方程模型、不等式(组)模型、函数模型等①共需、同时、刚好、恰好、相同等，考虑方程；②显性、隐性不等关系等，考虑不等式(组) ；③最大利润、最省钱、运费最少、尽可能少、最小值等，考虑函数3．求解验证，回归实际①数据是否异常；②结果是否符合题目要求及取值范围；③结果是否符合实际意义例题精选应用题1．小明周末守护爷爷输液，输液袋上标有药液共250毫升，15滴/毫升．输液开始时，细心的小明发现药液流速为每分钟75滴．爷爷感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速直至结束．输液20分钟时，输液袋中的药液余量为160毫升．(1)求输液10分钟时输液袋中的药液余量是多少毫升？(2)求10到20分钟期间药液流速是每分钟多少滴？(3)求从开始输液到结束输液共用了多少分钟？2．列方程解应用题：某运输公司有A、B两种货车，每辆A货车比每辆B货车一次可以多运货5吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．求每辆A货车和每辆B货车一次可以分别运货多少吨．3．列方程解应用题：已知A地与B地相距150千米，小华自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费是驾驶新购买的纯电动车所需电费的4倍，如果每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．4．2021年是中欧班列开通十周年．某地自开通中欧班列以来，逐渐成为我国主要的集贸区域之一．2019年该地中欧班列的开行量为500列，2021年达到1280列．求该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率．5．卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”.如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有144人成为新冠肺炎病毒的携带者．（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？请先写出结论，再说明理由；（1）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？6．为鼓励居民节约用电，某地实行居民生活用电按阶梯标准收费：①若每户每月不超过60度的用电量，则按m元/度收费；②若每户每月超过60度，但不超过100度，则超过60度的部分每度加价0.2元，未超过的部分按①的标准收费；③若每户每月超过100度，则超过100度的部分按每度在m元的基础上加价0.3元收费，未超过100度的部分按②的标准收费．（1）用含m的式子表示用电90度时所需缴纳的电费．（2）小辉家今年9月份用电150度，缴纳电费203元，求m的值．7．现甲、乙两地分别需要蔬菜120吨和180吨，已知丙地、丁地分别有蔬菜160吨和140吨，现要把这些蔬菜全部运往甲、乙两地．若丙地每吨蔬菜运到甲地的费用为30元，运往乙地的费用为35元；丁地每吨蔬菜运到甲地的费用为20元，运往乙地的费用为28元，设丙地运往甲地的蔬菜为x吨．（1）请根据题意将下表补充完整：（2）用含x的式子表示总运输费．（3）总运输费能是9010元吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．8．对于一线的医护工作者来说，与新冠肺炎战斗，最大的风险就是被感染．为此，放舱每名医护人员在进入放舱前，从清洁区到达病人所在的病区，中间要穿过三个区，过四道门，工作人员利用体育馆门口一段20米的墙，搭建一个消毒区域，三个区的总面积为96平方米，共用去建筑材料36米．四扇门，每扇门宽1米，且不需要建筑材料，求AB、BC的长各为多少米？9．列方程组解应用题：某车间10月份计划加工甲、乙两种零件共200个，由于采用新技术，实际产量为216个，其中甲零件超产10%，乙零件超产5%求，该车间10月份计划加工甲、乙零件各多少个？10．游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？11．某商场计划购进A，B两种商品共80件，A商品每件的进价比B商品少40元，用1600元购进A商品和用2400元购进B商品的数量相同．(1)求A，B两种商品的进价分别是多少元？(2)已知A商品的销售单价m（元/件）与A商品的进货量n（件)之间的函数关系如图所示．①求m关于n的函数关系式．②因原材料价格上涨，A，B两种商品的进价均提高了10%，为保证总利润不变，商场决定将这两种商品的销售单价均提高a元，且a不超过A商品原销售单价的9%，求a的最大值．12．2020年春节寒假期间，小伟同学完成数学寒假作业的情况是这样的：原计划每天都做相同页数的数学作业，做了5天后，当地加强了防控措施，对外出进行限制，做作业的效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前6天完成了数学寒假作业，已知数学寒假作业本共有34页，求小伟原计划每天做多少页数学寒假作业？13．为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知1只B型节能灯比1只A 型节能灯贵2元，且购买2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．(1)求1只A型节能灯、1只B型节能灯的单价各是多少元?(2)若学校准备购买3只A型节能灯和5只B型节能灯，则共需多少元?14．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？15．在一次数学知识竞赛中，共有20道题，规定：答错或不答一道题扣分相同，当答题结束时，A同学答对14道题，得分为58分；B同学答对11道题，得分为37分．请问答对一道题得几分，答错或不答一道题扣几分．【参考答案】应用题1．(1)200毫升(2)60滴(3)60分钟【解析】【分析】（1）先求出药液流速为5毫升/分钟，再求出输液10分钟的毫升数，用250减去输液10分钟的毫升数即为所求；（2）用20分钟时剩余药液量减去10分钟时剩余药液量，再乘以每毫升滴数求出总的滴数，最后除以时间即可得出答案；（3）可设从输液开始到结束所需的时间为t 分钟，根据输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升，列出方程计算即可求解．(1)解：25075151025050200-÷⨯=-=（毫升）．故输液10分钟时瓶中的药液余量是200毫升；(2)解：10到20分钟期间药液流速是每分钟()200160156010-⨯=（滴)；(3)解：设从输液开始到结束所需的时间为t 分钟，依题意有()200160201602010t --=-，解得60t =．故从输液开始到结束所需的时间为60分钟．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本题关键是求出输液前10分钟药液流速和输液10分钟后药液流速．2．1辆A 货车一次可以运货20吨，1辆B 货车一次可以运货15吨．【解析】【分析】设1辆B 货车一次可以运货x 吨，1辆A 货车一次可以运货(x +5)吨，根据5辆A 货车与4辆B 货车一次可以运货160吨列出方程解答即可．【详解】解：设1辆B 货车一次可以运货x 吨，1辆A 货车一次可以运货(x +5)吨，根据题意得：5(x +5)+4x =160，解得：x =15，x +5=20，答：1辆A 货车一次可以运货20吨，1辆B 货车一次可以运货15吨．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意找出题目蕴含的等量关系是解题的关键． 3．新购买的纯电动汽车每行驶1千米需要电费0.18元．【解析】【分析】设每行驶1千米，新购买的纯电动车需要电费x 元，根据如果每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元列方程即可．【详解】解：设每行驶1千米，新购买的纯电动车需要电费x 元，根据题意列方程，得 ()41501500.54x x ⨯=+.解得：0.18x =答：新购买的纯电动汽车每行驶1千米需要电费0.18元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是准确理解题意，找准等量关系列出方程． 4．该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为60%．【解析】【分析】根据题意，2019年该地中欧班列的开行量为500列，2021年达到1280列，设该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为x ，列出一元二次方程求解即可得．【详解】解：设该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为x ，根据题意可得：()250011280x +=，解得：0.6x =或 2.6x =-（舍去），∴该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为60%．【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．5．（1）最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，见解析；（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有1728人成为新冠肺炎病毒的携带者【解析】【分析】1（）最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，设每人每轮传染的人数为x 人，则第一轮传染了x 人，第二轮传染了1x x +（）人，根据经过两轮传染后共有144人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于x 的一元二次方程，解之将其正值与10比较后即可得出结论；2（）利用经过3轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数=经过两轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数+经过两轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数⨯每人每轮传染的人数，即可求出结论．【详解】解：1（）最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，理由如下：设每人每轮传染的人数为x 人，则第一轮传染了x 人，第二轮传染了1x x +（）人，依题意得：11144x x x +++=（），解得：121113x x ==-，（不合题意，舍去）．1110>，∴最初的这名病毒携带者是“超级传播者”．2144144111728+⨯=（）（人）．答：若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有1728人成为新冠肺炎病毒的携带者．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（1）906m +，（2） 1.2m =【解析】【分析】（1）按照②的标准计算即可；（2）按照③的标准列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）用电90度，超过60度，但不超过100度，按照②的标准计算，所需缴纳的电费为：60(9060)(0.2)906m m m +-+=+，（2）小辉家今年9月份用电150度，缴纳电费203元，按照③的标准计算可列方程为，60(10060)(0.2)(150100)(0.3)203m m m +-++-+=，解得， 1.2m =，答：m 的值为1.2．【点睛】此题考查了列代数式和一元一次方程应用，明确不同度数电费的算法，准确列出方程是解决本题的关键．7．（1）见解析，（2）3x +8560；（3）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）根据丙地有蔬菜160吨，可得丙地运往乙地的数量，根据甲地的需求量，可得丁地运往甲地的数量，根据乙地的需求量，可得丁地运往乙地的数量；（2）根据运费和吨数求得各地的运费，再相加即可；（3）根据题意列出方程求解即可．【详解】解：（1）设丙地运往甲地的蔬菜为x 吨，根据题意填表得，化简得，3x +8560；（3）根据总运输费是9010元，列方程得，3x +8560=9010，解得，x =150，∵甲地需要蔬菜120吨，小于150吨，总运输费不能是9010元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是熟练把握题目中数量关系，列出代数式和方程．8．AB 为6米，BC 为16米【解析】【分析】设AB 的长为x 米，BC 为(3644)-+x 米，根据三个区的总面积为96平方米列出方程求解即可．【详解】解：设AB 的长为x 米，BC 为(3644)-+x 米，由题意得(3644)96-+=x x ，解得14x =，26x =经检验14x =，26x =都是方程的解，当14x =时，3644364442420x >-+=-⨯+=，不符合题意，应舍去，所以6AB =，3646416BC =-⨯+=．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用题，解题的关键是根据题意设出未知数列出方程求解． 9．该车间10月份计划加工甲、乙零件各120个,80个．【解析】【分析】根据等量关系,甲加工的数量加上乙加工的数量等于总量列出方程组即可;【详解】解:设该车间10月份计划加工甲、乙零件各x 个,y 个,由题意得:()()2001101%%5216x y x y +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩解得12080x y =⎧⎨=⎩答: 该车间10月份计划加工甲、乙零件各120个,80个【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,根据等量关系列出方程组是解题的关键．10．增加了3行3列【解析】【分析】设队伍增加的行数为x ，则增加的列数也为x ，根据游行队伍人数的等量关系列出方程即可．【详解】解：设增加了x 行x 列，根据题意得：()()81212869x x ++=⨯+，整理得：220690x x +-=，解得：123,23x x ==-（不合题意，舍去）．答：增加了3行3列．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．11．(1)A 种商品的进价是80元/件、B 种商品的进价为120元/件(2)①0.5130m n =-+；②9【解析】【分析】（1）设A 种商品的进价是x 元/件、则B 种商品的进价为(40)x +元/件，根据1600元购进A 商品和用2400元购进B 商品的数量相同，即可列出相应的分式方程，求解即可，注意求出结果后要检验；（2）①根据函数图象中的数据，利用待定系数法求m 关于n 的函数关系式；②根据题意可以得到n 与a 的关系，然后根据a 不超过A 商品原销售单价的9%，即可求得a 的最大值．(1)解：设A 种商品的进价是x 元/件、则B 种商品的进价为(40)x +元/件，由题意可得，1600240040x x =+，解得80x =，经检验：80x =是原分式方程的解，40120x ∴+=，答：A 种商品的进价是80元/件、B 种商品的进价为120元/件；(2)（2）①设m 与n 的函数关系式为m kn b =+，401108090k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得0.5130k b =-⎧⎨=⎩，即m 与n 的函数关系式为0.5130m n =-+；②设B 种商品的销售单价为t 元，则A 种商品的进价为80(110%)88⨯+=（元/件），B 种商品的进价为：120(110%)132⨯+=（元/件），根据提价前后总利润不变得，(0.513080)(120)(80)(0.513088)(132)(80)n n t n n a n t a n -+-+--=-++-++--，化简，得：20240n a =-+，又a 不超过A 商品原销售单价的9%，9%9%(0.5130)a m n ∴=-+，9%[0.5(20240)130]a a ∴--++，解得9a ，a ∴的最大值是9．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用等，解题关键是明确题意，找出等量关系，列出相应方程或写出相应的函数关系式、不等式．12．小伟原计划每天做2页数学寒假作业．【解析】【分析】设小伟原计划每天做x 页数学寒假作业，则效率提高做作业后每天做2x 页，根据“做作业的效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前6天完成了数学寒假作业”，列出方程，即可求解．【详解】解：设小伟原计划每天做x 页数学寒假作业，则效率提高做作业后每天做2x 页，根据题意得：34345562x x x -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：2x =，经检验：2x =是原方程的解，且符合题意，答：小伟原计划每天做2页数学寒假作业．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 13．(1)1只A 型节能灯的售价是5元，1只B 型节能灯的售价是7元；(2)购买3只A 型节能灯和5只B 型节能灯共需要50元．【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；（2）根据（1）中所求结果，列式计算即可解答本题．(1)解：设1只A 型节能灯的售价是x 元，则1只B 型节能灯的售价是（x +2）元，根据题意得，2x +3（x +2）=31，解得：x =5，答：1只A 型节能灯的售价是5元，1只B 型节能灯的售价是7元；(2)解：购买3只A 型节能灯和5只B 型节能灯需要：3×5+5×7=50（元），答：购买3只A 型节能灯和5只B 型节能灯需要50元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系． 14．共有7人．【解析】【分析】设共有x 人，根据该物品的价格不变，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设共有x 人，根据题意得：8374x x -=+，解得：7x =．答：共有7人．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，列出方程是解决本题的关键．15．答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分．【解析】【分析】设答对一道题得x 分，答错或不答一道题扣y 分．根据A 同学答对14道题，得分为58分；B 同学答对11道题，得分为37分．列出方程组即可求解．【详解】解：设答对一道题得x 分，答错或不答一道题扣y 分．据题意得：14(2014)=5811(2011)37x y x y --⎧⎨--=⎩ 解这个方程组得52x y =⎧⎨=⎩答：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是准确把握题目中的等量关系，列出二元一次方程组．。

初二数学代数方程与不等式练习题及答案20题

初二数学代数方程与不等式练习题及答案20题1. 解方程：3x + 4 = 10解答：首先，将方程式改写为x的形式：3x = 10 - 43x = 6然后，将等式两边都除以3：x = 2所以，方程的解为x = 2。

2. 解方程：5y - 8 = 27解答：将方程式改写为y的形式：5y = 27 + 85y = 35将等式两边都除以5：y = 7所以，方程的解为y = 7。

3. 解方程：2(x + 3) = 8解答：首先，将方程式括号内的表达式展开：2x + 6 = 8然后，将等式两边都减去6：2x = 2最后，将等式两边都除以2：x = 1所以，方程的解为x = 1。

4. 解方程：3(2x - 4) = 12解答：首先，将方程式括号内的表达式展开：6x - 12 = 12然后，将等式两边都加上12：6x = 24最后，将等式两边都除以6：x = 4所以，方程的解为x = 4。

5. 解不等式：2x + 3 > 7解答：首先，将不等式两边都减去3：2x > 4然后，将不等式两边都除以2：x > 2所以，不等式的解为x > 2。

6. 解不等式：3y - 5 ≤ 13解答：将不等式两边都加上5：3y ≤ 18然后，将不等式两边都除以3：y ≤ 6所以，不等式的解为y ≤ 6。

7. 解不等式：4(x - 2) > 20解答：首先，将不等式两边都展开：4x - 8 > 20然后，将不等式两边都加上8：4x > 28最后，将不等式两边都除以4：x > 7所以，不等式的解为x > 7。

8. 解不等式：2(3y + 1) ≤ 10解答：将不等式两边都展开：6y + 2 ≤ 10然后，将不等式两边都减去2：6y ≤ 8最后，将不等式两边都除以6：y ≤ 4/3所以，不等式的解为y ≤ 4/3。

9. 解方程组：2x + y = 103x - 2y = 5解答：使用消元法解方程组，首先，将第一个方程式乘以2：4x + 2y = 20然后，将第二个方程式乘以3：9x - 6y = 15接下来，将两个等式相减，以消去y的项：(4x + 2y) - (9x - 6y) = 20 - 15-5x + 8y = 5接着，重新排列等式，使x的项和y的项分开：8y - 5x = 5所以，方程组的解为8y - 5x = 5。

中考数学竞赛讲座及练习第8讲不等式的应用(无答案)(

第八讲不等式的应用不等式与各个数学分支都有密切的联系，利用“大于”、“小于”关系，以及不等式一系列的基本性质能够解决许多有趣的问题，本讲主要结合例题介绍一下这方面的应用．例1已知x＜0，-1＜y＜0，将x，xy，xy2按由小到大的顺序排列．例2若试比较A，B的大小．例3若正数a，b，c满足不等式组试确定a，b，c的大小关系．例4当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．注意由于不等式是大于或等于零，所以分子1+k可以等于零，而分母是不能等于零的。

例5已知求｜x-1｜-｜x+3｜的最大值和最小值．说明对含有绝对值符号的问题，无法统一处理．一般情况下，是将实数轴分成几个区间，分别进行讨论，即可脱去绝对值符号．例6已知x，y，z为非负实数，且满足x+y+z=30，3x+y-z=50．求u=5x+4y+2z的最大值和最小值．例7设a，b，c，d均为整数，且关于x的四个方程(a-2b)x=1，(b-3c)x=1，(c-4d)x=1，x+100=d 的根都是正数，试求a可能取得的最小值是多少？求pq的值．例9 已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求证： b＜a．例11某地区举办初中数学联赛，有A，B，C，D四所中学参加，选手中， A， B两校共16名；B，C 两校共 20名； C， D两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A，B，C，D中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数．练习八1．如果a＜b＜c，并且x＜y＜z，那么在四个代数式(1) ax+by+cz；(2)ax+bz+cy；(3) ay+bx+cz；(4) az+bx+cy 中哪一个的值最大？2．不等式10(x+4)+x＜62的正整数解是方程2(a+x)-3x=a+13．已知y=｜x+2｜+｜x-1｜-｜3x-6｜，求y的最大值．4．已知x，y，z都为自然数，且x＜y，当x+y=1998，z-x=2000时，求x+y+z的最大值．5．若x+y+z＞0，xy+yz+zx＞0，xyz＞0，试证：x＞0，y＞0，z＞0．能值之和是多少？。

八年级数学不等关系(人教版)(基础)(含答案)

不等关系（人教版）（基础）一、单选题(共9道，每道11分)1.下列数学表达式中是不等式的是( )A. B.x-2yC.3x-6＞0D.8答案：C解题思路：根据不等式的定义，用不等符号连接的式子称为不等式，故选C试题难度：三颗星知识点：略2.在下列数学表达式中，①-m2≤0；②4x+3y＞0；③x=3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3：其中不等式的个数是( )A.5个B.4个C.3个D.1个答案：B解题思路：根据不等式的定义，用不等符号连接的式子称为不等式，故①②⑤⑥均为不等式，所以不等式有4个，故选B试题难度：三颗星知识点：略3.在数轴上与原点距离小于8的点对应的x满足( )A.-8<x<8B.x<-8或x＞8C.x<8D.x＞8答案：A解题思路：依题意，所以故选A试题难度：三颗星知识点：略4.某种品牌的八宝粥，外包装标明：净含量为330±10g，表明了这罐八宝粥净含量x的范围是( )A.320<x<340B.320≤x<340C.320<x≤340D.320≤x≤340答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：略5.下列由题意列出的不等关系中，错误的是( )A.a不是负数表示为a＞0B.“m与4的差是非负数”表示为m-4≧0C.“x不大于3”表示为x≦3D.“代数式x2+3大于3x-7”表示为x2+3＞3x-7答案：A解题思路：ａ不是负数，说明ａ是正数或零，即ａ≧０，所以Ａ错误故选Ａ试题难度：三颗星知识点：略6.某学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是( )A.两种客车总的载客量不少于500人B.两种客车总的载客量不超过500人C.两种客车总的载客量不足500人D.两种客车总的载客量恰好等于500人答案：A解题思路：45x+30y≥500表示两种客车总的载客量不少于500人故选A试题难度：三颗星知识点：略7.“5与m的2倍的和是正数”可以用不等式表示为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：5与m的2倍的和是正数用不等式表示为故选B试题难度：三颗星知识点：略8.根据下列数量关系列出了相应的不等式，其中不正确的是( )A.x的减去5小于1，即B.y的3倍与5的差是非负数，即3y-5≧0C.x与6的差不大于9，即6-x<9D.y与2的和的2倍是正数，即2（y+2）＞0答案：C解题思路：x与6的差不大于9用不等式表示为故C错误试题难度：三颗星知识点：略9.某次知识竞赛共20道题，每答对一道题得10分，答错或不答都扣5分，某同学得分超过80分，设答对题的数量为x，则根据题意可列不等式为( )A.10x-5（20-x）≥80B.10x-5（20-x）＞80C.20×10-5x＞80D.20×10-5x≥80答案：B解题思路：解，答对题的数量为x，答错或不答题的数量为（20-x）根据题意可得，10x-5（20-x）＞80故选B试题难度：三颗星知识点：略。

数学初中竞赛几何专题训练(包含答案)

数学初中竞赛几何专题训练1．如图，在正方形ABCD中，N为边AD上一点，连接BN．过点A作AP⊥BN于点P，连接CP，M为边AB上一点，连接PM，∠PMA＝∠PCB，连接CM，有以下结论：①△PAM∽△PBC；②PM ⊥PC；③M、P、C、B四点共圆；④AN＝AM．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1解：∵AP⊥BN，∴∠PAM+∠PBA＝90°，∵∠PBA+∠PBC＝90°，∴∠PAM＝∠PBC，∵∠PMA＝∠PCB，∴△PAM∽△PBC，故①正确；∵△PAM∽△PBC，∴∠APM＝∠BPC，∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC，故②正确；∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°，∴B、C、P、M四点共圆，∴∠MPB＝∠MCB，故③正确；∵AP⊥BN，∴∠APN＝∠APB＝90°，∴∠PAN+∠ANB＝90°，∵∠ANB+∠ABN＝90°，∴∠PAN＝∠ABN，∵∠APN＝∠BPA＝90°，∴△PAN∽△PBA，∴，∵△PAM∽△PBC，∴，∴，∵AB＝BC，∴AM＝AN，故④正确；故选：A．2．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）A．2 B．3 C．4 D．6解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组．故选：D．3．如图，在四边形AOBC中，若∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，则下列结论正确的有（）（1）A、O、B、C四点共圆（2）AC＝BC（3）cos∠1＝＝（4）S四边形AOBCA．1个B．2个C．3个D．4个解：∵∠3+∠4＝180°，∴A、O、B、C四点共圆，（1）正确；作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，如图所示：则∠CDA＝∠CEB＝90°，∵∠1＝∠2，∴CD＝CE，∵∠3+∠4＝180°，∠3+∠CAD＝180°，∴∠CAD＝∠4，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴AD＝BE，AC＝BC，（2）正确；∵cos∠1＝＝，cos∠2＝＝，∴cos∠1+cos∠2＝+＝＝，∵∠1＝∠2，∴cos∠1＝cos∠2，∴2cos∠1＝，∴cos∠1＝，（3）正确；∵CD＝CE，sin∠1＝，∴CD＝c×sin∠1，∴S四边形AOBC ＝S△OAC+S△BOC＝a×CD+b×CE＝（a+b）CD＝（a+b）×c×sin∠1＝，（4）正确；正确的结论有4个，故选：D．4．点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，分别以弦AC、BC为直径向外侧作2个半圆，点D、E也分别是2半圆弧的三等分点，再分别以弦AD、DC、CE、BE为直径向外侧作4个半圆．则图中阴影部分（4个新月牙形）的面积和是（）A．B．C．D．解：易知D、C、E三点共线，点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，∴对的圆心角为＝60°，∴∠ABC＝30°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝AB＝1，BC＝AB•COS30°＝，BE＝BC•COS30°＝，CE＝DC＝，AD＝，且四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠．从而，S阴影＝S梯形ABED+S△ABC﹣，＝S△ADC +S△BCE，＝．故选：B．5．如图，已知∠A的平分线分别与边BC、△ABC的外接圆交于点D、M，过D任作一条与直线BC不重合的直线l，直线l分别与直线MB、M C交于点P、Q，下列判断错误的是（）A．无论直线l的位置如何，总有直线PM与△ABD的外接圆相切B．无论直线l的位置如何，总有∠PAQ＞∠BACC．直线l选取适当的位置，可使A、P、M、Q四点共圆D．直线l选取适当的位置，可使S△APQ ＜S△ABC解：假设A、P、M、Q四点共圆，根据相交弦定理可得：DA•DM＝DP•DQ，∵A、B、M、C四点共圆，∴根据相交弦定理可得：DA•DM＝DB•DC，∴DP•DQ＝DB•DC，即＝，∵∠BDP＝∠QDC，∴△DBP∽△DQC，∴∠BPD＝∠QCD，∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠MAC，∵∠MBC＝∠MAC，∠MCB＝∠BAM，∴∠MBC＝∠MCB，∴∠BPD＝∠MBC．与∠MBC＝∠BPD+∠BDP矛盾，故假设不成立，因而命题C错误，故选：C．6．已知，在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ 交DQ于F．则△PEF面积的最大值是（）A．B．C．D．解：设PD ＝x ，S △PEF ＝y ，S △AQD ＝z ，梯形ABCD 的高为h ，∵AD ＝3，BC ＝4，梯形ABCD 面积为7， ∴，解得：，∵PE ∥DQ ， ∴∠PEF ＝∠QFE ，∠EPF ＝∠PFD ，又∵PF ∥AQ ，∴∠PFD ＝∠EQF ，∴∠EPF ＝∠EQF ，∵EF ＝FE ，∴△PEF ≌△QFE （AAS ），∵PE ∥DQ ，∴△AEP ∽△AQD ，同理，△DPF ∽△DAQ ， ∴＝（）2，＝（）2，∵S △AQD ＝3，∴S △DPF ＝x 2，S △APE ＝（3﹣x ）2，∴S △PEF ＝（S △AQD ﹣S △DPF ﹣S △APE ）÷2，∴y ＝[3﹣x 2﹣（3﹣x ）2]×＝﹣x 2+x ，∵y 最大值＝＝，即y 最大值＝．∴△PEF 面积最大值是，故选：D ．7．如图，正ABC 中，P 为正三角形内任意一点，过P 作PD ⊥BC 、PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，连AP 、BP 、CP ，如果S △AFP +S △PCD +S △BPE ＝，那么△ABC 的内切圆半径为（）A ．1B ．C ．2D ．解：过P 点作正三角形的三边的平行线，于是可得△MPN ，△OPQ ，△RSP 都是正三角形，四边形ASPM ，四边形NCDP ，平行四边形PQBR 是平行四边形，故可知黑色部分的面积＝白色部分的面积，又知S △AFP +S △PCD +S △BPE ＝，故知S △ABC ＝3，S △ABC ＝AB 2sin60°＝3，故AB ＝2，三角形ABC 的高h ＝3，△ABC 的内切圆半径r ＝h ＝1．故选：A ．8．如图所示，已知△ABC 面积为l ，点D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上，且BD ＝2DC ，CE ＝2EA ，AF ＝2FB ，AD 、BE 、CF 两两相交于P 、Q 、R ，则△PQR 的面积为（）A ．B ．C ．D ．解：连接BR ，设△CDR 的面积为a ，△BRF 的面积为b ，∵BD ＝2DC ，AF ＝2FB ，∴△BDR 的面积为2a ，△ARF 的面积为2b ，∵已知△ABC 面积为l ，∴S △CDR +S △B DR +S △BRF ＝，S △BDR +S △BRF +S △ARF ＝ ∴，解得，∴△CDR 的面积为，同理可得S △APE ＝S △BFQ ＝， S △PQR ＝S △BCE ﹣（S △BCF ﹣S △BFQ ）﹣（S △ACD ﹣S △APE ﹣S △CDR ）＝﹣+S △BFQ ﹣+S △APE +S △CDR ＝S △BFQ +S △APE +S △CDR ＝×3＝．故选：C ．9．观察图（1），容易发现图（2）中的∠1＝∠2+∠3．把图（2）推广到图（3），其中有8个角：∠1，∠2，…，∠8．可以验证∠1＝∠2+∠5+∠8成立．除此之外，恰好还有一组正整数x ，y ，z ，满足2≤x ≤y ≤z ≤8，使得∠1＝∠x +∠y +∠z ，那么这组正整数（x ，y ，z ）＝（）A ．（3，4，7）B ．（3，5，7）C ．（3，3，7）D ．（4，6，7）解：∵小正方形的边长为1，∴∠1＝45°，∵∠1＝∠x +∠y +∠z ，∴∠x +∠y +∠z ＝45，∵一组正整数x ，y ，z ，满足2≤x ≤y ≤z ≤8，“第二条对角线和第三条对角线形成的三角形”与“第二条对角线和第七条对角线形成的三角形”相似，∠2是“第二条对角线和第七条对角线形成的三角形”的外角，∠2＝∠7+∠α（∠α是∠3的对应角），而∠1＝∠2+∠3，∴∠1＝∠2+∠3＝∠3+∠3+∠7．∴这组正整数（x ，y ，z ）＝3，3，7；故选：C ．10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，内切圆⊙I 切AC 、BC 于E 、F ，射线BI 、AI 交直线EF 于点M 、N ，设S △AIB ＝S 1，S △MIN ＝S 2，则的值为（）A ．B ．2C ．D ．3解：连接IE 、IF 、IG ，IC 与EF 交于H ，设内切圆⊙I 的半径为r ，∵∠C ＝90°，它的内切圆⊙I 分别与边AC 、BC 相切于点E 、F ，∴四边形CEIF 是正方形，HI ＝IC ＝r ， ∴△CEF 是等腰直角三角形，∴∠CEF ＝∠CFE ＝45°，∴∠NFB ＝∠CFE ＝45°，∠MEA ＝∠CEF ＝45°，∴∠NIB ＝∠AIM ＝∠IAB +∠IBA ＝（∠CAB +∠CBA ）＝45°，∴∠M ＝∠CAN ＝∠IAB ，∠N ＝∠CBM ＝∠IBA ，∴△NIM ∽△BIA ， ∴＝（）2＝（）2＝2，故选：B ．11．如图，若干个正三角形的一边在同一条直线a 上，这边对的顶点也在同一条直线b 上，它们的面积依次为S 1，S 2，S 3，S 4…若S 1＝1，S 2＝2，则S 6等于（）A ．16B ．24C ．32D ．不能确定解：∵△AEF 、△BFG 、△CGH 都是等边三角形， ∴∠AFE ＝∠BGF ＝60°，∠BFG ＝∠CGH ＝60°， ∴AF ∥BG ，BF ∥CG ，∴∠BAF ＝∠CBG ，∠ABF ＝∠BCG ， ∴△ABF ∽△BCG ， ∴＝．∵△AEF 、△BFG 、△CGH 都是等边三角形， ∴△AEF ∽△BFG ∽△CGH ， ∴＝（）2，＝（）2，∴＝，∴＝，∴S22＝S1•S3．∵S1＝1，S2＝2，∴S3＝4．同理S32＝S2•S4，则有S4＝8；S 42＝S3•S5，则有S5＝16；S 52＝S4•S6，则有S6＝32．故选：C．12．如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法：①当AC＝BD时，M、E、N、F四点共圆．②当AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆．③当AC＝BD且AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③解：连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，如图所示．∵点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，∴EM∥BD∥NF，EN∥AC∥MF，EM＝NF＝BD，EN＝MF＝AC．∴四边形ENFM是平行四边形．①当AC＝BD时，则有EM＝EN，所以平行四边形ENFM是菱形．而菱形的四个顶点不一定共圆，故①不一定正确．②当AC⊥BD时，由EM∥BD，EN∥AC可得：EM⊥EN，即∠MEN＝90°．所以平行四边形ENFM是矩形．则有OE＝ON＝OF＝OM．所以M、E、N、F四点共圆，故②正确．③当AC＝BD且AC⊥BD时，同理可得：四边形ENFM是正方形．则有OE＝ON＝OF＝OM．所以M、E、N、F四点共圆，故③正确．故选：C．13．如图，已知△ABC的面积是1，D、E、F和G、H、I分别是BC和AC边上的4等分点，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．解：连结IF，如图，设S△IFK的面积为S，∵D、E、F和G、H、I分别是BC和AC边上的4等分点，∴＝＝，而∠ICF＝∠ACB，∴△CIF∽△CAB，∴＝（）2，∴S△CIF＝，∵△CIF∽△CAB，∴∠CIF＝∠CAB，＝＝，∴IF∥AB，∴△IFK∽△BKA，∴＝，∴S△ABK＝16S，∵BF＝3CF，∴S△IBF ＝3S△ICF，即S+S△KBF＝3×，∴S△KBF＝﹣S，∴S△ABF ＝S△ABK+S△KBF＝16S+﹣S，∵BF＝BC，∴S △ABF ＝S △ABC ＝， ∴16S +﹣S ＝， ∴S ＝，∴图中阴影部分的面积＝S △IFK +S △CIF ＝+＝．故选：A ．14．如图，正方形ABCD 中线段A 1A 、AA 2、B 1B 、BB 2、C 1C 、CC 2、D 1D 、DD 2的长度分别等于边长的、、、、、、、，则正方形面积是阴影面积的多少倍（）A ．B ．C ．D ．2解：设正方形的边长为a ，则线段A 1A 、AA 2、B 1B 、BB 2、C 1C 、CC 2、D 1D 、DD 2的长度分别为a 、a 、a 、a 、a 、a 、a 、a ，正方形面积的面积为a 2，直角三角形的面积之和为a 2（×+×+×+×）＝a 2，阴影面积为a 2，则正方形面积是阴影面积倍．故选：C．15．如图，直角△ABC的直角边BC＝6，AC＝5．把BC六等分，等分点是D1，D2，D3，D4，D 5；把AC五等分，等分点是E1，E2，E3，E4．连AD1，AD2，AD3，AD4，AD5．过E1，E2，E3，E 4作BC边的平行线E1F1，E2F2，E3F3，E4F4，交AB边于F1，F2，F3，F4．那么图中所有可以数得出来的三角形的面积的总和为（）A．115.5 B．462 C．420 D．231解：由底边一格组成的三角形的个数为5×5＝25，面积为33，由底边两格组成的三角形的个数为4×5＝20，面积为48+，由底边三格组成的三角形的个数为3×5＝15，面积为54+，由底边四格组成的三角形的个数为2×5＝10，面积为48+，由底边五格组成的三角形的个数为1×5＝5，面积为33，图中所有可以数得出来的三角形的面积的总和为33×2+48×2+54+×2+＝231，故选：D．16．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示：上层正方体底面的四个顶点恰好是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形几何体的全面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（）A．4 B．5 C．6 D．7解：设有n个正方体构成，其表面积由两部分组成：（1）俯视图、表面只有一个正方形，其边长为2．（2）侧面则由4n个正方形构成，且各层（从下往上看）正方形面积构成一个首项为4，公比为的等比数列．∴表面积为：4+4+4×[4+4×+4×+…+4×]＞39，∴8+4×＞39，∴n的最小值为6．故选：C．17．如图，正方形ABCD的面积为2，现进行如下操作：第1次：分别延长AB、BC、CD、DA至点E、F、G、H，使得BE＝AB，CF＝BC，DG＝CD，AH＝DA，顺次连接E、F、G、H四点得四边形EFGH；第2次：分别延长EF、FG、GH、HE至点J、K、L、M，使得JF＝EF，KG＝GF，LH＝HG，EM＝EH，顺次连接J、K、L、M四点得四边形JKLM，…按此方法操作，要使所得到的四边形面积超过2007，则这样的操作至少需要（）A．7次B．6次C．5次D．4次解：设正方形ABCD的边长为a，第一次操作后得到正方形的边长为a，第二次操作后得到正方形的边长为5a，故第n次操作后正方形的边长为a，故知第n次操作后正方形的面积S＝5n a2，若要使所得到的四边形面积超过2007，即5n a2＞2007，a2＝2，解得n＞4，这样的操作至少需要5步，故选：C ．18．某住宅小区的圆形花坛如图所示，圆中阴影部分种了两种不同的花，O 1，O 2，O 3，O 4分别是小圆的圆心，且小圆的直径等于大圆的半径．设小圆的交叉部分所种花的面积和为S 1．在小圆外、大圆内所种花的面积和为S 2，则S 1和S 2的大小关系是（）A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．无法确定解：设大圆的半径为2，则小圆半径是1，S 2＝4π﹣（π+π+π+π﹣S 1）即S 1＝S 2．故选：C ．19．在一堂“探索与实践”活动课上，小明借助学过的数学知识，利用三角形和长方形为班里的班报设计了一个报徽，设计图案如下：如图，两条线段EF 、MN 将大长方形ABCD 分成四个小长方形，已知DE ＝a ，AE ＝b ，AN ＝c ，BN ＝d ，且S 1的面积为8，S 2的面积为6，S 3的面积为5，则阴影三角形的面积为（）A ．B ．3C ．4D ．解：根据题意：DE ＝a ，AE ＝b ，AN ＝c ，BN ＝d ，且S 1的面积为8，S 2的面积为6，S 3的面积为5，故知ac ＝8…①ad ＝6…② bd ＝5…③，②÷③得：a ＝b …④，把④代入①可得bc ＝，∵阴影三角形的面积＝bc ＝．故选：A ．20．如图，已知凸四边形ABCD 的面积为S ，四边AB ，BC ，CD ，DA 的第1个三等分点是E 、F 、G 、H ，连AF 、BG 、CH 、DE ，相邻两连线交于I 、J 、K 、L ，又△AEL 、△BFI 、△CGJ 、△DHK 的面积分别为a 、b 、c 、d ，S 1＝a +b +c +d ，则四边形IJKL 的面积为（）A ．B ．C ．D ．解：如图，连接EF 、FG 、GH 、HE ，设△EFL 、△FGI 、△GKJ 、△HLK 的面积分别为a ′、b ′、c ′、d ′则 a ′＝S △AEF ﹣a＝S △ABF ﹣a ＝S △ABC ﹣a同理，b ′＝S △BCD ﹣b 、c ′＝S △CDA ﹣c 、d ′＝S △DAB ﹣d ．四式相加得：a ′+b ′+c ′+d ′＝S ﹣（a +b +c +d ）又S 四边形EFGH ＝S ﹣（S △AHE +S △BEF +S △CGF +S △DGH ）＝S ﹣（×S △ABD +×S △ABD +×S △BCD +×S △BCD ）＝S ﹣S ＝S∴S 四边形IJIKL ＝S 四边形EFGH ﹣（a ′+b ′+c ′+d ′）＝S ﹣[S ﹣（a +b +c +d ）] ＝S +a +b +c +d＝S+S1故选：D．。

八年级数学竞赛培优专题及答案 29 几何变换

专题29 几何变换阅读与思考几何变换是指把一个几何图形1F 变换成另一个几何图形2F 的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换.l图3图2图1F 1F 21.平移变换如图1，如果把图形1F 上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形2F 后，则由1F 到2F 的变换叫平移变换.平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致. 2.对称变换如图2，将平面图形1F 变换到与它成轴对称的图形2F ，这样的几何变换就叫做关于直线l （对称轴）的对称变换.对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线. 3.旋转变换如图3，将平面图形1F 绕这一平面内一定点M 旋转一个定角α，得到图形2F ，这样的变换叫旋转变换，M 叫旋转中心，α叫旋转角.旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.例题与求解【例l 】如图，∠AOB =045，角内有点P ，PO =10，在角的两边上有两点Q ，R （均不同于O ），则△PQR 的周长的最小值为_______________. （黄冈市竞赛试题）解题思路：作P 点关于OA ，OB 的对称点，确定Q ，R 的位置，化折线为直线，求△PQR 的最小值.O【例2】如图，P是等边△ABC的内部一点，∠APB，∠BPC，∠CP A的大小之比是5:6:7，则以P A，PB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）A. 2:3:4B. 3:4:5C. 4:5:6D.不能确定（全国通讯赛试题）B C解题思路：解本例的关键是如何构造以P A，PB，PC为边的三角形，若把△P AB，△PBC，△PCA中的60，就可以把P A，PB，PC有效地集中在一起.任一个，绕一个顶点旋转0【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD.（天津市竞赛试题）解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD翻折造全等.C【例4】如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，对边之差BC-FE=ED-AB=AF-CD ＞0，求证：该六边形的各角都相等.（全俄数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：设法能将复杂的条件BC-FE=ED-AB=AF-CD＞0，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换.【例5】已知Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB =090，∠MCN =045 （1）如图1，当M 、N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+（2）如图2，将∠MCN 绕C 点旋转，当M 在BA 的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）解题思路：222MN AM BN =+符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM 沿直线CM 对折，得△DCM . 连DN ，只需证DN=BN ，∠MDN =090；或将△ACM (或△BCM )旋转.【例6】如图，∠DAC=012，∠DBC=024，∠CAB=036，∠ABD=048，求∠DCA 的度数.（日本算术奥林匹克试题）解题思路：已知角的度数都是12的倍数，0362460+=，这使我们想到构作正三角形.A图2图1MA B B能力训练1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC 向右平移3个单位后得到△A B C '''，则BA A '∠的度数是_______.（泰安市中考试题）B(第1题) （第2题）（第3题）2.如图，P 是等边△ABC 内一点，P A =6，PB =8，PC =10，则∠APB =_________.3.如图，直线143y x =与双曲线2(0)k y k x =>交于点A ，将直线143y x =向右平移92个单位后，与双曲线2k y x =交于点B ，与x 轴交于点C . 若2AOBC=，则k =______________. （武汉市中考试题） 4.如图，△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC ，DB =3，DC =2，则△ABC 的面积是___________. 5.如图，P 为正方形内一点，若::1:2:3PA PB PC =，则∠APB 的度数是（）. A. 0120 B. 0135 C. 0145 D. 0150（第6题）（第5题）（第4题）ACB ABDABDA'6.如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线交于点O ，把边BA 、CD 分别绕点B 、C 同时逆时针旋转060，得四边形A BCD '',下列结论：①四边形A BCD ''为菱形；②12ABCD A BCD S S ''=正方形四边形；③线段OD '的1. 其中正确的结论有（）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7. 如图，A ，B 两个电话机离电话线l 的距离分别是3米，5米，CD =6米，若由L 上一点分别向A ，B 连电话线，最短为（）.A. 11米B. 10米C. 9米D. 8米8. 如图，在△ABC 中，∠BAC =0120，P 是△ABC 内一点，若记x PA PB PC =++，y AB AC =+，则（）.A. x y <B. x y =C. x y >D. x 与y 的大小关系不确定l第8题图第7题图CB9. 如图，已知D 是△ABC 中BC 边的中点，过D 作DE ⊥DF ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，求证：BE CF EF +>.（天津市竞赛试题）DB10.如图，△ABC ，△A B C '''其各边交成六边形DEFGHK ，且EF ∥KH ，GH ∥DE ，FG ∥KD ，0KH EF FG KD DE GH -=-=->. 求证：△ABC ，△A B C '''均为为正三角形.（“缙云杯”邀请赛试题）A B C A'11.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，P ，Q 分别为AC ，AB 上的点，且AP=PQ=QB=BC ，求∠PCQ .（北京市竞赛试题）B12.如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(2,3)A -，(4,1)B -. (1) 若(,0)P x 是x 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最短时，求x 的值；（2）若(,0),(3,0)C a D a +是x 轴上的两个动点，当四边形ABCD 的周长最短时，求a 的值；（3）设M ，N 分别为x 轴，y 轴上的动点，问：是否存在这样的点(,0)M m 和(0,)N n ，使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由.（浙江省湖州市中考试题）13.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB ，CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q ，求证：EP=FQ.（全国初中数学联赛试题）14.如图所示，已知Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM .（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，求证：BM=DM ，且BM ⊥DM ；（2）如图2中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于045的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.（广州市中考试题）图2图1ACBBCA15.如图，在△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC 于D ，若BD =3，CD =2，求△ABC 的面积.（山东省竞赛试题）B专题29 几何变换例1 210例2 A 提示：将ABP ∆绕B 点顺时针旋转︒60得CBD ∆，则ABP ∆≌CBD ∆，BPD ∆为等边三角形. 例3 提示:延长BD 至E ,使AB BE =,连接AE ,E ABC ∠=∠2.例4 提示:过E 作ER ∥,CD 过C 作CP ∥AB ,过A 作AQ ∥EF ,则PQR ∆为等边三角形.例5 (1)如图a ，由DCM ∆≌ACM ∆则AM DM AC DC ==,,,ACM DCM ∠=∠A CDM ∠=∠.又由CB CA =，得CB CD =.由DCM DCN ∠-︒=∠45,得BCN DCN ∠=∠,又CN CN =,则DCN ∆≌BCN ∆,有BN DN =,B CDN ∠=∠, ∴︒=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ∴222DN MD MN +=即222BN AM MN +=(2)关系式: 222BN AM MN +=仍成立,方法同上,如图b 例6 如图,作ACD ∆关于AD 所在直线的轴对称图形,APD 则,12,60,APD ACD PAD CAD PAB AP AB AC ∠=∠∠=∠=∠===，连接PB ，则PAB 为正三角，得12PBD ∠=.123648,,,DAB DBA AD BD PAD PBD ∠=+==∠∴=∴≅故30.30APD BPD ACD APD ∠=∠=∴∠=∠=能力训练1. 452. 1503. 12 提示: 如图, 设4(,)3A a a 过A 作AD x ⊥轴, 交于点D , 过B 作BE x ⊥轴, 交于点E由,2AO AD OD AOD BCE BC BE CE ∴===, 则2912,,(,)23223a CE BE a B a a ==+ ,A B 都在双曲线上, 4291()3322a a a a ∴=+, 解得 123,0a a ==(舍去) 3412k ∴=⨯=4. 15 提示: 分别以,AB AC 为对称轴作D 点的对称点,E F , 连接,FC EB 相交于G , 证明四边形AFGE 为正方形5. B6. C7. B8. D9. 提示: 延长FD 至G , 使DG FD =, 连接EG10. 提示: 作//,//,//EQ FG PG KH KR DE ，交成等边三角形PQR11. 提示: 作//CD BQ , 连,PD CD ，∴四边形QBCD 为菱形, DQ QB = , 由,AP QB CD AQ PC === ,A PCD ∠=∠ 得,,DCP PAQ PD PQ QB QD ≅=== QPD ∴为等边三角形,又,CDP A PQA ∠=∠=∠2,QPC A ∠=∠360QPD A ∠=∠=20,A ∴∠=80B ACB ∠=∠=又,QB BC = 50QCB ∴∠= 30PCQ ∠=12. 提示: (1) 作(4,1)B -关于x 轴对称点'(4,1)B ,连','AB AB 交x 轴于P ,PAB 周长最短, (3.5,0)P ∴ (2) 将点(4,1)B -向左平移3个单位得1(1,1)B -，再作1B 关于x 的对称点2(1,1)B ，连2AB 交x 轴于C ，再将C 向右平移3个单位得点D ，(1.25,0), 1.25C a ∴= (3) 作点A 关于y 轴对称点'(2,3)A --,作点B 关于x 轴的对称点'(4,1)B ,连''A B 交x 轴于M , 交y 轴于N 5(2.5,0),(0,)3M N ∴-13. 提示: 过N 作'//NQ DF ,作'//,NP AE 作//,//.NS DC NR AB 由','PP N LNR RN AB AE P N ∠=∠=== 则''Rt PP N Rt LNR PP LN ≅∴= 同理可证: ''PP QQ =又 '//,'//EP AN FQ ND , 又''AN ND EP FP =∴= 从而'',''PE PP P E FQ FQ QQ =+=+则 PE FQ =(1) 11,,22BM EC DM EC BM DM ==∴= 由2BME BCM ∠=∠ 2,DME DCM ∠=∠ 2()90BMD BME DME BCM DCM ∴∠=∠+∠=∠+∠= BM DM ∴⊥(2) 延长DM 至点F ,使DM FM =,连,,BD BF FC . 可证:EMD CMF ≅,ED AD CF DEM FCN ∴==∠=∠ //ED CF延长AD ,交BC 于T ,交CF 延长线于S 90EDS CST ∠=∠= 又BTA CTS ∠=∠BAD BCF ∠=∠,,,AB CB ABD CBF BD BF ABD CBF =∴≅∴=∠=∠,又90ABD DBC CBF DBC ∠+∠=∠+∠=, BDF ∴为等腰三角形, ,BM DM BM DM ∴=⊥15. 如图, 以AB 为对称轴作ADB 的对称AGB ,以AC 为对称轴作ADC 的对称AFC ,并延长,GB FC 交于点E ,则易知四边形AGEF 是正方形, 不妨设AD h =,则2,3,BE h CE h =-=-由2222222(2)(3)5560BC BE CE h h h h =+⇒-+-=⇒--=116561522ABCh S BC AD ⇒=⇒==⨯⨯=。

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第三十二讲几何不等式
1．三角形的不等关系是研究许多几何不等问题的基础，这种不等关系分为两类：一类是在同一三角
形中进行比较；一类是在两个三角形中比较．这里主要方法是把要比较的边或角如何转化到同一个三角形
或适当安排在两个三角形之中．
2．在同一个三角形中有关边或角不等关系的证明，常有以下定理：
(1)三角形任何两边之和大于第三边．
(2)三角形任何两边之差小于第三边．
(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
(4)同一三角形中大边对大角．
(5)同一三角形中大角对大边．
例题求解
【例1】如图19-2，在等腰梯形ABCD中，A∥BC，AB=CD，E、F分别在AB、CD上且AE=CF．求证：
)(21BCADEF
．

思路点拨如图所示，延长AD至D1使DD1=BC，延长BC至Cl，使CCl =AD，连结ClDl，则ABC1Dl是平行四
边形，ABCD和CDDlCl是两个全等的梯形，在D1C1上取一点G使D1G=AE，连结FG和EG．
由AE=CF，则EF=FG，又EG=AD1=AD+BC，
∴ 2EF=EF+FG≥EG=AD+BC．
即)(21BCADEF．
注当且仅当点F落在EG上时，即E为AB的中点时，结论中的等号成立．证明这类不等式的一个常
用方法是能过添加辅助线，把要比较大小的线段或角集中到一个三角形中，或者适当地安排在两个三角形
中，以便应用上述基本不等式关系．
【例2】如图19-3，△ABC中，AB>AC，BE、CF是中线，求证：BE>CF．
2

思路点拨将BE、CE分别平移到FG、FD，则四边形EFDC为平行四边形，作FH⊥BC于H．
∴AB>AC，且F，E分别为AB、AC的中点，∴ FB>CE．
∴ FB>FD，由勾股定理得：HB>HD，即FB>FD．
又∵GH=GB+BH=EF+BH=DC+BH>CD+DH=CH，
即GH>CH， ∴ GF>CF．即 BE>CF．
【例3】如图19-4，在等腰△ABC中，AB=AC，D为形内一点，∠ADC>∠ADB，
求证：DB>DC．
思路点拨把△ABD绕点A按逆时针方向旋转△BAC
至△ACD′，连接DD′，则AD=AD'．
∴∠ADD′=∠AD′D，而∠ADC>∠ADB，
∴ ∠ADC>∠AD′C，
∴ ∠ADD′+∠D′DC>∠AD′D+∠CD′D
∴ ∠D'DC>∠DD'C．
∴ CD′>DC，即DB>DC．
注几何图形在平移、对称、旋转变换中，只是图形位置发生变化，而线段的长度、角的大小不变．
【例4】如图19-5，在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且2 b < a +c，求证：2∠B<
∠A+∠C．
思路点拨延长BA到D，使AD=BC= a，延长BC到E，使CE=AB=，连结DE，
这就把图形补成一个等腰三角形，即有BD=BE= a + c．
∴∠BDE=∠BED．
作DF∥AC，CF∥AD，相交于F，连结EF，则ADFC是平行四边形．
∴CF=AD=BC．
又∠FCE=∠CBA，∴△FCE≌△CBA
∴ EF=AC= b．
于是 DE≤DF+EF=2 b < a+c=BD=BE．
这样，在△BDE中，便有∠B<∠BDE=∠BED
∴ ∠2B<∠BDE+∠BED=180°一∠B=∠A+∠C，
即2∠B<∠A+∠C．
【例5】过三角形的重心任作一直线，把这个三角形分成两部分，求证：这两部分面积之差不大于整个
3

三角形面积的91．
思路点拨如图19-6，设△ABC重心为，过点G分别作各边的平行线与各边交点依次为A1、B1、B2、
C1、C2、A2
连结A1A2；B1B2、C1C2，
∵ 三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的二倍，
∴ A1A=A1Bl=B1B， BB2=B2Cl=C1C，CC2=C2A2=A2A．
∵ A1A2∥BC，B1B2∥AC，C1C2∥AB，
∴ 图中的9个三角形全等．
即△AA1A2≌△A1B1G≌△B2GB1≌…≌△C2ClC．
所以上述9个小三角形的面积均等于△ABC面积的91．
若过点C作的直线恰好与直线A1C1、B1C2、B2A2重合，则△ABC被分成的两部分的面积之差等于一个小
三角形的面积，即等于△ABC面积的91．
若过点C作的直线不与直线A1C1、B1C2、B2A2重合，不失一般性，设此直线交AC于F，交AB于E，交
C1C2于D，
∵ GBl=GC2，∠EB1G=∠DC2C，∠B1GE=∠C2GD，
∴ △B1GE≌△C2GD．
∴ EF分△ABC成两部分的面积之差等于12DFCCDFCSS四边形，
而这个差的绝对值不会超过S△C1C2C的面积．
从而EF分△ABC成两部分的面积之差不大于△ABC面积的91．
综上所述：过三角形重心的任一直线分三角形成两部分的面积之差不大于整个三角形面积的91．

【例6】如图19-12，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB上，求证：92ABCPQRSS．
思路点拨易想到作△ABC和△PQR的高，将三角形的面积比化成线段的乘积比，并利用平行线截
线段成比例定理，把其中两条高的比转换成三角形边上线段的比．

如图19-12，作CL⊥AB于L，RH⊥PQ于H，则ACABARPQCLABRHPQSSABCPQR．
不妨设△ABC的周长为1，则PQ=31，AB<21，
∴32ABPQ．
4

∵AP≤AP+BQ=AB—PQ<613121，
∴AR=31—AP>31－6161．

又AC<21，从而31ACAR，∴923132ABCPQRSS．
【例7】 (2000年江苏省初三竞赛题)如图19-13，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD
内一点，且∠APD=120°．
证明：PA+PD+PC≥BD．

思路点拨在四边形ABCD外侧作等边三角形AB′D，由∠APD=120°可证明B'P=AP+PD．易知B' C≥
PB'+PC．得B' C≤AP+PD+PC．下证BD= B'C．
∵△AB'D是等边三角形，∴ AB'=AD，∠B'AD=60°，又易知△ABC是等边三角形，故AC=AB，∠BAC=60°，
于是△AB'C≌△ADB，∴ B'C= DB．
【例8】设ah、bh、ch是锐角△ABC三边上的高，求证：121cbahhhcba．
思路点拨如图19-14，在Rt△ADC中，由于AC>AD，故ahb，
同理可证bhc，cha
∴cbahhhcba，即1cbahhhcba ①
设△ABC的垂心为H点，
由于HA+HB>AB，HB+HC>BC，HC+HA>AC，即HA+HB+HC>)(21cba．
从而)(21cbaHCHBHAhhhcba，即21cbahhhcba ②
由①、②得121cbahhhcba．

学历训练
（A级）
1．在△ABC中，AD为中线，AB=7，AC=5，则AD的取值范围为．
2．(安徽省数学竞赛)已知在△ABC中，∠A≤∠B≤∠C，且2∠B=5∠A，则AB的敢值范围是．
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3．(太原市初中数学竞赛试题)用长度相等的100根火柴棍，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小
边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴棍的根数．
4．(全国高中理科试验班招生数学试题)面积为1的三角形中，三边长分别为a、b、c，且满足a≤b≤c，
则a+b的最小值是．
5．(江苏数学竞赛培训题)在任意△ABC中，总存在一个最小角α，则这个角α的取值范围为．
（B级）
1．如图19-16，△ABC中，E、F分别为AC、AB上任一点，BE、CF交于P，求证：PE+PF

2．如图19-17，等线段AB、CD交于O，且∠AOC=60°，求证：AC+BD≥AB．
3．如图19-18，矩形ABCD中，E、F别是AB、CD上的点，求证：EF4．已知 a、b、x、y均小于0，122yx，求证：baxbyaybxa22222222．
5．如图19-19，在△ABC中，∠B=2∠C，求证：AC<2AB．

6．平面上有n个点，其中任意三点构成一个直角三角形，求n的最大值．
7．如图19-20，已知△ABC中AB>AC，P是角平分线AD上任一点，求证：AB－AC>PB—PC．
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