常微分方程在数学建模中的应用【文献综述】

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常微分方程在数学建模中的应用

人们将数学方法应用到有关传染病方面的研究可追溯到1760年, Bernoulli 在其论文中用数学模型评价天花对期望寿命的影响. 上世纪初, Kermark 和Mckendrick 首先利用动力学方法建立了传染病的数学模型.

1928年Reed 及Frost 共同提出Reed-Frost 模型, 它的基本公式是确定性的, 之后又获得了该模型的随机过程.

确定性Reed-Frost 模型: 1(1)t t t C S qC +=-. 指下一代将发生的病例数为t 代的易感者人群与当时有效接触率1t qC -的乘积. 其中1t C +是在第1t +代的病例者, t S 是在第t 代的易感者, q 为单位时间内未发生有效接触的概率.

Reed-Frost 模型的假设条件有5个. 条件一: 研究的群体与其他群体隔绝; 条件二: 在疾病流行期间, 人群中任何个体间互相接触的机会均等; 条件三: 易感者与感染者充分接触后, 按一定概率变成新的感染者; 条件四: 感染者在传染期间具有传染性, 其后成为完全的免疫者; 条件五: 以上条件在流行期间不变. 该模型的缺陷是: 研究结果常常与实际情况有一定程度差距, 这是因为在模型中假设有效接触率传染力是不变的.

在国内, 该模型的改进模式, 认为易感者在感染过程中不仅会变成显性感染者（患者）, 也可能会变成隐性感染者, 而且患者和隐性感染者均具有传染能力. 故对Reed-Frost 的假设条件三和条件四做如下假设. 条件三: 易感者和感染者充分接触后, 按一定的概率变成新感染者, 新感染者中患者和隐性感染者成一定比例; 条件四: 患者和隐性感染者在传染期间均具有传染力, 传染期后均变成完全的免疫者.

设单位时间内一名患者与易感者的有效接触率为p , 一名隐性感染者与易感者的有效接触率为1p , 则该期间避免一名患者或一名隐性感染者的感染率为1q p =-, 111q p =-. 设b 为感染过程中隐性感染者与患者的比例常数, 则单位时间内新患者数为t C , 新隐性感染者数为t bC , 易感者有t C 名患者和t bC 名. 隐性感染者方面受到感染的概率为11t t qC q bC -, 该期间被感染者在下一期间均成为传染源. 因此, 1t +时点的新感染者的期

待值(E 表示期待)为111(1)t t t t t bEC EC S qC q bC +++=-, 111(1)1

t t t t EC S qC q bC b +=-+; 11(1)t t t S S b C ++=-+. 以R 为非显性感染者, 在Reed-Frost 模型中R 与易感者S 完全相同. 而在改进模型中, R 包括易感者和隐性易感者, 即t t t

S R b tC =-∑. 则1t +时点的免疫者I 数为1(1)t t t I I b C +=++. 随机性Reed-Frost 模型表示当时的易感者全部未受到感染至全部受到感染的各种情况概率, 每种情况发生的概率可有不同, r 是下一代病例数. 该模型体现了传染力的可变性, 适合广泛的情况, 是模型发展的新趋向.

而传染病动力学的常微分方程SIR 模型便是由May []4等在1979年提出的, 该模型考虑了3类个体: 正常可被感染者; 患病者; 已恢复且具有免疫力者. 该模型的假设条件分别为:条件一: 人群分为易感者、患者和病愈免疫移出者. 条件二: 个体获得免疫是永久的, 这意味着假若某个个体获得免疫, 他们将永远不会再感染. 这种模型适合于滤过性霉菌引起的流行病, 如麻疹、天花、腮腺炎等. 条件三: 易感人群的减少速度与易感人群和被感染者数量的乘积呈正比. 条件四: 恢复者的增长速度与被感染者的数量成正比. 该模型对乙型肝炎病毒在人群中的感染和传播有较好的应用. 通过该模型的参数可以描述疫苗接种前人群HBV 的动态传播过程, 也可以预测不同疫苗接种覆盖率时免疫后人群HBV 的变化趋势, 从而评价疫苗的远期效果.

后来在SIR 模型[]10考虑3类个体的基础上, 增加了1类个体: 已感染但处于潜伏期未发病者. 上述4类个体及描述其相互关系的常微分方程组构成新的传染病动力学模型: SEIR 模型. 很多学者对这类模型进行了深入研究, Michael

[]8研究了SEIR 模型的全局动力学性质. Langlais []9等对治愈后不具有免疫能力的SEIRS 模型进行的研究中, 给出了最大静止状态的稳定性判据, 他们还将该模型应用于动物传染病的研究.

近几年, 人们用数学方法来研究传染病的发病机理、动态过程和发展趋势, 已逐步成为一个活跃的研究领域. 在国外, 数学预测模型已经能够成功地应用于生物分子水平, 模拟体内病毒的复制及半衰期, 让我们更加全面地认识并了解了传染病的感染机制. 而我们的国内学者吴开琛等也成功的把该模型应用于非典型肺炎(SARS )的研究, 并在此基础上提出5分室模型, 即: SEIDR, 其中的D(death)为人群中感染发病者不治死亡的.

本文是利用SIR 模型来研究传染病问题的, 由于传染病流行过程的研究与其他学科有所不同, 不能通过在人群中实验的方式来获得数据, 所以有关传染病的数据、资料只能从已有

的传染病流行的报告中获取, 这些数据往往不够全面, 难以根据这些数据来准确地确定参数, 只能大概估计其范围.

这次论文主要是通过全面调查、收集相关的数据资料, 有效应用常微分方程和数学建模的相关知识, 并充分利用图书馆和互联网上的丰富的资源来建立SIR模型, 在对建立好的数学模型进行定量和定性的分析与探究的过程中, 观察和研究实际对象的固有特征和内在规律, 抓住问题的主要矛盾, 对当今社会中经常爆发的传染病建立常微分方程模型并利用常微分方程和数学建模的相关知识对它分别进行分析和研究, 探讨了它的传播规律以及影响它们流行的因素、预测可能发生的后果及如何抑制其流行或恶化.这个模型的建立及探究说明了在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中, 大量存在了满足常微分方程关系式的模型, 需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质, 常微分方程是解决实际问题的重要工具.所建立的模型, 在常微分方程的观点剖析下, 充分展现现代社会生活中常微分方程应用.