4.5利用相似三角形测高

m，王刚的眼睛离地面的高度为1.5 m，那么大树EF的高为多
少？
6 利用相似三角形测高
6 利用相似三角形测高
解：如图4－6－7所示，作AH⊥EF，垂足为H，交CD 于点G，由题意得AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF， 故四边形ABFH、四边形DGHF都是矩形， 所以AB＝GD＝HF，BF＝AH，BD＝AG，CD∥EF， 所以∠AGC＝∠AHE＝90°. 又因为∠CAG＝∠EAH，所以△ACG∽△AEH， AG CG 1 2－1.5 所以 ＝ ，即 ＝ ， AH EH 9 EH 所以EH＝4.5，EH＋HF＝4.5＋1.5＝6(m)． 所以大树EF的高为6 m.
6 利用相似三角形测高
6 利用相似三角形测高
新 知 梳 理
► 知识点一 利用阳光下的影子来测量旗杆高度
[明确] 太阳光可近似看做平行光． [步骤] (1)构造相似三角形，如图4－6－3所示．
6 利用相似三角形测高
(2)测量数据：AB(身高)，BC(人影长)，BE(旗杆影 长)；待求数据：DE(旗杆高)． (3)计算理由： 因为AC∥DB(平行光)，所以∠ACB＝∠DBE. 因为∠ABC＝∠DEB＝90°(直立即为垂直)， AB·BE AB BC 所以△ABC∽△DEB，有 ＝ ，DE＝ . DE BE BC
6 利用相似三角形测高
重难互动探究
探究问题一 利用影长测物高
例1 某同学的身高为1.66 m，测得他在地面上的影长为
2.49 m，如果这时测得操场上旗杆的影长为42.3 m，那么该 旗杆的高度是多少米？ [解析] 同一时刻的光线应是平行的，人和旗杆都与地面垂
直，因此可以通过相似三角形求出旗杆的高度．
，刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知她眼睛距地面
的高度DC＝1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB 是多少米？
6 利用相似三角形测高
[ 解 析 ]
根 据 入 射 角 等 于 反 射 角 ， 先 说 明
Rt△ABE∽Rt△CDE，再根据已知数据求出AB.
解：由题意可知∠BEF＝∠DEF，∠AEF＝∠CEF， 所以∠BEA＝∠DEC. AB⊥AC ⇒∠BAE＝∠DCE＝90° CD⊥AC ⇒ ∠BEA＝∠DEC AE CE △BAE∽△DCE⇒ ＝ AB DC ⇒AB＝13.44(米)． AE＝21，CE＝2.5，DC＝1.6 所以教学大楼的高度AB是13.44米．
6 利用相似三角形测高
► 知识点三
利用镜子反射来测量旗杆高度
[明确] 平面镜反射原理：入射角等于反射角． [步骤] (1)构造相似三角形，如图4－6－5所示．
6 利用相似三角形测高
(2)测量数据：AB(人眼距地面的高度)，BE(人距镜子的 距离)，ED(镜子距旗杆的距离)；待测数据：CD(旗杆高 度 )． (3)计算理由： ∠ABE＝∠CDE＝90°(垂直地面)，∠AEB＝ AB ∠CED(光的反射原理)，所以△ABE∽△CDE，有 ＝ CD AB·DE BE ，CD＝ . DE BE
6 利用相似三角形测高
► 知识点二
利用标杆来测量旗杆高度
[步骤] (1)构造相似三角形，如图4－6－4所示．
6 来自百度文库用相似三角形测高
(2)测量数据：AB(人眼距地面的高度)，CD(标杆高)， BD(人距标杆的距离)，DF(标杆距旗杆的距离)；待测数据： EF(旗杆高度)． (3)计算理由： 因为CD∥EF(均与水平面垂直)，所以∠AGC＝ AG ∠AHE，∠ACG＝∠AEH.所以△AGC∽△AHE，所以 AH CG ＝ .又AG＝BD，GC＝CD－AB，AH＝AG＋GH，求出 EH EH.所以EF＝EH＋HF＝EH＋AB.
6 利用相似三角形测高
[归纳总结] 同一时刻，对于都垂直于地面的两个物体来说，
它们的影长之比等于它们的高度之比．
6 利用相似三角形测高
探究问题二
利用标杆测物高
例2 如图4－6－7所示，王刚同学所在的学习小组欲测量
校园里一棵大树的高度，他们选王刚作为观测者，并在王刚
与大树之间的地面上直立一根高为2 m的标杆CD，然后，王 刚开始调整自己的位置，当他看到标杆的顶端C与树的顶端E 重合时，就在该位置停止不动，这时其他同学通过测量，发 现王刚的脚离标杆底部的距离为1 m，离大树底部的距离为9
6 利用相似三角形测高
[归纳总结 ] 解决这类问题，先把实际问题转化为数学问题 ，找出两个相似的三角形，利用相似三角形的对应边成比例 列出比例式，求出某条线段的长度，进而再求所要求的物体
的高度．
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探究问题三 利用镜子的反射测物高 例3 小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度． 如图4－6－8所示，在水平地面上E处放一面平面镜，其与 教学大楼的距离EA＝21米，当她与镜子的距离CE＝2.5米时
6 利用相似三角形测高
解：如图4－6－6所示，用AC表示人的身高，BC表示人 的影长，A′C′表示旗杆的高度，B′C′表示旗杆的影 长，由题意得AC＝1.66 m，设A′C′＝x. 由△ABC∽△A′B′C′， AC BC ∴ ＝ ， A′C′ B′C′ 1.66 2.49 即 ＝ ，解得x＝28.2. x 42.3 所以该旗杆的高度是28.2 m. m，BC＝2.49 m，B′C′＝42.3