2018年生物会考试题

北京市海淀区2019届高三第一学期期中数学（理）试题

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，，若，则的取值范围为

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

解一元一次不等式得集合，由，能求出的取值范围．

【详解】∵集合，，，

∴，∴的取值范围为，故选B．

【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，结合常见函数的奇偶性以及单调性依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】对于A，，是偶函数，在不是增函数，不符合题意；对于B，，，是偶函数，在是减函数，不符合题意；

对于C，，其定义域为，不是偶函数，不符合题意；

对于D，，是偶函数且在上单调递增，符合题意；

故选：D

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，注意常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3.

A. B. 0 C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可.

【详解】∵，∴，故选C.

【点睛】本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数或者利用其几何意义，属于基础题．

4.在等差数列中，,，则公差的值为

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用等差数列的通项公式代入可列出关于公差的方程，求解即可．

【详解】∵等差数列中，，，

∴，∴

∴，故选A．

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用是，属于基础试题．

5.角的终边经过点，且，则

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意利用任意角的正弦函数的定义可求得，再根据正切函数的定义即可求得结果．

【详解】∵角的终边经过点，且，

∴，则，故选C．

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题，若角的终边经过点（异与原点），则，，.

6.已知数列的通项公式为，则“”是“数列单调递增”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

数列单调递增，可得的范围．由“”可得：，可得的范围，即可判断出关系.

【详解】数列单调递增，可得：，化为：，

∴．

由“”可得：，可得：．

∴“”是“数列单调递增”的充要条件，故选C．

【点睛】本题考查了数列的单调性、不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，数列是特殊的函数，其特殊之处在于定义域为且，属于中档题；如果既有“”，又有“”，则称条件是成立的充要条件，或称条件是成立的充要条件，记作“”，与互为充要条件．

7.已知向量满足，且，则、、中最小的值是

A. B. C. D. 不能确定的

【答案】A

【解析】

【分析】

可在的两边分别乘可得出，，，

再根据即可得到，，这样整理即可得出．

【详解】∵；

∴，，；

∴，，；

∵；

∴，；

∴；

∴．

故选：A．

【点睛】考查数量积的定义及运算，不等式的性质．

8.函数，.若存在，使得

，则的最大值为

A. 5

B. 63

C. 7

D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可得，设，可得存在，，…，，使得，求得的最值，即可得到所求的最大值．

【详解】函数，．

，

即为，

化为，

设，可得存在，，…，，

使得，

由在处取得最小值2，在处取得最大值，

即有，

即为，可得的最大值为8，故选D．

【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用转化思想，以及二次函数在闭区间上的最值求法，考查运算能力，解题的关键是将题意等价转化为函数最大值与最小值之间的关系，属于中档题．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.计算____________

【答案】 2

【解析】

【分析】

根据对数的运算法则，将式子化简合并，再结合常用对数的性质即可得到原式的值．

【详解】原式，故答案为2.

【点睛】本题主要考查了常用对数的定义和对数的运算性质等知识，属于基础题

10.已知向量，，则向量，夹角的大小为______.

【答案】

【解析】

【分析】

直接利用，即可能求出向量与的夹角大小.

【详解】∵平面向量，，

∴，

又∵，∴，

∴向量与的夹角为，故答案为．

【点睛】本题考查两向量的夹角的求法，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用，是基础题．

11.已知等比数列的前项和为，下表给出了的部分数据：

1 2 3 4

10 16

则数列的公比__________，首项______。

【答案】(1). (2).

【解析】

【分析】

等比数列的前项和为，满足，，利用等比数列的求和公式列出关于和的方程，解出即可．

【详解】由表格可得：的前项和为，满足，，

∴公比，可得，，

联立解得，，故答案为，4.

【点睛】本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力以及观察表格的能力，属于基础题．12.函数在区间上的最大值为2，则_____

【答案】-1或2

【解析】

【分析】

首先由，得到的取值范围，进而得到的范围，分为和两种情形即可得结果.

【详解】因为，所以，则，

则，

当时，函数的最大值为，解得．

当时函数的最大值为，解得，

故答案为或2．

【点睛】本题主要考查的知识要点为三角函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础性．

13.能说明“若对任意的都成立，则在上的最小值大于在上的最大值”为假命题的一对函数可以是____，_______。

【答案】(1). (2).

【解析】

【分析】

由不等式恒成立可设，，结合单调性求出其在上的最大值，即可得到符合题意．

【详解】“若对任意的都成立，

则在上的最小值大于在上的最大值”，

可设，，

显然恒成立，且在的最小值为0，在的最大值为1，

显然不成立，故答案为，．

【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题解法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，熟练掌握初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．

14.已知函数

（1）若函数的最大值为1，则________；

（2）若函数的图像与直线只有一个公共点，则的取值范围为______

【答案】(1). (2).

【解析】

【分析】

（1）由函数的单调性，可得的最大值为，由，可得的值；（2）讨论时，由对数函数值小于0，可判断符合题意；当时，求得，画出的图象，判断直线与曲线的交点个数，即可得到所求范围．

【详解】（1）函数，

当时，；当时，可得，

函数的最大值为1，可得，即；

（2）当时，由在的函数值小于0，

在函数值递减，且趋向于0，则的图象和直线只有一个交点，

当时，，，

由的导数为，可得，

画出的图象和直线，可得此时函数的图象与直线只有一个公共点，

综上可得的范围是，故答案为：，．

【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用函数的单调性，考查函数的零点问题解法，注意运用分类讨论思想方法和数形结合思想，考查运算能力，在两曲线相交时，注意临界位置的判定取舍，属于中档题．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15.设是等比数列，为其前项的和，且, .

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若，求的最小值.

【答案】（1）；（2）8 .

【解析】

【分析】

（Ⅰ）把已知条件直接利用等比数列的通项公式可表示，求出，，代入即可求解；（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的条件可求，结合已知不等式可求的范围，进而可求的最小值．

【详解】（Ⅰ）设的公比为q

因为

又，所以

所以

所以

（Ⅱ）因为

所以，即，即

显然n为奇数时，不等式不成立，

当n为偶数时，即，解得

所以n的最小值为8.

【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，熟练掌握基本运算公式即可，属于基础题．

16.已知函数.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数在上的单调递增区间.

【答案】（1）1 ；（2）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）代入，求出的值即可；（Ⅱ）化简，根据正弦函数的性质求出函数的单调区间即可．

【详解】（Ⅰ）

（Ⅱ）因为，所以，

即函数的定义域为

=

==

令

解得

令，得到，

因为

所以在区间上单调递增区间为

【点睛】本题主要考查函数求值，考查了三角函数式的化简以及正弦函数的性质，考查函数的单调性问题，属于中档题．

17.已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）求证：直线是曲线的切线；

（Ⅲ）写出的一个值，使得函数有三个不同零点（只需直接写出数值）

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）当时，对函数求导，通过判断导数与0的关系即可得单调区间；（Ⅱ）根据导数的几何意义可令，解得，而，通过直线不经过，即可得最后结果；（Ⅲ）取的值为．【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，

当时，

所以

令，得

当x变化时，，的变化情况如下表：

x -1

+ 0 - 0 +

极大值极小值

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为

（Ⅱ）因为

令，解得

因为，直线不经过

而，

所以曲线在点处的切线为

化简得到

所以无论a为何值，直线都是曲线在点处的切线

（Ⅲ）取a的值为-2.

这里a的值不唯一，只要取a的值小于-1即可.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究曲线的切线方程以及根据函数的增减性研究函数的零点问题，是中档题．

18.中，，.

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）若，求的面积。

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而由正弦定理可得的值；（Ⅱ）在中，利用基本不等式及余弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据余弦定理可求的值，根据三角形面积公式即可计算得解．

【详解】（Ⅰ）在中，因为，且，所以

根据正弦定理

代入，解得.

（Ⅱ）在中，因为

根据余弦定理，得到

因为，所以

根据余弦定理和，

得到

所以的面积

【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，基本不等式与余弦定理相结合在解三角形中的应用，构造完全平方式来解决三角形面积问题，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

19.已知函数

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）求证：存在，使得；

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）根据的最小值是，存在，使得，由，设，根据函数的单调性证明即可．

【详解】（Ⅰ）函数的定义域为且.

，

令，得到，

当时，x，，的变化情况如下表：

x

- 0 -

极小值

所以函数在处取得极小值

当时，当x变化时，，的变化情况如下表：

x

+ 0 -

极小值

所以函数在处取得极大值

（Ⅱ）当时，，结论成立

当时，由（Ⅰ）知道，由（Ⅰ）可知，的最小值是，

“存在，使得”等价于“”

而

设，则

当时，，单调递增，当时，，单调递减

所以的最大值为，所以，结论成立.

【点睛】本题考查了函数的单调性与极值即由，得函数单调递增，得函数单调递减进而得极值，考查导数的应用以及分类讨论思想即将导函数的零点与所给区间表示，转化思想即将能成立问题转化为最值问题，是一道综合题．

20.记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令

（Ⅰ）若，请写出的值；

（Ⅱ）求证:“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件；

（Ⅲ）若，求证:存在，使得，有

【答案】（1），，，；（2）见解析； (3)见解析.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）分别计算出，，，结合题意即可得的值；（Ⅱ）先证必要性，无论为何值始终有，即可证得结果，再证充分性，当数列是等差数列时，设其公差为，根据等差数列的定义化简可得，进而可证得是单调数列，始终可得，进而得最后结论；（Ⅲ）利用反证法，由或者可得，

，化简可得，即，对利用累加法，可得与题意矛盾，即得结论.

【详解】（Ⅰ）因为，所以，，，

所以，，，

（Ⅱ）（必要性）当数列是等差数列时，设其公差为d

当时，，所以，所以，，

当，，所以，所以，

当是，，所以，所以，

综上，总有

所以，所以数列是等差数列

（充分性）当数列是等差数列时，设其公差为

因为，

根据，的定义，有以下结论：

，，且两个不等式中至少有个取等号

当，则必有，所以，

所以是一个单调递增数列，所以，，

所以

所以，即为等差数列

当时，则必有，所以

所以是一个单调递减数列，所以，，

所以

所以，即为等差数列

当，

因为，中必有一个为0，

根据上式，一个为0，则另一个亦为0，

所以，，所以为常数数列，所以为等差数列综上，结论得证.

（Ⅲ）假设结论不成立.

因为，即或者，

所以对任意，一定存在，使得，符号相反

所以在数列中存在，，，……，，……，其中

且，

，

因为，即，

注意，，且有且仅有一个等号成立，

所以必有，

所以，所以

因为，所以，所以

所以

所以

所以

……

所以

所以

所以，

这与矛盾，所以假设错误，

所以存在，使得，有.

【点睛】本题考查等差数列判断与证明，分类讨论思想的应用，运算求解能力，化归与转化思想以及反证法在证明中的应用，属于难题.