东南大学06-07学年第三学期线性代数期终考试试卷

06-07学年第三学期线性代数期终考试试卷 一. (18%)填空题(E表示单位矩阵). 1. 假设 = (1, 3),  = (1, 1), 则(T)100 = ________.

解: T =13(1, 1) =1133, T = (1, 1)13= 2, (T)100 = (T)(T)(T)...(T)(T) = T(T)(T)... (T) = T(2)99 = 299T

=99999999223232. 2. 矩阵A =1234的逆矩阵A1 = ________. 解: (法一) |A| = 14  23 = 4  6 = 2. A* =4231, A1 =1||AA* =213/21/2



.

(法二) (A, E) =1001132()34103110212 

122100(1)312



12213/21/2()1001. 由此可得A1 =213/21/2.

3. 若33矩阵A = (, , )的行列式等于2, 矩阵B = (, , ), 则矩阵A + B的行列式|A+B| = ______. 解: |A+B| = |( +,  +,  +)| = |(,  +,  +)| + |(,  +,  +)|

= |(,  +, )| + |(, ,  +)| = |(, , )| + |(, , )| = |A|  |(, , )| = |A| + |(, , )| = |A| + |A| = 2 + 2 = 4. 4. 齐次线性方程组3x + 2y  5z = 0的一个基础解系是____________________________.

解: 依次取yz=10, 01得xyz=2/310, 5/301, 于是该方程组的一个基础解系为: 1 = (2/3, 1, 0)T, 2 = (5/3, 0, 1)T.

注: 本题答案不唯一, 比如还可以取1 = (2, 3, 0)T, 2 = (5, 0, 3)T.

99个T 100个T (1) (1) (1) (1) 5. 向量组1 = (1, 2, 3, 4)T, 2 = (2, 1, 1, 0)T, 3 = (1, 3, 2, 4)T, 4 = (3, 1, 4, 1)T的一个极大线性无关组是__________________________________________________________.

解: (1, 2, 3, 4) =1213213131244041(2)(3)(4)1512130555055508)1(81





 121301110555088115812130111000000031213011100030000



.

由此可见该向量组的一个极大线性无关组是1, 2, 4. 注: 本题答案不唯一, 比如还可以取1, 3, 4; 也可以取2, 3, 4. 但1,

2, 3线性相关取, 因此1, 2, 3不是该向量组的极大线性无关组.

6. 若矩阵12ab, 2001合同, 则参数a, b满足条件____________________________. 解: 记A =12ab, B =2001. 若A与B合同, 则存在可逆矩阵P使得PTBP = A, 又因为BT = B, 故AT = (PTBP)T = PTBT(PT)T = PTBP = A, 可见A是对称矩阵, 故a = 2. 再由A与B合同可知A与B有相同的秩和正惯性指数, 而B的秩和正惯性指数分别为2和1, 因此A的秩和正惯性指数也分别为2和1, 于是A的两个特征值1和2一个是正的一个是负的, 从而|A| = 12 < 0.

由于a = 2, 所以|A| = 122b= b  4. 因而b < 4.

二. (12%)选择题.

1. 假设A, B是同阶方阵, 数k  0, 则正确的命题是( ). (A) |A + B| = |A| + |B|; (B) |kA| = k|A|; (C) r(A + B) = r(A) + r(B); (D) r(kA) = r(A).

解: ① 取A =1001, B =1000, 则|A| = 1, |B| = 0, |A + B| =2001= 2, 而|A| + |B| = 1; ② 取A =1001, k = 2, 则|A| = 1, |kA| =2002= 4, 而k|A| = 2;

③ 取A =1001, B =1000, 则r(A) = 2, r(B) = 1, r(A+B) = 2, 而r(A) + r(B) = 3; ④ 设r(A) = r, 即A的最高阶非零子式的阶数为r, 取其中的一个r阶非零子式记为D =11121212222rrrrrrriiiiiiiiiiiiiiiiiiaaaaaaaaa, 则kA中有一个与之对应的r阶子式11121212222rrrrrrriiiiiiiiiiiiiiiiiikakakakakakakakaka= krD  0, 可见r(kA)  r = r(A). 类似地, 可以证明r(A)  r(kA). 因此r(A) = r(kA). (换一个角度) k  0  kA是由A经过各行乘以非零的数k得到的 kA与A等价 r(kA) = r(A). (再换一个角度) k  0  kE可逆  r(kA) = r((kE)A) = r(A). 故选D.

2. 假设矩阵A =1302, 则不与A相似的矩阵为( ). (A) 1032; (B) 1002; (C) 2031; (D) 0132. 解: 1302, 1032以及2031都是2阶方阵而且都有两个不同的特征值1和2, 可见它们都与1002相似, 因此1032, 1002, 2031都与A相似. 又因为相似的矩阵具有相同的行列式, |A| = 2, 而0132= 3, 可见0132



不与A相似.

(换一个角度) 因为相似的矩阵具有相同的迹, tr(A) = 1+2 = 3, tr0132= 0+2 = 2, 可见0132不与A相似. (再换一个角度) 因为相似的矩阵具有相同的特征值, A的两个特征值分别为1和2, 而0132的两个特征值分别为1和3, 可见0132不与A相似. 故选D.

3. 假设A, B都是非零矩阵且AB = O, 则正确的命题是( ). (A) A的行向量组线性相关; (B) B的行向量组线性相关; (C) A, B的行向量组都线性相关; (D) A, B的列向量组都线性相关.

解: ① 取A =100010, B =001, 则A, B都是非零矩阵且AB = O, 但A的行向量组线性无关; ② 取A = (0, 0, 1), B =100100, 则A, B都是非零矩阵且AB = O, 但B的列向量组线性无关; ③ 设A为lm矩阵, B为mn矩阵, B的行向量依次记为1, 2, …, m, 由于A都是非零矩阵, 故可取A的一个非零行(ai1, ai2, …, aim). 由AB = O可知 ai11 + ai22 + … + aimm = 0, 这就是说, 存在一组不全为零的数ai1, ai2, …, aim使得ai11 + ai22 + … + aimm = 0, 可见1, 2, …, m线性相关. (换一个角度) AB = O  BTAT = (AB)T = OT = O  BTx = 0有非零解  r(BT) < m  BT的列向量组线性相关  B的行向量组线性相关. (再换一个角度) AB = O mnnsAB r(B) nrA, 1rA

 r(B) 1nrAnn,  B的行向量组线性相关. 故选B.

三. (16%)设线性方程组1232123123424xxkxxkxxkxxx 1. 参数k取何值时, 线性方程组有唯一解? k取何值时, 方程组没有解? 2. 当k取何值时, 方程组有无穷多组解? 当方程组有无穷多组解时, 求其通解.

解: 244111111112()kkk241148011022kkkkk

21248110204)21(1kkkkk

222444(1)(11101011)kkkkkk2222(3)210010004(4)kkkkkk 由此可见, 当k  0且k  3时, 该方程组有唯一解; 当k = 3时, 该方程组无解;

当k = 0时, 该方程组有无穷多组解, 此时2222(3)210010004(4)kkkkkk=041001011000

.