浙教版八年级数学上册课件：2.7探索勾股定理
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2.7探索勾股定理课件-2024-2025学年浙教版八年级数学上册
用面积相等推理证明勾股定理，体会数形结合的数学思想方法；
3.通过构建模型等,应用勾股定理知识解决简单的生活实际问题，丰富数学活动经
验,发展推理能力及分析问题、解决问题的能力.
任务一 从特殊到一般，猜想直角三角形三边之间的关系
相传 2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家
用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。现在，让我们
为什么?
2.如图,学校有一个长方形花园,有极少数
人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内
走出了一条“路”.他们仅仅少走了几步
路(假设2步为1 m)却踩伤了花草?
课堂小结
本节课你在探索勾股定理的过程中，你有哪些收获（惑）？
（知识方面、思想方法、推理论证、问题解决等）
课外实验探究
实践作业1 尝试用正方形纸片折“2002年国际数学家
从特殊到一般
推理
猜想
任务二 数形结合，推理论证直角三角形三边之间的关系
问题3：如何推理论证上面的猜想？
活动要求：利用手中的卡片，通过割、补、拼、画等方式推理证明勾股定理，尽
可能用不同方法，有困难同学可小组合作探究，时间10分钟。
画出图形：
验证猜想：
任务二 从特殊到一般，探寻一般直角三角形三边之间的关系
一同回到 2500 年前，探寻一下地砖理到底藏着什么秘密？
A
C
B
任务一 从特殊到一般，猜想直角三角形三边之间的关系
问题1：情境中的等腰直角三角形，三边长之间具有怎样的数量关系？
从特殊到一般
任务一 从特殊到一般，猜想直角三角形三边之间的关系
问题2：等腰三角形是特殊的直角三角形，类比上面的探究方法（数格子），
2.如图,由于台风的影响,一棵树在离地面6m处齐刷刷折断,树顶落在离树干
3.通过构建模型等,应用勾股定理知识解决简单的生活实际问题，丰富数学活动经
验,发展推理能力及分析问题、解决问题的能力.
任务一 从特殊到一般，猜想直角三角形三边之间的关系
相传 2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家
用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。现在，让我们
为什么?
2.如图,学校有一个长方形花园,有极少数
人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内
走出了一条“路”.他们仅仅少走了几步
路(假设2步为1 m)却踩伤了花草?
课堂小结
本节课你在探索勾股定理的过程中，你有哪些收获（惑）？
（知识方面、思想方法、推理论证、问题解决等）
课外实验探究
实践作业1 尝试用正方形纸片折“2002年国际数学家
从特殊到一般
推理
猜想
任务二 数形结合，推理论证直角三角形三边之间的关系
问题3：如何推理论证上面的猜想？
活动要求：利用手中的卡片，通过割、补、拼、画等方式推理证明勾股定理，尽
可能用不同方法，有困难同学可小组合作探究，时间10分钟。
画出图形：
验证猜想：
任务二 从特殊到一般，探寻一般直角三角形三边之间的关系
一同回到 2500 年前，探寻一下地砖理到底藏着什么秘密？
A
C
B
任务一 从特殊到一般，猜想直角三角形三边之间的关系
问题1：情境中的等腰直角三角形，三边长之间具有怎样的数量关系？
从特殊到一般
任务一 从特殊到一般，猜想直角三角形三边之间的关系
问题2：等腰三角形是特殊的直角三角形，类比上面的探究方法（数格子），
2.如图,由于台风的影响,一棵树在离地面6m处齐刷刷折断,树顶落在离树干
浙教版八级数学上册27 探索勾股定理 课件(共23张PPT)
x 2
1
17
15
b
初中数学
应用知y识=回0 归生活
2、直角三角形中两条直角边之比为3：4，且 斜边为10cm，求（1）两直角边的长;（2）斜 边上的高线长.
5 3、利用作直角三角形，在数轴上表示点
初中数学
应用知y识=回0 归生活
4、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸 求两孔中心A、B之间的距离
数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法，培养学生的观 察力、抽象概括能力、创造想象能力以及科学探究问题的能力
情感目标:
（1）通过实践、猜想、拼图、证明等操作使学生深刻感受 数学知识的发生发展过程。 （2）介绍我国古代在勾股定理研究方面取得的成就，激发学生的爱 国情感
初中数学
教学重y=点0 和难点
证明结y论=得0 到定理
a bc
b ca
ac b
cb a
动动手 初中数学
证明结y论=得0 到定理
a
bc
面积c
a
a
面积 （ ab2)
c
面积4•1a 2
b
S大正 S 方 4个形 三 S 角 小形 正方形
（ ab2)-4•1ab c2 即a2+b2=c2
2
初中数学
证明结y论=得0 到定理 勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么
定理在生产、生活中也有很大的用途。
初中数学
教学y目=标0
知识目标：
教 （1）知道勾股定理的由来，初步理解割补拼接的面积证法。 材 （2）掌握勾股定理，通过动手实践理解勾股定理的证明过程
（3） 能利用勾股定理进行简单的几何计算
分 能力目标： 析 在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验 证”的
浙教版八年级数学上册 2.7《探索勾股定理》 课件 (共19张PPT)
2021/4/18
10
b
cb a
ac b
c ba c
a
b
毕达哥拉斯证法
c aa
b
cb a
总统证明法
2021/4/18
11
例1、已知在ABC中，C Rt, BC a, AC b, AB c. (1)若a 1,b 2,求c; (2)若a 5,c 7,求b.
变式：（3）若c=26,a:b=5:12,求a,b
3、根据所测得的结果填写下表：
a
b
c
a2+b2
c2
3
4
5
25
25
6
8
10
100
100
5
12
13
169
169
a b c 验证结果：结论 2 2 2 正确 2021/4/18
5
c a
c a
b
b
c a
c a
2021/4/18
b
b
6
正方形的面积可以表示为
c2 ；
也可以表示为 c
a b
4 ab (b a)2 2
A
A'
2021/4/18
C
B
B'
17
美丽的“勾股”树
2021/4/18
S5
S S4
3
S6
S7
S2
S1
11
18
布置作业：1、完成作业本2.7.1 2、上网查找勾股定理
小故事
同学们再见
2021/4/18
19
∵ c2 = 4 ab (b a)2
2
=2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2
探索勾股定理---同步课件浙教版数学八年级上册
A
(2)若a=15,c=17,求b;
解 (1)∵a∶b＝2∶1，∴a＝2b. 又∵∠C＝90°，c＝5，
b
c
∴由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，解得b＝ 5.
C
a
B
例2 如图是长方形零件图，根据所给的尺寸（单位：mm), 求两孔中心A，B之间的距离.
解 过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，
a b-a
证明
S大正方形＝c2
S小正方形＝(b-a)2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
即 c2=4×12 ab+(b-a)2, c2=2ab+a2-2ab+b2
所以 a2+b2=c2
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示
的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理.
3.如图，以△ABC的每一条边为边作三个正方形。已知这三 个正方形构成的图形中，灰色部分的面积与蓝色部分的面积 相等，则△ABC是直角三角形吗？请说明理由。
C
A
B
2.5
6
6.5 6.25，36，42.25 6.25+36=42.25
a
b
c a2, b2, c2来自a2 b2 c25.猜想： 如果三角形中有两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形 .
Rt
获取新知
如果三角形中 较有短两两边边的的平平方方和和 等于第最三长边边的的平平方方， 那么这个三角形是直角三角形. 最长边所对的角是直角
大正方形的面积可以表示为(a+b)2 ; 也可以表示为c2 +4•ab/.2 ∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2
(2)若a=15,c=17,求b;
解 (1)∵a∶b＝2∶1，∴a＝2b. 又∵∠C＝90°，c＝5，
b
c
∴由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，解得b＝ 5.
C
a
B
例2 如图是长方形零件图，根据所给的尺寸（单位：mm), 求两孔中心A，B之间的距离.
解 过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，
a b-a
证明
S大正方形＝c2
S小正方形＝(b-a)2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
即 c2=4×12 ab+(b-a)2, c2=2ab+a2-2ab+b2
所以 a2+b2=c2
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示
的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理.
3.如图，以△ABC的每一条边为边作三个正方形。已知这三 个正方形构成的图形中，灰色部分的面积与蓝色部分的面积 相等，则△ABC是直角三角形吗？请说明理由。
C
A
B
2.5
6
6.5 6.25，36，42.25 6.25+36=42.25
a
b
c a2, b2, c2来自a2 b2 c25.猜想： 如果三角形中有两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形 .
Rt
获取新知
如果三角形中 较有短两两边边的的平平方方和和 等于第最三长边边的的平平方方， 那么这个三角形是直角三角形. 最长边所对的角是直角
大正方形的面积可以表示为(a+b)2 ; 也可以表示为c2 +4•ab/.2 ∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2
浙教版八年级数学上册课件：2.7 探索勾股定理 (共11张PPT)
坚持做好每个学习步骤
合作探究
探究一：利用勾股定理求边长
已知直角三角形的两边长分别为3、4， 求第三边长的平方． 解：（1）当两直角边为3和4时，第三边 长的平方为25；
（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三 边长的平方为7．
合作探究
探究二：利用勾股定理求图形面积 1．求出下列各图中阴影部分的面积．
225
0.36 0.64 (1)
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
144
2 1
(2)
（3）
交流小结
课后作业
• 1.课本《复习题》． • 2.一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面 如图所示．正方形DEFH的边长为2 m，坡 角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6 m．当 正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝ m时，有DC2＝AE2＋BC2．
语文
小魔方站作品 盗版必究
教学课件
数学 八年级上册 浙教版
第2章 特殊三角形
2.7 探索勾股定理
情境引入
勾股定理，我们把它称为世界第一定理． 首先，勾股定理是数形结合的最典型的代 表； 其次，正是由于勾股定理得发现，导致无 理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一 点，我们将在《实数》一章里讲到； 第三，勾股定理中的公式是第一个不定方 程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完 整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是 费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将 它证明．
探索勾股定理课件浙教版数学八年级上册
2.7 探索勾股定理（1)
预学展示
A
L M
C
B
N
图1-1
观察
(1) ΔABC的形状
(2)正方形M面积是 AC2=16 个单位面积。
正方形N的面积是
BC2=9
个单位面积。
正方形L的面积是
个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
A
L M
C
B
N
图1-1
1
L的面积=7×7-4× 2 ×3×4=25
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为
c，那么 a2 b2 c2
a
c
b
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
知识链接
勾 股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部 分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者 把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的 直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
3.勾股定理的应用： 建立模型，借助方程
灵活运用
如图图中数字所表示的正方形的面积，
则正方形B所表示的面积为 144 .
81
a
c bB 225
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为____4_9______cm2。
例题讲解
已知在ABC中，C Rt, BC a, AC b, AB c.
(1)若a 1,b 2,求c; (2)若a 15,c 17,求b.
解（1）根据勾股定理，得 c2 a2 b2 12 22 5.
c＞0，c 5.
预学展示
A
L M
C
B
N
图1-1
观察
(1) ΔABC的形状
(2)正方形M面积是 AC2=16 个单位面积。
正方形N的面积是
BC2=9
个单位面积。
正方形L的面积是
个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
A
L M
C
B
N
图1-1
1
L的面积=7×7-4× 2 ×3×4=25
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为
c，那么 a2 b2 c2
a
c
b
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
知识链接
勾 股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部 分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者 把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的 直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
3.勾股定理的应用： 建立模型，借助方程
灵活运用
如图图中数字所表示的正方形的面积，
则正方形B所表示的面积为 144 .
81
a
c bB 225
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为____4_9______cm2。
例题讲解
已知在ABC中，C Rt, BC a, AC b, AB c.
(1)若a 1,b 2,求c; (2)若a 15,c 17,求b.
解（1）根据勾股定理，得 c2 a2 b2 12 22 5.
c＞0，c 5.
浙教版数学八上2.7《探索勾股定理》课件
2
（3）总统”证法， 1876年美国总统Garfield （伽菲尔德）的证明
C D a A c b c b a
E
B
你能根据前面的面积法来证明勾股定理吗？
1 1 2 1 2 ( a b) c 2 ab 2 2 2
四、勾股定理的应用
例1：已知ΔABC中，∠C=Rt∠，BC=a，
AC=b，AB=c。
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中 .
C b
c F
（1）你能利用三角尺 摆出右边的图形
H c
b A a
c E b
a B
你能再用这个图形来证明勾股定理吗？
( a b)
2
1 c 4 ab 2
2
D
（2）利用再次三角尺摆出 右边的图形
A
c a
b G H F E C
你能用这个图形来证明勾股定理 吗？
B
1 2 c 4 ab (b a ) 2
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 2。 49 正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm
C D
B
A
7cm
例题
1、 受台风“菲特”影响，路旁一棵树在
（3）总统”证法， 1876年美国总统Garfield （伽菲尔德）的证明
C D a A c b c b a
E
B
你能根据前面的面积法来证明勾股定理吗？
1 1 2 1 2 ( a b) c 2 ab 2 2 2
四、勾股定理的应用
例1：已知ΔABC中，∠C=Rt∠，BC=a，
AC=b，AB=c。
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中 .
C b
c F
（1）你能利用三角尺 摆出右边的图形
H c
b A a
c E b
a B
你能再用这个图形来证明勾股定理吗？
( a b)
2
1 c 4 ab 2
2
D
（2）利用再次三角尺摆出 右边的图形
A
c a
b G H F E C
你能用这个图形来证明勾股定理 吗？
B
1 2 c 4 ab (b a ) 2
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 2。 49 正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm
C D
B
A
7cm
例题
1、 受台风“菲特”影响，路旁一棵树在
浙教版-数学-八年级上册2.7探索勾股定理 教学课件
A的面积
B的面积
C的面积
（单位面积） （单位面积） （单位面积）
图1-1
16
图1-2
4
9
25
9
13
形成新知 勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
a2 b2 c2
ac
b
即 直角三角形两直角边的平方和
等于斜边的平方。
在西方又称毕达 哥拉斯定理！
相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了
勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 定理。
解决问题
受台风影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的 顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
4米
3米
例1、
1、如图：在Rt△ABC中, ∠C=90° 已知c ＝13，a＝5，求b的值.
勾股定理的主要作用是 ： 在直角三角形中,已
勾
弦
股
读一读
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年
前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三 角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即 “勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学 著作《周髀算经》中。在这本书中的另一处，还记载了勾 股定理的一般形式。
1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥 板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三 边的数，其年代远在商高之前。
BC=160-40=120(mm).
90
∵ ∠C =90。
∴ AB2=AC2+BC2 =502+1202
40 A
C 160
B 40
=16900(mm2) 温馨提示：在实际问题中，要
浙教版数学八上2.7探索勾股定理(1) 课件(共23张PPT)
C
A
A
a
图1
a
C
B
图2
合作学习
大正方形的面积:c²
小正方形面积:（b-a）²
阴影部分面积:4× ab
1
2
它们之间的关系是： c 4 ab (b a )
2
2
化简得： a2+b2=c2
直角三角形三边有下面的关系：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
讲解新知
勾股定理： 直角形三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
2.勾股定理
3.勾股定理的应用
等，则E站应建在距A站______km处．
10
即时演练
解：∵C、D两村到E站距离相等，∴CE=DE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，
∴AD2+AE2=BE2+BC2．
设AE为x，则BE=25-x，
将BC=10，DA=15代入关系式为x2+152=（25-x）2+102，
A
∴AB=130（mm）
答：两孔中心A,B之间的距离
90
B
C
40
为130mm
160
即时演练
m
铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25km，C、D为
两村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B（如
图），已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建
设一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相
∴S△ABC= ×BC×AC=6，
∴AC=4（cm）．
∵BC2+AC2=AB2，
浙教版初中数学八年级上册探索勾股定理课件(1)
B A
C D
7cm
议一议
以直角三 角形三边为边 作等边三角形, 这3个等边三 角形的面积之 间有什么关系？
例1：如图，你能计算出下列直角三角形中未知
边的长吗？
5x
1
2 1
0
2
2
5
3 -1x3
0
解:由勾股定理得 x²=1²+2²=5
小∵结x>：0 利用勾股定理可以解决直角三角形的边长。
∴x= 5
2.7 探索勾股定理 (1)
C
（1）图1中正方形A的面积
A
是 16 个单位面积。
(2) 正方形B的面积是
B
9 个单位面积。
图1 (3)正方形C的面积是
25 个单位面积。
探索1 你能发现图1中三个正方形A，B，C的面 积之间有什么关系吗？
结论1 SA+SB=SC
即：两条直角边上的 正方形面积之和等于斜 边上的正方形的面积。
由勾股定理，得
C 120
B
40
AB2 AC 2 BC 2
160
502 1202 16900(mm2 )
构造直角三角形
∵AB﹥0， ∴AB=130(mm)
可以解决实际问题。
答：两孔中心A、B之间的距离为130mm。
1.小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的
绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5
(5)直角三角形的两条边为3和4，则斜边上的高
是 12 或 3 7 。
5
4
例2：一个长方形零件图,根据所给的尺寸(单位 mm),求两孔中心A、B之间的距离.
解：过A作铅垂线，
过B作水平线， 两线交于点C， 则∠ACB=90°
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交流小结
课后作业
• 1.课本《复习题》．
• 2.一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面 如图所示．正方形DEFH的边长为2 m，坡 角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6 m．当 正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝ m时，有DC2＝AE2＋BC2．
合作交流
6．直角三角形的边、角之间分别存在着什 么关系？ （教师引导，小组讨论、总结）
7．举例说明，如何判断一个三角形是直 角三角形． （教师引导，小组讨论、总结）
合作交流
8．通过回顾与思考中的问题的交流，由同 学们自己建立本章的知识结构图．
（小组内展示自己总结的知识框图，相 互交流完善知识框图；每个小组选取一名代 表，展示本组的知识框图．）
知识要点
1．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为c，那么__________ . 2．勾股定理各种表达式： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对 边也分别为a，b，c，则c=_________， b=_________，a=_________.
知识要点
3．勾股定理的逆定理： 在△ABC中，若a、b、c三边满足___________， 则△ABC为___________. 4．勾股数： 满足________的三个________，称为勾股数. 5．几何体上的最短路程是将立体图形的 ________展开，转化为_________上的路程问 题，再利用___________两点之间， ___________,解决最短线路问题.
教学课件
数学 八年级上册 浙教版
第2章 特殊三角形
2.7 探索勾股定理
情境引入
勾股定理，我们把它称为世界第一定理． 首先，勾股定理是数形结合的最典型的代 表； 其次，正是由于勾股定理得发现，导致无 理数的发现，引ห้องสมุดไป่ตู้了数学的第一次危机，这一 点，我们将在《实数》一章里讲到； 第三，勾股定理中的公式是第一个不定方 程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完 整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是 费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将 它证明．
合作探究
探究一：利用勾股定理求边长
已知直角三角形的两边长分别为3、4， 求第三边长的平方．
解：（1）当两直角边为3和4时，第三边 长的平方为25；
（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三 边长的平方为7．
合作探究
探究二：利用勾股定理求图形面积 1．求出下列各图中阴影部分的面积．
0.36 0.64 (1)