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2019-2020学年高三数学复习 20 两角和与差的三角函数学案.doc
2019-2020学年高三数学复习 20 两角和与差的三角函数学案 导学提纲 你知道本节考纲的具体要求是什么？重点是什么？
一．自主梳理
1.写出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并掌握其证明过程。
2.掌握辅助角公式推导过程并灵活应用：
3.写出二倍角公式、降幂公式、半角公式，并找出它们之间的联系。
4.指出sin cos αα±、sin cos αα⋅之间的关系。
二．点击高考
1.[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )
A ．－45
B ．－35 C.35 D.45 2. [2011·福建卷] 若tan α＝3，则sin2αcos 2α
的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
3. [2011·浙江] 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33
，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋β2＝ A.33 B ．－33 C.539 D ．69
4. [2011·辽宁卷] 设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13
，则sin2θ＝( ) A ．－79 B ．－19 C.19 D.79
5. [2011·全国卷] 已知α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan2α＝________. 6. [2011·江苏卷] 已知tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2, 则tan x tan2x 的值为________． 课堂问题导学
课堂总结。
2025届高考数学一轮复习教案：三角函数-任意角和弧度制及三角函数的概念
第一节任意角和弧度制及三角函数的概念【课程标准】1.了解任意角的概念和弧度制;2.能进行弧度与角度的互化;3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查扇形的弧长、面积、三角函数的定义;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)分类按旋转方向正角、负角、零角按终边位置象限角和轴线角(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为__-α__.(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.(2)公式角α的弧度数公式|α|=l r(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°=180rad;1rad=(180)°弧长公式弧长l=|α|r扇形面积公式S=12lr=12|α|r23.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义(推广):设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sinα=, cosα=,tanα=(x≠0).(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(3)三角函数的定义域三角函数sinαcosαtanα定义域R R{α|α≠kπ+π2,k∈Z}【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.-π3是第三象限角B.若角α的终边过点P(-3,4),则cosα=-35C.若sinα>0,则α是第一或第二象限角D.若圆心角为π3的扇形的弧长为π,则该扇形面积为3π2【解析】选BD.因为-π3是第四象限角,所以选项A错误;由三角函数的定义可知,选项B正确;由sinα>0可知,α是第一或第二象限角或终边在y轴的非负半轴上,所以选项C错误;由扇形的面积公式可知,选项D正确.2.(必修第一册P175练习T1改题型)-660°等于()A.-133πB.-256πC.-113πD.-236π【解析】选C.-660°=-660×π180=-113π.3.(必修第一册P176习题T2改条件)下列与角11π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ+135°(k∈Z)B.k·360°+11π4(k∈Z)C.k·360°+135°(k∈Z)D.kπ+3π4(k∈Z)【解析】选C.与11π4的终边相同的角可以写成2kπ+3π4(k∈Z)或k·360°+135°(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,排除A,B,易知D错误,C正确.4.(忽视隐含条件)设α是第二象限角,P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,则x=()A.-3B.-4C.-6D.-10【解析】选C.因为P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,所以sinα=45,解得x=±6,因为α是第二象限角,所以x=-6.【巧记结论·速算】α所在象限与2所在象限的关系α所在象限一二三四α2所在象限一、三一、三二、四二、四【即时练】设θ是第三象限角,且|cos2|=-cos2,则2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.因为θ是第三象限角,所以2的终边落在第二、四象限,又|cos2|= -cos2,所以cos2<0,所以2是第二象限角.【核心考点·分类突破】考点一象限角及终边相同的角[例1](1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角,则()A.-α是第一象限角B.2是第三象限角C.3π2+α是第二象限角D.2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上【解析】选D.因为α是第二象限角,可得π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,对于A,可得-π-2kπ<-α<-π2-2kπ,k∈Z,此时-α位于第三象限,所以A错误;对于B,可得π4+kπ<2<π2+kπ,k∈Z,当k为偶数时,2位于第一象限;当k为奇数时,2位于第三象限,所以B错误;对于C,可得2π+2kπ<3π2+α<5π2+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<3π2+α<π2+2(k+1)π,k∈Z,所以3π2+α位于第一象限,所以C错误;对于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上,所以D正确.(2)在-720°~0°内所有与45°终边相同的角为-675°和-315°.【解析】所有与45°终边相同的角可表示为β=45°+k×360°(k∈Z),当k=-1时,β=45°-360°=-315°,当k=-2时,β=45°-2×360°=-675°.【解题技法】1.知α确定kα,(k∈N*)的终边位置的步骤(1)写出kα或的范围;(2)根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置.2.求适合某些条件的角的方法(1)写出与这个角的终边相同的角的集合;(2)依据题设条件,确定参数k的值,得出结论.【对点训练】已知角θ在第二象限,且|sin2|=-sin2,则角2在()A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为角θ是第二象限角,所以θ∈(π2+2kπ,π+2kπ),k∈Z,所以2∈(π4+kπ,π2+kπ),k∈Z,所以角2在第一或第三象限.又|sin2|=-sin2,所以sin2<0,所以角2在第三象限.考点二弧度制及其应用[例2]已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.(1)若α=π3,R=10cm,求扇形的弧长l.(2)(一题多法)若扇形的周长是16cm,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大?(3)若α=π3,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.【解析】(1)因为α=π3,R=10cm,所以l=|α|R=π3×10=10π3(cm).(2)方法一:由题意知2R+l=16,所以l=16-2R(0<R<8),则S=12lR=12(16-2R)R=-R2+8R=-(R-4)2+16,当R=4cm时,S max=16cm2,l=16-2×4=8(cm),α==2,所以S的最大值是16cm2,此时扇形的半径是4cm,圆心角α=2rad.方法二:S=12lR=14l·2R≤14·(r22)2=16,当且仅当l=2R,即R=4cm时,S的最大值是16cm2.此时扇形的圆心角α=2rad.(3)设弓形面积为S弓形,由题意知l=2π3cm,所以S弓形=12×2π3×2-12×22×sinπ3=(2π3-3)cm2.【解题技法】应用弧度制解决问题时的注意事项(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为基本不等式或二次函数的最值问题.(3)在解决弧长和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.【对点训练】若扇形的周长是16cm,圆心角是360π度,则扇形的面积(单位cm2)是16.【解析】设扇形的半径为r cm,圆心角弧度数为α=360π·π180=2,所以αr+2r=16即4r=16,所以r=4,所以S=12αr2=12×2×16=16.答案:【加练备选】已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2,求:(1)扇形的半径;(2)扇形圆心角的弧度数.【解析】设扇形的弧长为l,半径为r,面积为S,圆心角为α.(1)由题意得S=12lr=12×60r=240,解得r=8(cm),即扇形的半径为8cm.(2)α==608=152,所以扇形圆心角的弧度数为152rad.考点三三角函数的定义及应用【考情提示】三角函数的定义主要考查利用定义求三角函数值及三角函数值符号的应用,常与三角函数求值相结合命题,题目多以选择题、填空题形式出现.角度1利用定义求三角函数值[例3](1)已知角α的终边经过点P(2,-3),则sinα=-31313,tanα=-32.【解析】因为x=2,y=-3,所以点P到原点的距离r=22+(-3)2=13.则sinα===-31313,tanα==-32.(2)若角60°的终边上有一点A(4,a),则a=43.【解析】由题设知:tan60°=4=3,即a=43.角度2三角函数值的符号[例4](1)若sinαtanα<0,且cos tan>0,则角α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.由sinαtanα<0,知α是第二象限或第三象限角,由cos tan>0,知α是第一象限或第二象限角,所以角α是第二象限角.(2)sin2cos3tan4的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在【解析】选A.因为π2<2<3<π<4<3π2,所以sin2>0,cos3<0,tan4>0.所以sin2cos3tan4<0.【解题技法】与三角函数定义有关的解题策略(1)利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P的坐标,可以求出α的三角函数值;已知角α的三角函数值,也可以求出点P的坐标.(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.【对点训练】1.(多选题)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是()A.tan A与cos BB.cos B与sin CC.tan2与cos2D.tan2与sin C【解析】选CD.因为A,B的范围不确定,所以A选项不满足条件;cos B与sin C都有意义,但cos B不一定为正值,故B选项不满足条件;因为B,C∈(0,π),所以2,2∈(0,π2),所以C选项满足条件;因为0<A<π,所以0<2<π2,所以tan2>0,又因为0<C<π,所以sin C>0,故D选项满足条件.2.已知角θ的终边经过点(2a+1,a-2),且cosθ=35,则实数a的值是()A.-2B.211C.-2或211D.1【解析】选B.由题设可知=35且2a+1>0,即a>-12,所以42+4r152+5=925,则11a2+20a-4=0,解得a=-2或a=211,又a>-12,所以a=211.【加练备选】已知角α的终边上一点P的坐标为(sin5π6,cos5π6),则角α的最小正值为5π3.【解析】因为sin5π6>0,cos5π6<0,所以角α的终边在第四象限,根据三角函数的定义,可知sinα=cos5π6=-32,故角α的最小正值为α=2π-π3=5π3.。
高三数学总复习 专题二三角函数教学案_
芯衣州星海市涌泉学校赣榆县智贤中学高三数学总复习专题二第1讲三角函数〔2〕教学案教学内容：三角函数的图象与性质〔2〕复备栏教学目的：1三角函数的图象与解析式2.利用三角函数的图象与解析式教学重点：1.求三角函数的解析式；教学难点：三角函数的图象与解析式教学过程：一、根底训练：1．ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，那么ω的取值范围是________．解析：由<x<π，ω>0得＋<ωx＋<ωπ＋，又y＝sinx在上递减，所以解得≤ω≤.答案：2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0≤φ<2π)在R上的部分图象如下列图，那么f(2015)的值是________．解析：由图知A＝5，T＝12，从而ω＝，φ＝，解析式为f(x)＝5sin(x＋)，故f(2015)＝f(11)＝0.答案：03．(2021·二模)假设函数y＝3sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，那么φ＝________.解析：由题意得sin＝0，所以π＋φ＝kπ(k∈Z)．又因为0<φ<π，所以φ＝.答案：4．将函数y＝sin的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度得到的图象对应的函数为f(x)．假设f(x)为奇函数，那么φ的最小值为________．解析：函数左移φ个单位得y＝sin[2(x＋φ)－]＝sin＝f(x)，又f(x)是奇函数，那么0＋2φ－＝kπ，k∈Z，解得φ＝＋π(k∈Z)，所以φmin＝.答案：二、例题教学：例1、〔1〕函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如下列图，记(k)＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，那么(n)的值是__________.解析：由图象可解得f(x)＝2sin(x)，(n)＝2(sin＋sin＋…＋sin)＝2＋2.答案：2＋2〔2〕角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)图象上的任意两点，当|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，那么f＝________. 解析：当|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为＝，所以·＝，所以ω＝3.又因为角φ的终边经过点P(1，－1)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)，所以f(x)＝sin，所以f＝sin＝sinπ＝－.答案：－例2、函数f(x)＝4sinxcos＋.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值及获得最值时x的值．解：(1)f(x)＝4sinx＋＝2sinxcosx－2sin2x＋＝sin2x＋cos2x＝2sin，所以T＝＝π(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，所以－≤sin≤1，所以－1≤f(x)≤2，当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－1，当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2.变式训练：1、(2021·模拟)函数f(x)＝cos＋2sin2x，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期及对称轴方程；(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值．解：(1)f(x)＝cos＋2sin2x＝cos2x＋sin2x＋1－cos2x＝sin2x－cos2x＋1＝sin＋1.所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，由2x－＝kπ＋，得对称轴方程为x＝＋，k∈Z.(2)当x∈时，－≤2x－≤，所以当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝2；当2x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝.三、稳固练习：完成专题强化训练的练习。
高三总复习 三角函数教案资料
高三数学 三角函数及正余弦定理一、构建知识体系，考点热点一网打尽1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质：函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R { xx ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z值域[－1,1][－1,1]R单调性)22,22[ππππk k ++-(k ∈Z )上递增；)223,22[ππππk k ++(k ∈Z )上递减[2k π－π，2k π](k ∈Z )上递增；[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上递减)2,2[ππππk k ++-(k ∈Z )上递增最值x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1奇偶性 奇函数偶函数奇函数对称 中心 (k π，0)(k ∈Z )⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0 (k ∈Z )⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )对称轴 方程 x ＝π2＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z )周期2π2ππ注：（1）.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内． 注意区分下列两种形式的函数单调性的不同：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－ωx . （2）．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个x 值都满足f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是不为零的常数．如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，或找到哪怕只有一个x 值不满足f (x ＋T )＝f (x )，都不能说T 是函数f (x )的周期． 2．周期函数 (1)周期函数的定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期。
高考高三数学总复习教案：任意角和弧度制及任意角的三角函数
第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第１课时任意角和弧度制及任意角的三角函数（对应学生用书（文）、（理）４0～４１页）页考情分析考点新知１了解任意角的概念；了解终边相同的角的意义.２了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化.３理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；初步了解有向线段的概念，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切．１能准确进行角度与弧度的互化.２准确理解任意角三角函数的定义，并能准确判断三角函数的符号.１．（必修４P１５练习6改编）若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定落在第________象限．答案：四解析：由sinθ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tanθ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限．２．角α终边过点（—１，２），则cosα＝________．答案：—错误!３．已知扇形的周长是6cm，面积是２cm２，则扇形的圆心角的弧度数是________．答案：１或４４．已知角α终边上一点P（—４a，３a）（a<0），则sinα＝________．答案：—错误!５．（必修４P１５练习２改编）已知角θ的终边经过点P（—x，—6），且cosθ＝—错误!，则sin θ＝____________，tanθ＝____________．答案：—错误!错误!解析：cosθ＝错误!＝—错误!，解得x＝错误!.sinθ＝错误!＝—错误!，tanθ＝错误!.１．任意角（１）角的概念的推广１按旋转方向不同分为正角、负角、零角．２按终边位置不同分为象限角和轴线角．（２）终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·３60°（k∈Z）．（３）弧度制１１弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做１弧度的角．２规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝错误!，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．３弧度与角度的换算：３60°＝２π弧度；１80°＝π弧度．４弧长公式：l＝|α|r．扇形面积公式：S扇形＝错误!lr＝错误!|α|r２．２．任意角的三角函数（１）任意角的三角函数定义设P（x，y）是角α终边上任一点，且|PO|＝r（r＞0），则有sinα＝错误!，cosα＝错误!，tanα＝错误!，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．（２）三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦．３．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为（cosα，sinα），即P （cosα，sinα），其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT．我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线[备课札记]题型１三角函数的定义例１α是第二象限角，P（x，错误!）为其终边上一点，且cosα＝错误!x，求sinα的值．解：∵ OP＝错误!，∴cosα＝错误!＝错误!x.又α是第二象限角，∴x<0，得x＝—错误!，∴sinα＝错误!＝错误!.错误!已知角α终边上一点P（—错误!，y），且sinα＝错误!y，求cosα和tanα的值．解：r２＝x２＋y２＝y２＋３，由sinα＝错误!＝错误!＝错误!y，∴y＝±错误!或y＝0．当y＝错误!即α是第二象限角时，cosα＝错误!＝—错误!，tanα＝—错误!；当y＝—错误!即α是第三象限角时，cosα＝错误!＝—错误!，tanα＝错误!；当y＝0时，P（—错误!，0），cosα＝—１，tanα＝0．题型２三角函数值的符号及判定例２（１）如果点P（sinθ·cosθ，２cosθ）位于第三象限，试判断角θ所在的象限；（２）若θ是第二象限角，试判断sin（cosθ）的符号．解：（１）因为点P（sinθ·cosθ，２cosθ）位于第三象限，所以sinθ·cosθ<0，２cosθ<0，即错误!所以θ为第二象限角．（２）∵ ２kπ＋错误!<θ<２kπ＋π（k∈Z），∴—１<cosθ<0，∴sin（cosθ）<0．∴ sin（cosθ）的符号是负号．错误!已知点P（tanα，cosα）在第二象限，则角α的终边在第________象限．答案：四解析：由题意，得tanα＜0且cosα＞0，所以角α的终边在第四象限．题型３弧长公式与扇形面积公式例３已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.（１）若α＝60°，R＝１0cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；（２）若扇形的周长是一定值C（C>0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：（１）设弧长为l，弓形面积为S弓．∵α＝60°＝错误!，R＝１0，∴l＝错误!π（cm）．S弓＝S扇—S△＝错误!×错误!π×１0—错误!×１0２·sin60°＝５0错误!cm２.（２）∵ 扇形周长C＝２R＋l＝２R＋αR，∴R＝错误!，∴S扇＝错误!α·R２＝错误!α错误!错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!≤错误!，当且仅当α＝错误!，即α＝２（α＝—２舍去）时，扇形面积有最大值错误!.错误!已知２rad的圆心角所对的弦长为２，求这个圆心角所对的弧长．解：如图，∠AOB＝２rad，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交错误!于Ｄ．∠AOD＝∠BOD＝１rad，且AC＝错误!AB＝１．在Rt△AOC中，AO＝错误!＝错误!，从而弧AB的长为l＝|α|·r＝错误!.１．若α角与错误!角终边相同，则在[0，２π]内终边与错误!角终边相同的角是________．答案：错误!，错误!，错误!，错误!解析：由题意，得α＝错误!＋２kπ（k∈Z），错误!＝错误!＋错误!（k∈Z）．又错误!∈[0，２π]，所以k＝0，１，２，３，错误!＝错误!，错误!，错误!，错误!.２．已知角α（0≤α≤２π）的终边过点P错误!，则α＝__________．答案：错误!解析：将点P的坐标化简得错误!，它是第四象限的点，r＝|OP|＝１，cosα＝错误!＝错误!.又0≤α≤２π，所以α＝错误!.３．已知扇形的周长为8 cm，则该扇形面积的最大值为________cm２.答案：４解析：设扇形半径为r cm，弧长为l cm，则２r＋l＝8，S＝错误!rl＝错误!r×（8—２r）＝—r２＋４r＝—（r—２）２＋４，所以S max＝４（cm２）．４．若角α的终边与直线y＝３x重合且sinα＜0，又P（m，n）是角α终边上一点，且|OP|＝错误!，则m—n＝________．答案：２解析：依题意知错误!解得m＝１，n＝３或m＝—１，n＝—３．又sinα＜0，∴α的终边在第三象限，∴n＜0，∴m＝—１，n＝—３，∴m—n＝２．１．设集合M＝错误!，N＝{α|—π＜α＜π}，则M∩N＝________．答案：错误!解析：由—π＜错误!—错误!＜π，得—错误!＜k＜错误!.∵k∈Z，∴k＝—１，0，１，２，故M∩N＝错误!.２．已知α＝错误!，回答下列问题．（１）写出所有与α终边相同的角；（２）写出在（—４π，２π）内与α终边相同的角；（３）若角β与α终边相同，则错误!是第几象限的角？解：（１）所有与α终边相同的角可表示为错误!.（２）由（１）令—４π＜２kπ＋错误!＜２π（k∈Z），则有—２—错误!＜k＜１—错误!.∵k∈Z，∴取k＝—２、—１、0．故在（—４π，２π）内与α终边相同的角是—错误!、—错误!、错误!.（３）由（１）有β＝２kπ＋错误!（k∈Z），则错误!＝kπ＋错误!（k∈Z）．∴错误!是第一、三象限的角．３．已知角α的终边经过点P（x，—２），且cos α＝错误!，求sin α和tan α.解：因为r＝|OP|＝错误!，所以由cos α＝错误!，得错误!＝错误!，解得x＝0或x＝±错误!. 当x＝0时，sin α＝—１，tan α不存在；当x＝错误!时，sin α＝—错误!，tan α＝—错误!；当x＝—错误!时，sin α＝—错误!，tan α＝错误!.４．已知在半径为１0的圆O中，弦AB的长为１0．（１）求弦AB所对的圆心角α的大小；（２）求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.解：（１）由圆O的半径r＝１0＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝错误!.（２）由（１）可知α＝错误!，r＝１0，∴弧长l＝α·r＝错误!×１0＝错误!，∴S扇形＝错误!lr＝错误!×错误!×１0＝错误!，而S△AOB＝错误!·AB·错误!＝错误!×１0×错误!＝错误!，∴S＝S扇形—S△AOB＝５0错误!.１．（１）要求适合某种条件且与已知角终边相同，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式．（２）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角．２．已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解α的三角函数值．３．弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．４．利用单位圆解三角不等式（组）的一般步骤（１）用边界值定出角的终边位置．（２）根据不等式（组）定出角的范围．（３）求交集，找单位圆中公共的部分．（４）写出角的表达式．错误![备课札记]。
三角函数复习教案
三角函数复习教案整理一、教学目标1. 回顾和巩固三角函数的基本概念、性质和公式。
2. 提高学生解决实际问题中涉及三角函数的能力。
3. 培养学生的逻辑思维和运算能力。
二、教学内容1. 三角函数的定义与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义与性质特殊角的三角函数值2. 三角函数的图象与性质三角函数的图象特点三角函数的周期性、奇偶性、单调性3. 三角函数公式和差公式、倍角公式、半角公式、积化和差与和差化积公式正弦定理、余弦定理4. 三角函数的应用三角函数在几何中的应用三角函数在物理中的应用三、教学重点与难点1. 重点：三角函数的基本概念、性质、公式及应用。
2. 难点：三角函数的图象与性质的理解和应用，以及解决实际问题中的三角函数应用。
四、教学方法1. 采用讲解、示范、练习、讨论相结合的方法。
2. 利用多媒体课件辅助教学，直观展示三角函数的图象和性质。
3. 引导学生通过自主学习、合作交流，提高解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：回顾三角函数的定义与性质，引导学生思考三角函数在实际问题中的应用。
2. 新课：讲解三角函数的图象与性质，通过示例让学生理解并掌握。
3. 练习：让学生通过练习题，巩固所学内容，提高解决问题的能力。
4. 拓展：引导学生思考三角函数在其他领域的应用，如物理、工程等。
5. 小结：总结本节课的主要内容，强调重点和难点。
6. 作业：布置适量作业，让学生巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂讲解：观察学生对三角函数概念、性质和公式的理解程度，以及他们能否熟练运用相关知识解决问题。
2. 练习题：通过学生完成练习题的情况，评估他们对于三角函数图象与性质、公式的掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在合作交流中的参与程度，以及他们解决问题的能力。
七、教学反思1. 针对课堂讲解，反思教学方法是否适合学生的学习需求，是否需要调整讲解方式和节奏。
2. 针对练习题，反思习题难度是否适中，是否需要增加或调整习题类型。
(word完整版)高三一轮复习、三角函数教案
富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:1审核人签字:3年级：高三(文) 科目：数学授课人:富县高级中学集体备课教案5审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:7审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:9审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:COS a ；(4)sin a± e os 2sin a±n .4.函数f( a=) acos oF bsin a (a b 为常数),可化为 f( a 寸 a2+ b2 sin( a f( e) a2+ b2 cos(方$)其中$可由a , b 的值唯一确定.二：题型归类 深度剖析 题型一：三角函数式的化简与求值1 t a【例1】(1)化简：+ atan 2tanz9, sin a 3 = I ，求 cos( a B 的值.题型三：三角函数的给值求角1 II【例I 】 已知cos %=-，cos(尸3 e —,且O v 37 14v aV n ，求 3.题型四：三角变换的综合应用1【例4】 已知f(x) =1 + sin2x —tanxn n2sin x + 4 sin x — 4 .(1) 若 tan = 2，求 f( 0的值； (2) 若 x €，n ，求f(x)的取值范围.归纳小结：(1) 拆角、拼角技巧：2 a= ( aF 3F ( — 3，a= ( a、a+ 3 a — 3 a — 3 3 a+ 3— 3 3= 2 - 2 ， 2 = a+ 2 - 2F 3 .(2) 化简技巧：切化弦， “1的代换等.a-• 1 + tan (2)求值：［2si n50 ° +sinlO (°tanlO ° \2sin280题型二：三角函数的给值求值 n【例2】已知0V 3V 2< aVn,且 cos a —㊁审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:过程1(3) S = 尹 + b+ c)(r为内切圆半径).1(4) 设p = 2(a+ b + c),则S=寸p p—a p —b p—c .4•解二角形问题一般可用以下几步解答：第一步：利用正弦定理或余弦定理实现边角互化(本题为边化角)第二步：三角变换、化简、消兀，从而向已知角(或边)转化第三步：代入求值第四步：反思回顾，查看关键点，易错点，如本题中公式应用是否正确二：题型归类深度剖析题型一：利用正弦定理解三角形【例1 】在厶ABC 中，a=^/3, b=^, B = 45° 求A, C 和边c.题型二：利用余弦定理解三角形【例2】在厶ABC中，a、b、c分别是角A、B、cosB bC的对边，且cosC=—2a+ c.(1) 求角B的大小；(2) 若b =浙3, a+ c= 4,求厶ABC的面积. 题型三：正弦定理、余弦定理的综合应用【例3】已知a, b, c分别为△ ABC三个内角A, B , C 的对边，acosC+Q3asinC—b—c = 0.(1) 求A;(2) 若a= 2,A ABC的面积为寸3,求b, c.归纳小结：(1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其他边或角•可能有一解、两解、无解.(2)判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.审核人签字:富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:审核人签字：年月日。
高考总复习精品教学案：三角函数单元范文
三角函数1．了解任意角的概念、 弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和)(sin ϕω+=x A y 的简图，理解ϕω、A 、的物理意义．5．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx ，arccosx ，arctanx 表示角．6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．第1课时 任意角的三角函数一、角的概念的推广1．与角α终边相同的角的集合为 ．2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．4．象限角是指： ．5．区间角是指： ．6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．8．弧长公式：l ＝ ；扇形面积公式：S ＝ .二、任意角的三角函数9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ；10．三角函数的符号与角所在象限的关系：1213．三角函数线：在图中作出角α的正弦线、余弦线、正切线．－ ＋ －+cos x , ＋ ＋ －－sin x ,－ ＋ ＋－tan x ,x y O xy O x y O高考总复习精品数学教案2α,2α ,3α的终边所在位置.解： ∵α是第二象限的角，∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k ∈Z ），∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上.（2）∵k·180°+45°＜2α＜k·180°+90°（k ∈Z ），当k=2n （n ∈Z ）时，n·360°+45°＜2α＜n·360°+90°；当k=2n+1（n ∈Z ）时，n·360°+225°＜2α＜n·360°+270°.∴2α是第一或第三象限的角.（3）∵k·120°+30°＜3α＜k·120°+60°（k ∈Z ），当k=3n （n ∈Z ）时，n·360°+30°＜3α＜n·360°+60°；当k=3n+1（n ∈Z ）时，n·360°+150°＜3α＜n·360°+180°；当k=3n+2（n ∈Z ）时，n·360°+270°＜3α＜n·360°+300°.∴3α是第一或第二或第四象限的角.变式训练1：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k ∈Z ），60°+k·120°＜3α＜90°+k·120°.①当k=3m(m ∈Z )时，可得60°+m·360°＜3α＜90°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第一象限.②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得180°+m·360°＜3α＜210°+m·360°（m ∈Z ).故3α的终边在第三象限.③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得300°+m·360°＜3α＜330°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限.综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α≥23;(2)cos α≤21-.解：（1）作直线y=23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α|2k π+3π≤α≤2k π+32π，k ∈Z .（2）作直线x=21-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k k ,342322|ππαππα.变式训练2：求下列函数的定义域：（1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2x ）.解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥21.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k （k ∈Z ）.（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜43,∴-23＜sinx ＜23.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影),∴x ∈（k π-3π,k π+3π）（k ∈Z ).例3. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值.解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),则x=4t,y=-3t,r=5)3()4(2222=-+=+t t y x |t|,高考总复习精品数学教案当t ＞0时，r=5t, sin α=5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x , tan α=4343-=-=t t x y ; 当t ＜0时，r=-5t,sin α=5353=--=t t r y , cos α=5454-=-=t t rx , tan α=4343-=-=t t x y . 综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=43-; t ＜0时，sin α=53,cos α=-54,tan α=43-.变式训练3：已知角θ的终边经过点P ()(0),sin 4m m m θ≠=且，试判断角θ所在的象限，并求cos tan θθ和的值．解：由题意，得0,r m m ==≠∴= 故角θ是第二或第三象限角．当m =,r =P 的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======当m =,r =P 的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ． (1) 若α3π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积； (2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值． 解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓。
2020年高三数学第一轮复习教案-三角函数-第七节 正弦定理和余弦定理
2．S＝12
absinC＝
1 2
acsinB＝
1 2
bcsinA.
1．三角形中的必备结论 (1)a>b⇔A>B(大边对大角)．
【知识必备】 (2)A＋B＋C＝π(三角形内角和定理)． (3)sin(A＋B)＝sinC， cos(A＋B)＝－cosC， sinA＋2 B＝cosC2， cosA＋2 B＝sinC2. (4)射影定理：bcosC＋ccosB＝a， bcosA＋acosB＝c， acosC＋ccosA＝b.
第四章 三角函数、解三角形
第七节 正弦定理和余弦定理
【知识必备】
知识点一 正弦定理和余弦定理
【知识必备】
知识点二 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况
【知识必备】
知识点二 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况
【知识必备】
知识点三 三角形常用面积公式
1．S＝12 a·ha(ha表示边a上的高)．
2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角 的范围的限制．
【典型例题】
【典型例题】
【典型例题】
【典题演练】
B
C
【典题演练】
C
【作 业】
1、完成新数学中的【典例剖析】 2、完成课时作业（二十三）
再见
高考数学总复习教案39三角函数的综合应用
------精品文档!值得拥有！------第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时 三角函数的综合应用(对应学生用书(文)、(理)57～59页)ac ＝、题改编1. (必修5P 例题4)设△ABC 的三个内角AB 、C 所对的边分别是a 、b ，、c ，且9sinCcosA ＝________．则A π 答案： 4πacaaca. ＝＝，即sinAcosA ，所以A ，得＝解析：由，＝＝4cosAsinAcosAsinCsinCsinAy2. (必修个单位后，得到函数)φ<2sinx 将函数题改编)y ＝的图象向左平移φ(0≤π第习题4P1.3845π?? ．φ＝________的图象，则＝sin －x ??611 答案：π 611＝．只有＋＝个单位得到函数π≤向左平移＝将函数解析：ysinx φ(0φ<2)ysin(x φ)φπ时有＝y6??11π????πx ＋sin. sin ＝－x ??6 ??6------值得收藏！!珍贵文档------ ------------精品文档!值得拥有！π1 －＝________．3. (必修4P 习题3.3第6(2)题改编)tan 10912πtan 12 －32答案：??ππππ??－22sincos－sincos??12121212解析：原式＝－＝ππππcossinsincos12121212πcos－63. ＝＝－2π1sin62π1??2上在区间cosx＋(x∈R)，则4. (必修4P复习题第13题改编)已知函数f(x)f(x)＝3sinxcosx－，0??11524 的值域是________．31??答案：，－??22π??????π13πππ31????????.∈，故值域为－时，解析：f(x)＝sin2x－cos2x＝sin2x.当x∈，－，2x－－0，??62222 ??????4366 ．BC上的高为°，则边2，B＝60________5. 在△ABC中，AC＝7，BC ＝33答案：23322BC上的高h＝，所以边3sin60°＝.3－2c－＝0，解得c＝得解析：由余弦定理，7＝c2c＋4－，即c32sinα22α＝1，tanα＝1. 同角三角函数的基本关系式：sin.α＋cos cosααsinβ，cos(α±β)cos＝cosαcos βsinα2. 两角和与差的正弦余弦和正切公式：sin(α±β)＝sincosβ±βtantanα±.＝，tan(α±β)αsinββtantanα12222＝αα，1－1＝－2sintan2αcosα3. 二倍角公式：sin2＝2sinαα，cos2＝cosα－sinα＝2cosαα2tan.2α－tan1 4. 三角函数的图象和性质5. 正弦定理和余弦定理：cba ．为三角形外接圆的半径＝＝2R(R)＝正弦定理：(1) sinCsinAsinB------值得收藏！!珍贵文档------------值得拥有！------精品文档!222＝＋ccosA－余弦定理：(2) a2bccosA＝b，222a－＋cb .2bc题型1三角恒等变换πππ27????.，例1已知sinA∈＝，A＋????10244 (1) 求cosA的值；5 ＝cos2x＋sinAsinx的值域．(2) 求函数f(x)2πππππ3????272ππ????cos，且sin＝－.＝，所以<A＋<，解：(1) 因为<A<＋AA＋102441042????44??π??π??所以cosA＝cos??－＋A4????4ππ????ππ????sin＝cos＋sincos＋A＋A44????44322227＝.·＋·＝－10210254(2) 由(1)可得sinA＝.55所以f(x)＝cos2x＋sinAsinx221313??2－sinx2＋2sinx2sinx＝－sinx＝时，f(x)取最大值；＝1－，sinx＋，x∈R.因为∈[－1，1]所以，当??2222当sinx＝－1时，f(x)取最小值－3.3??，3－的值域为所以函数f(x). ??2备选变式（教师专享）12(2013·上海卷)若cosxcosy＋sinxsiny＝，sin2x＋sin2y＝，则sin(x＋y)＝________．232答案：31解析：由题意得cos(x－y)＝，sin2x＋sin2y＝sin[(x＋y)＋(x－y)]＋sin[(x＋y)－(x－y)]＝2sin(x＋y)cos(x222sin(x＋y)y)－＝＝. 33题型2三角函数的图象与性质------值得收藏！!珍贵文档------------!值得拥有！------精品文档ππ??分Qf(x)的部分图象如图所示，P、A>0，0<φ<f(x)例2已知函数＝Asin，y＝，，x∈Rφx＋??23 ．的坐标为(1，A)别为该图象的最高点和最低点，点P 的值；求f(x)的最小正周期及φ(1)π2 的值．＝，求AR的坐标为(1，0)，∠PRQ(2) 若点3π26.T＝＝解：(1) 由题意得π3??π??的图象上，，A)在y＝Asin因为P(1φx＋??3??π??sin所以＝1.φ＋??3ππ＝.因为0<φ<，所以φ62A)．Q的坐标为(x，－(2) 设点0π3ππ，，得x＝4由题意可知x＋＝00263．Q(4，－A)所以π2PRQ＝，由余弦定理得连结PQ，在△PRQ中，∠3222222）＋－（RQ9－PQ4AA＋9＋ARP ＋＝∠PRQ＝＝cos RQ2RP·2＋A2A·912＝3.又A>0A，所以A＝3. ，解得－2备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π.(1) 求函数f(x)的表达式；------值得收藏！!珍贵文档------------!值得拥有！------精品文档π??12sin＋－2α??42 的值．f(α)＝，求(2) 若sinα＋3αtan1＋∵φ＝0，又，即2sinωxcosφ＝0恒成立，∴cosφ)解：(1) ∵f(x)为偶函数，∴sin(－ωx＋φ)＝sin(ωx＋ππ，T＝20≤φ≤π，∴φ＝. 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π，∴2f(x)＝cosx. ∴ω＝1，∴1α－cos2α＋sin242ααcos＋2sinαcosα＝，即2sinα＋(2) ∵原式＝＝2sinαcosα，又∵sincosα＝，∴193αtan1＋55.，故原式＝－＝－99 正弦定理、余弦定理的综合应用题型33b. ＝a、b、c，且2asinB中，内角例3(2013·浙江)在锐角△ABCA、B、C的对边分别为的大小；(1) 求角A 的面积．b＋c＝8，求△ABC(2) 若a＝6，π3ba＝.＝.因为A是锐角，所以解：(1) 由2asinB＝3b及正弦定理＝，得sinAA3sinB2sinA2822222.，所以bc＝＝－bc＝36.又ba(2) 由余弦定理＋＝bc＋c－2bccosA，得b8＋c3371.ABC由三角形面积公式S＝bcsinA，得△的面积为32备选变式（教师专享）π3.＝，△5ABC的面积为10，C中，角A，B，的对边分别为a，b，cC＝，a在△ABC 3 (1) 求b，c的值；π??求cos的值．(2) －B??3π1，S＝，a＝5，因为＝absinC由已知，解：(1) C△ABC23π1，解得b8.＝·10即3＝b5sin32π27.c49, 80cos64＋＝由余弦定理可得：c25－＝所以＝3------值得收藏！!珍贵文档------------------精品文档!值得拥有！6425＋49－3142，所以B＝是三角形的内角，易知sinB1＝－cos(2) 由(1)有cosB＝＝，由于B 7707ππ??13343π11??.＝＝cosBcos＋cossinBsin＝×＋×－B14337227??3 题型4三角函数、平面向量、解三角形的综合应用1??，sinA＝A是△ABC的内角．例4已知向量与nm＝(3，sinA＋3cosA)共线，其中??2 的大小；(1) 求角A 的形状．，求△ABC面积S的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC(2) 若BC＝2∥nm，解：(1) 因为30.所以sinA·(sinA＋3cosA)－＝2cos2A－133，＋所以sin2A－＝022213即1，sin2A－cos2A＝22??π??即sin1.＝－2A??6π??ππ11??.2A－∈因为A∈(0，π)，所以，－6??66πππ＝，A＝.故2A－36222bc.c(2) 由余弦定理，得4＝b－＋31，＝bc又S＝bcsinA△ABC4222)，4(当且仅当b＝c＋c时等号成立≥42bcbc＋≥2bcbc≤而b313＝3.bc≤×4bcsinA所以S＝＝△ABC442当△ABC的面积取最大值时，b＝c.π又A＝，故此时△ABC为等边三角形．3备选变式（教师专享）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，------值得收藏！!珍贵文档------------值得拥有！------精品文档!a－2)．∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(1) 若mπ⊥，边长c＝2，角C＝，求△ABC(2) 若m的面积．p3ba∥ABC △a＝b.∴∴n，∴asin A＝bsin B，即a·＝b·，其中R是△ABC 外接圆半径，证明：(1) ∵m2R2R为等腰三角形．22＝＋babab(a－2)＝0.∴＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a－＋m·(2) 解：由题意可知p＝0，即a(b－2)22，＝－1)3ab，即(ab)ab－3ab－4＝0，∴＝4(舍去(a＋b)ab－π113.sin ＝∴S＝absin C＝×4×322在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根．分)【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14105 ＋β，sinβ的值．＝，且α、β若sinα均为锐角，求＝α105 学生错解：522.α为锐角，∴cosα＝1－sin＝解：∵α51032. cos β＝1－sin＝又ββ为锐角，∴102＝αsin βsinαcosβ＋cos＝，∵sin(α＋β)2 β<90°，<90°，0°<α由于0°< 180°，°<α＋β<∴0.°＝45°或135β故α＋在已知值求角中，角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能审题引导：排除．要避免上述情况的发生，应合理选择三角函数形式进行求解，根据计算结果，估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围，在选择三角函数公式时，一般已知正切函数值，选正切函数，已知正余??ππ??，则一般选正弦函数．弦函数值时，若角在(0，π)时，一般选余弦函数，若是，－??22252.(2＝分) －＝cosα∵解：规范解答：为锐角，∴α1sinα5------值得收藏！!珍贵文档------------值得拥有！------精品文档!1032) β＝又β为锐角，∴cosβ.(4＝1－sin分102＝sinββ－sinα，(10分) 且cos(α＋β)＝cosαcos2ππ，所以0<α＋β<π，由于0<α<，0<β<22π][π0，)α因为y＝cosx在＋.(14分β＝上是单调递减函数，故4没有注意挖掘题目中的隐含条件，忽视了对角的范围的限制，造成出错．错因分析：152，α135°是正确的，但题设中sin＝β<<α＋180°而得到α＋事实上，仅由sin(α＋β)＝β＝45°或，0°<225110°，故上述结论是错误的．在已知值求角中，应60°<α＋β<0<α<30°，°<β<30°从而0，使得0°<＝sinβ210][在cosx，因为y＝合理选择三角函数形式进行求解，避免增根．本题中0<α＋β<ππ，0上是单调函数，不易出错．＋β)cos所以本题先求(α）1π（x－πx ．coscos的最小正周期为________1. (2013·常州期末)函数f(x)＝22答案：2πxπx2πxπ（x－1）π12.T＝＝＝cos·sinsinπx，最小正周期为解析：f(x)＝coscos＝22222π1ππ??????1－，的值域是f(x)，若，其中sin，则a的2. (2013·北京期末)已知函数f(x)＝x∈a－x＋，??????236 ________．取值范围是??π??答案：，π??3π7πππππππ??1π??，所以＝＝－或x＋＝时，sin＋≤解析：若－≤x≤a，则－x＋≤a＋，因为当x＋x266366666??6ππ7ππ??1π????1，－的值域是aa≤π，即的取值范围是要使f(x). ≤a，则有≤＋≤，即，π??23662??3 ．________3cosC＝，则△ABC的面积为sinC1，＝中，)3. (2013·北京期末已知△ABCAB3BC ＝，3答案：2------值得收藏！!珍贵文档------------------值得拥有！精品文档!πABBC，.根据正弦定理可得解析：由sinC3cosC＝，得tanC＝＝3>0，所以C＝sinCsinA3ππ113，所以三角形为直角B＝因为即＝＝2，所以sinA＝.AB>BC，所以A<C，所以A＝，即22sinA63231.×1三角形，所以S＝＝×3△ABC22 ________．f(x)4. (2013·新课标Ⅰ卷)设当x＝θ时，函数＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝52答案：－5552??5.＝sinx－2cosx解析：∵＝f(x)cosxsinx－??55552＝sinφ＝－，则f(x)令cosφ＝，55φ)，cosx)＝5sin(x＋5(sinxcosφ＋sin φπππ＋2k－φ，x当＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即x＝22π∈Z，π＋k∈Z时，f(x)取最大值，此时θ＝2k－φ，k2??5π2??.∴cosθ＝cos＝sinφ＝－φ2kπ＋－5??2n cosB)、b、c.向量m＝(1，，B(2014·1. 扬州期末)在锐角△ABC中，角A、、C所对的边长分别为a⊥.＝(sinB，－3)，且mn的大小；(1) 求角B ，求此三角形周长．ABC面积为103，b＝7(2) 若△n m·＝，0 解：(1) m·n＝sinB－3cosB，∵m⊥n，∴cosB≠，0ABCsinB∴－3cosB＝0.∵△为锐角三角形，∴ππB＝.＝∴tanB3.∵0<B<，∴3231322222ca，得49＝＋2accosBa由＝，得10ac＝＝acsinB∵(2) Sac，由题设＝3ac40.7＝＋c－△ABC244------值得收藏！!珍贵文档------------------精品文档!值得拥有！22213＝，169.∴a－ac，∴(a＋c)＋＝(ac＋cac)－＋3ac＝49＋120＝20.三角形周长是∴2sinC. ＝，2＋2且sinA＋、2. 在△ABC中，a、bc分别是角A、B、C的对边，△ABCsinB的周长为c的长；(1) 求边1 C的度数．(2) 若△ABC的面积为sinC，求角3c＝2ca＋b＋c∵解：(1) 在△ABC中，sinA＋sinB＋＝2sinC，由正弦定理，得a＋b ＝2c ，∴2. ＝2＝1)c(2＋＋＝，c2. a＋b＝2∴11△ABC中，S，absinC＝sinC＝(2) 在△ABC32211.ab＝∴ab＝，即332222222ab＋b）a－＋b－c－（a1ABC△，又在cosC＝＝＝又a＋b＝2，在△ABC中，由余弦定理，得22ab2ab，∈(0，π)中∠C.C＝60°∴∠1. ＝＋C)、A、BC对应的边分别是a、b、c.已知cos2A－3cos(B湖北卷3. (2013·)在△ABC中，角A的大小；(1) 求角sinBsinC的值．(2) 若△ABC的面积S＝＝53，b5，求12∠，解得cosA＝，∴A＝60°.，∴解：(1) 由已知条件得：cos2A＋3cosA＝1 2cos2A＋3cosA－＝0225bc1a22.sinBsinC，∴＝53＝＝(2R)c＝4，由余弦定理，得a＝21，＝＝28bcsinA(2) S＝2274Rsin2AA. ∠B＝2ABC北京卷)在△中，a＝3，b＝26，∠4. (2013·求cosA的值；(1) 求c的值．(2)2sinAcosA263所以A.所以在△ABC中，由正弦定理得＝.2ba解：(1) 因为＝3，＝62，∠B＝∠sinAsinAsin2A626.故. ＝cosA＝33362.A＝－1＝(1)(2) 由知cosAsinA，所以＝cos33------值得收藏！!珍贵文档------------值得拥有！------精品文档!22122cos所以.sinB＝＝B. 1＝∠又因为B＝2∠A，所以cosB2cos－A－1＝3335＝. cosAsinBsinAcosB＋中，sinC＝sin(A＋B)＝在△ABC9a sin C＝5. 所以c＝sin A1. 三角变换的基本策略是化异为同，即将函数名称、角、次数等化异为同．2. 对于函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B，常用“五点法”画图象，运用整体思想研究性质．3. 求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性．4. 解三角函数的综合题时应注意：(1) 与已知基本函数对应求解，即将ωx＋φ视为一个整体X；(2) 将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsinx ＋c；(3) 换元方法在解题中的运用．请使用课时训练(B)第9课时(见活页)．[备课札记]------值得收藏！!珍贵文档------。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。