现代控制理论基础三
现代控制理论基础第三章习题答案
第三章 线性控制系统的能控性和能观性3-3-1 判断下列系统的状态能控性。
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01,0101B A （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111001,342100010B A （3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020011,100030013B A （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1110,0000000011111B A λλλλ 【解】：(1)[]2,1011==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==n rankU AB BU c c ，所以系统完全能控。
(2)[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==7111111010012B A ABBU c 前三列已经可使3==n rankU c ，所以系统完全能控（后续列元素不必计算）。
（3）A 为约旦标准型，且第一个约旦块对应的B 阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。
（4）A 阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。
同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。
可以求一下能控判别阵。
[]2,111321031211312113121121132=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==c c rankU B A BA AB BU λλλλλλλλλλλ，所以系统不完全能控。
3-3-2 判断下列系统的输出能控性。
(1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=xy u x x 011101020011100030013 (2) []⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x y u x x 0011006116100010【解】： （1）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020011,100030013B A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=011101C ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000D []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=111300002B CA CAB CB D前两列已经使[]22==m B CA CAB CB D rank ，所以系统输出能控。
现代控制理论基础复习重点
现代控制理论基础复习重点
《现代控制理论基础》复习重点
第一章：
1.由微分方程、传递函数、简易RLC无源网络、简易结构图模型建
立状态空间描述模型；
2.特征多项式、特征方程、特征向量、非线性变换的计算；
3.由状态空间描述计算传递函数矩阵。
第二章：
1.状态转移矩阵计算；
2.零输入解的计算；
3.零状态解的计算；
4.线性定常系统的离散化。
第三章：
1.能控性判别计算及按能控性结构分解；
2.能观测性判别计算及按能观测性结构分解；
3.实现及最小实现的计算。
第四章：
1.李雅普诺夫第一法的应用；
2.李雅普诺夫第二法的在线性系统中的应用（连续、离散）；
3.李雅普诺夫第二法的在非线性系统中的应用。
第五章：
1.线性反馈基本结构；
2.极点配置算法的应用。
《现代控制理论基础》课件
预测控制
预测控制是一种基于模型预测 未来系统行为的控制方法。
控制器
控制器是控制系统中的核心 组件，负责计算并施加控制 信号。
操作对象
控制系统的操作对象可以是 各种各样的设备或系统，了 解操作对象的特性是设计有 效控制策略的基础。
模型化
系统状态方程
通过建立系统状态方程，我们 可以描述控制系统的动态行为。
传递函数
传递函数是描述输入和输出之 间关系的数学表达式，常用于 分析系统的频率响应。
通过绘制根轨迹来分析系统的稳定性和性能。
2 Nyquist法
利用Nyquist图来评估系统的稳定性和抗干扰能力。
鲁棒性设计
扰动抑制
了解如何设计鲁棒控制器来抑制 系统中的扰动。
鲁棒控制
鲁棒控制是一种能够保持系统稳 定性和性能的控制策略。
H∞控制
H∞控制是一种能够优化系统鲁 棒性和性能的控制策略。
非线性控制
《现代控制理论基础》PPT课件
现代控制理论基础是一门关于控制系统的基本概念、模型化、控制器设计、 稳定性分析、鲁棒性设计、非线性控制和优化控制的课程。通过本课程的学 习，您将掌握现代控制理论的基础知识和思想，并能够运用所学知识解决实 际控制问题。
控制系统基本概念
控制过程
了解控制过程是理解控制系 统工作原理的重要一步。
1 反馈线性化
通过反馈线性化技术，我们可以设计控制器来稳定非线性系统。
2 滑模控制
滑模控制是一种鲁棒而有效的非线性控制方法。
3 非线性规划
非线性规划方法可以用来优化非线性系统的控制策略。
优化控制
最优化法
最优化法是一种通过优化目标 函数来设计最优控制策略的方 法。
非线性规划
《现代控制理论基础》第九章(3)
C C C CRc 1 2
其中
c A11 , B1 , C1 c
22 2
A
, 0, C
能控子系统
不能控子系统
5
按照能控性结构分解的系统剖析
x Ax Bu 原系统 0 A, B, C ： y Cx
按照能控性分解的等价系统 0 A, B, C ：
1
镇定问题是系统极点配置问题的一种特殊情形。 系统极点配置问题 只是针对线性定常系统。
系统镇定问题
线性定常系统、线性时变系统 以及非线性系统共同存在的问题。
2
采用状态反馈方法
实现镇定 采用输出反馈方法
线性定常系统的镇定
实现镇定
采用动态补偿器方法
实现镇定
3
9.3.1 状态反馈和输出反馈镇定问题
[定理1] 采用状态反馈 对于系统 0 A, B, C ，
u Kx
57 12 x 2
57 12 x1 x2 2
21
闭环系统的数字仿真
闭环系统的状态方程
1 3 1 57 x x 12 x 2 2 5 0
即
63 11 x 2 x 5 2
det sI A BK det sI1 A11 B1 K1 det sI 2 A22
（2）
10
比较式（1）和式（2）可见， 引入状态反馈阵 K 只能通过选择 K1 使 A11 B1 K1 的特征值均具有负 实部，从而使 c 这个子系统渐近稳定。 但是 K 的选择并不能影响
35
最终得输出反馈动态补偿器
现代控制理论基础 第3版 教学课件 ppt 作者 王孝武 第5章
而状态反馈矩阵 K KP k0 k1 kn1
方法二：首先，判断系统为能控。
假设状态反馈矩阵为K——K的各个元素为待定。
K k 0 k1 k n -1
k d et[sI-(A -B K )]= s n f n 1 K s n 1 f1 K s f 0 K
其中， f0 , f1 , , fn1 为K的各分量元素的线性组合。
5.1 引言
线性定常系统综合：给定被控对象，通过设计控制器的结构和参数， 使系统满足性能指标要求。
5.2 状态反馈和输出反馈
5.2.1 状态反馈
线性定常系统方程为：
x Ax Bu y Cx Du
假定有n 个传感器，使全部状态变量均可以用于反馈。
u V Kx
其中，K 为 r n 反馈增益矩阵；V 为r 维输入向量。
定理5-2 对于任意常值反馈矩阵H，输出反馈不改变系统的能观测性。
证明： 设系统方程为 x Ax Bu
y Cx
控制 u V Hy
输出反馈系统方程为 x ( A BHC) x BV
y Cx
对于任意常值反馈矩阵H，均有
I ( A BHC)
C
I 0
BH I A
I
C
因为不论H为何种常值矩阵，矩阵
如果特征多项式为 H (s) s3 4s2 2s 1 ，则满足（23）式。
5.4.3 输出反馈系统极点配置的基本结论
定理5-4 系统（1）能控、能观测，rank B=r， rank C=m。存在一个常值输出
反馈矩阵H，使闭环系统有 min n , r m 1 个极点可配置任意接近
minn , r m 1 个任意指定的极点（复数共轭成对）的位置。在
y Cx
现代控制理论3
3
x3
b31
b32
b3 p
u3
xn
n xn bn1 bn2 bnp u p
➢其中的对角部分应用对角形可控判据 ，即要求输入矩阵B中 不出现全零行，则系统对角部分的状态可控。
➢约当部分，展开后可得
x&1 1x1 x2 b11u1 b12u2 L b1pup
x&2 1x2 b21u1 b22u2 L b2 pup
要求约当块最后一行对应的输入矩阵B中的行不出现全零行，则 系统约当部分的状态可控。
(b)
x&1 1 1
x&2
1
x1 b11 b12 L
x2
b21
b22
L
x&3
x&4
1 1
x3 x4
b31 b41
限 时 间 间 隔 0≤t≤nT 内 ， 针 对 任 意 初 态 x(0) 和 任 意 终 态
x(n)，当k＝n时，u(0)，u(1)，…，u(n-1)一定存在。
因此，k=n时，u(0)，u(1)，…，u(n-1)的解存在的条
件，即为系统可控时应满足的条件
令k=n ，
n1
x(n) Gn x(0) Gdetb
det Sc 0
Ab b1
b2
1b1 2b2
2b1b2 1b1b2
1 2
b1 0, b2 0
输入阵中无全零行
A
1
0
1
1
b
b1 b2
det Sc det b
Ab b1 b2
1b1 b2 1b2
1b1b2 (1b1 b2 )b2 b22
(2) 线性定常连续系统可控性判据
《现代控制理论基础》第三章(讲义)
第一和第二讲小结一、状态空间表达式的标准形式能控标准形能观测标准形对角线标准形Jordan标准形二、矩阵的特征值及对角线化矩阵是能控标准形时的变换矩阵求法（1）特征值互异（2）重根（3）一般情形三、利用MATLAB进行系统模型之间的相互转换[A, B, C, D] = tf2ss (num, den)[num,den] = ss2tf [A,B,C,D,iu]四、时域分析的基本概念状态转移矩阵及其性质，凯莱-哈密尔顿定理最小多项式五、矩阵指数计算级数法，对角线标准形与Jordan标准形法拉氏变换法凯莱-哈密尔顿定理II、分析部分第三章线性多变量系统的能控性与能观测性分析能控性(controllability)和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。
例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。
在本章中，我们的讨论将限于线性系统。
将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。
3.1 线性连续系统的能控性3.1.1 概述能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”的内部的状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。
例1． 给定系统的描述为u x x xx⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2150042121 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2160x x y将其表为标量方程组的形式，有：u x x+=114 u x x2522+-= 26x y -=例3－2：判断下列电路的能控和能观测性)(t u +yCR )(t uR L y23.1.2 能控性的定义考虑线性时变系统的状态方程∑:Bu x t A x+=)( ， u t D x t C t y )()()(+=，00)(x t x =，J t ∈ (3.1.1)其中，x 为n 维状态向量，u 维p 维输入向量，J 为时间定义区间，B A ,分别为n n ⨯和p n ⨯的元为t 的连续函数的矩阵。
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解
7
小结：
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用 下的自由运动，又称为零输入解；
2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状
态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t0) 故称其
为状态转移矩阵.一般用
x
(t) eAt (t t0) eA(tt0)
来表示。 x 0
2 ! 3 !
AA2t1A3t2L 2!
A(I At 1 A2t2 L ) 2!
AeAt eAt A
13
所以当 Φ(t)=eAt时， &(t)A(t) 又因为 Φ(t)=eAt (t=0时) eA0 =I+A0+...=I 所以 Φ(0)=I 故 eAt 是状态转移矩阵Φ(t)
（2）状态转移矩阵Φ(t)是A阵同阶的方阵，其元 素均为时间函数.
sX(s)-x0=AX(s)+BU(s)
即
X(s)=(sI-A)-1[x0+BU(s)]
其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。
对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有
x ( t ) L 1 ( s A ) I 1 x 0 L 1 ( s A ) I 1 B ( s )U
1 0 3x1u
试求：x(0)=0,u(t)=1(t) 时的状态解。
解：1.求 eAt ： 由前例得：
eAt
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t et 2e2t
25
2. 求x(t)
x(t)eA tx00 teA (t )B u ()d
t2 e (t )e 2 (t ) e (t ) e 2 (t ) 0
由于状态空间表达式由两部分组成,即 x& Ax Bu y Cx Du
现代控制理论基础_周军_第三章能控性和能观测性
3.1 线性定常系统的能控性线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。
当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。
这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。
并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。
还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。
并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。
能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状态空间结构的关系。
第一节线性定常系统的能控性能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。
状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：一、离散系统的状态可控性引例设单输入离散状态方程为：初始状态为：用递推法可解得状态序列：可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化，不受的控制，不能从初态转移到任意给定的状态，以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。
系统中只要有一个状态变量不受控制，便称作状态不完全可控，简称不可控。
可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。
下面来进行一般分析。
设单输入离散系统状态方程为：(3-1)式中，为维状态向量；为纯量，且在区间是常数，其幅值不受约束；为维非奇异矩阵，为系统矩阵；为维输入矩阵：表示离散瞬时，为采样周期。
初始状态任意给定，设为；终端状态任意给定，设为，为研究方便，且不失一般性地假定。
单输入离散系统状态可控性定义如下：在有限时间间隔内，存在无约束的阶梯控制信号，,，能使系统从任意初态转移到任意终态，则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。
《现代控制理论基础》课件第0章
2. 现代控制理论的产生和发展 随着近代科学技术的突飞猛进，特别是空间技术和各类 高速飞行器的发展，使工程系统结构和完成的任务越来越复 杂，速度和精度也越来越高。这就要求控制理论能够解决动 态耦合的多输入多输出、非线性以及时变系统的设计问题。 此外，还常常要求系统的某些性能是最优的，并且要求有一 定的环境适应能力。这些新的控制要求都是经典控制理论所 无法解决的，因此，现代控制理论应运而生。
近半个世纪以来，现代控制理论已广泛应用于工业、农 业、交通运输及国防建设等各个领域。回顾控制理论的发展 历程可以看出，它的发展过程反映了人类由机械化时代进入 电气化时代，并走向自动化、信息化、智能化时代。
0.1.2 现代控制理论与经典控制理论的差异 现代控制理论与经典控制理论的差异主要表现在研究对
另外，经典控制理论中，频率法的物理意义直观、实用， 但难于实现最优控制，现代控制理论则易于实现最优控制和 实时控制。
现代控制理论是在经典控制理论的基础上发展起来的。 虽然两者有本质的区别，但对动态系统进行分析研究时，两 种理论可以互相补充，相辅相成，而不是互相排斥。对初学 者来说，应采用与经典控制计。基于对象的输入、输出数据， 在希望的估计准则下，找到系统的阶数和参数，建立对象的 数学模型。
0.2 本书的主要内容
0.2.1 本书主要内容结构 现代控制理论主要研究线性系统状态的运动规律和改变
这种运动规律的可能性与方法，建立和揭示系统结构、参数、 行为及性能间的关系。通常，这可以分解为三个问题，即系 统数学模型的建立、系统运动规律的分析和致力于改变运动 规律的系统设计。基于控制理论的认识规律，本书内容安排 如下：
0.1.3 现代控制理论的研究内容及其分支 科学在发展，控制论也在不断发展。我们通常讲的现代
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现代控制理论基础三 Prepared on 22 November 2020状态重构问题与Luenberger状态观测器前已指出，对于状态完全能控的线性定常系统，可以通过线性状态反馈任意配置闭环系统的极点。
事实上，不仅是极点配置，而且系统镇定、解耦控制、线性二次型最优控制 (LQ)问题等，也都可由状态反馈实现。
然而，在节介绍极点配置方法时，曾假设所有的状态变量均可有效地用于反馈。
但在实际情况中，并非所有的状态度变量都可用于反馈。
这时需要估计不可量测的状态变量。
迄今已有多种无需使用微分来估计不能量测状态的方法。
对不能量测状态变量的估计通常称为观测。
估计或者观测状态变量的动态系统称为状态观测器，或简称观测器。
观测器分为全维状态观测器降维状态观测器最小阶状态观测器或最小阶观测器5.5.1 问题的提法在下面有关状态观测器的讨论中，我们用x~表示被观测的状态向量。
在许多实际情况中，一般将被观测的状态向量用于状态反馈，以便产生期望的控制输入。
考虑如下线性定常系统=x+BuAxy=Cx假设状态向量x 可由如下动态方程)~(~~x C y K Bu x A x e -++=中的状态x ~来近似，则该式表示状态观测器，其中e K 称为观测器的增益矩阵。
注意到状态观测器的输入为y 和u ，输出为x ~。
式（）中右端最后一项包括可量测输出y 与估计输出x ~C 之差的修正项。
矩阵e K 起到加权矩阵的作用。
修正项监控状态变量x ~。
当此模型使用的矩阵A 和B 与实际系统使用的矩阵A 和B 之间存在差异时，由于动态模型和实际系统之间的差别，该附加修正项将减小这些影响。
图所示为带全维状态观测器的系统方块图。
图 全维状态观测器方块图5.5.2 全维状态观测器的误差方程在此讨论的状态观测器的阶数和系统的阶数相等。
假设系统由式（）和（）定义。
观测器的方程由式（）定义。
为了得到观测器的误差方程，将式（）减去式（），可得)~(~~x C Cx K x A Ax x x e ---=- )~)((x x C K A e --=定义x 与x ~之差为误差向量，即 x x e ~-=则式（）可改写为e C K A e e )(-= 由式（）可看出，误差向量的动态特性由矩阵C K A e -的特征值决定。
如果矩阵C K A e -是稳定矩阵，则对任意初始误差向量)0(e ，误差向量)(t e 都将趋近于零。
也就是说，不管)0(x 和)0(~x 的值如何，)(~t x 都将收敛到)(t x 。
如果所选的矩阵C K A e -的特征值使得误差向量的动态特性渐近稳定且足够快，则任意误差向量)(t e 都将以足够快的速度趋近于零 (原点)，此时将)(~t x 称为)(t x 的渐近估计或重构。
如果系统完全能观测，下面将证明可以通过选择e K ，使得C K A e -具有任意的期望特征值。
也就是说，可以确定观测器的增益矩阵e K ，以便产生期望的矩阵C K A e -。
5.5.3 对偶问题全维状态观测器的设计问题，是确定观测器增益矩阵e K ，使得由式（）定义的误差动态方程，以足够快的响应速度渐近稳定（渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵C K A e -的特征值决定）。
因此，全维观测器的设计就归结为如何确定一个合适的e K ，使得C K A e -具有期望的特征值。
此时，全维状态观测器的设计问题实际上就变成了与节讨论的极点配置相同的问题。
考虑如下的线性定常系统Cxy Bu Ax x =+=在设计全维状态观测器时，我们可以求解其对偶问题。
也就是说，求解如下对偶系统zB nC z A z T T T =+=υ的极点配置问题。
假设控制输入为Kz -=υ如果对偶系统是状态完全能控的，则可确定状态反馈增益矩阵K ，使得反馈闭环系统的系统矩阵K C A T T -得到一组期望的特征值。
如果1μ,2μ,…,n μ是状态观测器系统矩阵的期望特征值，则可通过取相同的i μ作为其对偶系统的状态反馈闭环系统的期望特征值，从而)())(()(21n T T s s s K C A sI μμμ---=--注意到K C A T T -和C K A T-的特征值相同，即有)()(C K A sI K C A sI T T T --=--比较特征多项式)(C K A sI T--和观测器的系统矩阵（参见式（））的特征多项式)(C K A sI e --，可找出e K 和T K 的关系为T e K K =因此，观测器问题与极点配置问题具有对偶关系，即在下面的讨论中，我们就可将给定线性定常系统的观测器设计问题，考虑为其对偶系统的极点配置问题，即首先由极点配置方法确定出其对偶系统的极点配置增益矩阵K ，然后利用关系式T e K K =，确定出原系统的观测器增益矩阵K 。
5.5.4 可观测条件如前所述，对于使C K A e -具有期望特征值的观测器增益矩阵e K 的确定，其充要条件为原给定系统的对偶系统v C z A z T T +=是状态完全能控的。
该对偶系统的状态完全能控的充要条件为])([1T n T T T T C A C A C -的秩为n 。
而这正是由式和定义的原系统的状态完全能观测性条件。
这意味着。
由式（）和定义的系统的状态观测器存在的充要条件是系统完全能观测。
下面将利用上述对偶关系，介绍全维状态观测器的设计算法，包括相应的Bass-Gura算法、直接代入法，以及爱克曼公式。
5.5.5 全维状态观测器的Bass-Gura算法考虑由下式定义的单输入单输出线性定常系统x+=AxBuy=Cx式中，。
假设系统是状态完全能观测的，又设系统结构如图所示。
在设计全维状态观测器时，若将式、给出的系统变换为能观测标准形，则相应的设计问题就相当方便了。
考虑对偶关系，将式（）和（）的系统变换为能观测标准形，可按下列步骤进行，即首先定义一个变换矩阵P ，使得1)(-=WR P式中R 是能观测性矩阵])([1Tn T T T T T C A C A C R -=且对称矩阵W 由式（）定义，即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----0001001011132121a a a a a a W n n n n式中，i a 是由式（）给出的如下特征方程的系数显然，由于假设系统是完全能观测的，所以矩阵WR 的逆存在。
现定义一个新的n 维状态向量ξξP x =则式（）和（）为Bu P AP P 11--+=ξξξCP y =式中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=--1111001000a a a AP P n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=---o on n o n n b a b b a b b a b B P 11111]1000[ =CP式（）到（）的推导见例和，此时式（）和（）即是能观测标准形。
从而给定一个系统的状态方程和输出方程，如果系统是完全能观测的，并且通过采用式（）的变换，将原系统的状态向量x 变换为新的状态向量ξ，则可将给定系统的状态方程和输出方程变换为能观测标准形。
注意，如果矩阵A 已经是能观测标准形，则P = I 。
如前所述，选择由)~(~~x C y K Bu x A x e -++==Cx K Bu x C K A e e ++-~)(给出的状态观测器的动态方程。
现定义ξ~~P x =将式（）代入式（），有ξξξCP K P Bu P P C K A P e e 111~)(~---++-=由式（）减去式（），可得)~()(~1ξξξξ--=--P C K A P e定义ξξε~-= 则式（）为εεP C K A P e )(1-=-要求误差动态方程是渐近稳定的，且)(t ε以足够快的速度趋于零。
因此，确定矩阵e K 的步骤是：首先选择观测器的极点（C K A e -的特征值），然后确定e K ，使其等于期望的观测器极点。
注意WR P =-1，可得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--------n n n n n n n n e k k k k CA CA CA C a a a a a a K P 12112132121101001011式中由于e K P 1-是一个n 维向量，则令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--111δδδ n n e K P参考式（），有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---111110000000]100[δδδδδδn n n n e CP K P 和CP K P AP P P C K A P e e 111)(----=-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=----112211110001000δδδδa a a a n n n n n n特征方程为0)(1=---P C K A P sI e即010010*******12211=++-+-+-+----δδδδa s a sa sa s n n n n n n或者可见，每个δi 只与特征方程中的一个系数有关。
假设误差动态方程的期望特征方程为)())((**12*21*121=+++++=------nn n n nn a s a sa sa s s s s μμμ注意，期望的特征值i μ确定了被观测状态以多快的速度收敛于系统的真实状态。
比较式（）和的s 同幂项的系数，可得***=+=+=+nn n a a aa aa δδδ222111从而可得nn n a a a a a a -=-=-=***δδδ222111于是，由式（）得到⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----1*11*1*111a a a a a a K P n n n n n n eδδδ 因此⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-----1*11*1*11*11*1*)(a a a a a a WR a a a a a a P K n n n nn n n n e式（）确定了所需的状态观测器增益矩阵e K 。
如前所述，式（）也可通过其对偶问题由式（）得到。
也就是说，考虑对偶系统的极点配置问题，并求出对偶系统的状态反馈增益矩阵K 。
那么，状态观测器的增益矩阵e K 可由TK 确定（见例）。
一旦选择了期望的特征值（或期望的特征方程），只要系统状态完全能观测，就能设计出全维状态观测器。
Luenberger 曾经指出，当观测器期望极点的选择，使衰减太快，即使C K A e -特征值的实部太负，将导致观测器的作用接近于一个微分器，从而使频带加宽，不能容忍地将高频噪声分量放大，而且也存在观测器的可实现性问题 (因为衰减速度太快，则矩阵e K 较大)，因此Luenberger 建议，进行观测器本身的极点配置时，只需使观测器的期望极点比由此组成的闭环反馈系统BK A -的特征值稍大一些即可。