欧氏空间中的线性变换
高教线性代数第九章 欧氏空间课后习题答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在nR 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, nR 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j iij y x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j iij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =，因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，,(,)ij i ji ja x xααα==∑，,(,)iji ji jay y βββ==∑，故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
第九章 欧氏空间与线性变换
(/ A α , / A β ) = (α , β ).
(c)/A保持长度不变 即对 的任意元 α 有 保持长度不变,即对 保持长度不变 即对V的任意元
(/ A α , / A α ) = (α , β )
(d) )/A把一组标准正交基变为一组标准正交基 把一组标准正交基变为一组标准正交基. 把一组标准正交基变为一组标准正交基 (e) )/A在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵 在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵 (2)欧氏空间的一个变换 若它保持内积不变 则它 欧氏空间的一个变换,若它保持内积不变 欧氏空间的一个变换 若它保持内积不变,则它 是正交变换. 是正交变换 (3)正交变换的逆和积是正交变换 正交变换的逆和积是正交变换. 正交变换的逆和积是正交变换 (4)/A的特征根的模等于 的特征根的模等于1. 的特征根的模等于 3.对称变换 对称变换 (1)欧氏空间 的线性变换 是对称变换当且仅当 欧氏空间V的线性变换 欧氏空间 的线性变换/A是对称变换当且仅当 对任意的 α , β ∈ V 有 (/ A α , β ) = (α , / A β ) ,当且仅当 当且仅当 在一组标准正交基下的矩阵为对称矩阵. 在一组标准正交基下的矩阵为对称矩阵
(1)设线性变换 在一组标准正交基下的矩阵为 设线性变换/A在一组标准正交基下的矩阵为 设线性变换 在一组标准正交基下的矩阵为A, 则/A的共轭变换在这组基下的矩阵为 A / . 的共轭变换在这组基下的矩阵为 (2)共轭变换满足 *)*=/A,(/A+/B)*=/A*+/B*, 共轭变换满足(/A 共轭变换满足 (/A/B)*=/B*/A*,(k/A)*= k /A*. (3)设酉空间 的子空间 是线性变换 的不变子 设酉空间V的子空间 是线性变换/A的不变子 设酉空间 的子空间W是线性变换 空间,则 的正交补 的正交补W 的不变子空间. 空间 则W的正交补 ⊥是/A*的不变子空间 (4)若/AX= λ X,则/A*X= 若 则 (5)若线性变换 特征根为 λ1 , λ 2 , L , λ n ,则/A* 若线性变换/A特征根为 若线性变换 则 的特征根为 λ , λ , L , λ .
高等代数 第8章线性变换 8.6 欧式空间的正交变换和对称变换
b = cosψ，d = sinψ
将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得 Cosφcosψ + sinφsinψ = 0 或 cos(φ+ψ) = 0
最后等式表明，φ －ψ是π/ 2的一个奇数倍. 由此 得
cos sin , sin cos
所以
cos sin U sin cos
2 ( x1, x2 , x3 ) ( x1 x3 , x2 2 x3 , x1 2 x2 x3 );
3 ( x1, x2 , x3 ) ( x2 , x1, x3 )
对称变换和对称矩阵之间的关系
定理8.4.2 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换， 如果σ关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那 么σ是一个对称变换. 证
1 , 2 ,, n
正交变换的定义
定义1 欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个 正交变换，如果对于任意 V 都有 | ( ) || |
例1 在 V2 里,把每一向量旋转一个角的 线性变换是 V2 的一个正交变换. 例2 令H是空间 V3 里过原点的一个平面.对于 每一向量 V3 ，令对于H的镜面反射 与它对应. : 是 V3 的一个正交变换.
1 0 0 0 1 0 0 0 1
以上两个矩阵都是正交矩阵.
V2 .V3 的正交变换的类型
设σ是 V2的一个正交变换，σ关于 V的一个规范正 2 交基 1 , 的矩阵是 2 a b U c d 那么U 是一个正交矩阵. 于是
y, , , 的矩 1 设σ关于V的一个规范正交基 2 n
( ),
xi ( i ),
欧式空间
欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
欧式空间正交变换的分类
欧式空间正交变换的分类欧氏空间正交变换的分类在多维空间里保持长度不变的正交变换无疑是重要的，但这种变换在多维空间下的可操作性我们还并不清楚，下面，我们从课本出发，把二、三维空间下的正交变换推广到五维空间定义：欧式空间v的一个线性变换σ叫做一个正交变换，如果对于任一ξ∈v都存有∣σ（ξ）∣=∣ξ∣正交变换的基本性质：欧式空间v的一个线性变换σ是正交变换的充要条件是：对于v任意向量ξ，η，=。
设v就是一个n佩欧式空间，σ就是v的一个线性变换。
如果σ就是v正交变换，那么σ把v的任一一个规范拓扑基仍变为的一个规范拓扑基为。
反过来，如果σ把v的某一规范拓扑基为仍旧变为的一个规范拓扑基为，那么σ就是v的一个正交变换。
n维欧式空间v的一个正交变换σ关于v的任意规范的矩阵是一个正交矩阵。
反过来，如果v的一个线性变换关于某一个规范正交基的矩阵是单位阵，那么该线性变换σ是一个正交变换。
将v2的一个向量转动一个角ϕ的正交变换关于v2的任一规范拓扑基的矩阵就是⎛cosϕ-sinϕ⎛sinϕcosϕ⎛⎛⎛⎛在平面h内取两个正交的单位向量γ1，γ2，在取一个垂直于h的单位向量γ3，那么{γ1,γ2,γ3}是v3的一个规范正交基。
关于这个基的矩阵是010⎛。
以上两00-1⎛⎛⎛个都是正交矩阵。
设立σ就是v2的一个正交变换。
σ关于v2的一个规范拓扑基u=γ2}的矩阵是⎛cb⎛⎛，那么就是一个正交矩阵。
于是⎛d⎛a2+b2=1,b2+d2=1,ab+cd=0(2)存有第一个等式，存有一个角α并使a=cosα,c=sinα.由于cosα=cos(±α)，±sinα=sin(±α)因此可以而令a=cosϕ,c=sinϕ这里ϕ=α或-α同理，由(2)的第二个等式，存在一个角ψ使b=cosψ,d=sinψ.将a,b,c,d代入(2)的第三个等式得cosϕcosψ+sinϕsinψ=0,或cos(ϕ-ψ)=0.最后等式表明，ϕ-ψ是的一个基数倍。
欧式空间
欧式空间————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:第八章 欧氏空间向量空间可以看成是通常几何空间概念的推广,然而几何空间里有向量的长度和夹角的概念,而一般的向量空间里却没有得到反映。
这一章我们将在实数域上的向量空间里引入欧氏内积的概念，从而可以合理的定义有向量的长度和夹角，这样的向量空间称为欧氏空间，在许多领域里有广泛的应用。
学习中还要注意学习具体到抽象,再从抽象到具体的辩证的思想方法。
§1 定义和性质几何空间3V 里向量的内积是通过向量的长度和夹角来定义的,即||||cos ξηξηθ⋅=⋅,||ξ表示ξ的长度,θ表示ξ与η的夹角。
我们不能直接按上面方式定义内积,因为还没有定义长度和夹角。
我们要根据几何内积所满足的性质来定义，回想到在第四章第8节在n R 定义内积就是根据几何内积所满足的性质来定义的。
所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念。
定义1 设V 是实数域R 上的一个向量空间，有一个V V ⨯到R 的二元实函数，记作(,)αβ，具有以卡性质:,,V αβγ∀∈，k R ∀∈1） (,)(,)αββα=;2) (,)(,)(,)αβγαβαγ+=+; 3) (,)(,)k k αβαβ=;4) (,)0αα≥， 等号成立当且仅当0α=(,)αβ叫做向量α与β的内积,V 叫做对这个内积来说的欧氏空间。
在需要和其它的内积区别的时候，我们也把满足这4条性质的内积叫做欧氏内积。
在欧氏空间的定义中，对向量空间的维数并无要求,可以是有限维的,也可以是无限维的。
几何空闻中向量的内积显然适合定义中列举的性质，所以几何空间中向置的全体构成一个欧氏空间。
例1 1212(,,,)',(,,,)'n n n a a a b b b R αβ∀==∈，规定α与β的内积为1122(,)'n n a b a b a b αβαβ=+++=，则n R 作成一个欧氏空间。
欧式空间中线性变换和正交变换的关系
欧式空间中线性变换和正交变换的关系欧⽒空间中线性变换和正交变换的关系摘要对欧式空间中的线性变换与正交变换之间的关系进⾏讨论关键词：欧式空间线性变换正交变换线性变换和正交变换是欧⽒空间的两种重要变换。
本⽂⾸先引⼊线性变换和正交变换在欧⽒空间中的定义，然后讨论两者之间的关系。
为了阅读⽅便，本⽂从最基本的概念谈起，即先定义线性空间、内积、欧⽒空间、线性变换和正交变换。
定义1 设V 不是空集，P 为⼀个数域，在V 中定义加法和数量乘法（简称数乘），若对P l k V ∈?∈?,,,,γβα，满⾜：（1）V ∈+βα，（关于加法封闭）（2）αββα+=+，（交换律）（3））（）（γβαγβα++=++，（结合律）（4）V V ∈?=+∈?ααα，使0,0，（零元）（5）0=-+∈-?∈?）（，使）（，ααααV V ，（负元）（6）V k ∈?α（关于数乘封闭）（7）αα=?1（8）αα）（）（kl l k =（9）αααl k l k +=+）（（10）βαβαk k k +=+）（则称V 为数域P 上的线性空间。
定义2 设V 是R 上的⼀个线性空间，在V 上定义了⼀个⼆元实函数，称为内积，记为),(βα，它具有以下性质（R k V∈∈,,,γβα）：（1）),(),(αββα=（2）),(),(βαβαk k =（3）),(),(),(γβγαγβα+=+（4）0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。
定义3 定义2中的线性空间V 就称为欧⼏⾥得空间，简称欧⽒空间。
定义4 设V 是⼀个线性空间，P 为⼀个数域，对于P k V ∈?∈?,,βα，有（1）()()()A A A αβαβ+=+（2）()()A k kA αα?=则称A 为V 上的线性变换。
定义5 设A 是欧⽒空间V 的⼀个变换，如果对于任意的,,V ∈βα即保持内积不变，都有：((),())(,)A A αβαβ=。
则称A 是正交变换。
第九章 欧氏空间
= ( , ) + ( , ) .
3 ) ( , 0 ) = (0 , ) = 0；
4) ( ki i , l j j ) ki l j ( i , j );
i 1 j 1 i 1 j 1
s
n
s
n
5 ) | ( , ) | | | | |，当且仅当 , 线性相
关时，等号才成立.
2 长度、夹角与正交
(1) 设V是欧氏空间，对任意V，非负实数 ( , ) 称为向量 的长度，记为 | |. 即| | 度为1的向量称为单位向量. 如果≠0，则
( , ) ，长
1 | |
是单位
向量，称为将单位化.
(2) 非零向量 , 的夹角 < , > 规定为
为 V1 . 如果V1 V2 ，且V=V1 + V2 ，则称V2为V1的
正交补，记为V1.
(2) 正交子空间有下列结果： 1) 设V是欧氏空间， , i , j V，则
L(1 , 2 , … , t) 等价于 j (j=1, 2, ..., t);
L(1 , 2 , … , s) L(1 , 2 , … , t)等价于i j
第九章
欧氏空间
内 容 摘 要
1 内积和欧几里得空间
(1) 设 V 是实数域 R 上一个线性空间，如果对V中 任意两个元素 , 有一个确定的实数( , )与它们对应， 且满足：
1) ( , ) = ( , )；
2) (k , ) = k( , )；
3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 4) ( , ) 0，当且仅当 = 0 时 ( , ) = 0 .
§4正交变换
( A , A ) ( , ) .
再来证明1）与3）等价. ( 1 ) (3 )
,2 , , 设 是一组标准正交基，则 1 n 1 ,i j , ( AA , ) (, ) (, i j 1 ,2 , ,n ) . i j i j 0 ,i j A , A , , A 由此可知， 也是标准正交基. 1 2 n (3 ) ( 1 ) ,2 , , , A , , 设 是一组标准正交基，则 A 1 n 1 2 A n 也是一组标准正交基，于是对于 , V ,设
( A ,) A 2 ( A , A ) ( A , A )
( A A , A A ) ( A ( ) ,( A ) ) ( , ) . ( , ) 2 ( ,) ( ,) ,
再利用 ( 即得 A , A ) ( ,) , ( A , A ) (, )
,2 ,3 建立的直角坐标系是右手 式等于 1，则以 1
三维几何空间中的右手系和左手系的概念可以
只是没有了右手法则和左 广到一般n维欧氏空间中，
手法则这样直观的表示. 于是我们就直接按过渡矩 阵的行列式列的符号（即等于+1还是－1）对n 维欧 氏空间中的的标准正交基进行分类. 欧氏空间（也 可用于线性空间）中所有的基分为两类： 先选取一 组基，凡是与它的过渡矩阵大于零的基属于一类， 反之，与它的过渡矩阵小于零的基属于另一类.
n
n
n
j 1 n
于是
xi yj (A i , A j )
n
i 1
欧几里得空间 (小结)
一、欧氏空间 1.内积、欧氏空间的概念及其简单性质.
2.柯西—布涅可夫斯基不等式: (α, β)2≤(α, α)(β, β) 3.向量的长度: | | ( , )
( , ) , (0 ) 4.两个非零向量α与β的夹角: arccos
若(α, β)=0，则α与β正交.
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(5) 设A是实对称矩阵，则属于A的不同特征值的
特征向量是正交的.
(6) 任一个n级实对称矩阵A都可以正交对角化，
即存在正交矩阵U，使得 UTAU=U-1AU 是对角形
式，相应地有对于欧氏空间V的任一个对称变换σ,
存在V的标准正交基， σ在这个标准正交基下的矩 阵是对角形式.
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二、标准正交基 １. 标准正交基的概念.
２. 标准正交基的求法—施密特正交化方法.
３. 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正 交矩阵. 反过来，假如两个基之间的过渡矩阵是
正交矩阵，而且其中一个基是标准正交基，那么
另一个基也是标准正交基.
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三、正交补 内射影 1. 向量与集合正交的概念.
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五、欧氏空间的同构
1. 欧氏空间同构的概念. 2. 两个有限维欧氏空间同构<＝>它们的维数相同. 3. 每个n维欧氏空间都与Rn同构. 本章的重点是欧氏空间的基本概念、标准正 交基、正交变换和正交矩阵、对称变换与对称矩 阵.
难点是正交变换、正交补、对称变换.
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2. 欧氏空间的子空间V1的正交补的概念.
3. 设V1是V的子空间，则有V=V1⊕V1⊥，且任意 α∈V可以唯一写成α=α1+α2,其中α1∈V1,α2∈V1⊥， 则称α1是α在V1上的内射影.
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《欧氏空间中的线性变换》
线性变换是数学中的一个概念,在欧氏空间(或其它数学空间)中,线性变换指的是将一个向量的线性组合与其相应的逆向量的乘积之和等于原来向量.线性变换的定义为:若将某个线性变换a 应用到b 上去,那么a 乘以b 等于b 乘以a.线性变换是一种运算.若对于任意的n 个向量v 和向量w,有: v×w= wv+ a×b,则称线性变换a 为v 和w 的一个线性变换,记作a·v·w 或简记为a·v·w.由此可见,线性变换a 是v 和w 的线性函数.
线性变换是欧氏空间(EuclideanSpace)中的基本元素,也就是说,线性变换是一种元素.线性变换的表示方式有很多种,比如矩阵形式、向量形式等等.线性变换具有许多重要特征,比如说线性变换是满射的,也就是说,线性变换总是把自身的逆映射回到原来的位置上;线性变换是一个线性映射,即对于线性变换a,存在一个唯一的线性映射b,使得a·b=0;线性变换不改变运算结果的大小.线性变换是可逆的.线性变换在欧氏空间中的表示法为:线性变换的概念最早是由柯西提出来的.。