线性空间与欧洲空间.doc
浅谈线性空间与欧式空间.
2014年三会一课会议记录示例1月10日支部委员会内容：1、传达镇党委工作会议精神。
2、临近春节，讨论摸排村内不稳定因素，及时解决村民反映的突出问题。
3、总结2012年各项工作……..，讨论2013年重点工作，制定2013年初步工作计划………，下一步及时召开党员大会进行讨论。
4、讨论村内环境卫生整治工作，杜绝垃圾乱倒现象，积极营造优美居住环境。
2月3日支部委员会内容：1、讨论如何进一步优化村内环境，清扫大街，欢度春节。
2、传达镇党委政府春节安全工作会议精神，进一步强调社会平安稳定工作。
3、安排发放计生明白纸。
4、春节前走访困难群众，座谈了解群众的实际困难和问题，及时加以解决。
3月1日党员大会内容：商议村内重大建设项目及工作计划一、（支书姓名）介绍我村今年的工作计划。
二、（支部书记）介绍当前重点惠民项目情况今天我们商议的事是：（修路、修大街、挖沟渠、打机井、整平生产路、修建办公室、购置器械、整理农田、修理自来水等。
再详细介绍一下项目内容、投资情况）。
如修村内大街，长米，宽米，需建设资金万元，经村两委讨论决定，建设资金为村集体收入资金（或群众共同出资，每人元）。
三、党员讨论结果经村党员大会讨论举手表决：同意通过。
参加会议人，同意人，不同意人，弃权人。
党员纷纷表示，会积极向群众宣传本次会议精神，配合村里的工作。
四、（支书姓名）总结。
同志们考虑的很全面，提出的意见很中肯，我们村两委成员，一定会按照同志们的想法，认真修改初步制定的计划，制定最终方案，做好惠民项目的建设。
3月1日上党课内容:（一般召开一次党员大会，就跟着上一次党课，这样符合实际情况，检查的时候也可信）一、（支书姓名）主持会议今天，镇领导…（填写联系本村的副科级领导）到我村来为大家上党课，让我们用热烈的掌声欢迎领导讲话。
二、镇领导讲话一是传达今年以来，市委抓基层党建工作的重要精神，强调加强村两委班子和党员队伍建设的重要性和紧迫性。
二是根据市委的要求，通报今年以来我镇在加强基层党组织建设方面出台的一系列措施及有关要求。
欧式空间的定义
欧式空间的定义----9af74e36-7160-11ec-a302-7cb59b590d7d简介编辑编辑欧式空间一般指欧几里德空间欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
大约公元前300年，古希腊数学家欧几里德建立了空间中角度和距离之间关系的定律，现在称为欧几里德几何。
欧几里德首先发展了“平面几何”，以处理平面上的二维物体。
然后他分析了三维物体的“三维几何”。
所有欧几里德公理都被安排到一个抽象的数学空间，称为二维或三维欧几里德空间。
这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间（甚至简称 n维空间）或有限维实内积空间。
这些数学空间也可以推广到任意维的情况，称为实内积空间（不一定完全），希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里德空间。
为了发展高维欧几里德空间，空间的性质必须严格表达并扩展到任意维。
虽然这样做的结果是数学非常抽象，但它抓住了欧几里德空间的基本本质，即平面性。
还有其他类型的空间，比如球面非欧几里德空间，相对论中描述的四维时空在重力出现时不是欧几里德空间。
有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。
其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。
其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。
欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是子集）应被认为是等价的（全等）。
（参见欧几里得群）。
欧几里德空间的最后一个问题是，从技术上讲，它不是一个向量空间，而是一个向量空间作用的仿射空间。
直觉上，区别在于，对于原点应该在这个空间中的什么位置，没有标准的选择，因为它可以移动到任何地方。
这项技术在本文中基本上被忽略了。
欧几里德空间(euclideanspace)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
线性空间与欧氏空间
a,b V ,a b abV , k R,k a ak V .
运算封闭.
运算规律：
(1) a b ab ba b a (2) (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (b c)
非齐次线性方程组Ax=b(b 0)的解向量集合 不构成线性空间.(对向量的加法与数乘不封闭； 没有零向量) 例4 定义在闭区间[a, b]上的全体实连续函数, 按照普通函数的加法及数与函数的乘法构成一 个实线性空间. 记为C[a, b].
例5 全体正实数的集合记为V，在其中定义 加法及数乘运算为：
定理 设V是线性空间, V的非空子集L成为V的 子空间的充分必要条件是L对于V中定义的加法 与数乘两种运算都是封闭的.
例3中齐次线性方程组Ax=0的解向量空间Sn 是n维向量空间的子空间.
定义 设L是数域K上的线性空间V的非空子集, 且L对于V中定义的加法与数乘运算也构成一个 线性空间, 则称L是V的一个子空间.
例 若V是线性空间, 则V本身也是子空间. 只含 有单个零元素的集合也是子空间, 称为V的零 (故 V 对于所定义的运算构成线性空间. 线性空间的性质
1. V中零元素是唯一的; 2. V中任意元素的负元素唯一; 3. 0·a=0; ( 1)·a= a; k ·0=0; 4. k·a=0 k=0或a=0.
在学习特殊矩阵时, 所有数域K上的n n阶 上三角矩阵是全体n阶矩阵的子集. 而上三角矩 阵对矩阵的加法与数乘是封闭的, 可以验证满 足运算规律, 这样所有数域K上的n n阶上三 角矩阵构成一个线性空间, 称为线性空间Mnn 的子空间.
2. 加法与数乘运算是一种符号运算, 不是通常 意义下的加法与数乘.
欧式空间(全部)
α ⋅β 夹角 < α , β > ： cos < α , β > = α β
α = α ⋅α
3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质. 、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质
§9.1 定义与基本性质
一、欧氏空间的定义
1. 定义 上的线性空间， 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量 是实数域 上的线性空间 中任意两个向量
所成线性空间， 所成线性空间，对于函数 f ( x ), g ( x ) ，定义
( f , g ) = ∫ f ( x ) g ( x ) dx
a
b
（2） ）
对于（ ）作成一个欧氏空间. 则 C (a , b ) 对于（2）作成一个欧氏空间
∀ 证： f ( x ), g ( x ), h( x ) ∈ C (a , b ), ∀ k ∈ R
2 2 2 2
证：若 (α i ,α j ) = 0, i ≠ j 则 α1 + α 2 + L + α m = ( ∑ α i , ∑ α j )
（6） ）
(α , β ) 代入（ ） 取 t=− 代入（6）式，得 (β , β )
(α , β ) (α , β )2 (α ,α ) − 2(α , β ) + (β , β ) ≥0 2 (β , β ) (β , β )
即
(α , β )2 ≤ (α ,α )( β , β )
两边开方， 两边开方，即得
推广： 推广： (α , ∑ β i ) = ∑ (α , β i )
i =1 i =1 s s
3) (0, β ) = 0
§9.1 定义与基本性质
第五章 线性空间与欧式空间
有
k1 k 2 , k1 E11 k 2 E12 k 3 E 21 k 4 E 22 k3 k 4
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
有 A a11 E11 a12 E12 a 21 E 21 a 22 E 22
因此
E11 , E12 , E 21 , E 22 为V的一组基.
（ 3 ） V1 , k F ,恒有f ( k ) kf ( ).
如果两个线性空间V1与V2之间能够建立一个同构映 射，那么就称V1与V2同构.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例10： n维线性空间 Vn x11 x2 2 xn n x1 , x2 ,, xn R
( 2)设
( x1 , x2 ,, xn )T ( y1 , y2 ,, yn )T
( x1 , x 2 ,, x n ) ( y1 , y2 ,, yn )
T T
则有
( x1 , x2 ,, xn )
同构具有下列简单的性质：
T
(1) 自反性：V1与V1同构；
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例8：在线性空间 R [ x ]n中, 取一组基
1 1, 2 ( x a ), 3 ( x a ) ,, n ( x a )
则由泰勒公式知
2
n 1
f ' ' (a ) 2 f ( x ) f (a ) f ' (a )( x a ) ( x a) 2! ( n 1) (a ) f n 1 ( x a) ( n 1)! 因此 f ( x )在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是 (a ) f ''(a ) f ( f (a ), f '(a ), , , ) . 2! ( n 1)!
欧式空间
1. 定义
= 3 . ( f + g, h )
= = ( f , h) + ( g , h) 4 . ( f , f ) = ∫ f 2 ( x ) dx
a b
∫a ( f ( x ) + g( x ) ) h( x ) dx b b ∫a f ( x )h( x ) dx + ∫a g( x )h( x ) dx
(α , β )′ 满足定义中的性质 1 ～4 . 易证 所以(α , β )′ 也为内积. 从而 R n 对于内积 (α , β )′ 也构成一个欧氏空间. 注意：由于对 ∀α ⋅ β ∈ V , 未必有 (α , β ) = (α , β )′ 所以1），2）是两种不同的内积.
从而 R 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.
反之，若等号成立，由以上证明过程知 或者 β
即
(α , β )2 ≤ (α ,α )( β , β )
2. 内积的性质 当α、β 线性相关时，不妨设 α = k β
(α , β ) (= (β , β ) k β . kβ , β ) k = = 于是， = α β k = β β k β
2 2
∴ (α , β ) = α β. 等号成立.
n
1. 定义
例2．C (a , b) 为闭区间 [a , b] 上的所有实连续函数 所成线性空间，对于函数 f ( x ), g( x ) ，定义 则 C (a , b) ∀ f ( x ), g ( x ), h( x ) ∈ C (a , b ), ∀ k ∈ R 证：
1 . ( f , g) 2 . ( k f , g )
= α
α ⋅α
(α ⋅ β )
夹角 ： cos < α , β > =
第八讲 欧式空间
2、内积的性质 、 α V 是欧氏空间， , β , γ , α i , βi ∈ V , k , ki , li ∈ R ，则 是欧氏空间， （1） α , k β = k α , β ; ） （2） α , β + γ = α , β + α , γ ; ） （3） α , o = o, β = 0; ） （4） ）
1 1 2 2 n n
－－对于实矩阵 （2） R m×n －－对于实矩阵 A = ( aij )m×n , B = ( bij )m×n ） 内积为
A, B = ∑∑ aij bij
i =1 j =1
m
n
－－对于 （3）C [ 0,1] －－对于[ 0,1] 上实连续函数 f ( x ) , g ( x ) ， ） 内积为 b f ( x ) , g ( x ) = ∫ f ( t )g ( t ) dt
一、内积的构造、判定与证明 内积的构造、 1、欧氏空间的概念 、 是实数域R上的线性空间 上的线性空间。 设V 是实数域 上的线性空间。如果对V 中任意两个 与它们对应， 向量 α , β 有一个确定的实数 α , β 与它们对应，且满足 （1） α , β = β , α ; ） （2） kα , β = k α , β , k ∈ R; ） （3） α + β , γ = α , γ + β , γ , γ ∈ V ; ） （4） α , α ≥ 0, 当且仅当 α = o 时 α , α = 0. ） 的内积， 则称 α , β 为 α 与 β 的内积，定义了内积的线性空间V 称为欧氏空间。 称为欧氏空间。 一些常见的欧氏空间 （1） R n －－对于实向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) , β = ( b1 , b2 ,L , bn ) ） －－对于实向量 内积为 α , β = a b + a b + L + a b = αβ T
欧式空间的定义
欧式空间的定义欧几里德空间编辑欧式空间一般指欧几里德空间欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
简介编辑约在公元前300年，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则，现称为欧几里得几何。
欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。
这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间(甚至简称 n维空间)或有限维实内积空间。
这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间(不一定完备)，希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。
为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须严密地表达并被扩展到任意维度。
尽管这样做的结果导致数学非常抽象，但却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，即平面性。
还另存在其他种类的空间，例如球面则非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。
有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。
其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。
其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。
欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形(也就是子集)应被认为是等价的(全等)。
(参见欧几里得群)。
欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间，而是向量空间作用于其上仿射空间。
直觉上，区别在于对于原点应当位于这个空间的什么地方没有标准选择，因为它可以到处移动。
这种技术本文中很大程度上被忽略了。
欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
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线性空间与欧洲空间
第六章线性空间和欧氏空间的定义(1线性空间及其同构-线性空间)设V为非空集，K为数域。
集合V的元素之间定义了一个代数运算，称为加法；也就是说，给定一个规则，对于V中任何两个元素的和，V中只有一个元素对应于它们，并且成为和的和，它被记录为。
在数字域k和集合v的元素之间还定义了一个运算，称为数字乘法。
也就是说，对于任何数字k和数字域k中的任何元素v，在v 中只有一个元素对应于它们，这被称为k和的数乘积。
注意，如果加法和数乘法满足以下规则，则v被称为数域k上的线性空间。
加法满足以下四个规则:
1)；
交换法2)；
束缚定律3)在V中有一个元素0，在V中有一个元素(具有这个性质的元素0称为V的零元素)；
有零元素4)对于V中的每个元素，都有V中的元素，构成(称为的负元素)。
存在满足以下两个规则的负元素数乘法:
5)；
有一张1元的。
数的乘法和加法的结合律满足以下两条规则:
7)；
数字8)的分布规律。
上述规则中元素的分布规律是指数字字段
中的任何数字；
和类似物代表集合中的任何元素。
这些元素属于数字域K的矩阵。
根据矩阵的加法和矩阵的和数的乘法，在数字域K上形成线性空间，其被记录为。
例2。
所有实函数(连续实函数)通过将函数相加并将数乘以函数的个数而在实数域中形成一个线性空间。
例3。
维度向量空间是线性空间。
例4。
向量空间中的线性映射集是线性空间。
2.简单自然1。
零元素是唯一的。
2.消极因素是独特的。
3.
4.如果是，那么或者。
三.同构映射的定义:
让它成为数域上的线性空间。
这是一个线性映射。
如果它是一对一的映射，它被称为线性空间的同构映射，简称同构。
线性空间和线性空间称为同构。
定理数域p上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们具有相同的维数。
同构映射的逆映射和两个同构映射的乘积是同构映射。
2线性子空间之和和和直和子空间之和:
如果它是线性空间的子空间，那么集合也是线性子空间，称为和，表示为。
两个线性子空间的和是包含两个线性子空间的最小子空间。
如果它满足交换律、结合律和两个向量组是V，那么线性子空间中的线性独立向量组可以扩展到这个子空间的基。
定理:
(维数公式)如果它是线性空间的两个子空间，那么=因此，和的维数小于维数和的维数。
有限线性子空间的和空间维数的推导：如果一维线性空间中两个子空间的维数之和大于，那么一定有一个非零公共向量。
直接总和:
让它成为线性空间的子空间。
如果空间中的每个向量都可以唯一地表示为。
那么它被称为直接和，并被记录为。
如果它是线性空间的子空间，下面的结论是相互等价的:
如果它是线性空间的一个子空间，那么一定有一个线性子空间，所以满足上述条件的线性子空间称为互补子空间。
如果它被扩展到有限数量的线性子空间，它也可以定义它们的直和(3)欧几里德空间被定义为实数域上的有限维线性空间，并且在其上定义了一个称为内积的二进制实函数，它被记录为满足以下四个公理对称；2)标量乘法的线性性质；3)向量加法的线性性质；4)正，当且仅当，这里有任何向量和任何实数，这样的线性空间被称为欧几里德空间。
例1在线性空间中，如果内积(1)是为向量定义的，内积(1)适用于定义中的条件，因此成为欧氏空间。
当(1)在几何空间中时——也就是说，给定一个规则，对于V中任何两个元素的和，在V中只有一个元素对应于它们，并且和的和被记录为。
在数字域k和集合v的元素之间还定义了一个运算，称为数字乘法。
也就是说，对于任何数字k和数字域k中的任何元素v，在v 中只有一个元素对应于它们，这被称为k和的数乘积。
注意，如果加法和数乘法满足以下规则，则v被称为数域k上的线性空间。
加法满足以下四个规则:
1)；
交换法2)；
束缚定律3)在V中有一个元素0，在V中有一个元素(具有这
个性质的元素0称为V的零元素)；
有零元素4)对于V中的每个元素，都有V中的元素，构成(称为的负元素)。
存在满足以下两个规则的负元素数乘法:
5)；
有一张1元的。
数的乘法和加法的结合律满足以下两条规则:
7)；
数字8)的分布规律。
上述规则中元素的分布规律是指数字字段中的任何数字；
和类似物代表集合中的任何元素。
这些元素属于数字域K的矩阵。
根据矩阵的加法和矩阵的和数的乘法，在数字域K上形成线性空间，其被记录为。
例2。
所有实函数(连续实函数)通过将函数相加并将数乘以函数的个数而在实数域中形成一个线性空间。
例3。
维度向量空间是线性空间。
例4。
向量空间中的线性映射集是线性空间。
2.简单自然1。
零元素是唯一的。
2.消极因素是独特的。
3.
4.如果是，那么或者。
三.同构映射的定义:
让它成为数域上的线性空间。
这是一个线性映射。
如果它是一对一的映射，它被称为线性空间的同构映射，简称同构。
线性空间和线性空间称为同构。
定理数域p上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们具有相同的维数。
同构映射的逆映射和两个同构映射的乘积是同构映射。
2线性子空间之和和和直和子空间之和:
如果它是线性空间的子空间，那么集合也是线性子空间，称为和，表示为。
两个线性子空间的和是包含两个线性子空间的最小子空
间。
如果它满足交换律、结合律和两个向量组是V，那么线性子空间中的线性独立向量组可以扩展到这个子空间的基。
定理:
(维数公式)如果它是线性空间的两个子空间，那么=因此，和的维数小于维数和的维数。
有限线性子空间的和空间维数的推导：如果一维线性空间中两个子空间的维数之和大于，那么一定有一个非零公共向量。
直接总和:
让它成为线性空间的子空间。
如果空间中的每个向量都可以唯一地表示为。
那么它被称为直接和，并被记录为。
如果它是线性空间的子空间，下面的结论是相互等价的:
如果它是线性空间的一个子空间，那么一定有一个线性子空间，所以满足上述条件的线性子空间称为互补子空间。
如果它被扩展到有限数量的线性子空间，它也可以定义它们的直和(3)欧几里德空间被定义为实数域上的有限维线性空间，并且在其上定义了一个称为内积的二进制实函数，它被记录为满足以下四个公理对称；2)标量乘法的线性性质；3)向量加法的线性性质；4)正，当且仅当，这里有任何向量并且是任何实数，这样的线性空间被称为欧几里德空间。
例1在线性空间中，如果内积(1)被定义为向量，内积(1)适用于定义中的条件，从而成为欧氏空间。
(1)公式在几何空间:线性方程可能没有解。
也就是说，任何一组数字都可以使(1)不等于零。
我们试图找到(1)的最小二乘解，它被称为方程的最小二乘解。
这种问题叫做最小二乘问题。
下面用欧几里德空间的概念来表示最小二乘法，并给出最小二乘
法解满足的代数条件。
(2)利用距离的概念，(1)最小二乘法是寻找最短距离的方法。
但从(2)可知，向量是要分别记录每一列向量的。
它们生成的子空间是。
是吗
寻找和最小化(1)是在中寻找一个向量，使得到它的距离比到子空间中其他向量的距离短。
应用上述结论，如果向量是期望的向量，它必须垂直于子空间。
为此，只需要调用矩阵乘法规则。
上述方程组可以写成矩阵乘法公式，即矩阵按行排列，上述方程组合在一起就是或这就是最小二乘解所满足的代数方程。
它是一个线性方程组，系数矩阵是，常数项是。
这个线性方程组总是有解的。
第五节正交变换和正交矩阵将欧氏空间中的线性变换定义为正交变换。
如果它保持向量的内积不变，也就是说，它有(A，A)=。
正交变换可以在几个不同的方面得到很好的表征。
正交群A是N维欧氏空间中的正交变换，得到以下结论:
(1)如果它是正规正交基，那么α，α，A也是正规正交基；
(2) A保持向量的长度不变，即，(A，A)=，(3)任何正规正交基下的矩阵都是正交矩阵。
(4)正交变换的乘积和正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。
如果它是一个正交矩阵，那么它可以从或中得知。
因此，正交变换的行列式等于1或-1。
行列式等于1的正交矩阵通常称为旋转矩阵，或第一类特殊正交群；
行列式等于-1的正交变换称为第二类。
word数据。