欧式空间中线性变换和正交变换的关系
高等代数 第8章线性变换 8.6 欧式空间的正交变换和对称变换
b = cosψ，d = sinψ
将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得 Cosφcosψ + sinφsinψ = 0 或 cos(φ+ψ) = 0
最后等式表明，φ －ψ是π/ 2的一个奇数倍. 由此 得
cos sin , sin cos
所以
cos sin U sin cos
2 ( x1, x2 , x3 ) ( x1 x3 , x2 2 x3 , x1 2 x2 x3 );
3 ( x1, x2 , x3 ) ( x2 , x1, x3 )
对称变换和对称矩阵之间的关系
定理8.4.2 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换， 如果σ关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那 么σ是一个对称变换. 证
1 , 2 ,, n
正交变换的定义
定义1 欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个 正交变换，如果对于任意 V 都有 | ( ) || |
例1 在 V2 里,把每一向量旋转一个角的 线性变换是 V2 的一个正交变换. 例2 令H是空间 V3 里过原点的一个平面.对于 每一向量 V3 ，令对于H的镜面反射 与它对应. : 是 V3 的一个正交变换.
1 0 0 0 1 0 0 0 1
以上两个矩阵都是正交矩阵.
V2 .V3 的正交变换的类型
设σ是 V2的一个正交变换，σ关于 V的一个规范正 2 交基 1 , 的矩阵是 2 a b U c d 那么U 是一个正交矩阵. 于是
y, , , 的矩 1 设σ关于V的一个规范正交基 2 n
( ),
xi ( i ),
9.4正交变换
必要性。若 σ 是正交变换，由定理9.4.2知 σα1 , σα 2 , 也是V的一个标准正交基。 故A是正交矩阵。
定理9.4.3 设 σ 是n维欧氏空间V的一个线性变换。 σ 是 正交变换的充要条件是：σ 关于V的任意标准正交基的矩阵是正 交矩阵。 证明： 设 α1 , α 2 , , α n 是V的一个标准正交基，则 (σα1 , σα 2 , , σα n ) = (α1 , α 2 z ) = ( x, y, − z ) = x 2 + y 2 + z 2 = ( x, y, z )
定理9.4.1 设 σ 是n维欧氏空间V的一个线性变换。 σ 是 正交变换的充要条件是： σ 保持向量的内积不变。 证明：必要性。 如果 σ 是正交变换，即对 ∀α ∈ V , σα = α , ∀α , β ∈ V , 则有： (σα , σα ) = (α , α ), (σβ , σβ ) = ( β , β ),
§9.4
正交变换
§9.4
正交变换
一、正交变换的定义及性质 二、正交变换的类型
第九章 欧几里得空间
线性空间的线性变换，实际上是保持向量线性运算的变换。 在欧氏空间中，除了向量的线性运算外，还有向量的度量性质， 因此有必要讨论保持度量关系不变的线性变换。其中保持长度 不变的线性变换无疑是重要的。 例9.4.1 在欧氏空间 R 2 中有一个坐标旋转变换，在把平面 围绕原点逆时针旋转 θ 角之后，平面上向量之间什么关系保持 不变? 向量的长度、向量的夹角、向量的距离等保持不变。 能否在一般欧氏空间也找到具有这种性质的线性变换？ 这种线性变换就是本节要研究的正交变换。
σ −1 仍是V的一个正交变换。 解： 正交变换 σ 在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵， 正交矩阵是可逆的，所以 σ 是可逆变换。
欧几里得空间中的正交基与正交变换
欧几里得空间中的正交基与正交变换欧几里得空间是一个重要的数学概念，它涉及到向量、点、线和平面等几何图形的性质与关系。
在欧几里得空间中，正交基和正交变换是其中两个重要的概念。
本文将对欧几里得空间中的正交基和正交变换进行探讨，旨在帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、正交基在欧几里得空间中，正交基是指一组向量中的每两个向量都相互垂直。
更具体地说，如果向量v₁、v₂、...、vₙ满足vᵀᵢ·vₙ=0（其中1≤i≠j≤n，vᵀ表示向量的转置），则称这组向量为正交基。
正交基的一个重要性质是它们是线性无关的，这意味着没有任何一个向量可以表示成其他向量的线性组合。
因此，正交基可以作为欧几里得空间的一个基础，用来描述和计算向量的性质和关系。
在实际应用中，正交基有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，使用正交基可以轻松地描述和转换三维空间中的物体位置和方向；在信号处理中，正交基可以用来表示和处理复杂的信号和波形；在机器学习中，正交基可以用来降低数据的维度和提取有效特征等。
二、正交变换正交变换是指在欧几里得空间中保持向量长度和夹角不变的线性变换。
简单来说，正交变换是一种保持形状不变的变换。
正交变换的一个重要特性是它可以保持向量的正交性。
也就是说，如果两个向量在变换前相互垂直，那么它们在变换后仍然相互垂直。
这一性质使得正交变换在几何学和物理学中得到广泛应用。
常见的正交变换包括旋转、反射和投影等。
通过这些变换，我们可以改变向量的方向、位置和维度等属性，从而得到新的向量和图形。
正交变换还有一些特殊的性质。
例如，正交变换的逆变换是它本身的转置矩阵。
这个性质使得正交变换比较容易求解和应用。
结语正交基和正交变换是欧几里得空间中的两个重要概念，它们在数学、物理和工程等领域中都有着广泛的应用。
正交基可以作为描述和计算向量性质的基础，而正交变换可以保持向量的长度和夹角不变，用于改变和操作向量的属性。
通过理解和应用正交基和正交变换，我们可以更好地理解欧几里得空间中的几何性质，并且能够应用于各个领域的实际问题。
n维欧氏空间上正交变换的分类
论文题目《正交变换的分类》N维欧氏空间上正交变换的分类摘要：本文通过对正交变换的概念以及正交变换的一些定理进行定义，再逐步了解n维欧氏空间上的正交变换。
最后讨论普通几何空间中正交变换的类型。
最终掌握欧氏空间、性质、判别及其初步分类．关键字：欧氏空间正交变换分类1.1 正交变换的概念定义1设V是一个欧氏空间，σ是V的一个变换．若σ保持向量的内积不变，即∀α，β∈V，都有〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉(1) 则称σ是V上的一个正交变换．从定义1容易看出，V的正交变换保持向量的长度不变，保持两个非零向量的夹角不变，保持正交性不变．命题1.1欧氏空间V上的正交变换σ一定是线性变换．证先证∀α，β∈V, 有σ(α+β)=σ(α)+σ(β)．事实上，〈σ(α+β)－(σ(α)+σ(β)),σ(α+β)－(σ(α)+σ(β))〉=|σ(α+β)|2－2〈σ(α+β),σ(α)+σ(β)〉+|σ(α)+σ(β)|2=|α+β|2－2〈σ(α+β),σ(α)〉－2〈σ(α+β),σ(β)〉+|σ(α)|2 +|σ(β)|2+2〈σ(α)，σ(β)〉=|α+β|2－2〈α+β, α〉－2〈α+β, β〉+|α|2+|β|2+2〈α，β〉=|α+β|2－2〈α+β，α+β〉+|α+β|2=0，所以σ保持加法运算．同理可证σ(kα)=kσ(α)，∀α∈V，k∈R．故σ是V的一个线性变换．从命题1.1和定义1容易得出，正交变换保持两个向量之间的距离不变．命题1.2欧氏空间V上的正交变换σ一定是单射．因此，有限维欧氏空间的正交变换是可逆变换．证因为〈σ(α),σ(α)〉=〈α,α〉，所以∀α∈Kerσ⇔σ(α)=θ⇔〈σ(α),σ(α)〉=0⇔〈α,α〉=0⇔α=θ．从而Kerσ=0．因此σ是单射．此时，当dim V=n，则σ是满射，所以σ是双射，故σ可逆．注意到欧氏空间V的任一自同构σ均保持内积不变，因此由命题1.2立得推论1.1有限维欧氏空间V的变换σ是正变变换的充分且必要条件为σ是欧氏空间V的自同构．我们可从另外一个角度来刻画正交变换，即定理1.1欧氏空间V到自身上的变换σ是正交变换的充分且必要条件为σ是保持向量的长度不变的线性变换．证必要性从定义1和命题1.1立即得到．充分性设σ∈End V，且保持向量的长度不变，则∀α,β∈V，有〈σ(α+β),σ(α+β)〉=〈α+β,α+β〉．(2)(2)式的左边、右边分别为,||)(),(2|||) (|)(),(2|)(|)()(),()(2222ββσασαβσβσασασβσασβσασ++=++=++|α|2+2〈α,β〉+|β|2．所以，〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉．故σ是正交变换． 显然，欧氏空间V的任两正交变换σ，τ的乘积仍然是正交变换．1.2 n维欧氏空间的正交变换定理1.2设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换，则下列陈述彼此等价：1)σ是正交变换；2)若α1,…,αn是V的一个标准正交基，则σ(α1),…,σ(αn)也是V的标准正交基；3)σ在V的任意一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵．证1)⇒2) 因为〈σ(αi),σ(αj)〉=〈αi,αj〉=δij，i,j=1，2，…，n；且σ(αi)≠θ，i=1，…，n．所以σ(α1)，…，σ(αn)是V的一个标准正交基．2)⇒3) 任取V的一个标准正交基α1，…,αn．由假设知σ(α1)，…，σ(αn)也是V的标准正交基．从而由基α1，…，αn到基σ(α1),…,σ(αn)的过渡矩阵A是正交矩阵，即σ(α1,…,αn)=( α1,…,αn)A．(3) (3)式说明σ在基α1,…,αn下的矩阵是A，故3)成立．3)⇒1) 取V的一个标准正交基α1，…，αn，设σ在这个基下的矩阵是正交矩阵A．∀α=(α1,…,αn)X，β=(α1,…,αn)Y∈V，则σ(α)=(α1,…,αn)(AX),σ(β)=( α1,…,αn)(AY)．由于α1,…,αn是V的标准正交基，所以〈σ(α),σ(β)〉=(AX)'(AY)= X' (A'A)Y= X'Y=〈α,β〉．因此σ是正交变换．据上，在标准正交基下，n维欧氏空间V的正交变换与实n阶正交矩阵一一对应．因而可利用正交矩阵将正交变换分类．注意到正交矩阵的行列式等于1或－1．因此，行列式等于1的正交变换称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于－1的正交变换称为第二类的．n维向量空间的任意一个n－1维子空间称为一个超平面．例1在欧氏空间V中取一个标准正交基α1,…,αn．定义V上的一个线性变换σ，使得σ(α1)=－α1，σ(αi)= αi，i=2，…，n，则σ在基α1,…,αn下的矩阵为A=diag(－1，I n－1)．显然A是正交矩阵，因此σ是正交变换．由于|A| = －1，因此σ是第二类的．这个正交变换是关于超平面W=L(α2，…，αn)的一个镜面反射(参见本节习题第2题)．1.3 普通几何空间中正交变换的类型下面讨论几何空间V 2和V 3的正交变换有哪些类型？设σ是V 2的一个正交变换，σ在V 2的一个标准正交基{γ1，γ2}下的矩阵是U =⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ， 则U 是一个正交矩阵．因此a 2+c 2=1，b 2+d 2=1，ab +cd =0． (4)由第一个等式，存在一个角ω使a =cos ω，c =±sin ω．由于cos ω=cos(±ω)，±sin ω=sin (±ω)，因此可设a =cos ϕ，c =sin ϕ．这里ϕ=ω或－ω．同理，由(4)的第二个等式，存在一个角ψ，使b =cos ψ，d =sin ψ．将a ,b ,c ,d 代入(4)的第三个等式得cos ϕcos ψ+sin ϕsin ψ=0，或cos(ϕ－ψ)=0．最后等式表明，ϕ－ψ是2π的一个奇数倍．于是 cos ψ= sin ϕ，sin ψ =±cos ϕ．所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕϕϕϕcos sin sin cos U ，或⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕϕϕϕcos sin sin cos U ． 对前一情形，σ是将V 2的每一向量旋转角ϕ的旋转；对后一情形，σ将V 2中以(x ，y )为坐标的向量变成以(x cos ϕ+y sin ϕ，x sin ϕ－y cos ϕ)为坐标的向量．这时σ是关于直线y =⎪⎭⎫ ⎝⎛2tan ϕx 的反射． 这样，V 2的正交变换或者是一个旋转，或者是关于一条过原点的直线的反射．若是后一情形，可以取V 2的一个标准正交基{β2，β3}，使σ在基{β1，β2}下的矩阵为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001． 现在设σ是V 3的一个正交变换，σ的特征多项式是一个实系数三次多项式，因而至少有一个实根r ．令γ1是σ的属于特征值r 的一个特征向量，并且取γ1是一个单位向量．再添加单位向量γ2，γ3使{γ1,γ2,γ3}是V 3的一个标准正交基．则可设σ在这个基下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a t s r U 00． 由于U 是正交矩阵，则有r 2=1，rs =rt =0，从而r =±1，s =t =0．于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±=d c b a U 00001． 由U 的正交性推出，矩阵⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a 是一个二阶正交矩阵．由上面的讨论，存在一个角ϕ使⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕϕϕϕϕϕϕϕcos sin sin cos cos sin sin cos 或c c b a ． 在前一情形，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=ϕϕϕϕcos sin 0sin cos 0001U ． 在后一情形，根据对V 2的正交变换的讨论，我们可以取V 3的一个标准正交基{γ1 ,β2 , β3 }使σ在这个基的矩阵是T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±100010001． 若在T 中左上角的元素是1，则重新排列基向量,σ在基{β3, β2 ,γ1}的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001． 若左上角的元素是－1，则σ在基{β2 , β3 ,1γ}下的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππππcos sin 0sin cos 0001100010001． 这样，V 3的任意正交变换σ在某一标准正交基{α1，α2，α3}下的矩阵是下列三种类型之一：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001cos sin 0sin cos 0001，ϕϕϕϕ, 或⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--ϕϕϕϕcos sin 0sin cos 0001=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001cos sin 0sin cos 0001ϕϕϕϕ． 在第一种情形，σ是绕通过α1的直线L (α1)的一个旋转；在第二种情形，σ是关于平面L (α2，α3)的反射；第三种情形，σ是前两种变换的合成．参考文献1. 张禾瑞.高等代数.第五版.高等教育出版社。
正交变换
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间 §6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的 距离─ 距离─最小二乘法 §8酉空间介绍
§9.4 正交变换
一、一般欧氏空间中的正交变换 二、n 维欧氏空间中的正交变换
§9.4 正交变换
一、一般欧氏空间中的正交变换
§9.4 正交变换
(
)
{
i= j i≠ j
（2）若线性变换 σ 使V的标准正交基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 变 ） 的标准正交基
成标准正交基 σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) ，则 σ 为V的正 的正 交变换． 交变换． 证：任取 α , β ∈ V ,设
α = x1ε 1 + x2ε 2 + L xnε n β = y1ε 1 + y2ε 2 + L ynε n ,
∴ σ 是正交变换． 是正交变换．
§9.4 正交变换
再证明（ ） 再证明（2）与（3）等价． ）等价．
( 2) ⇒ ( 3)
Q σ (α ) − σ ( β ) = σ (α − β ),
∴ d ( σ (α ),σ ( β ) ) = σ (α ) − σ ( β ) = σ (α − β ) = α − β = d (α , β )
即，(σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A 由于当A是正交矩阵时， 也是V的 由于当 是正交矩阵时，σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n 也是 的 是正交矩阵时 标准正交基， 标准正交基， 为正交变换． 再由 1 即得 σ 为正交变换．
§9.4 正交变换
欧式空间正交变换的分类
欧式空间正交变换的分类欧氏空间正交变换的分类在多维空间里保持长度不变的正交变换无疑是重要的，但这种变换在多维空间下的可操作性我们还并不清楚，下面，我们从课本出发，把二、三维空间下的正交变换推广到五维空间定义：欧式空间v的一个线性变换σ叫做一个正交变换，如果对于任一ξ∈v都存有∣σ（ξ）∣=∣ξ∣正交变换的基本性质：欧式空间v的一个线性变换σ是正交变换的充要条件是：对于v任意向量ξ，η，=。
设v就是一个n佩欧式空间，σ就是v的一个线性变换。
如果σ就是v正交变换，那么σ把v的任一一个规范拓扑基仍变为的一个规范拓扑基为。
反过来，如果σ把v的某一规范拓扑基为仍旧变为的一个规范拓扑基为，那么σ就是v的一个正交变换。
n维欧式空间v的一个正交变换σ关于v的任意规范的矩阵是一个正交矩阵。
反过来，如果v的一个线性变换关于某一个规范正交基的矩阵是单位阵，那么该线性变换σ是一个正交变换。
将v2的一个向量转动一个角ϕ的正交变换关于v2的任一规范拓扑基的矩阵就是⎛cosϕ-sinϕ⎛sinϕcosϕ⎛⎛⎛⎛在平面h内取两个正交的单位向量γ1，γ2，在取一个垂直于h的单位向量γ3，那么{γ1,γ2,γ3}是v3的一个规范正交基。
关于这个基的矩阵是010⎛。
以上两00-1⎛⎛⎛个都是正交矩阵。
设立σ就是v2的一个正交变换。
σ关于v2的一个规范拓扑基u=γ2}的矩阵是⎛cb⎛⎛，那么就是一个正交矩阵。
于是⎛d⎛a2+b2=1,b2+d2=1,ab+cd=0(2)存有第一个等式，存有一个角α并使a=cosα,c=sinα.由于cosα=cos(±α)，±sinα=sin(±α)因此可以而令a=cosϕ,c=sinϕ这里ϕ=α或-α同理，由(2)的第二个等式，存在一个角ψ使b=cosψ,d=sinψ.将a,b,c,d代入(2)的第三个等式得cosϕcosψ+sinϕsinψ=0,或cos(ϕ-ψ)=0.最后等式表明，ϕ-ψ是的一个基数倍。
高等代数教案(北大版)第九章 欧式空间
Euclid 空间
Euclid 空间是定义了内积的实线性空间，在线性空间中，向量间的基本运算只限于线性 运算，而几何空间作为具体模型，还有很多性质没有推广到线性空间中来。把几何空间中的 长度、夹角等度量概念引入线性空间，就成了建立 Euclid 空间的一个基本目的，其中内积 的概念起了关键作用， 它使得 Euclid 空间具有更丰富的几何内容。 Euclid 空间的理论在解析 几何等数学分支和涉及正交变换的应用学科中都具有广泛的应用。 教学目的：为解决用正交变换把二次型化为标准形问题，必须在线性空间的基础上引 入度量，建立 Eulicd 空间。通过本章的学习，让学生了解并领会 Eulicd 空间的定义及基本 性质、内积的定义、标准正交基、同构正交矩阵、正交变换、子空间、正交补的概念，掌握 标准正交基的求法、 无关向量组扩充为标准正交基的 Schmidt 正交化方法、 同构的充要条件、 正交矩阵的性质和判定方法、正交补的存在唯一性和实对称阵正交相似标准对角矩阵的求 法。 教学重点：Eulicd 空间的基本概念、度量矩阵、标准正交基、正交矩阵、实对称矩阵的标 准形。 教学难点： 正交变换、对称变换和正交子空间。 教学方法与手段：1. 理论课教学以讲授为主，部分介绍性内容用多媒体。 2．习题课以多媒体教学为主。 教学内容：
§2
一、概念
标准正交基
定义 1 正交向量组：欧氏空间 V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就 称为正交向量组. 规定：单个非零向量组成的向量组是正交向量组. 性质 证明 正交的向量组必线性无关 设α1, α2,…, αm是一正交向量组，即(αi, αj)=0, i≠j.
令k1α1+k2α2+…+kmαm=0, 在等式两边用 α i 作内积：
欧式空间的线性变换的性质讨论
欧式空间的线性变换的性质讨论毕业设计(论文)开题报告1.本课题的目的及意义，国内外研究现状分析线性变换是欧氏空间中具有线性性的变换,而欧氏空间是实效域上定义了内积向量空间,内积具有线性性及正定性,能否借助内积的线性性和正定性来判断欧氏空间中的变换具有线性性呢?这是一个值得探究的问题。
我们知道有限维或无限维欧氏空间中的线性变换如果保持向量的内积不变那么这个变换就必须是一个线性变换。
线性变换是欧氏空间中具有线性性的变换，而欧氏空间是实数域上定义了内积的向量空间，能否借助内积的线性性和正定性来判断欧氏空间的变换具有线性性，是一个值得研究的问题，同时如果在欧氏空间的变换是线性变换，那么这些线性变换有什么特殊性呢，对此我们给出了判定条件并且对一系列相关的问题进行了研究。
毕业设计(论文)开题报告2.本课题的任务、重点内容、实现途径欧氏空间的正交变换是一类较特殊的线性变换,它具有许多良好的性质,保持两个非零向量夹角不变是其中之一。
同时,保持向量夹角不变的线性变换不一定是正交变换〔1,2,3,4〕。
很自然地我们提出如下问题:欧氏空间中保持向量夹角不变的线性变换具有哪些性质呢?为叙述方便,先作论证：1.正交变换定义1.1如果欧氏空间V的线性变换A保持向量的内积不变，既对于V 中任意两个向量α,β，都有（Aα,Aβ）,=（α,β）则称A为一个正交变换。
定理1.1 n维欧氏空间V的线性变换A是V的正交变换的充要条件是：如果ε1，ε2，.. ..εn是V的一组标准正交基，那么Aε1,Aε2,.. ..Aεn也是V的标准正交基。
定理1.2 n维欧氏空间V的线性变换A是正交变换的充要条件是：A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
定理1.3 设A为欧氏空间V的可逆变换，则A为V的正交变换的充要条件是：对Λα,βεV,有（Aα,β）=（α,A-1β）。
定理1.4 设A为欧氏空间V的变换，*A为A的共轭变换，则A为正交变换的充要条件是：A*A=E。
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欧氏空间中线性变换和正交变换的关系摘要 对欧式空间中的线性变换与正交变换之间的关系进行讨论关键词：欧式空间 线性变换 正交变换线性变换和正交变换是欧氏空间的两种重要变换。
本文首先引入线性变换和正交变换在欧氏空间中的定义，然后讨论两者之间的关系。
为了阅读方便，本文从最基本的概念谈起，即先定义线性空间、内积、欧氏空间、线性变换和正交变换。
定义1 设V 不是空集，P 为一个数域，在V 中定义加法和数量乘法（简称数乘），若对P l k V ∈∀∈∀,,,,γβα，满足：（1）V ∈+βα，（关于加法封闭）（2）αββα+=+，（交换律）（3））（）（γβαγβα++=++，（结合律） （4）V V ∈∀=+∈∃ααα，使0,0，（零元）（5）0=-+∈-∃∈∀）（，使）（，ααααV V ，（负元）（6）V k ∈⋅α（关于数乘封闭）（7）αα=⋅1（8）αα）（）（kl l k =（9）αααl k l k +=+）（（10）βαβαk k k +=+）（则称V 为数域P 上的线性空间。
定义2 设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，它具有以下性质（R k V ∈∈,,,γβα）：（1）),(),(αββα=（2）),(),(βαβαk k =（3）),(),(),(γβγαγβα+=+（4）0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。
定义3 定义2中的线性空间V 就称为欧几里得空间，简称欧氏空间。
定义4 设V 是一个线性空间，P 为一个数域，对于P k V ∈∀∈∀,,βα，有（1）()()()A A A αβαβ+=+（2）()()A k kA αα⋅=则称A 为V 上的线性变换。
定义5 设A 是欧氏空间V 的一个变换，如果对于任意的,,V ∈βα即保持内积不变，都有：((),())(,)A A αβαβ=。
则称A 是正交变换。
由上述定义可以得到如下命题：命题1 正交变换A 保持向量的长度不变。
因为欧氏空间V 的向量α的长度是α=所以就有()A αα===。
但是，欧氏空间中保持向量长度不变的变换不一定是一个正交变换。
例如，在欧氏空间R 2中，令向量α在直角坐标系下的表示为12(,)x x α=，有1212()(,)(||,||)A A x x x x α==。
显然A 是R 2的一个变换。
且因为1212|(,)||(||,||)|A x x x x ==，12|(,)|x x =可知A 保持向量的长度不变。
但A 不是正交变换，因为对于任意的1212(,),(,)x x y y αβ==则有： 12121122((),())((,),(,))A A x x y y x y x y αβ==+，12121122(,)((,),(,))x x y y x y x y αβ==+。
二者未必相等。
命题2 正交变换A 保持任意两个向量的夹角不变。
因为欧氏空间V 的向量α、β的夹角[]0,θπ∈的余弦可以表示为：(,)cos αβθαβ=⋅， 那么()A α、()A β的夹角'θ的余弦是：((),())(,)cos 'cos ()()A A A A αβαβθθαβαβ===⋅⋅， 故'θθ=。
但是，欧氏空间中保持任意两个向量夹角不变的变换不一定是一个正交变换。
例如，设A 是欧氏空间的一个变换，对于任意的V α∈,有()A k αα=，其中k R ∈。
因为对于任意的,,V ∈βα()A α、()A β的夹角的余弦为：22(,)(,)(,)k k k k k k αβαβαβαβαβαβ==⋅⋅⋅， 所以变换A 保持了向量夹角。
但是A 不是正交变换，因为对于任意的,,V ∈βα有：2(,)(,)(,)A k k k αβαβαβ==，这未必与(,)αβ相等。
这样就容易得到一个可以判定正交变换的命题：命题3 欧氏空间V 的保持向量长度不变和任意两个向量的夹角不变的变换A 是一个正交变换。
下面我们首先讨论欧氏空间的正交变换和线性变换的关系。
命题4 欧氏空间V 的正交变换A 一定是一个线性变换。
证明 任取α，V ∈β，由于(()()(),()()())A A A A A A αβαβαβαβ+--+--=((),())2((),())A A A A αβαβαβα++-+2((),())((),())A A A A βαβαα-++2((),())((),())A A A A αβββ++(,)2(,)2(,)αβαβαβαβαβ=++-+-+(,)2(,)(,)0αααβββ+++=故 ()()()0A A A αβαβ+--=即 ()()()A A A αβαβ+=+同理可证 ()()0,A a aA a R αα-=∈即 ()()A a aA αα=故A 是线性变换。
命题5 欧氏空间V 的保持向量长度不变的线性变换A 一定是一个正交变换。
证明 任取α，V ∈β，由于A 是保持向量长度不变的变换，即有((),())(,)A A αααα=,((),())(,)A A ββββ=,((),())(,)A A αβαβαβαβ++=++。
又因为A 是一个线性变换，故有：((),())((),())2((),())((),())A A A A A A A A αβαβαααβββ++=++,((),())(,)2(,)(,)αβαβαααβββ++=++,故 ((),())(,)A A αβαβ=。
所以A 一定是一个正交变换。
例如，在欧氏空间R 2中，关于横轴的对称变换是一个正交变换。
设任意向量在坐标系下的表示为12(,)x x α=，A 为关于横轴的对称变换，这样就有：1212()((,))((,))A A x x x x α==-下面证明这是一个线性变换。
因为：121211221122()((,)(,))((,))(,)A A x x y y A x y x y x y x y αβ+=+=++=+--，121212121122()()((,))((,))(,)(,)(,)A A A x x A y y x x y y x y x y αβ+=+=-+-=+--， 所以 ()()()A A A αβαβ+=+。
又因为：121212()((,))(,)(,)A k A k x x A kx kx kx kx α===-，121212()((,))(,)(,)kA kA x x k x x kx kx α==-=-，其中k R ∈。
所以 ()()A k kA αα=。
故A 为线性变换。
显然对称变换A 又是保持长度的，因此根据命题5，它是一个正交变换。
同样，我们常见的欧氏空间R 2的旋转变换也是一个正交变换。
设任意向量在坐标系下的表示为12(,)x x α=，A 为逆时针方向旋转θ的变换，这样就有：121221()((,))(cos sin ,cos sin )A A x x x x x x αθθθθ==-+。
显然这是一个线性变换。
因为：12121122()((,)(,))((,))A A x x y y A x y x y αβ+=+=++11222211(()cos ()sin ,()cos ()sin )x y x y x y x y θθθθ=+-++++1212()()((,))((,))A A A x x A y y αβ+=+1221(cos sin ,cos sin )x x x x θθθθ=-+1221(cos sin ,cos sin )y y y y θθθθ+-+ 11222211(()cos ()sin ,()cos ()sin )x y x y x y x y θθθθ=+-++++所以 ()()()A A A αβαβ+=+又因为：12121221()((,))(,)(cos sin ,cos sin )A k A k x x A kx kx kx kx kx kx αθθθθ===-+1221(cos sin ,cos sin )()k x x x x kA θθθθα=-+=下面我们证明这个旋转变换是一个保持长度的变换。
因为：121221()((,))(cos sin ,cos sin )A A x x x x x x αθθθθ==-+12(,)x x α===所以，欧氏空间R 2的旋转变换是一个正交变换。
命题6 欧氏空间V 的保持任意两个向量夹角不变的线性变换A 不一定是一个正交变换。
前面我们举的例子：A 是欧氏空间的一个变换，对于任意的V α∈,有()A k αα=，其中k R ∈。
说明了尽管A 保持了任意两个向量夹角不变，但并不是一个正交变换。
事实上，这个变换A 还是一个线性变换。
因为：()()A k k k αβαβαβ+=+=+，()()()()()A l k l kl l k lA ααααα====，l R ∈参 考 文 献[1] 张禾瑞，郝鈵新. 高等代数（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，1983. 321-328.[2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数（第二版）[M] . 北京：高等教育出版社，1988. 372-393.。