向量的内积与欧氏空间
4-1向量的内积 欧氏空间
即 (a1 b1)2 (a2 b2 )2 (a3 b3 )2
a12 a22 a32 b12 b22 b32 2 cos( )
所以 cos( 1) a1b1 a2b2 a3b3 即 , a1b1 a2b2 a3b3 上式称为几何向量内积的坐标表达式。
0 1 (1,2,4,2)T (1 , 2 , 4 , 2)T
5
555 5
7
定理4.1 许瓦兹 不等式
向量的内积满足
<, >2 ≤<, > <, >，
即
|<, >|≤‖‖•‖‖.
根据许瓦兹不等式，
对任何非零向量， ，总有
,
1
即, 1
1 , 1
8
3、向量的夹角
定义3 当 ≠ ， ≠ 时，
a,3a a,b 17b,3a 17b,b
3 a,a a,b 51 b,a 17 b,b
a a,a a,a a 2
12
4、欧氏空间
定义了内积的向量空间V称为欧几里德（Euclid）空间, 简称欧氏空间，仍记作V . 注：1 、定义了内积的n维向量空间R n是一个欧氏空间
arccos ,
称为n维向量与的夹角，记为(^).
说明 当<, >=0时，称向量与正交（垂直），记为
⊥. 显然，零向量与任意向量正交。
11
第三章大作业 一 填空题 3、
条 件 ： a, b a b cos(a, b)
a 17b,3a b 0 解 ： a 17b,3a b
在数学中向量用有向线段来表示。在几何空间中引入 坐标系后，有向线段即向量可用三元有序数组来表示， 这样几何问题可转化为代数问题来研究。
02-8.1 内积与欧氏空间
n 关于以上定义的内积构成欧氏空间.
8.1 内积和欧氏空间
例2 在2 中对= 任意X
= aa12 ,Y
b1
b2
定义
α ,αi , β j ∈V , c, ai , bj = ∈ (i 1, 2, ..= ., m; j 1, 2,，n)
总有 (1)(O,α ) = 0;
(2) (α , β + γ=) (α , β ) + (α ,γ );
(3) (α , cβ ) = c(α , β );
∑ ∑ ∑ ∑ (4)
当且仅当 α , β 线性相关时, 等号成立.
证明 显然，当且仅当α = 0或β - tα = 0时等式成立. 即当且仅当α，β线性相关时等式成立.
8.1 内积和欧氏空间
例5 对任意实数 ai , bi (i = 1, 2, ..., n)总有
(a1b1 + ... + anbn )2 ≤ (a12 + ... + an2 )(b12 + ... + bn2 )
8.1 内积和欧氏空间
定理 (Cauchy-Schwarz不等式) 设V 是欧氏空间, 则对任意的α , β ∈V , 总有(α , β )2 ≤ (α ,α )(β , β ). 当且仅当α , β 线性相关时, 等号成立. 证明 若α =0, 则左右两式均为0, 等号成立。 若α ≠ 0，考虑向量β -tα ,有 0 ≤ (β -tα , β -tα ) =(β , β ) − 2t(α , β ) + t 2(α ,α ).
7-1向量的内积与欧氏空间-PPT文档资料
(3) ( , ) ( , ) ( , );
, ) 0 ; , ) 0 ,当且仅当 0 (4) ( 时(
这里，，是V中任意的向量，k是任意实 数， (,)
这样的线性空间称为欧几里得空间，
n n
n
( , ) 0 ;所以向量空间Rn在所定义的内积下
构成一个欧氏空间。
二、向量的长度和夹角
在欧氏空间中也可以引入向量的长度和夹 角的概念。
定义 2 非负实数 (,) 称为向量的长度，记
k 为 。显然 k 。
定理1 （Cauchy-Schwarz不等式）对于欧氏空 间中任意两个向量，有 ( , ) 当且仅当， 线性相关时，等号成立。（证 略）
则数（, ）被唯一确定，并且满足
, ) a b b a ( , ) ; （ 1） ( i i i i
k , ) ( ka ) b k a b k ( , ) ; （ 2） ( i i i i
T ( c , c ,..., c ) , ) （3）如果 1 2 n ,则 (
与的内积。 例 1 对于n 维向量空间Rn中的向量 定义
1 2 T n
称为
( a , a ,..., a ) , ( b , b ,..., b )
1 2
( , ) a b a b ... a b a b 1 1 2 2 n n i i
i 1
T n n
定义 3 设， 是欧氏空间中的两个非零向量， 规定 ( ,) ( 0 ) arccos
为向量与的夹角。
定义 4 设V 是一个欧氏空间，， V。如 果(, ) = 0 ，则称与是正交的，记作 。
第二节 欧式空间的基本概念
α1 = (1 , 1 , 1)T , α2 = (1 , 0 , -1)T , α3 = (1 , -2 , 1)T ,
是一个正交向量组 ,请将该向量组化为正交单位向量组 .
解
ao = 1 a
|| a ||
1
=
1
|| 1
||1
=
1 (1,1,1)T = ( 1 ,
3
3
1, 3
1 )T . 3
2
=
1
证毕
, .
(3)三角不等式 ||α+β||||α||+||β||.
3 、向量的夹角
定义非零向量a与b的夹角φ为
= arccos a,b ,
|| a || || b ||
(0 )
规定: 零向量与任意向量成任意角.
• 若<a,b>=0, 则称向量a与b正交.
• 范数为 1 的向量称单位向量.
α = 0.
其中α,β和γ是V中任意向量, k是任意实数, 则称实数 <α,β>为α和β的内积, 称定义了内积的实线性空间V为 实内积空间或欧几里得空间, 简称为欧氏空间.
❖ 关于欧氏空间的两点说明
① 欧氏空间定义中的条件(1)-(4)称为内积公理,
其中的(2), (3)统称为内积的线性性质, 且可以写成
(1)与(2)的证明板书推导. 下面证明(3).
三角不等式的证明
|| ||2 = , =|| ||2 2 , || ||2
|| ||2 2 || || || || || ||2 = (|| || || ||)2
两边同时开方可得
||α+β||||α||+||β||, 故三角不等式成立.
高等代数课件 第八章
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
向量的内积与欧氏空间
向量的向量积与混合积的应用
在物理学中的应用
向量积可以用于描述旋转运动的角速度和角加速度等物理量；混合积可以用于描述三维空间中的力矩 和旋度等物理量。
在工程学中的应用
向量积和混合积可以用于解决机构学、动力学和流体力学等领域的问题，例如分析机械结构的运动状 态和受力情况等。
05
欧氏空间中的向量分解
线性无关与向量组
几何意义
向量内积在几何上表示两个向量在正交坐标轴上的投影长度乘积之和。
向量内积的性质
01
非负性
$vec{A} cdot vec{B} geq 0$，当 且仅当$vec{A}$与$vec{B}$同向或
反向时取等号。
03
分配律
$(vec{A} + vec{C}) cdot vec{B} = vec{A} cdot vec{B} + vec{C}
向量的内积与欧氏空间
• 向量内积的定义与性质 • 欧氏空间的基本概念 • 向量的模与向量的数量积 • 向量的向量积与混合积 • 欧氏空间中的向量分解
01
向量内积的定义与性质向量源自积的定义定义向量内积是两个向量之间的点乘运算，记作"·"，其结果是一个标量。具体定义为： 对于两个向量$vec{A} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和$vec{B} = (b_1, b_2, ..., b_n)$，其 内积为$vec{A} cdot vec{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
向量的数量积的定义与性质
• 定义：向量$\vec{a}$和 $\vec{b}$的数量积定义为 $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$，其中$a_1, a_2, \ldots, a_n$和$b_1, b_2, \ldots, b_n$ 分别是向量$\vec{a}$和 $\vec{b}$的分量。
欧式空间
欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
第2章 内积空间-1
矩阵分析简明教程
范数还具有下列平行四边形法则和勾股定理。
性质2 如果 V 是数域 R 上的欧氏空间，则对V 中 的任意向量 α、β ÎV ，有：
一般地，可令
1 1
2
2
(2 , 1 ) (1, 1)
1
n
n
(n , 1 ) (1, 1)
1
(n , 2 ) (2 , 2 )
2
(n , n1 ) (n1 , n1 )
n1
至此，我们就得到了矩阵计算中具有基础性作用的
Gram-Schmidt正交化方法。
4
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定理2.2.1 任一n维欧氏空间 V 都存在标准正交基。
当 0 时，取 即得等式
2
矩阵分析简明ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程
类似于高等数学，根据柯西-施瓦茨不等式，我们称
arccos ( , ) , [0, ], 、 0
为欧氏空间 V 中向量 与 的夹角。 特别地，当 ( , ) 0 时，称 与 正交或垂 直，记为 。
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另外欧氏空间中的范数显然具有下列性质。 性质1 如果 V 是数域 R 上的欧氏空间，则对V 中 的任意向量 α、β ÎV ，具有下列三条性质（非负性、 正齐性和三角不等式）：
定义了内积的线性空间V 为实内积空间，简称欧氏空间。
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例1 在 Rn中，对任意两个向量 (a1, a2 ,, an )T Rn 及 (b1, b2 ,, bn )T Rn
定义了标准内积
( , ) T T
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向量的内积与欧氏空间
一、与欧氏空间
几何空间是抽象线性空间的一个最基本的模型，向量的度量性质是几何空间中最基本的研究对象。
在§ 11 研究空间向量的数量积、向量积和混合积的基础上，我们要把空间向量的数量积概念推广到一般的线性空间上，进而研究线性空间的度量性质。
在这一节里，我们总假设 V 是实数域R 上的线性空间。
定义21.1 在V 上定义代数运算，记为（，）：V ×V →R , 即对任意的
V ， R, 并且对任意的V 及k R 满足下述条件：
（1 ）对称性（）=( );
（2 ）线性性 ( ) =( ) +( ) , (k )= k( );
（3 ）正定性( ) ≥0 ，等号成立当且仅当.=0
那么代数运算（，）称为上一个内积， V 称为欧氏空间 .
定义21.2 设α是欧氏空间 V 中任意的向量，非负实
数称为向量α的长度，记为 || α
|| ，特别，把长度为 1 的的向量称为单位向量。
与§11 一样可以证明下面的定理。
定理21.1 设V 是一个欧氏空间，对任意的∈ V 及k ∈ R , 那么
（1) || || ≥0 ，等号成立当且仅当＝0 ;
(2 ) ||k || = k || || ;
(3) |( ) | ≤ || || || , 等号成立当且仅当与线性相关（称为柯西-- 布涅雅科夫斯基不等式）;
(4) || || ≤ || || + || || （称为三角不等式） .
定义21.3 在欧氏空间V 中, 如果两个向量与，的内积( , ) =0, 那么称与正交, 记为⊥ .
显然, 只有零向量才于它自身正交 , 它也与中任意一个向量正交 .
二、标准正交基与正交阵
定义 21.4 欧氏空间Ｖ中一个两两正交的非零向量组称为正交向量组 .
我们规定由单个非零向量组成的向量组是个正交向量组 .
定理 21.2 设是欧氏空间Ｖ的一个正交向量组，那么线性无关.
证明设有实数使
两边分别与 (i=1,2, ……，r) 作内积，并利用内积的线性，得
但是是两两正交的非零向量组，上述等式可写
成且，因此
＝0 这表明线性无关。
注意到n 维线性空间V 中至多只有个 n 线性无关的向量，所以在 n 维欧氏空间中，任意一个正交向量组至多只有 n 个两两正交的非零向量，因此任意 n 个向量构成一个正交向量组时，它们一定成为 V 的一组基，通常称为 V 的一个正交基。
定义 21. 5 在n 维欧氏空间V 中, 如果正交基中的每个向量都是单位向量，那么称 V 的这个基为标准正交基。
定理 21. 3 (Gram -Schmidt 正交化过程）设 V 是欧氏空间，是一组线性无关的向量，那么取
β1 = α 1
β2=α 2 - β1
............
β r = α r - β1 -....... - βr-1
得到的向量是一个正交的向量组，并且与向量组等价。
定义 21.6 如果实数域 R 上n 阶矩阵A 满足
A T A=E ( 即A-1=A T )
那么A 称为正交阵。
显然，正交阵的行列式只能是 1 或-1 ，并且A 是正交阵当且仅当 A 的列向量组成 R n 的一个标准正交基。
设A 是n 阶正交矩阵，对任意的R n，A ,A R n并且有
(Aα,Aβ)=(Aα)T(Aβ)=.......=(α,β) ,
||Aα|| = = =||α||
因此由正交阵 A 定义的R n上线性变换，它保持了 R n中向量的内积不变，从而保持 R n中向量的长度不变，我们称这样的线性变换为正交变换。