二次函数与像变换抛物线的平移翻折与缩放
抛物线的图形变化
查询，编制一两道关于抛物线变 换的问题
y
旋转变换 抛物线的旋转
y
=2(x+2)2
-1
P1 (2, 1)
x
转 化
点的旋转
P (-2,-1)
y
=-2(x+2)2 -1
ห้องสมุดไป่ตู้
y =-2(x-2)2 +1
y=a（x+m）2+k 平移变换
轴对称变换
a 不变
顶点（－m，k） 变
（－m，－k） （m，k） （－m，k） （m，－k）
x轴 y轴
绕顶点 （1800） 绕原点 （1800）
则平移后的抛物线
再向上平移1个单位 _____________________________
经过原点
3.已知二次函数 y = x2 2x 3 .
D
y
(0,3)
x
(0,-3)
4.已知二次函数 y=2（x+3）2－1 .
(1) 将图象绕原点旋转 180°后得到的函数图 y=－2（x-3）2+1 象的解析式为______________. (2)将图象绕点（0,1）旋转180°后得到的函 y=2（x-3）2+3 数图象的解析式为______________.
y
平移变换 抛物线的平移
y =2(x+2)2 -1
y =2(x-3)2 -1
x
转 化
点的平移
P (-2,-1)
(3,-1)
y
轴对称变换 抛物线的轴对称
y
=2(x+2)2
-1
(-2,1)
P1
y =2(x-2)2 -1
x
海南省高二下数学知识点
海南省高二下数学知识点一、二次函数与应用1. 二次函数的定义二次函数是指形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。
2. 二次函数的图像特征- 抛物线的开口方向由二次项系数 a 的正负决定，向上开口当a > 0，向下开口当 a < 0。
- 抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
- 对称轴方程为 x = -b/2a。
- x 轴与抛物线交点称为零点，可通过求解方程 ax^2 + bx + c = 0 来确定。
3. 二次函数的平移、翻折与缩放- 平移：在函数的自变量 x 上加减一个常数，可使函数的图像沿 x 轴平移。
- 翻折：在函数的函数值 f(x) 上加一个负号，可使函数的图像关于 x 轴对称翻折。
- 缩放：更改二次项系数 a 的值，可使函数的图像纵向或横向缩放。
4. 二次函数的最大值与最小值当 a > 0 时，二次函数的图像开口向上，称为上凸函数。
当 a < 0 时，二次函数的图像开口向下，称为下凸函数。
在相应的开口方向上，二次函数的最大值或最小值即为其顶点处的函数值。
5. 二次函数的应用- 物体抛射问题：通过建立合适的二次函数模型，求解物体抛射的最高点、飞行时间等问题。
- 移动速度问题：通过建立与时间有关的二次函数模型，求解移动物体在不同时间的位置、速度等问题。
- 经济利润问题：通过建立与产量有关的二次函数模型，求解最大利润对应的产量及其他相关经济问题。
二、三角函数与恒等变换1. 三角函数的定义三角函数是指正弦函数、余弦函数、正切函数等在数学上常用到的函数。
2. 三角函数的图像特征- 正弦函数的图像在 x 轴方向上的周期为2π，振幅为 1。
- 余弦函数的图像在 x 轴方向上的周期为2π，振幅为 1。
- 正切函数的图像在 x 轴方向上的周期为π，无振幅限制。
3. 三角函数的基本性质- 正弦函数与余弦函数的取值范围为 [-1, 1]。
专题8 二次函数的图象抛物线与三大几何变换(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上册提优专题及
专题8 二次函数的图象抛物线与三大几何变换（原卷版）类型一抛物线与平移1．（2023•牡丹江）将抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．2．（2023•青岛）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC ＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．（1）求抛物线的表达式；（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2=35S1，求m的值．4．（2023•常州）如图，二次函数y=12x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C．（1）b＝；（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD=52．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．4．（2023•绥化）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，6）三点，且一次函数y＝kx+6的图象经过点B．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）将抛物线y1＝ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为m．过点P作PD⊥NC于点D，求m为何值时，CD+12PD有最大值，最大值是多少？5．（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．类型二抛物线与翻折6．（2023•淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线x=94，且△OAB的面积为18．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）求点B的坐标；（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A 的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023•德阳）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y＝kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；8．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．类型三二次函数与旋转9．（2023•平昌县校级模拟）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x（0≤x≤2）交x轴于O，A两点；将C1绕点A旋转180°得到抛物线C2，交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到抛物线C3，交x轴于A2，…，如此进行下去，则抛物线C10的解析式是（）A．y＝﹣x2+38x﹣360B．y＝﹣x2+34x﹣288C．y＝x2﹣36x+288D．y＝﹣x2+38x+36010．（2023•青秀区校级模拟）将抛物线y＝2（x﹣1）2+3绕原点旋转180°，旋转后的抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+3B．y＝2（x+1）2﹣3C．y＝﹣2（x+1）2﹣3D．y＝2（x﹣1）2﹣311．（2023•岳阳县二模）在平面直角坐标系中，将抛物线∁l：y＝2x2﹣（m+1）x+m绕原点旋转180°后得到抛物线C2，在抛物线C2上，当x＜1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m≥5B．m≤5C．m≥﹣5D．m≤﹣512．（2023•高青县二模）边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为．13．（2023•高新区模拟）如图，抛物线y=12x2−32x−2与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C'的坐标为（点C'不与点A重合）．14．（2023•静安区校级一模）定义：把二次函数y＝a（x+m）2+n与y＝﹣a（x﹣m）2﹣n（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数y＝x2+32bx﹣2与y＝﹣x2−14cx+c（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点P（b，c）的坐标．15．（2022秋•连云港期末）已知二次函数y＝ax2+c的图象经过点（8，10），(−2，52 )．（1）求二次函数的表达式；（2）点P为二次函数图象上一点，点F在y轴正半轴上，将线段PF绕点P逆时针旋转90°得到PE，点E恰好落在x轴正半轴上，求点P的坐标．16．（2023•郸城县二模）如图1，抛物线y1＝ax2+bx+c分别交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y 轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式及顶点P的坐标．（2）如图2，将该抛物线绕点（4，0）旋转180°．①求旋转后的抛物线的表达式；②旋转后的抛物线顶点坐标为Q，且与x轴的右侧交于点D，顺次连接A，P，D，Q，求四边形APDQ的面积．17．（2023•鞍山二模）如图，抛物线C1：y＝x2+bx+c与y轴交于点D（0，﹣3），与x轴交于A（﹣3，0），B两点，顶点为H．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线C1：y＝x2+bx+c平移后得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点P（m，n）始终在抛物线C1上，①当点P在第一象限时，抛物线C2与y轴交于点E，若△PED的面积为6m时，直接写出P点坐标；②将平移后的抛物线C2绕点P旋转180°得到抛物线C3，抛物线C3与直线BH交于点M（M与H不重合），与y轴交于点N，连接MN，NH，若∠MNH＝15°，求直线NH的解析式．18．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点B（﹣4，0），点C（8，0），与y轴交于点A．点D的坐标为（0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图1，点F为该抛物线在第一象限内的一动点，过E作FE∥y轴，交CD于点F，求EF+√55DF的最大值及此时点E的坐标．（3）如图2，在（2）的情况下，将原抛物线绕点D旋转180°得到新抛物线y'，点N是新抛物线y'上一点，在新抛物线上的对称轴上是否存在一点M，使得点D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程．。
高中二次函数 课件ppt课件ppt课件ppt
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
二次函数图像的变换及解析式的确定(必考)
2，解得a=2,∴抛物线的解析式为 = ሺ − ሻ − = − + .
>
/m
<
解法2：∵抛物线 = + + 的对称轴为x=2，且与x轴交于点(1,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴抛物线的解析式为 = ሺ −
+ ሻሺ − ሻ，把(0,3)代入，得a·3×(-1)=3，解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为 = −ሺ + ሻሺ − ሻ，
即 = − − + .
>
m
<
>
/m
<
类型8 利用平移变换求抛物线解析式
（人教九上P35例3改编）将二次函数 = 22 + 4 + 1 的图象向右平移2个
<
>
/m
<
>
m
<
>
/m
<
续表
变换形式
图象关系
点坐标变化
横坐标 互
>
m
<
关于 轴
>
m
<
>
m
<
>
/m
<
>
/m
<
为相反数，
>
/m
<
系数关系
不变
______
本质
相同
开口方向______
相 − 值______，
变号
互为____
2
反数
专题二十 抛物线的平移
专题二十 抛物线的平移、翻折与旋转问题知识聚焦类似平面几何，在直角坐标系中，我们可以对抛物线实施平移、翻折与旋转等变换，抛物线在变换中，开口大小未变，只是位置或开口方向发生了改变．解与此相关问题的关键是确定变换后顶点坐标及开口方向． 例题导航【例1】 把二次函数2)3(21+-=x y 的图象经过翻折、平移得到二次函数2)3(21-=x y 的图象，下列对此过程描述正确的是( ) A ．先沿y 轴翻折，再向下平移6个单位长度 B ．先沿y 轴翻折，再向左平移6个单位长度 C ．先沿x 轴翻折，再向左平移6个单位长度 D ．先沿x 轴翻折，再向右平移6个单位长度点拨：两个函数图象的开口方向相反，需先将原函数图象沿z 轴翻折，然后根据“左加右减，上加下减”的规律将函数图象进行平移．解答：二次函数2)3(21+-=x y 的图象沿x 轴翻折，得到2)3(21+=x y 的图象，再向右平移6个单位长度，得到2)3(21-=x y 的图象，故选D ．点评：本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移前的函数解析式和平移后的函数解析式，逆用平移规律“左加右减，上加下减”即可得解，【例2】 已知抛物线c bx ax y C +=+21:经过点A （-1，0）、B(3，0)、C （0，-3）． (1)求抛物线1C 的解析式；(2)将抛物线1C 向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线2C 经过坐标原点？荠写出抛物线2C 的解析式；(3)把抛物线1C 绕点A （-1，O ）旋转,180o 写出所得抛物线3C 的顶点D 的坐标.点拨：(1)根据c bx axy ++=2经过点A(-l,0)、)3,0()0,3(-C B 、列出三元一次方程组，解出c b a 、、的值；(2)求出原抛物线解析式的顶点式，然后运用平移知识解答；(3)根据旋转的知识，求出点D 的坐标．解答：(1)Θ抛物线cbx ax y ++=2经过点),3,0()0,3()0,1(--C B A 、、⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-∴.3,039,0c c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=∴-==.3,2,1c b a 所求抛物线1C 的解析式为=y .322--x x (2)抛物线1C 的解析式为,4)1(2--=x y 如图，抛物线1C 向左平移3个单位长度，可使得到的抛物线2C 经过坐标原点，所求抛物线2C 的解析式为.44)31(22x x x y +=-+-=(3)如图，点D 的坐标为(-3，4).点评：本题主要考查用待定系数法求二次函数解析式和图象的变换等知识点，根据题目条件求出函数解析式是解答本题的关键，此题难度不是很大．【例3】将抛物线33:21+-=x y C 沿x 轴翻折，得抛物线,2C 如图①所示．(1)请直接写出抛物线2C 的解析式；(2)现将抛物线1C 向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为,M 与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线2C 向右也平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为,N 与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．①当B 、D 是线段AE 的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．点拨：(1)根据翻折的性质可求抛物线2C 的解析式；(2)①求出抛物线1C 与x 轴的两个交点坐标，分当AE AD 31=和AE AB 31=时两种情况讨论求解；②存在，连接,、、、MA EM NE AN 根据矩形的判定即可得出．解答：.33)1(2-=x y (2)①令,0332=+-x 得,1,121=-=x x 则抛物线1C 与x 轴的两个交点坐标为、)0,1(-).0,1(),0,1().0,1(m B m A ---∴同理可得)0,1(),0,1(m E m D ++-，如图②．当E AD 31=时，)],1()1[(31)1()1(m m m m ---+=---+-⋅=∴21m 当AE AB 31=时，=----)1()1(m m .2)],1()1[(31=∴---+m m m 故当B 、D 是线段AE 的三等分点时，21=m 或.2=m②存在．理由：如图③，连接AN 、NE 、EM 、MA ．依题意可得、M m N m M ∴--).3,(),3,(N 关于原点0对称，,1.m A ON OM --<=∴ΘE A m E 、∴+),0,1(),0关于原点0对称，=∴OA ∴.OE 四边形ANEM 为平行四边形．=2ME Θ+++==+++-2222)1(,4)3(.)1(m m ME m m+=⋅+-++=++=22224)11(,444)3(m m m h m m &,若,48222AE ME AM m =++则+++m m 4442,1,48442=∴++=m m m 此时△AME 是直角三角形，且∴=∠.90οAME 当1=m 时，以点、、N A E 、M 为顶点的四边形是矩形．点评：本题是二次函数的综合题型，考查了翻折的性质及平行四边形和矩形的判定，注意分析题意分情况讨论结果，【例4】 已知关于x 的一元二次方程+22x 014=-+k x 有实数根，k 为正整数． (1)求k 的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数1.422-++=k x x y 的图象向下平移8个单位长度，求平移后的图象的解析式；(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)(.21k b b x y <+=与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．点拨：(1)综合根的判别式及k 的要求求出k 的取值；(2)对是的取值一一进行验证，求出符合要求的k 值，再结合抛物线平移的规律写出其平移后的解析式；(3)求出新抛物线与x 轴的交点坐标，再分别求出直线b x y +=.21经过点A 、B 时的b 的取值，进而求出其取值范围．本题第(2)问是难点，主要困难可能是不会借助计算淘汰不合题意的k 值．解答：(1)由题意，得,0)1(816≥--=∆k k k Θ.3≤∴为正整数，.3,2,1=∴k(2)设方程01422=-++k x x 的两根为、1x ,2x 则⋅-=-=+21.,22121k x x x x 当1=k 时，方程01422=-++k x x 有一个根为零；当2=k 时，,2121=⋅x x 方程01.4.22=-++k x x 没有两个非零整数根；当3=k 时，方程01422=-++k x x 有两个相同的非零实数根=1．综上所述，1=k 和=k 2不合题意，舍去，3=k 符合题意，当3=k 时，二次函数为,2422++=x x y 把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为.6422,-+=x xy (3)设二次函数6422-+=x x y 的图象与x .轴交于A 、B 两点，则).0,1(),0.3(B A --依题意翻折后的图象如图所示，当直线b x y +=21经过点A 时，可得;23=b 当直线b x y +=21经过点B 时，可得⋅-=21b 由图象可知，符合题意的)3(<b b 的取值范围为⋅<<-2321b点评：本题考查了一元二次方程根的判别式、二次函数及函数图象的平移与翻折，最后还考查了与一次函数的结合等问题，本题较为新颖，难度不大，综合性强，考查面广，是一个趋势和热点，【例5】(2013．莆田)如图①，抛物线+=2ax y c bx +的开口向下，与x 轴交于点A （-3，O ）和点B(l ，0)，与y 轴交于点C ，顶点为D. (1)求顶点D 的坐标（用含a 的代数式表示）；(2)若△ACD 的面积为3．①求抛物线的解析式；②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P ，且解析式.,DAC PAB ∠=∠求平移后抛物线的点拨：(1)已知抛物线与x 轴的两交点的横坐标分别是-3和1，可设抛物线的解析式为=y ),1)(.3(-+x x a 再配方为顶点式，可确定顶点坐标；(2)①设AC 与抛物线对称轴的交点为E ，先运用待定系数法求出直线AC 的解析式，求出点E 的坐标，即可得到DE 的长，然后由⨯⨯=∆DE S ACD 21OA 列出方程，解方程求出a 的值，即可确定抛物线的解析式；②先运用勾股定理的逆定理判断出在△ACD 中,90oACD =∠利用三角函数求出⋅=∠31tan DAC 设抛物线+-=+--=x x x y (3224)12+向右平移后的抛物线解析式为+-=x y (,4)2+m 两条抛物线交于点P ，直线AP 与y 轴交于点F ．根据正切函数的定义求出.1=OF 分两种情况进行讨论：(I)如图③，点F 的坐标为(0，1)；(Ⅱ)如图④，点F 的坐标为（O ，-1）．针对这两种情况，都可以先求出点P 的坐标，再得出m 的值，进而求出平移后抛物线的解析式．解答：(1)Θ抛物线C bx ax y ++=2与x 轴交于点A(-3，0)和点⋅),.0,1(B 抛物线解析式为+=-+=-+<=x a y a ax ax x x a y (.32)1)(32Θ∴-+=-+=-,4)1()32()1)(322a x a x x a x 顶点D 的坐标为).4,1(a --(2)①如图②，设AC 与抛物线对称轴的交点为E ．Θ抛物线a ax axy 322-+=与y 轴交于点∴,C 点C 的坐标为).3,0(a -设直线AC 的解析式为,t kx y +=则⎩⎨⎧-==+-.3,03a t t k 解得⎩⎨⎧-=∴-=.3,a t a k 直线AC的解析式为∴--=.3a ax y 点E的坐标为.2)2(4).2,1(a a a DE a -=---=∴--⨯=⨯⨯=+=∆∆∆2121OA DE S S S ADE CDE ACD ,33.33)2(=-∴-=⨯-a a a 解得∴-=.1a 抛物线的解析式为.322+--=x x y ∴+--=⋅,32.2x x y Θ②顶点D 的坐标为),4,1(-点C 的坐标为(O ，3)．),0,3(-A Θ--==-++-=∴1(,20)04()31(2222CD AD.18)03()30(,2)34()022222=-++==-+AC =∠∴=∠∴+=∴DAC ACD AC CD AD tan .90222ο=∠∴∠=∠⋅==PAB DAC PAB ACCD tan ,31182Θ⋅=∠31tan DAC 如图③，设抛物线=---=3;22x x y 4)1(2++-x 向右平移后的抛物线解析式为=y ,4)(2++-m x 两条抛物线交于点P ，直线AP 与y 轴交于点,3130tan .===∠F OA OF PAB F Θ,1=∴OF 则F 点的坐标为(0，】)或(0，-1)．分两种情况：(I)如图③，当点F 的坐标为(0，1)时，易求直线AF 的解析式为.131+=x y 由⎪⎩⎪⎨⎧+--=+=,32,1312x x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==911,3211y x 或⎩⎨⎧=-=0,322y x （舍去）．∴点P 的坐标为⋅)911,32(将点P 的坐标)911,32(代入,4)(2++-=m x y 得=911.4)32(2++-m 解得1,3721=-=m m （舍去），∴平移后抛物线的解析式为.4)37(2+--=x y(Ⅱ)如图④，当点F 的坐标为（0，-1）时，易求直线AF 的解析式为.131--=x y 由⎪⎩⎪⎨⎧+--=--=,32,1312x x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==913,3411y x 或⎩⎨⎧=-=0322y x （舍去）．∴点P 的坐标为⋅-)913,34(将点P 坐标)913,34(-代人,4)(2++-=m x y 得=-913,4)34(2++-m 解得1,31121=-=m m （舍去），∴平移后抛物线的解析式为.4)311(2+--=x y 综上可知，平移后抛物线的解析式为=y 4)37(2+--x 或.4)311(2+--=x y点评：此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理的逆定理、三角函数的定义、三角形的面积、两函数交点坐标的求法、函数平移的规律等知识，综合性较强，有一定难度，解题的关键是方程思想、数形结合思想与分类讨论思想的应用．◎培优训练能力达标1．（2013．恩施）把抛物线1212-=x y 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为( )3)1(21.2-+=x y A 3)1(.21.2--=x y B1)1(21.2++=x y C1)1(21.2+-=x y D2．如图，将抛物线342:2+-=x xy C 沿直线=y 1-翻折得到抛物线,C '则抛物线C '的解析式为( )542.2---=x x y A 342.2++-=x x y B521.2-+-=x x y C3)1(2.2---=x y D3．将二次函数1)1(22---=x y 的图象先向右平移1个单位长度，再沿x 轴翻折到第一象限，然后向右平移1个单位长度，再沿y 轴翻折到第二象限……依此类推，如果把向右平移1个单位长度再沿坐标轴翻折一次记作1次变换，那么二次函数1)1(22---=x y 的图象经过2 013次变换后，得到的图象的函数解析式为( )1)2(2.2+-=x y A 1)3(2.2++=x y B 1)2(2.2-+-=x y C 1)1(2.2---=x y D4．（2013．大连）如图，抛物线292++=bx x y 与y 轴相交于点A ，与过点A 且平行于x 轴的直线相交于点B （点B 在第一象限）．抛物线的顶点C 在直线OB 上，对称轴与x 轴相交于点D ．平移抛物线，使其经过点A 、D ，则平移后的抛物线的解析式为=y .5．已知抛物线221)2(:2211+++-=m x m x y C 与n mx x y C ++=2:222具有下面的特征：①都与x 轴有交点；②与y 轴相交于同一点． (1)求n m 、的值；(2)试写出当x 为何值时，;21y y >(3)试描述抛物线1C 通过怎样的变换得到抛物线⋅2C6．（2013．邵阳）如图，将二次函数x x y 422--=的图象E 向右平移两个单位长度后得到图象F ．(1)求图象F 所表示的抛物线的解析式；(2)设抛物线F 和x 轴相交于点0、B （点B 位于点0的右侧），顶点为C ，点A 位于y 轴负半轴上，且到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离的2倍，求AB 所在直线的解析式．7．如图，抛物线5)2(:21-+=x a y C 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 的横坐标是1． (1)求a 的值；(2)如图，抛物线2C 与抛物线、1C 关于x 轴对称，将抛物线2C 向右平移，平移后的抛物线记为,3C 抛物线3C 的顶点为M ，当点P 、M 关于点0成中心对称时，求抛物线3C 的解析式．8．（2013．眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在x 轴上，点C 、D 在y 轴上，且,3==OC OB ,1==OD OA 抛物线)0(2=/++=a c bx ax y 经过A 、B 、C 三点，直线AD 与抛物线交于另一点M ．(1)求这条抛物线的解析式；(2)P 为抛物线上一动点，E 为直线AD 上一动点，是否存在点P ，使以点A 、P 、E 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)请直接写出将该抛物线沿射线AD 方向平移√2个单位长度后得到的抛物线的解析式，拓展提升9．（2013．聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线221x y =经过平移得到抛物线,2212x x y -=其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )A ．2B ．4C ．8D ．1610．（2012．陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线62--=x x y 向上（下）或向左（右）平移m 个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则||m 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．611.（2013．宜宾）如图，抛物线121-=x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ，将此抛物线向右平移4个单位长度得抛物线,2y 两条抛物线相交于点C ．(1)请直接写出抛物线2y 的解析式；(2)若点P 是x 轴上一动点，且满足=∠CPA ,OBA ∠求出所有满足条件的点P 的坐标；(3)在第四象限内抛物线2y 上，是否存在点Q ，使得△QOC 中OC 边上的高h 有最大值？若存在，请求出点Q 的坐标及h 的最大值；若不存在，请说明理由．12．（2012．黄石）已知抛物线1C 的函数解析式为),0(32<-+=b a bx ax y 若抛物线1C 经过点),3,0(-方程032=-+a bx ax 的两根为、1x ,2x 且.4||21=-x x (1)求抛物线1C 的顶点坐标；(2)已知实数,0>x 请证明,21≥+x x 并说明x 为何值时才会有;21=+xx (3)若将抛物线先向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到抛物线,2C 设),(),(21y n B y m A 、是2C 上的两个不同点，且满足⋅<>=∠0,0,90n m AOB ο请你用含m 的式子表示出△AOB 的面积S ，并求出S 的最小值及S 取最小值时直线OA 的函数解析式[参考公式：在平面直角坐标系中，若,),(211x Q y x P <、),2y 则 P 、Q 两’点间的距离为⋅-+-])(）（21212y y x x13．（2013．株洲）已知抛物线1C 的顶点为P(l ，0)，且过点⋅)41,0(将抛物线1C 向下平移一个单位长度)0(>h 得到抛物线⋅2C 一条平行于x 轴的直线与两条抛物线交于A 、B 、C 、D 四点（如图），且点A 、C 关于y 轴对称，直线AB 与x 轴的距离是).0(2>m m(1)求抛物线1C 的解析式的一般形式；(2)当2=m 时，求h 的值；(3)若抛物线1C 的对称轴与直线AB 交于点E ，与抛物线2C 交于点F ．求证：-∠EDF tan ⋅=∠21tan ECP◎魔法赛场【例】 如图①，已知点B(l ，3)，C(l ，O)，直线k x y +=经过点B ，且与z 轴交于点A ，将△ABC 沿直线AB 折叠得到△ABD．(1)写出点A 、D 的坐标；(2)若抛物线c bx x y ++=231经过C 、D 两点，求抛物线的解析式； (3)将(2)中的抛物线沿y 轴向上平移，设平移后所得抛物线与y 轴的交点为E ，M 是平移后的抛物线与直线AB 的一个公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线x EM //轴？若存在，此时抛物线向上平移了几个单位长度？若不存在，请说明理由，点拨：(1)A 、D 两点的坐标可由图象看出；(2)抛物线c bx x y ++=231经过C(1，0)、D （-2,3)，将两点坐标代入解析式，解得6、c ；(3)当点M 在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当 M 、E 重合时，它们的纵坐标相等，故知道EM 不会与x 轴平行，设抛物线向上平移h 个单位长度能使x EM //轴，写出平移后的解析式，根据抛物线的对称性，可知点M 的坐标为)31,2(h +时，直线//EM x 轴，将点M 代入直线,2+=x y 解得.h 解答：).3,2(),0,2()1(--D A Θ)2(抛物线c bx x y ++=231经过C(l ，0)、D(-2，3)，将C 、D 两点的坐标代人解析式，解得∴⋅=-=31,32c b 所求抛物线的解析式为=y ⋅+-3132312x x (3)存在．如图②，Θ当点M 在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当M 、E 重合时，它们的纵坐标相等．∴EM 不会与x 轴平行；当点M 在抛物线的右侧时，设抛物线向上平移一个单位长度能使x FM //轴，则平移后抛物线的解析式为=y ∴+-,)1(312h x 抛物线与y 轴的交点为⋅+)31,0(h E 根据抛物线的对称性，可知当点M 的坐标为)31,2(h +时，直线x EM //轴，将)31,2(h +代人,2+=x y 得,2231+=+h 解得=h ∴.311抛线向上平移311个单位长度能使//EM x 轴．点评：本题是二次函数的综合题，要求会求二次函数的解析式，考查平移等知识点，本题步骤有点多，做题时要细心，思考题如图，抛物线c bx x y ++=2过点A(3，O)和原点0．正方形BCDE 的顶点B 在抛物线+=2x y c bx +上，且在对称轴的左侧，点C 、D 在x 轴上，点E 在第四象限，且.1=OD(1)求这条抛物线的解析式；(2)求正方形BCDE 的边长；(3)若正方形BCDE 沿x 轴向右平移，当正方形的顶点落在抛物线c bx x y ++=2上时，求平移的距离；(4)若抛物线c bx x y ++=2沿射线BD 方向平移，使抛物线的顶点P 落在x 轴上，求抛物线沿BD 平移的距离．。
二次函数平移、旋转、轴对称变换汇总
二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换）一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换 1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。
y=a(x-h)²+k y=a(x-h)²+k ±my=a(x-h)² y=a(x-h ±m)²+k 练习：（1）函数图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，得到函数__________________的图象。
（2）抛物线225y x x =-+向左平移3个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式是 。
2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。
（1）将抛物线绕其顶点旋转180︒（即两条抛物线关于其顶点成中心对称） ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+。
（2）将抛物线绕原点旋转180︒（即两条抛物线关于原点成中心对称）()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-。
练习：（1）抛物线2246y x x =-+绕其顶点旋转180︒后，所得抛物线的解析式是 （2）将抛物线y ＝x 2＋1绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( ) A ．y ＝－x 2 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝x 2－1 D ．y ＝－x 2－1 3、抛物线的轴对称变换： 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；练习：已知抛物线C 1：2(2)3y x =-+（1）抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，则抛物线C 2的解析式为 （2）抛物线C 3与抛物线C 1关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为 总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。
二次函数的平移与翻折
二次函数的平移翻折教学设计一、教材分析本节课是二次函数的复习课，是在学生已经能应用二次函数的基础知识解决一些简单的数学问题，如二次函数的图形及其性质，用待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数的顶点坐标，应用二次函数解决一些简单的实际问题等，本节课主要探究二次函数的图形变换和将二次函数与多边形结合的数学问题的解题通法，让学生进一步体验“数形结合”的数学思想。
二、教学目标及难重点（知识与技能，方法和过程，情感态度与价值观）1.教学目标 (1)知识和技能：能将二次函数与其他知识相关联，形成解决二次函数图形变换问题和求取多边形未知顶点坐标的解题通用方法． (2)方法与过程：经历探究二次函数视角下图形变换及与“直线型”综合问题的通用解法的探究过程，进一步体验数形结合的思想． (3)情感态度与价值观：依托信息技术的直观演示，发展学生的空间观念、几何直观、推理能力和模型思想．2.教学重点：在动态变换的直观演示中，归纳解题通法3.教学难点：在直观演示中充分体验“数形结合”，形成解题通法。
三、教学策略选择与设计1.教法：情境教学法、活动教学法、多媒体教学法等．2.学法：主动探究法、情境体验法、成果展示法等四、教学环境及设备、资源准备1.教学环境：多媒体、电子交互白板、黑板教师准备：活动单，学习小组划分2.教学资源：活动单、多媒体课件等五、教学过程1、情景引入引入：信息技术的引入，给初中数学课堂带来的勃勃生机，它能形象直观地展示数与形之间的互换，充分展示“数形结合”的数学思想．上学期，我们已经探究了二次函数的一些基本知识，今天，我们将借助电子白板来继续探究二次函数的知识。
2、习题练习与讲评3、总结方法4、作业六、教学评价设计在本课的教学过程中，评价主体是多元的，有教师的评价，有学生的互评，有学生自我的评价等，本课中，我采用了多种评价方式：即时评价，对学生的课堂中的点滴表现进行鼓励性的即时评价；延迟评价，这是数学学习的特点，对学生的解题方法在验证后给出准确的评价；过程性评价，对学生的学习过程中的表现给予准确评价；总结性评价，对学生在课堂中的整个学习结果进行总结性评价．本课教学评价的内容十分丰富，既评价学生的学习结果，也评价学生的学习过程，从多角度、全方位对学生的学习活动进行评价，有利于激发和保持学生参与学习的积极性和求知欲望，提高学习效率．七、直观演示，“空想”变为现实在本课的教学中，笔者借助信息技术，向学生提供了与本课教学内容相配套的动态学习资源．无论是片断一中的抛物线的运动，还是片断二中的三角形的中心对称变换，原本都应该在学生脑海中“运行”．在笔者的课堂中，通过直观演示，将这些变换过程完整地展示在学生的眼前，“呈现出抽象图象”的直观变换．一方面加深了学生对二次函数及与之相关联的知识的理解，为学生得出解题的一般方法提供帮助；另一方面，由信息技术引领的直观演示，为学生积累了丰富的数学活动经验，为他们今后自主探究此类问题提供了借鉴．在信息技术的指引下，原本在学生脑海中的“空想”，跃然眼前，成为现实，提高了课堂学习的效率和效益． 2．适时归纳，方法“无痕”生成信息技术，是帮助学生学习数学知识、训练数学技能、渗透数学思想以及获取数学活动经验的辅助性工具，所起的作用就是“辅助学习”．在快节奏、大容量的课堂教学中，主体依然是学生，不管技术多么先进，都无法替代学生的思维．因此，对数学知识、方法、思想、解题的一般策略等的阶段性归纳，在这样的课堂上显得尤为重要．尤其是有些动态的演示，结论或方法的发现往往就在一瞬间，这样的机会稍纵即逝．由此可见，适时的整理归纳是必须的．在上面的两个片断中，让学生充分感知、积极互动交流之后，笔者都对此类问题的一般解法进行了认真的小结梳理，顺着学生认知的主线，方法得出水到渠成，不留“痕迹”．。
二次函数图象的平移和对称变换
2二次函数图象的平移、旋转、轴对称专题有关图象的变换一般可采用两种基本的方法，其一是利用特殊点进行变换，其二是利用坐标变换的规律进行变换。
所谓利用特殊点进行变换，即选取原图象上一些特殊的点，把这些点按指定的要求进行变换，再把变换后的点代入到新的解析式中，从而求出变换后的解析式，利用特殊点进行变换，又可以从一般形式入手，选取图象上的三个特殊的点进行变换，也可以把一般形式化为顶点式，选取顶点作为特殊点，然后进行变换。
利用坐标变换的方法，根据题目的要求，利用坐标变换的规律，从而进行变换。
下面由具体的例子进行说明。
一 、 平 移 。
例1、 把抛物线 y=x -4x+6 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位后，求其图象的解析式。
法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0， 6），（ 1， 3），（ 2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求向左平移3 个单位，再向下平移4 个单位后得到三个新点（ -3 ， 2），（ -2 ， -1 ），（-1 ，-2 ），把这三个新点代入到新的函数关 系式的一般形式 y=ax 2+bx+c 中，求出各项系数即可。
例 2、已知抛物线 y=2x 位，求其解析式。
法（二）2-8x+5, 求其向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单先利用配方法把二次函数化成y a( x h)2 k 的形式，确定其顶点（ 2，-3 ），然后把顶点（ 2， -3 ）向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单位后得到新抛物线的顶点为（ 5， 1），因为是抛物线的平移，因此平移前后 a 的值应该相等，这样我们就得到新的抛物线的解析式中 a=2，且顶点为（ 5， 1），就可以求出其解析式了。
22222【平移规律：在原有函数的基础上“左加右减、上加下减”】 .法（三）根据平移规律进行平移，不论哪种抛物线的形式，平移规律为 “左右平移即把解析式中自变量 x 改为 x 加上或减去一个常数，左加右减，上下平移即把整个解析式加上或减去一个常数，上加下减。
中考复习函数专题30 函数图象的平移与变换(老师版)
专题30 函数图象的平移与变换知识对接考点一、函数图象的变换一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种：①沿水平方向左右平行移动②沿竖直方向上下平行移动1．利用描点法作函数的图象的基本步骤：①确定函数的定义域②简化函数的解析式③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、最值等)④画出函数的图象2．图象的平移变换①)0)((>-=a a x f y 的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到；)0)((>+=a a x f y 的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到②)0()(>±=h h x f y 的图象可由)(x f y =的图象沿y 轴向上或向下平移h 个单位得到注意：（1）可以将平移变换化简成口诀：左加右减，上加下减（2）谁向谁变换是)(x f y =→)(a x f y -=还是)(a x f y -=→)(x f y =二、对称变换图象的对称性是函数在对称区间上值域具有不同特点的直观反应，函数图象的对称性反应在两个方面，一是两个函数图象间的对称情况，二是一个函数图象本身的对称情况。
两个函数图象间的对称情况有两种形式：一是两图关于某条直线对称，二是两图象关于某点呈中心对称。
①)(x f y =与)(x y -=)的图象关于y 轴对称②)(x f y =与)(x y -=的图象关于x 轴对称③)(x f y =与)(x y -=的图象关于原点对称 ④)(x f y =的图象是保留)(x f y =的图象中位于上半平面内的部分，及与x 轴的交点，将)(x f y =的)图象中位于下半平面内的部分以x 轴为对称翻折到上半面中去而得到。
⑤()x f y =图象是保留中位于右半面内的部分及与y 轴的交点，去掉左半平面内的部分，而利用偶函数的性质，将右半平面内的部分以y 轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到。
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二次函数与像变换抛物线的平移翻折与缩放二次函数是一个非常重要的数学概念，在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
其中，像变换是一种常见的方法，可以通过平移、翻折和缩放来改变二次函数的图像。
本文将介绍二次函数与如何进行平移、翻折和缩放操作，以及这些操作对函数图像的影响。
一、二次函数的标准形式
二次函数的标准形式为：
y = ax^2 + bx + c
其中，a、b、c为实数，a不等于0。
a决定了二次函数的开口方向和图像的扩张或收缩程度，b决定了图像相对于y轴的平移，c则表示二次函数的纵截距。
二、平移操作
平移操作可以改变二次函数图像的位置，使其在坐标平面上向左、向右、向上或向下移动。
1. 水平平移
在二次函数标准形式中，通过改变b的值可以实现水平平移。
若b>0，则函数图像向左平移；若b<0，则函数图像向右平移；若b=0，则函数图像不发生平移。
2. 垂直平移
通过改变c的值，可以实现二次函数图像的垂直平移。
若c>0，则
函数图像向上平移；若c<0，则函数图像向下平移；若c=0，则函数图
像不发生平移。
三、翻折操作
翻折操作可以改变二次函数图像的朝向，使其上下翻折或左右翻折。
1. 上下翻折
如果将二次函数的整体结果乘以-1，即使a取-a的值，则可以实现
二次函数图像的上下翻折。
上翻折：a>0；下翻折：a<0。
2. 左右翻折
将二次函数中x的值取相反数，可以实现二次函数图像的左右翻折。
左翻折：b>0；右翻折：b<0。
四、缩放操作
缩放操作可以改变二次函数图像的大小，使其变窄或变宽。
1. 水平缩放
通过改变a的值，可以实现二次函数图像的水平缩放。
当a>1时，
函数图像变瘦；当0<a<1时，函数图像变胖。
2. 垂直缩放
同样是通过改变a的值，可以实现二次函数图像的垂直缩放。
当
a>1时，函数图像变矮；当0<a<1时，函数图像变高。
通过以上的操作，可以将二次函数的图像进行不同程度的调整，以
满足实际问题中的需要。
在应用中，可以结合具体问题，对二次函数
进行适当的像变换，以得到更符合实际情况的图像。
总结起来，二次函数与像变换抛物线的平移、翻折和缩放密切相关。
通过改变二次函数的系数a、b和c，可以实现对函数图像的不同操作，从而得到各种不同形态的抛物线。
在实际应用中，弄清楚这些变换操
作的原理和规律，对于解决问题和理解二次函数的性质有着重要的意义。