抛物线平移、对称变换
抛物线的图形变化
查询，编制一两道关于抛物线变 换的问题
y
旋转变换 抛物线的旋转
y
=2(x+2)2
-1
P1 (2, 1)
x
转 化
点的旋转
P (-2,-1)
y
=-2(x+2)2 -1
ห้องสมุดไป่ตู้
y =-2(x-2)2 +1
y=a（x+m）2+k 平移变换
轴对称变换
a 不变
顶点（－m，k） 变
（－m，－k） （m，k） （－m，k） （m，－k）
x轴 y轴
绕顶点 （1800） 绕原点 （1800）
则平移后的抛物线
再向上平移1个单位 _____________________________
经过原点
3.已知二次函数 y = x2 2x 3 .
D
y
(0,3)
x
(0,-3)
4.已知二次函数 y=2（x+3）2－1 .
(1) 将图象绕原点旋转 180°后得到的函数图 y=－2（x-3）2+1 象的解析式为______________. (2)将图象绕点（0,1）旋转180°后得到的函 y=2（x-3）2+3 数图象的解析式为______________.
y
平移变换 抛物线的平移
y =2(x+2)2 -1
y =2(x-3)2 -1
x
转 化
点的平移
P (-2,-1)
(3,-1)
y
轴对称变换 抛物线的轴对称
y
=2(x+2)2
-1
(-2,1)
P1
y =2(x-2)2 -1
x
抛物线
（二）抛物线在平面直角坐标系中的轴对称变换。抛物线在平面直角坐系中的轴对称变换主要有两种变换。即关于x轴对称的抛物线和关于y轴对称的抛物线变换。
其变换的一般规律是：抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线解析式为y=-ax2-bx-c。变化的实质是：只改变抛物线的开口方向，对称轴保持不变。
一、抛物线在平面直角坐标系中的平移、旋转、轴对称、中心对称变换
（一）抛物线在平面直角坐标系中的平移。我们知道，抛物线y=ax2+bx+c的形状（包括开口方向与开口大小）是由其二次项系数决定的，具体来说，a的符号决定了其开口方向。a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，其开口越大。因此抛物线在平面直角坐标系中的平移，并不会改变抛物线的形状，即在平移过程中其开口方向与抛物线开口的大小保持不变。平移中改变的是抛物线在平面直角坐标系中的位置，即对称轴和顶点坐标的改变。其一般变化规律是：把抛物线y=ax2向左平移h个单位后其解析式为y=a（x+h）2，向右平移h个单位后其解析式为y=a(x-h)2，向上平移k个单位后其解析式是y=ax2+k，向下平移k个单位后其解析式是y=ax2-k。平移中解析式变化的实质是：左右平移时只要自变量x加减某个量即可，即抛物线上每个点的横坐标发生变化，纵坐标保持不变。上、下平移时抛物线上每个点的纵坐标发生改变，横坐标保持不变。
二、在知识探索中，认定归类整理的教学方法
由以上综述可知，抛物线在平面直角坐标系中的变换非常灵活。无论是抛物线在平面直角坐标系中的平移变换，轴对称变换，还是抛物线在平面直角坐标系中的旋转变换，中心对称变换，其形状和大小均保持不变。即归类整理就有头绪。只要我们在数学课堂教学中注意引导学生探索发现它们变化的一般规律，就能发现它们的奥妙所在，那么学生们在学习本单元内容时会充满兴趣。把本来比较枯燥难以理解掌握的抛物线在平面直角坐标系中的变换内容，变得生动有趣，使同学们对学好本单元内容充满自信，为我们提高数学课堂效率，大面积提为学生长远发展打好坚实基础。
用顶点式解决抛物线图形的变换
用顶点式解决抛物线图形的变换
4、（ 2011庆江津）将抛物线y=x2－2x向上 平移3个单位,再向右平移4个单位得到的抛物 线是 ,
5.将抛物线y=x2－2x 向上平移3个单位 ,得 到抛物线 ,
6.函数 y=x2的图像与函数 y=-x2的图像 关于 对称。
中考题型
1.(2011桂林第11题3分)在平面直角坐标系中,将 抛物线y＝x2 +2x+3绕着它与y轴的交点旋转 180°,所得抛物线的解析式是 ( ) A. y＝-(x+1)2 +2 B. y＝-(x-1)2+4 C.y＝-(x+1)2+2 D. y＝-(x+1)2+4 2.(2012桂林11题3分)如图:把抛物线y＝x2 沿 直线y＝x平移根号2个单位后,其顶点在直线上 的A处,则平移后的抛物线解析式是( ) A. y＝ (x+1)2-1 B. y＝ (x+1)2&#(x-1)2-1
1.已知抛物线y＝ (x-2)2+3 (1)写出与它关于y轴对称的抛物线的解析式 (2)写出与它关于x轴对称的抛物线的解析式 (3)写出与它关于原点中心对称的抛物线的解 析式 。 (4)写出它绕着顶点旋转180°后得到的抛物线 的解析式 。 (5)写出与它关于点(3,2)对称的抛物线的 解析式 。 (6)向右平移 个单位，图像经过点(5,4)。 (7)向下平移 个单位，图像也经过点(5,4)。
高三抛物线定理知识点
高三抛物线定理知识点抛物线是高中数学中重要且常见的曲线。
在高三阶段，学生需要掌握抛物线定理，并且能够灵活运用于解决相关问题。
本文将介绍高三抛物线定理的基本概念以及其应用。
一、抛物线的定义与特点抛物线是由平面上距离一个定点距离相等的点构成的图形。
该定点称为焦点，到直线称为准线。
1. 对称性：抛物线以准线为对称轴对称。
2. 焦距：焦点到准线的距离称为焦距，用f表示。
3. 定义域与值域：抛物线的定义域为实数集，值域为y≥d，其中d为抛物线与其准线的最低点的纵坐标。
二、顶点与对称轴在抛物线中，顶点是其中最高（或最低）的点。
对称轴是过焦点和顶点的直线。
1. 顶点：抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h和k分别为抛物线的顶点的横坐标和纵坐标。
2. 对称轴：对称轴的方程为 x = h。
三、抛物线的一般方程抛物线的一般方程为 y = ax² + bx + c，其中a≠0。
在高三阶段，学生需要了解如何通过抛物线的顶点和焦点坐标来确定抛物线方程。
四、抛物线的焦点与准线的关系抛物线的焦点坐标为（f，0），其中焦距f的计算公式为 f = 1/4a。
准线的方程为 x = -f。
五、抛物线的平移抛物线可以通过平移进行位置上的变换。
1. 抛物线上下平移：将抛物线原方程中的常数c进行上下平移。
2. 抛物线左右平移：将抛物线原方程中的常数b进行左右平移。
六、抛物线的应用抛物线的定理在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
1. 抛物线光学：在光学实验中，抛物线是一种能够将平行光线聚焦于焦点的曲线形状。
2. 抛物线运动：在物理学中，抛物线也描述了平抛运动的轨迹，如投掷物体的运动。
七、高三抛物线定理解题方法1. 根据已知条件绘制抛物线，并确定抛物线的顶点、焦点和准线。
2. 列出抛物线的一般方程，并代入已知条件，解出未知变量。
3. 运用抛物线定理或几何特性，解答相关问题。
八、总结高三抛物线定理是数学中重要的知识点，掌握抛物线的基本概念、性质以及应用方法对于高中数学学习具有重要意义。
高二抛物线所有知识点
高二抛物线所有知识点抛物线是数学中的一个重要概念，高二学生在学习数学时会接触到抛物线的相关知识点。
下面将详细介绍高二抛物线的所有知识点。
一、概述抛物线是指平面上一个动点到定点的距离与该点到一条定直线的距离之差等于常数的点的集合。
抛物线的形状呈现出一条弧线，它由定点（焦点）和定直线（准线）唯一确定。
二、抛物线方程1. 标准方程抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
2. 顶点坐标和对称轴抛物线的顶点坐标可通过完成平方来求得，顶点的横坐标为：x = -b/2a，纵坐标为：y = f(-b/2a)。
对称轴为与抛物线关于顶点对称的直线。
3. 焦点坐标和准线方程焦点的横坐标为：( -b/2a, c - b^2/4a )，纵坐标为：(c - b^2/4a)。
准线方程为：x = -b/2a + p，其中p为焦距。
4. 直径和焦半径直径是抛物线上通过焦点且垂直于准线的一条直线，焦半径是从焦点到抛物线上一点的线段。
三、抛物线的性质1. 对称性抛物线是关于对称轴对称的，也即它的两侧是完全对称的。
2. 单调性当a>0时，抛物线开口向上，且在顶点处取得最小值；当a<0时，抛物线开口向下，且在顶点处取得最大值。
3. 判别式和图像类型判别式Δ = b^2 - 4ac 可以判断抛物线的图像类型：Δ > 0 时，抛物线与x轴交于两点，图像开口向上或向下；Δ = 0 时，抛物线与x轴交于一点，图像开口向上或向下，顶点处有一个最值；Δ < 0 时，抛物线与x轴无交点，图像开口向上或向下。
四、抛物线的平移抛物线f(x)的平移变换为f(x - h) + k，其中(h, k)为平移的距离。
五、抛物线与实际应用抛物线在生活中有广泛的应用，例如：桥梁设计、喷泉设计、抛物面反光镜、运动物体的轨迹等。
六、典型题目解答1. 求抛物线的顶点坐标和对称轴方程。
解：已知抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c，通过平方完成可以得到标准方程。
二次函数图像变换
二次函数图像变换
二次函数图像变换有3种：平移、对称、旋转。
一、专用解法
1、平移：左加右减自变量，上加下减常数项
2、对称、旋转：取原抛物线上一点（x,y），然后根据对称或旋转规律找到对应点，
将对应点坐标代入原抛物线解析式，然后化解得到的解析式即所求。
例1：原抛物线上y=ax^2+bx+c有一点（x,y），其关于x轴对称的点坐标为（x,-y），将（x,-y）代入到原解析式得到-y=ax^2+bx+c，即y=-ax^2-bx-c
例2：原抛物线上y=x^2+2x绕点（1,0）旋转180°，求旋转后的解析式解：设点（x,y）是原抛物线y=x^2+2x上一点，（x,y）绕点（1,0）旋转180°，通过中点坐标公式得出对应点为（2-x,-y），将（2-x,-y）代入y=x^2+2x得到
-y=(2-x)^2+2(2-x)，即y=-x^2+6x-8
注意：以上方法也适用于一次函数
二、通用解法
①将解析式化顶点式y=a(x-h)^2+k，得到顶点（h,k）
②将顶点（h,k）按照要求进行平移、对称、旋转，得到新的顶点（h’,k’）
③平移a不变；X轴对称a变号，Y轴对称a不变；旋转a变号，特别的原点对称就是绕（0,0）旋转180
注意：这里的旋转肯定是180°，因为如果不是180°得到的就不是二次函数了
④知道了a和顶点，设顶点式就可以得到新抛物线的解析式
注意：无论平移、对称、旋转都可以用，如果是一次函数可以将顶点（h,k）替换为直线与y轴交点，a替换为k，整体思路是一样的。
抛物线平移
抛物线平移、对称变换的规律一、平移变换 如果二次函数解析式为一般式2y ax bx c =++，应先化成顶点式2()y a x h k =-+，然后按照“左加右减，上加下减”的规律去推导. 例1、（2010 兰州）抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的解析式为：223y x x =--，则b ，c 的值为（ ） A . 2b =,2c = B . 2b =, 0c = C . 2b =-，1c =- D .3b =-，2c =【解析】：采用逆推法，把223y x x =--向左平移2个单位，再向上平移3个单 位可得到2y x bx c =++，把223y x x =--配方得：222113(1)4y x x x =-+--=--，根据平移规律得2222(12)43(1)12112y x x x x x x =-+-+=+-=++-=+，故选B二、对称变换⑴关于x 轴对称：坐标系内一点(,)P x y 关于x 轴的对称点的坐标为(,)x y -，所以把(,)x y -代入原抛物线2y ax bx c =++后得新解析式为2y ax bx c -=++，整理得 2y ax bx c =---. ⑵关于y 轴对称：坐标系内一点(,)P x y 关于y 轴的对称点坐标为(,)x y -，把(,)x y -代入原抛物线2y ax bx c =++后得新解析式为22()()y a x b x c ax bx c =-+-+=-+. ⑶关于原点对称：坐标系内一点(,)P x y 关于原点的对称点坐标为(,)x y --，把(,)x y --代入原抛物线2y ax bx c =++后得新解析式为2()()y a x b x c -=-+-+，整理得2y ax bx c =-+-.实战演练：①（2009 黔东南）二次函数23y x x =--的图像关于原点(0,0)O 对称的图像的解析式为----------------- （答案：223y x x =--+） ②（2009 重庆）在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴做对称变换，那么两次变换后所得到的新抛物线解析式为（ ）A . 22y x x =--+B . 22y x x =-+-C . 22y x x =-++D . 22y x x =++答案：C .。
抛物线知识点归纳总结
抛物线知识点归纳总结抛物线是解析几何中的一个重要概念，它在物理、数学等领域都有着广泛的应用。
本文将对抛物线的知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、抛物线的定义。
抛物线是平面上到定点的距离与到定直线的距离之差等于常数的动点轨迹。
通俗地讲，抛物线是一种特殊的曲线，其形状呈现出两个对称的平滑弧线。
二、抛物线的标准方程。
1. 抛物线的标准方程通常写作，y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
2. 抛物线开口方向由a的正负决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 当抛物线与y轴相交时，x=0，代入方程得到抛物线的顶点坐标。
三、抛物线的性质。
1. 对称性，抛物线关于其顶点对称。
2. 切线性质，抛物线上任意一点处的切线与该点处的切线平行于抛物线的对称轴。
3. 焦点和准线，抛物线的焦点是到定点的距离等于到定直线的距离之差的定点，准线是到定点的距离等于到定直线的距离之差的定直线。
4. 焦距，抛物线焦点到顶点的距离称为抛物线的焦距。
四、抛物线的应用。
1. 物理学中，抛物线运动是一种常见的运动形式，如抛体运动、炮弹发射等都可以用抛物线来描述。
2. 工程学中，抛物线的形状被广泛运用在建筑、桥梁、汽车等设计中，具有良好的结构稳定性。
3. 数学学科中，抛物线是解析几何和微积分中的重要概念，对于理解曲线的性质和方程有着重要意义。
五、抛物线的变形。
1. 抛物线的平移，通过平移变换可以使抛物线的顶点不位于原点，而是位于任意一点，这时抛物线的标准方程需要经过变换。
2. 抛物线的缩放，通过缩放变换可以改变抛物线的大小，使其开口更大或更小。
3. 抛物线的旋转，通过旋转变换可以使抛物线绕着定点旋转一定角度，这时抛物线的标准方程也需要相应的变换。
六、抛物线的求解。
1. 已知顶点坐标和另一点坐标时，可以直接代入抛物线的标准方程求解抛物线的具体方程。
2. 已知焦点和准线时，可以利用焦点和准线的性质来求解抛物线的具体方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题一：抛物线平移、对称变换
学习目标： 1.抛物线平移顶点，与坐标系交点关系
2. 利用对称性求点的坐标
知识框架：
【1】抛物线的平移变换只改变抛物线的顶点位置，而不改变抛物线的开口方向与开口大小。
【2】求抛物线2
a≠）沿坐标轴平移后的解析式，一般可先将其配方y ax bx c
=++（0
成顶点式()2
=-+（0
y a x h k
a≠），然后利用抛物线平移变换的有关规律将原顶点坐标改变成平移后的新顶点坐标即可。
抛物线平移变换的规律是：左加右减（在括号），上加下减（在末梢）。
【3】抛物线绕其顶点旋转180°只改变抛物线的开口方向，而不改变抛物线的开口大小及顶点位置。
【4】求抛物线2
a≠）绕其顶点旋转180°后的解析式，同样可先将其y ax bx c
=++（0
配方成顶点式()2
=-+（0
y a x h k
a≠），然后将二次项系数直接改变成其相反数即可。
【5】⑴抛物线沿y轴翻折只改变抛物线的顶点位置，而不改变抛物线的开口方向及开口大小。
⑵抛物线沿x轴翻折将同时改变抛物线的开口方向及顶点位置，但抛物线的开口大小不变。
【6】求抛物线2
a≠）沿某条坐标轴翻折后的解析式，首先仍应将其y ax bx c
=++（0
配方成顶点式()2
=-+（0
y a x h k
a≠），然后再根据翻折的方向来确定新抛物线的解析式——若是沿y轴翻折，则只需将其顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标即可；若是沿x轴翻折，则除了要将顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标外，还需将二次系数改变成其相反数。
真 题 汇 编：
第一部分（选择题）
（2013-2014海淀）二次函数2
2+1y x =-的图象如图所示，将其绕坐标原点O 旋转180，则旋转后的抛物线的解析式为( )
A ．2
21y x =-- B ．221y x =+ C ．22y x = D ．
2
21y x =- 【方法总结】
（2015-2016北师大实验二龙路中学） 将抛物线2
2y x =向左平移1个单位长度，再向上平移
3个单位长度得到的抛物线解 析式是（ ）．
A ．22(1)3y x =--
B ．22(1)3y x =++
C ．22(1)3y x =-+
D ．22(1)3y x =+-
【方法总结】
（2015-2016北京三中）将抛物线 224=+y x 绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）. A ． 224=--y x
B ． 224=-+y x
C ．224=-y x
D ． 22=-y x
【方法总结】
（2015-2016北京市昌平第三中学）把抛物线y =2x 2-3沿x 轴翻折，所得的抛物线是（ ）
A.y ＝－2x 2－3
B.
y ＝2x 2-3 C. y ＝2x 2＋3 D. y ＝－2x 2+3
【方法总结】
（2015-2016北京三帆中学）二次函数2
3+1y x =-的图象如图所示, 将其沿x 轴翻折后得到的抛物线的解析式为
A ．2
31y x =-- B ．2
3y x =
C ．2
31y x =+
D ．2
31y x =-
【方法总结】
丰台区2017-2018如图，在平面直角坐标系中，抛物线2
2
1x y =抛物线x x y 22
12
-=
( )
A ．2 B. 4 C. 8 D. 16
【方法总结】
第二部分（填空题）
海淀区2017-20182
2y x =平移后经过点(0,3)A ，(2,3)B ，
求平移后的抛物线的表达式．
【方法总结】
（2013-2014海淀）已知点P （-1，m ）在二次函数2
1y x =-的图象上，则m 的值为 ；平移此二次函数的图象，使点P 与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为 .
【方法总结】
（2015-2016年北京市第三十一中学）抛物线图像2
2x y -=经过平移得到抛物线图像
5422---=x x y ，平移方法是______
【方法总结】
朝阳区2015-2016如图，抛物线y=4-
9
x 2
通过平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点B （6，0）和O （0，0），它的顶点为A ，以O 为圆心，OA 为半径作圆，在第四象限内与抛物线y=4-
9
x 2
交于点C ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为 ． 【方法总结】
丰台区2014-2015如图，⊙O 的半径为2, 1C 是函数的22
1
x y =的图
象，2C 是函数的221
x y -=的图象，3C 是函数的x y =的图象，则阴影
部分的面积是______
【方法总结】
第三部分（解答题）
（2013-2014东城）二次函数2
y ax bx c =++的图象与x 轴交于点A （-1, 0），与y 轴交于
点C （0，-5），且经过点D （3，-8）. （1）求此二次函数的解析式和顶点坐标；
（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在原点处，并写出平移后抛
物线的解析式．
【方法总结】
（2016-2017北京四十四中初三上期中）抛物线22y x =向上平移后经过点(0,3)A ，求平移后的抛物线的表达式．
【方法总结】
（2016-2017北京西城铁路第二中学初三上期中） 如图，一段抛物线：(2)y x x =-（0≤x ≤2），记为1
C ，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2 ，交
x 轴于点A 2 ；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；… ，如此进行下去，直至得C 10．
（1）请写出抛物线C 2的解析式： ； （2）若P （19，a ）在第10段抛物线C 10上，则a =_________．
【方法总结】
西城区2014-2015
已知：抛物线1C ：2y ax bx c =++经过点()10A -，、()30B ，、
()03C -，．
⑴ 求抛物线1C 的解析式；
⑵ 将抛物线1C 向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线2C 经过坐标原点，并写出2
C 的解析式；
⑶ 把抛物线1C 绕点()10A -，旋转180︒，写出所得抛物线3C 顶点D 的坐标．
【方法总结】
【纠错回顾】。