抛物线平移、对称变换
抛物线的图形变化
查询，编制一两道关于抛物线变 换的问题
y
旋转变换 抛物线的旋转
y
=2(x+2)2
-1
P1 (2, 1)
x
转 化
点的旋转
P (-2,-1)
y
=-2(x+2)2 -1
ห้องสมุดไป่ตู้
y =-2(x-2)2 +1
y=a（x+m）2+k 平移变换
轴对称变换
a 不变
顶点（－m，k） 变
（－m，－k） （m，k） （－m，k） （m，－k）
x轴 y轴
绕顶点 （1800） 绕原点 （1800）
则平移后的抛物线
再向上平移1个单位 _____________________________
经过原点
3.已知二次函数 y = x2 2x 3 .
D
y
(0,3)
x
(0,-3)
4.已知二次函数 y=2（x+3）2－1 .
(1) 将图象绕原点旋转 180°后得到的函数图 y=－2（x-3）2+1 象的解析式为______________. (2)将图象绕点（0,1）旋转180°后得到的函 y=2（x-3）2+3 数图象的解析式为______________.
y
平移变换 抛物线的平移
y =2(x+2)2 -1
y =2(x-3)2 -1
x
转 化
点的平移
P (-2,-1)
(3,-1)
y
轴对称变换 抛物线的轴对称
y
=2(x+2)2
-1
(-2,1)
P1
y =2(x-2)2 -1
x
函数图象变换和零点
函数图象变换和零点一、函数图像1、平移变换Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)； 2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ； 2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。
2、对称变换Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y =f (x ) xy =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x )ax =→直线y =f (2a -x )。
3、翻折变换Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到4、伸缩变换Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )ay ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到。
抛物线
（二）抛物线在平面直角坐标系中的轴对称变换。抛物线在平面直角坐系中的轴对称变换主要有两种变换。即关于x轴对称的抛物线和关于y轴对称的抛物线变换。
其变换的一般规律是：抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线解析式为y=-ax2-bx-c。变化的实质是：只改变抛物线的开口方向，对称轴保持不变。
一、抛物线在平面直角坐标系中的平移、旋转、轴对称、中心对称变换
（一）抛物线在平面直角坐标系中的平移。我们知道，抛物线y=ax2+bx+c的形状（包括开口方向与开口大小）是由其二次项系数决定的，具体来说，a的符号决定了其开口方向。a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，其开口越大。因此抛物线在平面直角坐标系中的平移，并不会改变抛物线的形状，即在平移过程中其开口方向与抛物线开口的大小保持不变。平移中改变的是抛物线在平面直角坐标系中的位置，即对称轴和顶点坐标的改变。其一般变化规律是：把抛物线y=ax2向左平移h个单位后其解析式为y=a（x+h）2，向右平移h个单位后其解析式为y=a(x-h)2，向上平移k个单位后其解析式是y=ax2+k，向下平移k个单位后其解析式是y=ax2-k。平移中解析式变化的实质是：左右平移时只要自变量x加减某个量即可，即抛物线上每个点的横坐标发生变化，纵坐标保持不变。上、下平移时抛物线上每个点的纵坐标发生改变，横坐标保持不变。
二、在知识探索中，认定归类整理的教学方法
由以上综述可知，抛物线在平面直角坐标系中的变换非常灵活。无论是抛物线在平面直角坐标系中的平移变换，轴对称变换，还是抛物线在平面直角坐标系中的旋转变换，中心对称变换，其形状和大小均保持不变。即归类整理就有头绪。只要我们在数学课堂教学中注意引导学生探索发现它们变化的一般规律，就能发现它们的奥妙所在，那么学生们在学习本单元内容时会充满兴趣。把本来比较枯燥难以理解掌握的抛物线在平面直角坐标系中的变换内容，变得生动有趣，使同学们对学好本单元内容充满自信，为我们提高数学课堂效率，大面积提为学生长远发展打好坚实基础。
用顶点式解决抛物线图形的变换
用顶点式解决抛物线图形的变换
4、（ 2011庆江津）将抛物线y=x2－2x向上 平移3个单位,再向右平移4个单位得到的抛物 线是 ,
5.将抛物线y=x2－2x 向上平移3个单位 ,得 到抛物线 ,
6.函数 y=x2的图像与函数 y=-x2的图像 关于 对称。
中考题型
1.(2011桂林第11题3分)在平面直角坐标系中,将 抛物线y＝x2 +2x+3绕着它与y轴的交点旋转 180°,所得抛物线的解析式是 ( ) A. y＝-(x+1)2 +2 B. y＝-(x-1)2+4 C.y＝-(x+1)2+2 D. y＝-(x+1)2+4 2.(2012桂林11题3分)如图:把抛物线y＝x2 沿 直线y＝x平移根号2个单位后,其顶点在直线上 的A处,则平移后的抛物线解析式是( ) A. y＝ (x+1)2-1 B. y＝ (x+1)2&#(x-1)2-1
1.已知抛物线y＝ (x-2)2+3 (1)写出与它关于y轴对称的抛物线的解析式 (2)写出与它关于x轴对称的抛物线的解析式 (3)写出与它关于原点中心对称的抛物线的解 析式 。 (4)写出它绕着顶点旋转180°后得到的抛物线 的解析式 。 (5)写出与它关于点(3,2)对称的抛物线的 解析式 。 (6)向右平移 个单位，图像经过点(5,4)。 (7)向下平移 个单位，图像也经过点(5,4)。
函数图像的变换法则
（ 0,1 ）和（ 0,1 ） （ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答 解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a， 于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图 像．如图． 则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a
a ax a a a
x
ax a ax
1 y 1
a a a
x
a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.
二次函数图像变换
二次函数图像变换
二次函数图像变换有3种：平移、对称、旋转。
一、专用解法
1、平移：左加右减自变量，上加下减常数项
2、对称、旋转：取原抛物线上一点（x,y），然后根据对称或旋转规律找到对应点，
将对应点坐标代入原抛物线解析式，然后化解得到的解析式即所求。
例1：原抛物线上y=ax^2+bx+c有一点（x,y），其关于x轴对称的点坐标为（x,-y），将（x,-y）代入到原解析式得到-y=ax^2+bx+c，即y=-ax^2-bx-c
例2：原抛物线上y=x^2+2x绕点（1,0）旋转180°，求旋转后的解析式解：设点（x,y）是原抛物线y=x^2+2x上一点，（x,y）绕点（1,0）旋转180°，通过中点坐标公式得出对应点为（2-x,-y），将（2-x,-y）代入y=x^2+2x得到
-y=(2-x)^2+2(2-x)，即y=-x^2+6x-8
注意：以上方法也适用于一次函数
二、通用解法
①将解析式化顶点式y=a(x-h)^2+k，得到顶点（h,k）
②将顶点（h,k）按照要求进行平移、对称、旋转，得到新的顶点（h’,k’）
③平移a不变；X轴对称a变号，Y轴对称a不变；旋转a变号，特别的原点对称就是绕（0,0）旋转180
注意：这里的旋转肯定是180°，因为如果不是180°得到的就不是二次函数了
④知道了a和顶点，设顶点式就可以得到新抛物线的解析式
注意：无论平移、对称、旋转都可以用，如果是一次函数可以将顶点（h,k）替换为直线与y轴交点，a替换为k，整体思路是一样的。
抛物线平移
抛物线平移、对称变换的规律一、平移变换 如果二次函数解析式为一般式2y ax bx c =++，应先化成顶点式2()y a x h k =-+，然后按照“左加右减，上加下减”的规律去推导. 例1、（2010 兰州）抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的解析式为：223y x x =--，则b ，c 的值为（ ） A . 2b =,2c = B . 2b =, 0c = C . 2b =-，1c =- D .3b =-，2c =【解析】：采用逆推法，把223y x x =--向左平移2个单位，再向上平移3个单 位可得到2y x bx c =++，把223y x x =--配方得：222113(1)4y x x x =-+--=--，根据平移规律得2222(12)43(1)12112y x x x x x x =-+-+=+-=++-=+，故选B二、对称变换⑴关于x 轴对称：坐标系内一点(,)P x y 关于x 轴的对称点的坐标为(,)x y -，所以把(,)x y -代入原抛物线2y ax bx c =++后得新解析式为2y ax bx c -=++，整理得 2y ax bx c =---. ⑵关于y 轴对称：坐标系内一点(,)P x y 关于y 轴的对称点坐标为(,)x y -，把(,)x y -代入原抛物线2y ax bx c =++后得新解析式为22()()y a x b x c ax bx c =-+-+=-+. ⑶关于原点对称：坐标系内一点(,)P x y 关于原点的对称点坐标为(,)x y --，把(,)x y --代入原抛物线2y ax bx c =++后得新解析式为2()()y a x b x c -=-+-+，整理得2y ax bx c =-+-.实战演练：①（2009 黔东南）二次函数23y x x =--的图像关于原点(0,0)O 对称的图像的解析式为----------------- （答案：223y x x =--+） ②（2009 重庆）在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴做对称变换，那么两次变换后所得到的新抛物线解析式为（ ）A . 22y x x =--+B . 22y x x =-+-C . 22y x x =-++D . 22y x x =++答案：C .。
二次函数解析式及图形变换学而思培优
②顶点式： y = a (x - h )2 + k 或 y = a x +⎪ + ④对称点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)＋b (a ≠0) 其中 x 1，x 2 是两个对称点的横坐标，b 是对称第五讲二次函数解析式及图形变换一、二次函数解析式四种形式：①一般式： y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)；⎛ ⎝b ⎫2 2a ⎭4ac - b 2 (a ≠ 0)； 4a③交点式： y = a (x - x )(x - x ) (a ≠ 0) 其中 x ，x 是方程 ax 2 + b x + c = 0 的两个实根。
1 2 1 2， 点纵坐标。
二、抛物线的平移、对称与旋转①平移：“左加右减，上加下减”。
②对称：关于 x 轴对称： y = ax 2 + b x + c 的图象 x 轴对称后得到图象的解析式是y = -ax 2 - b x - c 。
关于 y 轴对称： y = ax 2 + b x + c 的图象 y 轴对称后得到图象的解析式是 y = ax 2 - b x + c 。
关于原点对称： y = ax 2 + b x + c 的图象原点对称后得到 图 象 的 解 析 式 是 y = -ax 2 + b x - c 。
1．求二次函数 y = ax 2 + b x + c 与直线 y = kx + m 的交点，联立方程组 ⎨ 求解。
2．求二次函数 y = a x 2+ b x + c 与 y = a x 2+ b x + c 的交点，联立方程组 ⎨ 求解。
⎧⎪ y = a x 2 + b x + c ⎪⎩ y = a x 2 + b x + c ⑶（2007 朝阳二模）已知抛物线 y = ax 2 + b x(a ≠ 0) 的顶点在直线 y = -x - 1 上，当且仅当 ⑵请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于 的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线三、二次函数与一元二次方程⎧ y = ax 2 + bx + c ⎩ y = kx + m1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2板块一 二次函数解析式【例1】 ⑴ 下列说法不正确的是（）A ．抛物线 y = ax 2 + b x - 3 与 y 轴的交点为 (0 ，- 3)B ．抛物线 y = ax 2 - 2ax + a 2 - 1 的对称轴为 x = 1C ．抛物线 y = ax 2 - a (m + 1)x + ma 与 x 轴的交点为 (m ，0)和 (1，0)D ．抛物线 y = a (x + π )2 - x 的顶点坐标为 (-π ，- x )⑵（2009 三帆单元测试）已知抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过点 A (-1，0)，且经过直线 y = x - 3 与x 轴的交点 B 及与 y 轴的交点 C ，则抛物线的解析式为。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
抛物线平移、对称变换
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
专题一：抛物线平移、对称变换
学习目标： 1.抛物线平移顶点，与坐标系交点关系
2．利用对称性求点的坐标
知识框架:
【1】抛物线的平移变换只改变抛物线的顶点位置,而不改变抛物线的开口方向与开口大小。
【2】求抛物线2
a≠)沿坐标轴平移后的解析式,一般可先将其配方成
=++（0
y ax bx c
顶点式()2
y a x h k
=-+（0
a≠），然后利用抛物线平移变换的有关规律将原顶点坐标改变成平移后的新顶点坐标即可。
抛物线平移变换的规律是：左加右减(在括号），上加下减(在末梢)。
【3】抛物线绕其顶点旋转１８０°只改变抛物线的开口方向，而不改变抛物线的开口大小及顶点位置。
【4】求抛物线2
a≠）绕其顶点旋转180°后的解析式，同样可先将其=++(0
y ax bx c
配方成顶点式()2
=-+（0
y a x h k
a≠），然后将二次项系数直接改变成其相反数即可。
【５】⑴抛物线沿y轴翻折只改变抛物线的顶点位置,而不改变抛物线的开口方向及开口大小。
⑵抛物线沿x轴翻折将同时改变抛物线的开口方向及顶点位置,但抛物线的开口大小不变。
【６】求抛物线2y ax bx c =++（0a ≠)沿某条坐标轴翻折后的解析式,首先仍应将其配方成顶点式()2
y a x h k =-+（0a ≠),然后再根据翻折的方向来确定新抛物线的解析式——若是沿y 轴翻折,则只需将其顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标即可；若是沿x 轴翻折,则除了要将顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标外,还需将二次系数改变成其相反数。
真 题 汇 编：
第一部分(选择题)
(2013-2014海淀）二次函数2
2+1y x =-的图象如图所示,将其绕坐标原点O 旋转180,则旋转后的抛物线的解析式为( )
A.221y x =-- B ．221y x =+ C.22y x = D ．
221y x =- 【方法总结】
（2015-2016北师大实验二龙路中学） 将抛物线2
2y x =向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线解
析式是( ).
A.22(1)3y x =--
B.22(1)3y x =++
Ｃ．22(1)3y x =-+ D ．22(1)3y x =+-
y
x
O 【方法总结】
(2015-2016北京三中）将抛物线 224=+y x 绕顶点旋转180°,则旋转后的抛物线的解析式为（ ）.
A. 224=--y x ﻩ
B. 224=-+y x ﻩ
C.224=-y x D ． 22=-y x
【方法总结】
（201５-2016北京市昌平第三中学）把抛物线y =2x ２-3沿x 轴翻折，所得的抛物线是（ ）
A.y =-2x 2－3
B.
ｙ＝2x 2-3 C. y ＝２x ２＋３ D. y =-2ｘ
2+3 【方法总结】
（2015-2０1６北京三帆中学）二次函数23+1y x =-的图象如图所示， 将其沿x 轴翻折后得到的抛物线的解析式为
A.231y x =-- ﻩ
B.23y x =
C.231y x =+ ﻩ
D.231y x =- 【方法总结】
丰台区2017-2０１8如图，在平面直角坐标系中，抛物线221x y =经过平移得x
y
o
到抛物线x x y 22
12-=,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是( ) A.2 B. 4 Ｃ. 8 D ． １６
【方法总结】
第二部分（填空题)
海淀区２017－2０１82
2y x =平移后经过点(0,3)A ,(2,3)B ，求平移后的抛物线的表达式.
【方法总结】
(2０１3-2014海淀)已知点P (－1，m )在二次函数2
1y x =-的图象上，则m 的值为 ;平移此二次函数的图象,使点P 与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为 . 【方法总结】
（2015-2016年北京市第三十一中学）抛物线图像2
2x y -=经过平移得到抛物线图像5422---=x x y ,平移方法是___＿__
【方法总结】
朝阳区2０15－2016如图，抛物线y=4-9x 2通过平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点B(6,0)和O(０,0)，它的顶点为Ａ,以O 为圆心,OA 为半径作圆,在第四象限内与抛物线ｙ＝4-
9x 2交于点C ，连接AC,则图中阴影部分的面积为 .
【方法总结】
丰台区2014－20１5如图,⊙O 的半径为2, 1C 是函数的
221x y =的图象，2C 是函数的22
1x y -=的图象,3C 是函数的x y =的图象,则阴影部分的面积是_＿__＿＿
【方法总结】
第三部分（解答题)
(2013-20１4东城)二次函数2
y ax bx c =++的图象与x 轴交于点A （-1, ０),与y 轴交于点C (0,-5)，且经过点Ｄ（３，-8）.
（1)求此二次函数的解析式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在原点处，并写出平移后抛
物线的解析式．
【方法总结】
(2016－２０１7北京四十四中初三上期中）抛物线22y x =向上平移后经过点(0,3)A ，求平移后的抛物线的表达式.
【方法总结】
(2０16－20１7北京西城铁路第二中学初三上期中） 如图，一段抛物线：
(2)y x x =-(0≤ｘ≤2）,记为1
C ,它与x 轴交于点O,Ａ１;将Ｃ１绕点Ａ1旋转18０°得C ２ ，交x 轴于点A 2 ;将C ２绕点A 2旋转18０°得C 3，交ｘ 轴于点A 3；… ，如此进行下去,直至得Ｃ１０. （1）请写出抛物线Ｃ２的解析式: ；
（2)若P(19,a ）在第10段抛物线C 10上，则a ＝＿___＿____．
【方法总结】
西城区2０14-2015
已知:抛物线1C :2y ax bx c =++经过点()10A -，、()30B ，、
()03C -，. ⑴ 求抛物线1C 的解析式；
⑵ 将抛物线1C 向左平移几个单位长度,可使所得的抛物线2C 经过坐标原点，并写
出2C 的解析式；
⑶ 把抛物线1C 绕点()10A -，旋转180︒,写出所得抛物线3C 顶点D 的坐标． 【方法总结】
【纠错回顾】。