2018届重庆中考复习：抛物线与与平移、折叠、旋转相关的动态问题练习(含答案)

抛物线与与平移、折叠、旋转相关的动态问题（含答案）
例1. 已知如图①：抛物线y ＝ax 2
－x ＋c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，对称轴为直线x ＝1，且过
点⎝
⎛⎭⎪⎫2，－32； (1)求出抛物线的解析式及点C 坐标．
(2)点D 为抛物线的顶点，点E ()0，1，作直线BE 交抛物线于另一点F ，点K 为点D 关于直线BE 的对称点，连接KE ，求△KEF 的面积．
(3)如图②，在(2)的条件下，将△FKE 绕着点F 逆时针旋转45°得到△FK′E′，点M 、N 分别为线段FE 、BA 上的动点，动点M 以每秒2个单位长度的速度从F 向E 运动，动点N 以每秒1个单位长度的速度从B 向A 运动，M 、N 同时出发，连接ME′，当点N 到达A 点时，M 、N 同时停止运动，设运动时间为t 秒．在此运动过程中，是否存在时间t ，使得点N 在线段ME′的垂直平分线上？若存在，求出点N 的坐标与t 的值；若不存在，请说明理由．
针对训练：
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为点D.
(1)求抛物线和直线AD的解析式；
(2)直线AD与y轴交于点F，点E是点C关于对称轴的对称点，点P是线段AE上一动点，将△AFP沿着FP 所在的直线翻折得到△A′FP，当△A′FP与△AED重叠部分为直角三角形时，求AP的长．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－12x ＋3的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B.抛物线y ＝14
x 2＋bx ＋c 的图象经过点A ，并且与直线相交于点C.已知点C 的横坐标为－4.
(1)求二次函数的解析式以及cos ∠BAO 的值；
(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点(不与点A 、点C 重合)．过点P 作PD⊥x 轴于点D ，交AC 于点E ，作PF⊥AC 于点F.当△PEF 的周长与△ADE 的周长之比等于5∶2时，求出点D 的坐标并求出此时△PEF 的周长；
(3)在(2)的条件下，将△ADE 绕平面内一点M 按顺时针方向旋转90°后得到△A 1D 1E 1，点A 、D 、E 的对应点分别是A 1、D 1、E 1.若△A 1D 1E 1的两个顶点恰好落在抛物线上，求出点A 1的坐标．
抛物线与与平移、折叠、旋转相关的动态问题答案
例1. 解：(1)由题意得：
⎩⎪⎨⎪⎧－－12a ＝1，4a －2＋c ＝－32⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，c ＝－32.∴y ＝12x 2
－x －32， 点C 坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫0，－32. (2)如图，连接DE ，延长FD 交y 轴于点G ，
∵点K 为点D 关于直线BE 的对称点，∴S △KEF ＝S △DEF .当y ＝0时，12x 2－x －32
＝0，解得：x 1＝－1，x 2＝3.
∴A (3，0)，B (－1，0)．∵B (－1，0)，E (0，1)，
∴直线BE 的解析式为y ＝x ＋1.
解方程x ＋1＝12x 2－x －32
，得：x 1＝－1，x 2＝5. 则F (5，6)．∵点D 坐标为(1，－2)，
∴直线DF 的解析式为y ＝2x －4.则G (0，－4)．
∴S △KEF ＝S △DEF ＝S △EFG －S △EDG
＝12
×(1＋4)×(5－1)＝10.
(3)旋转后的图形如图：由直线y ＝x ＋1可得：∠FBA ＝45°.
则逆时针旋转45°得到△FK ′E ′且FE ′⊥x 轴．
∵E (0，1)，F (5，6)，∴FE ′＝FE ＝5 2，则E ′(5，6－5 2)．
作MT ⊥FE ′于点T ，连接NM ，NE ′，则△MFT 为等腰直角三角形，
∵FM ＝2t ，∴FT ＝MT ＝t ，则M (5－t ，6－t )．∵N (t －1，0)，
当点N 在线段ME ′的垂直平分线上时，
NM ＝NE ′，∴(5－t －t ＋1)2＋(6－t )2＝(t －1－5)2＋(0－6＋5 2)2，解得：t 1＝5 22<4，t 2＝6－5 22
<4， 当t 1＝5 22时，N 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫5 22－1，0， 当t 2＝6－5 22时，N 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫5－5 22，0.
1. 解：(1)抛物线解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，
直线AD 的解析式为y ＝2x ＋2.
(2)共分4种情况：
①∠FRP ＝90°，如图①，FA ′交AE 于点R .
F (0，2)，AF ＝5＝DF ，
E (2，3)，∴DE ＝2，AD ＝2 5，AE ＝3 2.
∵DE 2＋AE 2＝20＝AD 2，∴∠DEA ＝90°.
∵∠FRA ＝∠DEA ＝90°，∴FR ∥DE .
∵F 为DA 的中点，∴FR 为△DAE 中位线，
∴AR ＝12AE ＝32 2，FR ＝12DE ＝22
. ∴x ＝2 5－26
.
∴AP ＝3 22－2 5－26＝5 2－53
； 过P 点作PK ⊥AF 于K 点，在△PKF 和△PRF 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠PKF ＝∠PRF ＝90°，∠PFK ＝∠PFR ，
PF ＝PF ，
△PKF ≌△PRF .∴PK ＝PR ，FK ＝FR . 设PR ＝PK ＝x ，则PA ＝3 22－x ，AK ＝AF －KF ＝5－22，∵AK 2＋PK 2＝AP 2， ∴(5－
22)2＋x 2＝(3 22
－x )2，
②∠FPA ′＝90°，如图②，
由①可知FP 为△DAE 的中位线，
∴AP ＝12AE ＝32
2；
③∠PFA ′＝90°，如图③，
∵FA ＝FD ，PF ⊥AD ，
∴PF 为AD 的垂直平分线，∴AP ＝DP .
设AP ＝x ，则PE ＝3 2－x ，
∵PE 2＋DE 2＝PD 2，
∴(3 2－x )2＋2＝x 2，∴x ＝5 23
， ∴AP ＝5 2
3
；
④∠PK ′F ＝90°，如图④，
过点F 作FW ⊥AE 于点W ，
由①可知，FW ＝12DE ＝22，AW ＝12AE ＝3 22
， ∵∠WPF ＝∠K ′PF ，FK ′⊥PK ′，FW ⊥AP ， ∴FK ′＝FW ＝2
2，∴AK ′＝5＋22
. ∵∠K ′AP ＝∠EAD ，∠AK ′P ＝∠AED ＝90°，∴△AK ′P ∽△AED ，
∴AK ′AE ＝PK ′DE ，5＋
2
23 2＝PK ′2，∴PK ′＝2 5＋26， ∴PW ＝PK ′＝2 5＋26
， ∴AP ＝AW ＋WP ＝3 22＋2 5＋26＝5 2＋53
. 综上，AP 的长度为5 2－53或3 22或5 23或5 2＋53
.
2. 解：(1)对于y ＝－12
x ＋3， 当x ＝－4，y ＝5，∴C (－4，5)，
当y ＝0，x ＝6，∴A (6，0)，
当x ＝0，y ＝3，∴B (0，3)．
将A (6，0)和C (－4，5)代入y ＝14
x 2＋bx ＋c ， 得⎩⎪⎨⎪⎧9＋6b ＋c ＝0，4－4b ＋c ＝5，解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－3， ∴二次函数的解析式为y ＝14
x 2－x －3. 在Rt △AOB 中，AB ＝OA 2＋OB 2
＝3 5， 则cos ∠BAO ＝AO AB ＝2 55
； (2)∵PD ⊥x 轴，PF ⊥AE 于F ，∴∠EDA ＝∠PFE ＝90°.∵∠PEF ＝∠PEF ，∴△PEF ∽△AED ，∴C △PEF C △AED ＝PE AE ， 设D (a ，0)，P (a ，14a 2－a －3)，E (a ，－12
a ＋3)， PE ＝－14
a 2＋12a ＋6，AE ＝AD cos ∠BAO ＝52
(6－a )．
由题得：－14a 2＋12a ＋652（6－a ）＝52，解得a 1＝1，a 2＝6(舍)． ∴D (1，0)，E (1，52)，此时C △PEF ＝15 54＋254
； (3)当A 1、E 1在抛物线上，如图①，
设A 1(b ，14b 2－b －3)，D 1(b ，14b 2－b ＋2)，E 1(b ＋52，14
b 2－b ＋2)，
则14(b ＋52)2－(b ＋52)－3＝14
b 2－b ＋2， 解得b ＝194，∴A 1(194，－13564)， 当D 1、E 1在抛物线上，如图②，此时D 1、E 1关于对称轴对称，设xD 1＝
c ，则xE 1＝52
＋c . ∵xD 1＋xE 12＝2，解得c ＝34，∴A 1(34，－55164
)．。