迭代初值及公式对迭代收敛速度影响
计算方法-迭代法讲义
计算 xi(k1) 时,
x(k 1) j
(
j
i)的值已经算出
所以迭代公式可以修改成：
X (k1) D1LX(k1) D1UX (k) D1b
或写成分量形式
i1
n
x(k1) i
(bi
aij
x
( j
k 1)
aij x(jk) ) / aii
j 1
j i 1
7
把矩阵A 记为 A = D – L – U ，则方程组等价为 (D – L)X = ＵＸ＋b ， 从而有： Ｘ = (D – L)-1 UX + (D – L)-1b
2
4.1、雅可比（Jacobi）迭代法
把矩阵A 记为 A = D – L – U ，则方程组等价为
DX = (Ｌ＋Ｕ)Ｘ＋b ，
若 det(D)0, 则有：
Ｘ = D-1(L + U)X + D-1b
得到雅可比迭代矩阵：
BJ = D-1(L + U)，b’= D-1b 从而，得到雅可比迭代公式：
注意：这里的对角 矩阵的D-1是非常 容易计算的。
（精度要求）
得到满足要求的近似解。
例子：p.55(p.52)例8 ，10-3的精度，迭代10 次。
3x1x12xx22
5 5
x( 1
k
1)
x(k) 2 3
5 3
x2( k
1)
x(k) 1
2
5 2
x(0 1
x2(0
) )
0 0
6
4.2、高斯-赛德尔迭代法 雅可比方法中
X (k1) D1(L U) X (k) D1b
|| B || 0.62875, || B ||1 0.648065375,
7.2 迭代法及其收敛性
k4.1045
1/ 2
表 7.2.1 用不动点迭代法计算例7.2.1的结果
0 (a) 1.5 -0.625 6.447 -378.2 5.3697e7 -1.547e23 (b) 1.5 0.912871 2.454577 (c) (d) (e) 1.5 1.5 1.5 1.241638702 1.333333333 1.365079365 1.424290116 1.305205188 1.387624336 1.332682451 1.370291856 1.344991115 1.362217505 1.350582520 1.358732441 1.355350555 1.354767869 1.355301399 1.355384418 1.355301398 1.355288480 1.355303407 1.355301085 1.355301446 1.355301390
*
k
xk x L x0 x L max x0 a , b x0 ,
* k * k
从而 7.2.4 成立.
再由 7.2.3 , 对m k 1, 我们有
x m x k x m x m 1 x m 1 x m 2 x k 1 x k x m x m 1 x m 1 x m 2 x k 1 x k Lm 1 x1 x0 Lm 2 x1 x0 Lk x1 x0 Lk x1 x0 1 L L2 Lm k 1 .
(7.2.1)
其中 ( x )为连续函数,其取法不唯一,例如可取
方程(7.2.1)的解称为函数 ( x )的不动点, 求方程 (7.2.1)的解的问题称为不动点问题.
第5节_迭代法的收敛性
Bx x
≥
Bx1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
= 1,与已知矛盾！
线性方程组迭代法收敛性
推论1：对任意初始向量x (0)和右端项g，若 M < 1, 由迭代式 x ( k +1) = Mx ( k ) + g产生的向量序列{ x ( k ) }收敛.
证明：矩阵范数性质3：ρ ( A) ≤ || A ||
迭代法收敛与否只决定于迭代矩阵的谱半径，与初始向 量及右端项无关。 对同一方程组，由于不同的迭代法迭代矩阵不同，可能 出现有的方法收敛，有的方法发散的情形。
且至少有一个i值，使上式中不等号严格成立，则称A为弱 对角占优阵。若对所有i，上式不等号均严格成立，则称A 为严格角占优阵。
定义：如果矩阵A不能通过行的互换和相应的列互换成 A11 为形式 A = 0 A12 ,其中A11，A22为方阵，则称A为不可约。 A22
1 1 0 2 1 0 P = I13 例： A = 1 1 0 PT AP = 0 1 1 → 0 1 2 0 1 1
k →∞
证：设u为A特征值λ对应的特征向量， 则：Ak u = λ Ak -1u =...=λ k u 即：λ k为矩阵Ak的特征值。
ρ 所以：（Ak） [ ρ ( A)]k =
线性方程组迭代法收敛性
1- ρ ( A) > 0， 2 定理：设A为任意n阶方阵， 存在矩阵范数 ，使得 则对任意正数ε , 存在矩阵 1 + ρ ( A) A ≤ ρ ( A) + ε = <1 范数 ，使得： 2 证： 充分性：若ρ ( A) < 1 ，取ε = 则有： A = 0 lim
Gauss-Seidel迭代收敛性：
研究生数值分析(5)牛顿(Newton)迭代法
z
0.612547 0.641384 0.641186
6 求方程 m重根的Newton法 设 s 是方程 f(x)=0 的 m 重根(m≥2), f(x)
在 s 的某邻域内有m阶连续导数 ,这时
f (s) f (s) f (m1) (s) 0, f (m) (s) 0
由Taylor公式,得
设 f '(x) 0 ，上式解为
x
xk
f (xk ) f ' (xk )
于是方程 f(x)=0的新的近似根xk+1，可由牛顿
迭代公式
xk 1
xk
f (xk ) f ' (xk )
k 0,1, 2,
求出
牛顿迭代公式具有明显的几何意义。 方程 y f (xk ) f '(xk )(x xk ) 是曲线 y=f(x)在点 (xk , f (xk )) 处的切线方程，迭代公式就是切线与x轴 交点的横坐标。因此，牛顿迭代法又称为切线法。
这表明牛顿迭代法用于求单根时至少是二阶收敛的。
（2）若 x* 是方程 f (x) 0 的 m(m 2) 重根，
即
f (x) (x x*)m q(x)
(q(x*) 0)
此时有
g ' (x*) lim g ' (x) lim
x x*
x x*
f (x) f '' (x) [ f ' (x)]2
k
xk
k
xk
4 0.635498 8 0.640964
5 0.643719 9 0.641285
6 0.640061 10 0.641142
第3章3-06迭代法和收敛性
解 方程组化为等价的方程组 0.2 x2 + 0.1x3 + 0.3 x1 = + 0.1x3 + 1.5 x2 = 0.2 x1 x = 0.2 x + 0.4 x + 2 1 2 3 构造高斯 赛德尔迭代公式 高斯构造高斯-赛德尔迭代公式 ( ( x1( k +1) = 0.2 x2k ) + 0.1x3k ) + 0.3 ( k +1) ( x2 = 0.2 x1( k +1) + 0.1x3k ) + 1.5, k = 0,1, 2,L ( k +1) ( x3 = 0.2 x1( k +1) + 0.4 x2k +1) + 2
雅可比迭代公式
i −1 n 1 ( k +1) (k ) (k ) xi = (bi − ∑ aij x j − ∑ aij x j ) , (i = 1,2,L, n) aii j =1 j =i +1
分量形式
( k +1) 1 ( ( ( x1 = (b1 − a12 x2k ) − a13 x3k ) − L − a1n xnk ) ) a11 ( k +1) 1 ( ( x2 = (b2 − a21 x1( k ) − a23 x3k ) − L − a2 n xnk ) ) a22 LLLL ( k +1) 1 ( ( ) xn = (bn − an1 x1( k ) − an 2 x2k ) − L − ann −1 xnk 1 ) − ann
高斯-赛德尔 高斯 赛德尔(Seidel)迭代公式 赛德尔 迭代公式
i −1 n 1 ( k +1) ( k +1) (k ) xi = (bi − ∑aij x j − ∑aij x j ), aii j =1 j =i +1
牛顿迭代法收敛速度
牛顿迭代法的收敛速度取决于多个因素，包括步长的大小、步长的稳定性、特征空间的大小、目标函数的形状和极值点处的斜率等。
具体来说，牛顿迭代法是一种在求解优化问题时有效的收敛算法，它的收敛速度受到以下因素的影响：
1.步长的大小和稳定性：步长的大小和稳定性都会影响牛顿迭代法的收敛速度。
如果步长
过大，可能会导致迭代发散；如果步长过小，可能会导致收敛速度变慢。
因此，需要选择合适的步长，以保持收敛的稳定性。
2.特征空间的大小：特征空间的大小也会影响牛顿迭代法的收敛速度。
如果特征空间较窄，
梯度较大，收敛速度可能会变慢；如果特征空间较宽，梯度较小，收敛速度可能会变快。
3.目标函数的形状和极值点处的斜率：目标函数的形状和极值点处的斜率也会影响牛顿迭
代法的收敛速度。
如果目标函数陡峭，收敛速度会比较快；如果目标函数平缓，收敛速度会比较慢。
此外，极值点处的斜率也会影响收敛速度，斜率越大，收敛速度越快。
4.初始点选择：牛顿法的收敛速度还受到初始点选择的影响。
当初始点选择不当时，可能
会导致不收敛。
因此，需要选择合适的初始点，以加速收敛过程。
归纳来说，牛顿迭代法的收敛速度受到多个因素的影响，需要综合考虑这些因素来提高收敛速度。
在实际应用中，可以通过不断调整步长、选择合适的初始点、选择合适的目标函数等手段来加速收敛过程。
算法收敛速度
算法收敛速度1. 介绍算法收敛是指在迭代过程中，算法逐渐接近或达到收敛点的过程。
算法收敛速度则衡量了算法从初始状态到达收敛点所需的迭代次数或时间。
在计算机科学和数学领域，算法收敛速度是评估算法性能和效率的重要指标之一。
较快的收敛速度意味着算法能够更快地得到结果，从而提高了算法的效率。
2. 收敛速度的度量方法评估算法的收敛速度可以使用多种度量方法，以下是常用的两种方法：2.1 收敛速度指标收敛速度指标是衡量算法收敛速度的一种常用方法。
它描述了算法在每次迭代中逼近收敛点的速度，通常使用下面的公式来计算：v=limk→∞|x k+1−x∗| |x k−x∗|p其中，v表示收敛速度，x k表示算法第k次迭代的结果，x∗表示收敛点，p表示收敛阶。
收敛阶是一个正整数，代表了收敛速度的快慢，收敛阶越高，收敛速度越快。
2.2 收敛速度曲线收敛速度曲线是用来描述算法收敛速度的另一种常用方法。
它通过绘制算法迭代过程中每次迭代结果与收敛点之间的距离随迭代次数的变化曲线来展示算法的收敛速度。
一般来说，收敛速度曲线呈现下降趋势，而且越陡峭表示收敛速度越快。
3. 影响算法收敛速度的因素算法收敛速度受到多个因素的影响，以下是几个主要因素：3.1 初始值的选择初始值的选择对算法的收敛速度起着重要的影响。
一个合理选取的初始值可以使算法从初始状态开始就尽可能接近收敛点，从而加快收敛速度。
3.2 迭代步长迭代步长是指每次迭代中从当前点向收敛点迈出的步子大小。
迭代步长过大会导致算法震荡或迭代越界，而迭代步长过小会导致收敛速度过慢。
合理选择迭代步长是提高算法收敛速度的关键。
3.3 收敛阶收敛阶是衡量算法收敛速度的一个重要参数。
不同的算法具有不同的收敛阶，收敛阶高的算法收敛速度通常较快。
选择具有较高收敛阶的算法可以加快算法的收敛速度。
3.4 收敛条件收敛条件是决定算法何时停止迭代的条件。
选择一种合适的收敛条件可以使算法在达到收敛点后尽快停止迭代，从而减少不必要的迭代次数，提高收敛速度。
22第二节 迭代法
上述令p→∞, 及limxk+p=x* (p→∞)即得第一式.
L x xk xk xk 1 1 L
数学学院 信息与计算科学系
3 2 f ( x ) x 4 x 10 0 在 例2 用迭代法求方程
[1,2] 内的一个近似根，取初始近似值 x0 1.5
解
原方程的等价方程可以有以下不同形式
x ( x ) ( ) ( )( x ) L x
此式仅当 x 0 才能成立， 因此 x 。 （ 2） 再证迭代格式 xk 1 ( xk ) 收敛 任取 x0∈[ a, b ]，由微分中值定理，有
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10 x n 1 4 xn xn 1 3 xn 1 10 xn 2 10 xn 1 4 xn
数学学院 信息与计算科学系
考察四种迭代法在根附近的收敛情况，取根的 x0 1.5。 近似值为 解
(1) ( x ) x x 3 4 x 2 10
( x ) 1 3 x 2 8 x (1.5) 17.75 1
e k 1 c ( k , c 0) p ek 则称迭代格式 xk 1 ( xk ) 是 p 阶收敛的.
特别地, p = 1时称为线性收敛, p = 2 时称为二阶(平方)收敛,
p>1时称为超线性收敛. 显然, 收敛阶越大, 收敛越快
利用微分中值定理及泰勒展式可得下面的定理3.
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定理 3
x x ( x ) 设x 为 之根,在 的邻域 U内
x x ( x ) 在[a , b]上有唯一根 ;
(2) 对任意迭代初值 x0∈[a , b],迭代序列 xk 1 ( xk ) ( k 0,1, 2,) 收敛于 x 。
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本科生课程设计报告
实习课程 数值分析
学院名称 管理科学学院
专业名称
学生姓名
学生学号
指导教师
实验地点
实验成绩
二〇 一 六 年 六 月
填写说明
1、 专业名称填写为专业全称，有专业方向的用小括号标明；
2、格式要求：格式要求：
① 用A4纸双面打印（封面双面打印）或在A4大小纸上用蓝黑色水笔书写。
② 打印排版：正文用宋体小四号，倍行距，页边距采取默认形式（上下，左
右，页眉1.5cm，页脚1.75cm）。字符间距为默认值（缩放100%，间距：
标准）；页码用小五号字底端居中。
③ 具体要求：
题目（二号黑体居中）；
摘要(“摘要”二字用小二号黑体居中，隔行书写摘要的文字部分，小4
号宋体)；
关键词（隔行顶格书写“关键词”三字，提炼3-5个关键词，用分号隔开，
小4号黑体)；
正文部分采用三级标题；
第1章 ××(小二号黑体居中，段前行)
×××××小三号黑体×××××（段前、段后行）
1.1.1小四号黑体（段前、段后行）
参考文献（黑体小二号居中，段前行），参考文献用五号宋体，参照《参
考文献着录规则（GB/T 7714－2005）》。
迭代初值及公式对迭代收敛速度影响
摘 要
迭代收敛速度受到迭代函数和初始迭代值的影响。
本实验在于体会在非线性方程求根的迭代法中，迭代函数和初始迭代值的选
取对迭代收敛性的影响，sttefensen加速的效果，并试图总结一些规律。
关键词： sttenfensen加速；迭代初值；收敛速度
目录
第1章 前 言
内容及要求
体会在非线性方程求根的迭代法中，迭代函数和初始迭代值的选取对
迭代收敛性的影响。
考虑一个简单的代数方程324100xx，针对这个方程，可以构造多
种迭代法， 如下列几种迭代格式： ①321410nnnnxxxx； ②
1
3
2
11(10)2nnxx
；
③121104nxx；④321241038nnnnnnxxxxxx 。
要求：
（1）取定某个初始值x0，按如上四种迭代格式进行计算，它们的收
敛性如何重复选取不同的初始值，反复实验，分析四种迭代法的收敛性与
初值选取的关系。
（2）选取第④种迭代格式（Newton 迭代法），取不同的初始值进行迭
代，结果如何并分析迭代法对不同的初值是否有差异。
（3）对上述四种迭代格式，编制Steffensen 迭代程序，选取不同的
初始值，输出迭代次数和方程的根，并与（1）、（2）中的结果进行比较。
研究思路及结构安排
按照题目要求分别编写公式1-4以及他们的steffensen加速公式。
在每一次的计算中，通过输入不同的迭代初值，然后进行8个公式的
的计算，最后得到每个公式在此迭代初值条件下的表现（得到满足精度要
求的近似解的迭代次数）。
并且，程序运行过程中通过文件读写将每一次的每个公式的迭代次数
都写入到“”中，对比一目了然。
通过对迭代次数的对比分析可以得到较为清晰的结论。
第2章 相关理论知识
迭代法
迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设
方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤
执行：?
（1）?? 选一个方程的近似根，赋给变量x0；?
（2）?? 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量
x0；?
（3）?? 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）
的计算。?
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法
求得的x0就认为是方程的根。
迭代收敛
具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：?
（1）?? 如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会
变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中
对迭代的次数给予限制；?
（2）?? 方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择
不合理，也会导致迭代失败
第3章 算法分析
单一迭代算法步骤及流程图
第4章 算法实现
程序总体结构
源程序清单
#include<>
#include<>
#define N
void main()
{
int a=0,b=0;入初值进行计算 2.退出\n");
scanf("%d",&a);
if(a!=1&&a!=2)
{
printf("错误，没有该选项，请重新选择\n");
scanf("%d",&a);
}
int i=1;
while(a!=2)
{
printf("请输入迭代初值\n");
scanf("%lf",&x0);
fprintf(fp,"%d ",i);
fprintf(fp,"%.2f ",x0);
printf("进行计算\n");
x2=x0;f ",b);
printf("经过迭代公式一%d次迭代得到近似解%\n",b,x2);
x2=x0;f\n",b,x4);
}
fprintf(fp,"%d ",b);
printf("经过迭代公式一stffensen加速%d次迭代得到近似解%\n",b,x4);
x4=x0;次输入初值进行计算 2.退出\n");
scanf("%d",&a);
if(a!=1&&a!=2)
{
printf("错误，没有该选项，请重新选择\n");
scanf("%d",&a);
}
i++;
}
fclose(fp);
fclose(fq);
printf("计算完毕\n");
}
程序运行
图二
图三
图四
图五
图六、不同初值在8个公式中的结果
（注：参数表示得到近似解时迭代次数，“0”和“1”表示公式不收敛）
图七、公式一的steffensen加速在取初值为17时的表现
（注：迭代结果从17逐渐趋近到后突变为再突变到最后稳定）
第5章 结果分析
对图六进行分析可知：无论迭代初值取何值，公式一都为发散；公式
二和公式三在迭代初值取1和2时收敛，其他值均发散；公式四始终收敛，
只是所需迭代次数随着迭代初值与真实值相差越大而越大。
说明公式一与迭代初值没有关系；公式二和公式三均只能在迭代初值
与方程的解（）非常接近时才能收敛，当相差较大时则发散；公式四则只
有迭代次数收到迭代初值的影响，所以，迭代法在不同的迭代初值下存在
差异。
对四个公式进行steffensen加速后，原本不收敛的公式一变得收敛，
并且可以迭代得到方程的近似解，只是迭代次数随迭代初值远离方程的解
而发生跳跃式增长（迭代次数从初值为1时的9次到初值为20时的49847）；
公式二在对迭代初值的敏感性上没有差异，而在原来的基础上可收敛时收
敛速度得到提升；公式三由原来的只对初值1和2收敛变为对所有的初值
都收敛，并且都只需要3次迭代，可谓收敛性能最好，稳定性最佳；公式
四反而在加入加速公式后收敛速度变慢。
计算中存在一个奇怪现象，公式一的steffensen加速在初值为17时，
迭代结果从17逐渐递减趋近到后突变为再突变到最后稳定。这应该是一个
偶然现象，这里不作特别研究。
综上：
迭代初值对迭代的收敛性存在影响，但是这种影响存在不确定性，没
有发现可寻的规律。
Newton迭代法对初值存在一定的相关性，第一段中已作说明。
通过四种公式与其steffensen加速后公式的表现的对比可知，
steffensen对公式的加速作用也存在不确定性。可能收到良好效果（如：
公式三的加速得到一个收敛性能最好，稳定性最佳的公式）；也可能收到更
坏的效果（如：公式四反而在加入加速公式后收敛速度变慢）；可能使得原
本不收敛的公式变得收敛；也可能对公式的收敛性没有影响。
参考文献
[1] posted on?[2006-05-04 22:29]?
学生
学习
心得
通过对迭代法的深入研究，我从中体会到了一种方法或者算法不一
定能够在所有情况下都取得良好效果。其功能效果受到多方面的影响，
如本实验中的各个公式就不一定能够胜任所有的迭代初值。
而steffensen加速的适用性也存在差异。
所以，我们在对方法或算法的应用上一定要考虑其适用性以及优良
性和稳定性。
学生（签名）：
年 月 日
诚信
承诺
本人郑重声明所呈交的课程报告是本人在指导教师指导下进行的
研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注的地方
外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作
的同学对本文研究所做的贡献均已在报告中作了明确的说明并表示谢
意。
学生（签名）：
任课
教师
评语
成绩评定：
任课教师（签名）：
年 月 日