微元法(概念 习题 综合)

微元法

一、概念内涵

微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一微元加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量。

微元思想 所谓微元思想，是把研究对象分割成无限多个无限小的部分，或是把物理过程分解为无限多个无限小的部分，取出其中任意部分进行研究的方法；是指从整体上难以解决问题时，将所研究的对象或者所涉及的物理过程，分割成许多微小的单元，然后选取有代表性的微小单元进行研究，再从局部到整体综合起来加以考虑的科学思维方法微元的变换可以将非理想模型变成理想模型；将曲面变成平面；将曲线变成直线；将非线性变量变成线性变量，从而使问题得到较快解决例如刚体部分转动惯量的概念及其计算；刚体质心位置的计算；由点电荷电场公式求场源电荷周围的电场分布；由毕奥—萨伐尔定律求载流导线周围磁场分布等，虽然它们的物理概念不同，物理的性质也不同（有的是矢量有的是标量），但是分析和求解方法的思想都是由点的基本公式出发，先计算线，再由线到面进行计算.

微元法是利用微分思想的分析方法称为微元法．它是将研究对象(物体或物理过程)进行无限细分，再从中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出被研究对象的变化规律的一种思想方法．微元法解题的思维过程如下．

(1)隔离选择恰当的微元作为研究对象．微元可以是一小段线段、圆弧或一小块面积，也可以是一个小体积、小质量或一小段时间等，但必须具有整体对象的基本特征．

(2)将微元模型化(如视为点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动等)，并运用相关的物理规律求解这个微元与所求物体之间的关联．

(3)将一个微元的解答结果推广到其他微元，并充分利用各微元间的对称关系、矢量方向关系、近似极限关系等，对各微元的求解结果进行叠加，以求得整体量的合理解答．

所谓“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种方法。

1.什么情况下用微元法解题？在变力作用下做变加速运动（非匀变速运动）时，可考虑用微元法解题。

2. 关于微元法。在时间t ?很短或位移x ?很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动，运动图象中的梯形可以看作矩形，所以x t v ?=?，s x l t lv ?=?=?。微元法体现了微分思想。

3. 关于求和

∑。许多小的梯形加起来为大的梯形，即∑?=?S s ，（注意：前面的s 为小写，后面的S 为大写），并且0v v v -=?∑，当末速度0=v 时，有∑=?0v v ，或初速度00

=v 时，有∑=?v v ，这个求和的方法体现了积分思想。

4. 无论物理规律用牛顿定律，还是动量定理或动能定理,都可以用微元法.

如果既可以用动量定理也可以用动能定理解。对于使用老教科书的地区，这两种解法用哪一种都行，但对于使用课程标准教科书的地区就不同了，因为课程标准教科书把动量的内容移到了选修3-5，如果不选修3-5，则不能用动量定理解，只能用动能定理解。

微元法解题，体现了微分和积分的思想，考查学生学习的潜能和独创能力。微元法解题，体现了微分和积分的思想，考查学生学习的潜能和独创能力，有利于高校选拔人才。这是全卷最难的题目，也是高考各省物理试卷最难的题目之一。是把优秀学生与最优秀学生区分的题目。这样的题目，老师是讲不到的，微元法，虽然老师讲了，但由于以前没考过，所以大部分认为考不到，虽然讲了例题，也做了练习，但考试还要靠考生独立思考、独立解题。这样的题是好题。

本题除了是以电磁感应为题材，以“微元法”为解题的基本方法以外，还有就是可以用动量定理与动能定理解。对于使用老教科书的地区，这两种解法用哪一种都行，但对于使用课程标准教科书的地区就不同了，因为他们的教科书把动量的内容移到了选修3-5，如果不选修3-5，

则不能用动量定理解，只能用动能定理解。

将物理量分割成无数个微元，再对这些微元求和(积分),就得到了物理量总的变

化量。t t ∑?=，x x ∑?=， v v ∑?=，将随时间变化的物理量，如力、速度、电

流等，将时间分割成无数个微元t ?，每个微元中变量可以看作是不变的，再对这些

微小积累量求和(积分)。

21()F t m v v ∑?=-，v t x ∑?=，

I t Q ∑?=.在电磁学中，这是一种很重要的计算方法。 它本是高等数学中的知识领域问题，但在高中物理中只是思想方法领域的问题。在高中也根本不可能把具体知识体系教给学生，但作为思想方法，它的地位反而更高。虽然对问题的分析都是定性的，却反应了思维的质量和深度。在处t

X

理匀变速直线运动的位移、瞬时速度，曲线运动速度方向、万有引力由“质点”向“大的物体”过渡、变力做功，等等，要大力向学生渲染这种思想方法。

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。

在高中物理中，由于数学学习上的局限，对于高等数学中可以使用积分来进行计算的一些问题，在高中很难加以解决。例如对于求变力所做的功或者对于物体做曲线运动时某恒力所做的功的计算；又如求做曲线运动的某质点运动的路程，这些问题对于中学生来讲，成为一大难题。但是如果应用积分的思想，化整为零，化曲为直，采用“微元法”，可以很好的解决这类问题。“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法，在这个方法里充分的体现了积分的思想。

微元之于整体，如同细胞是生命 活动的基本单元，家庭是社会的细胞，存在分形结构，局部与全部在结构上是“相似”的关系，虽然大小不同，如同树状主干与枝节的金字塔式的级别体系。

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。

高中物理微元法

一、方法简介

所谓“微元法”，又叫“微小变量法”。微元法体现了微分思想，是解物理题的一种常用方法。

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。

二、微元法的一般思维程序

1、微元法在处理连续变化的问题时，有其独特的方法，要注意取元的原则：可加性、 有序性、平权性.

2、最常见的换“元”技巧有如下几种:

①“时间元”与“空间元”间的相互代换（表现时、空关系的运动问题中最为常见）；

②“体元”、“面元”与“线元”间的相互代换（实质上是降“维”）；

③“线元”与“角元”间的相互代换（“元”的表现形式的转换）； ④“孤立元”与“组合元”间的相互代换（充分利用“对称”特征） 3、微元法并不是处理变力问题的唯一方法，还有动能定理、图像法、平均力法、积分法等。

4、微元法的解题步骤

第一步，取元。隔离选择恰当微元(空间元、时间元)作为突破整体研究的对象。微元可以是:一小段线段、圆弧;一小块面积;一个小体积、小质量;一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。

“”“”“”???????时间元与空间元——表现时、空关系的运动问题体元、面元与线元——实质上是降维微元线元与角元——元的表现形式的转换

孤立元与组合元——充分利用对称特征

比如，在t x -图像中，时间t ?很短或位移x ?很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动，运动图象中的梯形可以看作矩形，所以x t v ?=?，s x l t lv ?=?=?。

第二步，模型化。将微元模型化(如视作点电荷、质点、匀速直线运动等)，并运用相关物理规律，求解这个微元，并注意适当的换元。

第三步，求和。将一个微元的求解结果推广一到其他微元，并充分利用各微元间的关系，如对称关系、矢量方向关系、量值等关系)，对各微元的解出结果进行叠加，以求出整体量的合理解答。

比如v t -图像中，把许多小的梯形加起来为大的梯形，即

∑?=?S s ，（注意：前面的s 为小写，后面的S 为大写），并且0v v v -=?∑，当末速度0=v 时，有∑=?0

v v ，或初速度00=v 时，有∑=?v v ，这个求和的方法体现了积分思想。

微元法与极限法

它本是高等数学中的知识领域问题，但在高中物理中只是思想方法领域的问题。在高中也根本不可能把具体知识体系教给学生，但作为思想方法，它的地位反而更高。虽然对问题的分析都是定性的，却反应了思维的质量和深度。在处理匀变速直线运动的位移、瞬时速度，曲线运动速度方向、万有引力由“质点”向“大的物体”过渡、变力做功，等等，要大力向学生渲染推广这种思想方法。

微元思想 所谓微元思想，是把研究对象分割成无限多个无限小的部分，或是把物理过程分解为无限多个无限小的部分，取出其中任意部分进行研究的方法；是指从整体上难以解决问题时，将所研究的对象或者所涉及的物理过程，分割成许多微小的单元，然后选取有代表性的微小单元进行研究，再从局部到整体综合起来加以考虑的科学思维方法微元的变换可以将非理想模型变成理想模型；将曲面变成平面；将曲线变成直线；

将非线性变量变成线性变量，从而使问题得到较快解决例如刚体部分转动惯量的概念及其计算；刚体质心位置的计算；由点电荷电场公式求场源电荷周围的电场分布；由毕奥—萨伐尔定律求载流导线周围磁场分布等，虽然它们的物理概念不同，物理的性质也不同（有的是矢量有的是标量），但是分析和求解方法的思想都是由点的基本公式出发，先计算线，再由线到面进行计算.

五、微元法

利用微分思想的分析方法称为微元法．它是将研究对象(物体或物理过程)进行无限细分，再从中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出被研究对象的变化规律的一种思想方法．微元法解题的思维过程如下．

(1)隔离选择恰当的微元作为研究对象．微元可以是一小段线段、圆弧或一小块面积，也可以是一个小体积、小质量或一小段时间等，但必须具有整体对象的基本特征．

(2)将微元模型化(如视为点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动等)，并运用相关的物理规律求解这个微元与所求物体之间的关联．

(3)将一个微元的解答结果推广到其他微元，并充分利用各微元间的对称关系、矢量方向关系、近似极限关系等，对各微元的求解结果进行叠加，以求得整体量的合理解答．

练习题.

一、选择题(10×4分)

1．图示是用来监测在核电站工作的人员受到辐射情况的胸章，通过照相底片被射线感光的区域，可以判断工作人员受到何种辐射．当胸章上1 mm 铝片和3 mm 铝片下的照相底片被感光，而铅片下的照相底片未被感光时，则工作人员可能受到了辐射的射线是( )A ．α和β B ．α和γ C ．β和γ D ．α、β和γ

【解析】α粒子的穿透能力很弱，一张普通的纸就能把它挡住，题中无法说明辐射中不含α射线，能穿透1 mm 、3 mm 铝片而不能穿透5 mm 铅片的是β射线，若存在γ射线，则5 mm 厚的铅片也能被穿透，故A 正确．[答案] A

2．在电磁波发射技术中，使电磁波随各种信号而改变的技术叫调制，调制分调幅和调频两种．在图甲中有A、B两幅图．在收音机电路中天线接收下来的电信号既有高频成分又有低频成分，经放大后送到下一级，需要把高频成分和低频成分分开，只让低频成分输入下一级，如果采用如图乙所示的电路，图乙中虚线框a和b内只用一个电容器或电感器．以下关于电磁波的发射和接收的说法中，正确的是( )

A．在电磁波的发射技术中，甲图中A是调幅波

B．在电磁波的发射技术中，甲图中B是调幅波

C．在图乙中a是电容器，用来通高频阻低频，b是电感器，用来阻高频通低频

D．在图乙中a是电感器，用来阻交流通直流，b是电容器，用来阻高频通低频

【解析】A图象中高频振荡的振幅随信号而变，为调幅波，B图象中高频振荡的频率随信号而变，为调频波，A正确，检波电路的作用为通低频阻高频，故a为电容较小的高频旁路电容器，b为高频扼流圈，C正确．[答案] AC

3．如图所示，绝热汽缸固定在水平地面上，汽缸内用绝热活塞封闭着一定质量的理想气体，开始时活塞静止在图示位置，现用力使活塞缓慢向右移动一段距离，则在此过程中( )A．外界对汽缸内气体做正功 B．缸内气体的内能减小

C．缸内气体在单位时间内作用于活塞单位面积冲量增大 D．在单位时间内缸内气体分子与活塞碰撞的次数增加【解析】体积膨胀，气体对外做功，内能减小，温度降低，选项A错误、B正确，由体积增大，温度降低知单位时间内气体对活塞的碰撞次数减少，压强减小，选项C、D错误． [答案] B