(物理)物理微元法解决物理试题练习题及答案及解析

（物理）物理微元法解决物理试题练习题及答案及解析

一、微元法解决物理试题

1．解放前后，机械化生产水平较低，人们经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用．如图，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F ，方向与磨杆始终垂直，作用点到轴心的距离为r ，磨盘绕轴缓慢转动，则在转动一周的过程中推力F 做的功为

A ．0

B ．2πrF

C ．2Fr

D ．-2πrF

【答案】B 【解析】 【分析】

cos W Fx α=适用于恒力做功，因为推磨的过程中力方向时刻在变化是变力，但由于圆周

运动知识可知，力方向时刻与速度方向相同，根据微分原理可知，拉力所做的功等于力与路程的乘积； 【详解】

由题可知：推磨杆的力的大小始终为F ，方向与磨杆始终垂直，即其方向与瞬时速度方向相同，即为圆周切线方向，故根据微分原理可知，拉力对磨盘所做的功等于拉力的大小与拉力作用点沿圆周运动弧长的乘积，由题意知，磨转动一周，弧长2L r π=，所以拉力所做的功2W FL rF π==，故选项B 正确，选项ACD 错误． 【点睛】

本题关键抓住推磨的过程中力方向与速度方向时刻相同，即拉力方向与作用点的位移方向时刻相同，根据微分思想可以求得力所做的功等于力的大小与路程的乘积，这是解决本题的突破口．

2．如图甲所示，静止于光滑水平面上的小物块，在水平拉力F 的作用下从坐标原点O 开始沿x 轴正方向运动，F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图线右半部分为四分之一圆弧，则小物块运动到2x 0处时的动能可表示为（ ）

A ．0

B ．

1

2

F m x 0（1+π） C ．

1

2F m x 0（1+2π） D ．F m x 0

【答案】C 【解析】

【详解】

F -x 图线围成的面积表示拉力F 做功的大小，可知F 做功的大小W =1

2F m x 0+14

πx 02，根据动能定理得，E k =W =12F m x 0+14πx 02 =01122m F x π??

+ ??

?，故C 正确，ABD 错误。

故选C 。

3．水柱以速度v 垂直射到墙面上，之后水速减为零，若水柱截面为S ，水的密度为ρ，则水对墙壁的冲力为（ ） A ．

1

2

ρSv B ．ρSv C ．

1

2

ρS v 2 D ．ρSv 2

【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】

设t 时间内有V 体积的水打在钢板上，则这些水的质量为：

S m V vt ρρ==

以这部分水为研究对象，它受到钢板的作用力为F ，以水运动的方向为正方向，由动量定理有：

0Ft mv =-

即：

2mv

F Sv t

ρ=-

=- 负号表示水受到的作用力的方向与水运动的方向相反；由牛顿第三定律可以知道，水对钢

板的冲击力大小也为2

S v ρ ，D 正确，ABC 错误。

故选D 。

4．如图所示，摆球质量为m ，悬线的长为L ，把悬线拉到水平位置后放手设在摆球运动过程中空气阻力F 阻的大小不变，则下列说法正确的是

A ．重力做功为mgL

B ．绳的拉力做功为0

C ．空气阻力做功0

D ．空气阻力做功为1

2

F L π-

阻

【答案】ABD 【解析】

A 、如图所示，重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为A

B 在竖直方向上的投影L ，

所以W G =mgL ．故A 正确．B 、因为拉力F T 在运动过程中始终与运动方向垂直，故不做功，即W FT =0．故B 正确．C 、F 阻所做的总功等于每个小弧段上F 阻所做功的代数和，即

12F 1

=()2

W F x F x F L π-?+?+???=

阻阻阻阻，故C 错误，D 正确；故选ABD ． 【点睛】根据功的计算公式可以求出重力、拉力与空气阻力的功．

5．如图所示，摆球质量为m ，悬线长为L ，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球运动过程中空气阻力F 阻的大小不变，则下列说法正确的是( )

A ．重力做功为mgL

B ．悬线的拉力做功为0

C ．空气阻力F 阻做功为－mgL

D ．空气阻力F 阻做功为－1

2

F 阻πL 【答案】ABD 【解析】 【详解】

A ．由重力做功特点得重力做功为：

W G ＝mgL

A 正确；

B ．悬线的拉力始终与v 垂直，不做功，B 正确； CD ．由微元法可求得空气阻力做功为：

W F 阻＝－

1

2

F 阻πL C 错误，D 正确．

6．如图所示，摆球质量为m ，悬线长度为L ，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A

点运动到B 点的过程中空气阻力的大小F 阻不变，则下列说法正确的是( )

A ．重力做功为mgL

B ．悬线的拉力做功为0

C ．空气阻力做功为－mgL

D ．空气阻力做功为－1

2

F 阻πL 【答案】ABD 【解析】 【详解】 A ．如图所示

重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为AB 在竖直方向上的投影

L ，所以G W mgL =．故A 正确．

B ．因为拉力T F 在运动过程中始终与运动方向垂直，故不做功，即FT 0W =．故B 正确． CD ．F 阻所做的总功等于每个小弧段上F 阻所做功的代数和，即

121

(ΔΔ)π2

F W F x F x F L =-++=-L 阻阻阻阻

故C 错误，D 正确； 故选ABD ． 【点睛】

根据功的计算公式可以求出重力、拉力与空气阻力的功．注意在求阻力做功时，要明确阻力大小不变，方向与运动方向相反；故功等于力与路程的乘积．

7．某中学科技小组的学生在进行电磁发射装置的课题研究，模型简化如下。在水平地面上固定着相距为L 的足够长粗糙导轨PQ 及MN ，PQNM 范围内存在可以调节的匀强磁场，方向竖直向上，如图所示，导轨左侧末端接有电动势为E 、内阻为r 的电源，开关K 控制电路通断。质量为m 、电阻同为r 的导体棒ab 垂直导轨方向静止置于上面，与导轨接触良好。电路中其余位置电阻均忽略不计。导轨右侧末端有一线度非常小的速度转向装置，能

将导体棒水平向速度转为与地面成θ角且不改变速度大小。导体棒在导轨上运动时将受到恒定的阻力f ，导轨棒发射后，在空中会受到与速度方向相反、大小与速度大小成正比的阻力，f 0=kv ，k 为比例常数。导体棒在运动过程中只平动，不转动。重力加速度为g 。调节磁场的磁感应强度，闭合开关K ，使导体棒获得最大的速度。（需考虑导体棒切割磁感线产生的反电动势）

(1)求导体棒获得最大的速度v m ；

(2)导体棒从静止开始达到某一速度v 1，滑过的距离为x 0，导体棒ab 发热量Q ，求电源提供的电能及通过电源的电量q ；

(3)调节导体棒初始放置的位置，使其在到达NQ 时恰好达到最大的速度，最后发现导体棒以v 的速度竖直向下落到地面上。求导体棒自NQ 运动到刚落地时这段过程的平均速度大小。

【答案】(1) 2m 8E v fr =；(2)电源提供的电能2

10122W mv fx Q =++，通过电源的电量

20122fx mv Q

q E E E

=++

；(3) 22cos sin 8mg E v k E frv θθ=+ 【解析】 【分析】 【详解】

(1)当棒达到最大速度时，棒受力平衡，则

A f F = A F BiL =

2E BLv

i r

-=

联立解得

2

2211fr E v L B L B -????=+ ? ?????

据数学知识得

2

m 8E v fr

=

(2)导体棒电阻为r ，电源内阻为r ，通过两者的电流始终相等，导体棒ab 发热量Q ，则回路总电热为2Q ；据能量守恒定律知，电源提供的电能

2101

22

W mv fx Q =++

据电源提供电能与通过电源的电量的关系W Eq =可得，通过电源的电量

20122fx mv W Q

q E E E E

==++

(3)导体棒自NQ 运动到刚落地过程中，对水平方向应用动量定理可得

x x x kv t m v k x m v -?=??-?=?

解得：水平方向位移

2cos 8m E x k fr

θ?=

对竖直方向应用动量定理可得

y y y kv t mg t m v k y mg t m v -?-?=??-?-?=?

解得：运动的时间

2

sin 8E v

fr

t g

θ+?=

据平均速度公式可得，导体棒自NQ 运动到刚落地时这段过程的平均速度大小

22cos sin 8x mg E v t k E frv

θθ?==?+

8．光电效应和康普顿效应深入地揭示了光的粒子性的一面．前者表明光子具有能量,后者表明光子除了具有能量之外还具有动量．由狭义相对论可知,一定的质量m 与一定的能量E 相对应：E =m 2 c ，其中c 为真空中光速．

(1)已知某单色光的频率为v ,波长为λ,该单色光光子的能量E =hv ,其中h 为普朗克常量．试借用质子、电子等粒子动量的定义：动量=质量×速度,推导该单色光光子的动量

p = h

λ

.

(2)光照射到物体表面时，如同大量气体分子与器壁的频繁碰撞一样，将产生持续均匀的压力，这种压力会对物体表面产生压强，这就是“光压”，用I 表示．

一台发光功率为O P 的激光器发出一束某频率的激光，光束的横截面积为S .如图所示，真空中，有一被固定的“∞”字形装置，其中左边是圆形黑色的大纸片，右边是与左边大小、质量均相同的圆形白色大纸片．

①当该激光束垂直照射到黑色纸片中心上,假设光全部被黑纸片吸收,试写出该激光在黑色纸片的表面产生的光压1I 的表达式．

②当该激光束垂直坪射到白色纸片中心上,假设其中被白纸反射的光占入射光的比例为η,其余的入射光被白纸片吸收,试写出该激光在白色纸片的光压2I 的表达式． 【答案】(1)见解析；(2)1I =02P I cS ；= ()01P CS

η+ 【解析】 【分析】

（1）根据能量与质量的关系，结合光子能量与频率的关系以及动量的表达式推导单色光光子的动量h

p λ

＝

．

（2）根据一小段时间△t 内激光器发射的光子数，结合动量定理求出其在物体表面引起的光压的表达式． 【详解】

（1）光子的能量为 E=mc 2 根据光子说有 E=hν=c

h

λ

光子的动量 p=mc 可得 E h p c λ

=

=． （2）①一小段时间△t 内激光器发射的光子数 0P t n hc V λ

=

光照射物体表面，由动量定理得-F △t=0-np 产生的光压 I 1=F S

解得 0

1P I cS

=

②假设其中被白纸反射的光占入射光的比例为η，这些光对物体产生的压力为F 1，（1-η）被黑纸片吸收，对物体产生的压力为F 2． 根据动量定理得 -F 1△t=0-（1-η）np -F 2△t=-ηnp -ηnp 产生的光压 12

2F F I S

+= 联立解得 ()021P I cS

η+=

【点睛】

本题要抓住光子的能量与动量区别与联系，掌握动量定理的应用，注意建立正确的模型是解题的关键．

9．如图所示，在方向竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，有两条相互平行且相距为d 的光滑固定金属导轨P 1P 2P 3和Q 1Q 2Q 3，两导轨间用阻值为R 的电阻连接，导轨P 1P 2、Q 1Q 2的倾角均为θ，导轨P 2P 3、 Q 2Q 3在同一水平面上，P 2Q 2⊥P 2 P 3，倾斜导轨和水平导轨用相切的小段光滑圆弧连接．质量为m 的金属杆CD 从与P 2Q 2处时的速度恰好达到最大，然后沿水平导轨滑动一段距离后停下．杆CD 始终垂直导轨并与导轨保持良好接触，空气阻力、导轨和杆CD 的电阻均不计，重力加速度大小为g ，求：

（1）杆CD 到达P 2Q 2处的速度大小v m ；

（2）杆CD 沿倾斜导轨下滑的过程通过电阻R 的电荷量q 1以及全过程中电阻R 上产生的焦耳热Q ；

（3）杆CD 沿倾斜导轨下滑的时间Δt 1及其停止处到P 2Q 2的距离s ．

【答案】（1）222

sin cos m mgR v B d θθ=（2）sin Q mgL θ=（3）22442sin cos m gR s B d θ

θ

= 【解析】

（1）经分析可知，杆CD 到达22P Q 处同时通过的电流最大（设为m I ），且此时杆CD 受力平衡，则有cos sin m B dI mg θθ?=

此时杆CD 切割磁感线产生的感应电动势为cos m E B dv θ=? 由欧姆定律可得m m E I R

=

，解得222sin cos m mgR v B d θθ=

（2）杆CD 沿倾斜导轨下滑过程中的平均感应电动势为1

1

E t ?Φ=?，1cos B Ld θ?Φ=? 该过程中杆CD 通过的平均电流为1

1E I R

=

，又111q I t =?，解得1cos BdL q R θ=

对全过程，根据能量守恒定律可得sin Q mgL θ= （3）在杆CD 沿倾斜导轨下滑的过程中，根据动量定理有

111sin cos 0m mg t B I d t mv θθ??-??=-

解得2221222cos cos sin mR B d L t B d mgR θ

θθ

?=+

在杆CD 沿水平导轨运动的过程中，根据动量定理有220m BI d t mv -??=-，该过程中通过R 的电荷量为222q I t =?

由求1q 得方法同理可得2Bds

q R

=

， 解得22442

sin cos m gR s B d θ

θ

= 点睛：解决本题时，推导电量的经验公式Ф

q R

=

V 和运用动量定理求速度是解题的关键，并能抓住感应电荷量与动量定理之间的内在联系．

10．如图所示，一质量为m ＝2.0kg 的物体从半径为R ＝5.0m 的圆弧的A 端．在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B 端（圆弧AB 在竖直平面内）．拉力F 大小不变始终为15N ，方向始终与物体所在位置的切线成37°角．圆弧所对应的圆心角为60°，BD 边竖直，g 取10m/s 2．求这一过程中（cos37°＝0.8）：

(1)拉力F 做的功; (2)重力mg 做的功;

(3)圆弧面对物体的支持力F N 做的功; (4)圆弧面对物体的摩擦力F f 做的功.

【答案】（1）62.8J （2）-50J （3）0 （4）-12.8J 【解析】 【分析】 【详解】

(1)将圆弧分成很多小段l 1、l 2、…、l n ，拉力在每小段上做的功为W 1、W 2、…、W n ，因拉力F 大小不变，方向始终与物体所在位置的切线成37°角，所以：W 1＝Fl 1cos37°，W 2＝Fl 2cos37°，…，W n ＝Fl n cos37°， 所以拉力F 做的功为：

()1212cos37cos37?20J 62.8J 3

F n n W W W W F l l l F R π

π=++?+=?++?+=?==

(2)重力mg 做的功W G ＝-mgR （1-cos60°）＝-50J ．

(3)物体受到的支持力F N 始终与物体的运动方向垂直，所以W F ＝0．

(4)因物体在拉力F 作用下缓慢移动，则物体处于动态平衡状态，合外力做功为零，

所以W F ＋W G ＋W Ff ＝0，

则W Ff ＝－W F －W G ＝－62.8J ＋50J ＝－12.8J ． 【点睛】

本题考查动能定理及功的计算问题，在求解F 做功时要明确虽然力是变力，但由于力和速度方向之间的夹角始终相同，故可以采用“分割求和”的方法求解．

11．光电效应和康普顿效应深入地揭示了光的粒子性的一面．前者表明光子具有能量，后者表明光子除了具有能量之外还具有动量．由狭义相对论可知，一定的质量m 与一定的能量E 相对应：2E mc =，其中c 为真空中光速．

（1）已知某单色光的频率为ν，波长为λ，该单色光光子的能量E h ν=，其中h 为普朗克常量．试借用质子、电子等粒子动量的定义：动量=质量×速度，推导该单色光光子的动量

h

p λ

=

．

（2）光照射到物体表面时，如同大量气体分子与器壁的频繁碰撞一样，将产生持续均匀的压力，这种压力会对物体表面产生压强，这就是“光压”，用I 表示．

一台发光功率为P 0的激光器发出一束某频率的激光，光束的横截面积为S ．当该激光束垂照射到某物体表面时，假设光全部被吸收，试写出其在物体表面引起的光压的表达式． 【答案】（1）见解析（2）0

P cS

【解析】

试题分析：（1）根据能量与质量的关系，结合光子能量与频率的关系以及动量的表达式推导单色光光子的动量h

p λ

=

；（2）根据一小段时间t ?内激光器发射的光子数，结合动量

定理求出其在物体表面引起的光压的表达式． （1）光子的能量2E mc =，c

E h h

νλ

==

光子的动量

p mc =，可得E h

p c λ

== （2）一小段时间t ?内激光器发射的光子数

0P t n c h

λ

?=

光照射物体表面，由动量定理

F t np ?= 产生的光压F

I S =

解得：0P I cS

=

12．对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质．

（1）光电效应和康普顿效应深入地揭示了光的粒子性的一面．前者表明光子具有能量，后者表明光子除了具有能量之外还具有动量．我们知道光子的能量E hv =，动量h

p λ

=

，

其中v 为光的频率，h 为普朗克常量，λ为光的波长．由于光子具有动量，当光照射到物体表面时，会对物体表面产生持续均匀的压力，这种压力会对物体表面产生压强，这就是“光压”，用I 表示．一台发光功率为P 0的激光器发出一束频率为0v 的激光，光束的横截面积为S ．当该激光束垂直照射到某物体表面时，假设光全部被吸收（即光子的末动量变为0）．求：

a ．该激光器在单位时间内发出的光子数N ；

b ．该激光作用在物体表面时产生的光压I ．

（2）从微观角度看，气体对容器的压强是大量气体分子对容器壁的频繁撞击引起的．正方体密闭容器中有大量运动的粒子，每个粒子质量为m ，单位体积内粒子数量为n ．为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；速率均为v ，且与容器壁各面碰撞的机会均等；与容器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与容器壁垂直，且速率不变． a ．利用所学力学知识，推导容器壁受到的压强P 与m 、n 和v 的关系；

b ．我们知道，理想气体的热力学温度T 与分子的平均动能1E 成正比，即1T E α=，式中α为比例常数．请从微观角度解释说明：一定质量的理想气体，体积一定时，其压强与温度成正比． 【答案】（1）a. 00P N hv = b. 00P I v S λ=

（2）a. 2

13

P nmv = b.见解析 【解析】 【分析】 【详解】

（1）a .单位时间的能量为：e P NE =，光子能量：0 E h v =，得单位时间内发出的光子数0

P N hv =

． b .该激光作用在物体表面产生的压力用F 0表示，根据牛顿第三定律物体表面对光子的力大小也为F 0，时间为t ?，由动量定理可知：0

0,

,F h

F t tNP P I S

λ

?=?=

=

，解得00P I v S

λ=

（2）a .在容器壁附近，取面积为S ，高度为v t ?的体积内的粒子为研究对象．该体积中粒子个数2N Sv tn =?，可以撞击该容器壁的粒子数

21

6

N ，一个撞击容器壁的气体分子对其产生的压力用F 来表示，根据牛顿第三定律容器壁对气体分子的力大小也为F ，由

2F t mv ?=，得2mv F t

=?，容器壁受到的压强221

163

N F

P nmv S ==

b .由22k k 11,,32P nmv T aE E mv =

==，解得23n

P T a

=，一定质量的理想气体，体积一定时，其压强与温度成正比．

13．如图所示,一个粗细均匀的U 形管内装有同种液体,在管口右端盖板A 密闭,两液面的高度差为h,U 形管内液柱的总长度为4h.现拿去盖板,液体开始运动,当两液面高度相等时,右侧液面下降的速度是多大?

18

gh 【解析】 【分析】

拿去盖板，液体开始运动，当两液面高度相等时，液体的机械能守恒，即可求出右侧液面下降的速度，当两液面高度相等时，右侧高为h 液柱重心下降了1 4

h ，液体重力势能的减小量全部转化为整体的动能； 【详解】

设管子的横截面积为S ，液体的密度为ρ，则右侧高出左侧的水银柱的体积为Sh ， 所以其质量为：m Sh ρ=，全部的水银柱的质量：4M S h ρ=?

拿去盖板，液体开始运动，当两液面高度相等时，右侧高为h 液柱重心下降了1 4

h 根据机械能守恒定律得：211

42

mg h Mv ?= 即：211

442hSg h hSv ρρ?=? 解得：1

8

v gh =． 【点睛】

本题运用机械能守恒定律研究液体流动的速度问题，要注意液柱h 不能看成质点，要分析其重心下降的高度．

14．为适应太空环境，航天员都要穿航天服．航天服有一套生命保障系统，为航天员提供合适的温度、氧气和气压，让航天员在太空中如同在地面上一样．假如在地面上航天服内气压为1atm ，气体体积为2L ，到达太空后由于外部气压低，航天服急剧膨胀，内部气体体积变为4L ，使航天服达到最大体积．若航天服内气体的温度不变，航天服视为封闭系统．

①求此时航天服内的气体压强，并从微观角度解释压强变化的原因．

②若开启航天服封闭系统向航天服内充气，使航天服内的气压变为0．9 atm，则需补充1 atm的等温气体多少升?

【答案】(1) P2＝0.5 atm 航天服内，温度不变，气体分子平均动能不变，体积膨胀，单位体积内的分子数减少，单位时间撞击到单位面积上的分子数减少，故压强减小

(2) 1.6 L

【解析】

（1）对航天服内气体，开始时压强为p1＝1atm，体积为V1＝2L，到达太空后压强为p2，气体体积为V2＝4L．

由玻意耳定律得：

p1V1＝p2V2

解得p2＝0.5 atm

航天服内，温度不变，气体分子平均动能不变，体积膨胀，单位体积内的分子数减少，单位时间撞击到单位面积上的分子数减少，故压强减小

（2）设需补充1atm气体V′升后达到的压强为p3＝0.9 atm，取总气体为研究对象．

p1(V1＋V′)＝p3V2

解得V′＝1.6 L…

综上所述本题答案是：(1) P2＝0.5 atm 航天服内，温度不变，气体分子平均动能不变，体积膨胀，单位体积内的分子数减少，单位时间撞击到单位面积上的分子数减少，故压强减小

(2) 1.6 L

15．如图所示，间距为l=0.5m的两平行金属导轨由水平部分和倾角为θ=30o倾斜部分平滑连接而成。倾斜导轨间通过单刀双掷开关连接阻值R=1Ω的电阻和电容C=1F未充电的电容器。倾斜导轨和水平导轨上均存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度均为B=1T。现将开关S掷向电阻，金属杆ab从倾斜导轨上端释放，达到匀速后进入水平导轨，运动过程中，杆ab与导轨始终接触良好，且保持与导轨垂直。已知杆ab长为l=0.5m，质量为

m=0.25kg，电阻忽略不计，不计摩擦阻力和导轨电阻，忽略磁场边界效应。

(1)求杆ab在倾斜导轨上匀速运动时的速度大小；

(2)求杆ab在水平导轨上滑行的距离；

(3)若将开关S掷向电容，金属杆ab从倾斜导轨上离低端S=5m处释放，求杆ab到达低端的时间。

【答案】(1)5m/s；(2)5m；(3)2s

【解析】 【分析】

到达底端前匀速运动，可求出到达底端时的速度，根据动量定理和流过的电量与位移的关系可求得水平位移；接入电容器后通过受力分析可推出做匀加速运动，从而求得运动时间。 【详解】

(1)设匀速运动时速度大小为v

Blv

I R

=

sin BIl mg θ=

解得

5m/s v =

(2)设移动位移为x

BIlt mv =

Blx

It R

=

解得

5m x =

(3)设到低端的时间为t

q c u I t t

??=

=?? u Bl v ?=? cBl v I cBla t

?==?

sin mg BIl ma θ-=

解得

222

sin 2.5m/s mg a m cB l

θ

=

=+ 因此运动的时间

2s t =

= 【点睛】

接入电容器后导棒做匀加速运动。