积分变换与数理方程

积分变换与数理方程在岩土工程中的应用

——土的单向固结理论

经过这学期积分变换与数学物理方程的学习，在老师的悉心教学下，对该门课有了一个系统的认识，并且这门学科作为一个工具能够帮助我更深的理解自己的专业，特别是在土力学，弹性力学等学科中的认识。在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需要求解偏微分方程，为实际的工程设计提供必要的数据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。

太沙基（K ．Terzaghi ，1925）一维固结理论可用于求解一维有侧限应力状态下，饱和粘性土地基受外荷载作用发生渗流固结过程中任意时刻的土骨架及孔隙水的应力分担量，如大面积均布荷载下薄压缩层地基的渗流固结等。 太沙基一维固结理论的基本假设如下： l ）土是均质的、完全饱和的； 2）土粒和水是不可压缩的；

3）土层的压缩和土中水的渗流只沿竖向发生，是单向（一维）的；

4）土中水的渗流服从达西定律，且土的渗透系数k 和压缩系数a 在渗流过程中保持不变；

5）外荷载是一次瞬时施加的。

土的固结理论中土的单向渗流固结的普遍方程为：

012

2=⋅∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂'+∂∂-∂∂+∂∂dt

dk

t u k t H t u t k m z u v w γσγ （1） 由太沙基单向固结的基本假定条件可知:

（1）式中k 为常数，H 也为常量，0=∂∂t

σ

，则太沙基一维固结微分方程可表示为如下形式：

022=∂∂-∂∂t

u

k m z u w v γ 或 t

u z u C v ∂∂=∂∂22 （2）

式中v C 称为土的竖向固结系数，cm2/s ，其值为：

()w

v w

v v a e k m k C γγ+=

=

1

（2）式即为太沙基单向固结微分方程，式中：u 表示超静孔隙水压力，z 表示土层的深度，t 表示时间，v C 称为土的固结系数。

实例：如图，假设土层厚度为H ，顶面可以自由排水，底面为不透水岩层，土面上瞬时施加的大面积外荷重为0u ，其起始条件和边界条件如下：

（2）式表示了超静孔隙水压力u 与位置z 及时间t 的函数关系，给定起始条件和边界条件，即可以求得它的解析解，该方程为齐次线性偏微分方程，可以应用分离变量法求解

t z u ,，即归结为求下列定解问题：

()()()

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧≤≤==>=∂∂=><<∂∂=∂∂∞→===c H z u u u b t z u u a t H z z u

C t u t t H z z v .0,0,,

0,0,0,0,0,00022 解：用分离变量法求此定解问题：

设()()()t T z Z t z u =,，则()()t T z Z t u '=∂∂，()()t T z Z z u '=∂∂，()()t T z Z z

u

''=∂∂22 代入方程()a 得

()()()()

()()()()

t T C t T z Z z Z t T z Z C t T z Z v v '=

''⇒''=' 上式左端不含有t ，右端不含有z ，所以只有两端均为常数时，才可能相等，并令此常数为2β-，则有

()()()()

2β-='=''t T C t T z Z z Z v

()()()()()()

⎩⎨⎧=+'=+''⇒e t T C t T d z Z z Z v 00

2

2ββ 解方程()d 得：()z B z A z Z ββsin cos +=

由边界条件()b 知：()()()z B z Z z B z Z A Z n n n ββsin sin 000=⇒=⇒=⇒=；

()()()()0s i n 00=='⇒='⇒='=∂∂=H B H Z H Z t T z Z z

u H

z ββ

πβπππ

βH

n n n H n 21

22122

+=⇒+=

+=

⇒ 所以有()()z H

n B z B z Z n n n n 212sin

sin πβ+==

解方程()e 得：()()t

C H n n t

C n n v

v n e

A e

A t T 222

412πβ+-

-==

()()()z H

n e

C z e C t z u t

C H n n n t C n n v

v n 212s i n

s i n ,2

222

412πβπβ+==⇒+-

-；（其中n n n

B A C

=）

由于方程()a 与边界条件()b 都是齐次的，所以 ()()z e C t z u t z u n n t C n n n v n ∑∑∞

=-∞===1

1s i n ,,2

ββ

考虑初始条件，并求解n C ， 令 n n n n n H

H

n n n H

H H H dz z zdz L βββββββ42sin 242sin 222cos 1sin 00

2-=

-=-==⎰⎰

则有()H

H H u zdz H

H u zdz u L C n n n H

n n n n H

n n

n ββββββββ2sin 2cos 14sin 2sin 24sin 100

0--=

-=

=

⎰

⎰

()()()π

πππ12412s i n 1221c o s 1400+=

+-+⎥

⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛

+-=n u n n n u ()()()()∑∑∑∞

=+-

∞

=-∞

=++=

==⇒14120

1

1

212sin

1

21

4sin ,,2

222

n t

C H n n n t

C n n n z H

n e n u z e

C t z u t z u v

v n π

πβπβ

()()∑∞

=+-++=14

120

212s i n 12142

2n T n z H

n e n u v πππ 其中v T 为时间因数，2

H t

C T v v =