2019考研数学公式大全高数、线代、概率论共34页

高等数学公式

导数公式： 基本积分表：

三角函数的有理式积分：

a

x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22

=

'='?-='?='-='='2

2

22

11

)(11

)(11

)(arccos 11

)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-

='+=

'--

='-=

'?

?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C

a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C

a a dx a C

x ctgxdx x C

x dx tgx x C

ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x

x

)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222

22

22

2C a

x

x a dx C x a x

a a x a dx C a x a

x a a x dx C a x

arctg a x a dx C

ctgx x xdx C tgx x xdx C

x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2

2222222?

????++-=-+-+--=-+++++=+-=

==-C

a

x a x a x dx x a C

a x x a a x x dx a x C

a x x a a x x dx a x I n

n xdx xdx I n n n

n arcsin 22ln 22)ln(221

cos sin 22

2222222

2222222

22

2

22

2

π

π

一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：

·诱导公式：

·和差角公式： ·和差化积公式：

2

sin

2sin 2cos cos 2cos

2cos 2cos cos 2sin

2cos 2sin sin 2cos

2sin

2sin sin β

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβ

αβα-+=--+=+-+=--+=+α

ββαβαβαβ

αβαβ

αβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?=

±?±=

±=±±=±1

)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμ

·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：

R C

c

B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：

C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=

-=

2

arccos 2

arcsin π

π

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： 中值定理与导数应用： 曲率：

定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用：

)

,,(),,(),,(30

))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(}

,,{,0

),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()

()()

(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x y

x y x x z x z z y z y -=

-=-=-+-+-==????

?====-'+-'+-''-=

'-='-??

?

??===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：

上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线?

?ωψ?ωψ?ωψ?方向导数与梯度：

多元函数的极值及其求法： 重积分及其应用： 柱面坐标和球面坐标：

曲线积分： 曲面积分： 高斯公式：

??????????????????Ω

∑

∑

∑

∑

∑

Ω

∑=++==?

A dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n n ??

???div )cos cos cos (...

,0div ,div )cos cos cos ()(

成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：

—高斯公式的物理意义γβαννγβα斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系： 常数项级数： 级数审敛法：

绝对收敛与条件收敛： 幂级数：

函数展开成幂级数： 一些函数展开成幂级数： 欧拉公式： 三角级数： 傅立叶级数：

周期为l 2的周期函数的傅立叶级数： 微分方程的相关概念： 一阶线性微分方程： 全微分方程：

二阶微分方程：

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

二阶常系数非齐次线性微分方程

概率公式整理

1．随机事件及其概率

吸收律：A

AB A A

A A =?=??Ω=Ω?)( A

B A A A A A =???

=??=Ω?)(

反演律：B A B A =? B A AB ?= 2．概率的定义及其计算

若B A ? )()()(A P B P A B P -=-?

对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有 3．条件概率 乘法公式 全概率公式 Bayes 公式

4．随机变量及其分布

分布函数计算 5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p *Possion 定理

有 Λ

,2,1,0!)

1(lim ==---∞

→k k e

p p C k

k

n n k n

k n

n λλ

(3) Poisson 分布 )(λP 6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),(b a U (2) 指数分布 )(λE

(3) 正态分布 N (m , s 2 ) *N (0,1) — 标准正态分布 7.多维随机变量及其分布

二维随机变量( X ,Y )的分布函数 边缘分布函数与边缘密度函数 8. 连续型二维随机变量

(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G ) (2)二维正态分布

9. 二维随机变量的 条件分布 10.随机变量的数字特征 数学期望

随机变量函数的数学期望

X 的k阶原点矩

X 的k阶绝对原点矩

X 的k阶中心矩

X 的方差

X ,Y 的k + l阶混合原点矩

X ,Y 的k + l阶混合中心矩

X ,Y 的二阶混合原点矩

X ,Y 的二阶混合中心矩X ,Y 的协方差

X ,Y 的相关系数

X 的方差

D (X ) =

E ((X - E(X))2)

协方差

相关系数

线性代数部分

梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。

沟通：突出各部分内容间的联系。

充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。

大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。

基本运算

⑤00=?=c cA 或0=A 。

转置值不变A A T = 逆值变A

A 11=

- ()321,,ααα=A ，3阶矩阵 有关乘法的基本运算

线性性质 ()B A B A B A A 2121+=+， 结合律 ()()BC A C AB = ()k k k B A AB =不一定成立！

与数的乘法的不同之处

()k k k B A AB =不一定成立！

无交换律 因式分解障碍是交换性

一个矩阵A 的每个多项式可以因式分解，例如 无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当0=AB 时0=?/A 或0=B 由0≠A 和00=?/=B AB

由0≠A 时C B AC AB =?/=（无左消去律） 特别的 设A 可逆，则A 有消去律。

左消去律：C B AC AB =?=。

右消去律：C B CA BA =?=。

如果A 列满秩，则A 有左消去律，即 可逆矩阵的性质

i ）当A 可逆时，

T A 也可逆，且()()T

T A A 11

--=。

k A 也可逆，且()()k

k A A 11

--=。

数0≠c ，cA 也可逆，()111--=A c

cA 。

ii ）A ，B 是两个n 阶可逆矩阵AB ?也可逆，且()111---=A B AB 。 推论：设A ，B 是两个n 阶矩阵，则E BA E AB =?= 命题：初等矩阵都可逆，且 命题：准对角矩阵

kk

A A A A 000

0000000002211O =

可逆?每个

ii

A 都可逆，记

112211110

00

000000000----=

kk

A A A A O 伴随矩阵的基本性质： 当A 可逆时， E A A A =*

（求逆矩阵的伴随矩阵法）

且

得：

()()

???

? ?

?==----A A A A A 1

111

* 伴随矩阵的其他性质

2=n 时， ()A A =** ???

?

??--=d c b a A *

关于矩阵右上肩记号：T ，k ，1-，* i) 任何两个的次序可交换， 如()()T T A A **=， ()()**

11--=A A 等

ii) ()()111 ,---==A B AB A B AB T T T ，

线性表示

βααααααβ=+++?→s s s x x x ΛΛ221121,,,有解

()βααα=?x s ,,,21Λ有解()()

T s x x x ,,1Λ= β=Ax 有解，即β可用A 的列向量组表示 则n s r r r ααα,,,,,,2121ΛΛ→。

则存在矩阵C ，使得()()C s t αααβββ,,,,,,2121ΛΛ=

线

性

表

示

关

系

有

传

递

性

当

p s t r r r ,,,,,,,,,212121ΛΛΛ→→αααβββ，

则p t r r r ,,,,,,2121ΛΛ→βββ。

等价关系：如果s ααα,,,21Λ与t βββ,,,21Λ互相可表示

t s βββααα,,,,,,2121ΛΛ←→

记作t s βββααα,,,,,,2121ΛΛ?。 线性相关

1=s ，单个向量α，0=αx α相关0=?α

2=s ，

21,αα相关?对应分量成比例 21,αα相关n n b a b a b a :::2211===?Λ

()n A ααα,,,21Λ=，0=Ax 有非零解0=?A 如果n s >，则s ααα,,,21Λ一定相关

0=Ax 的方程个数

③如果s ααα,,,21Λ无关，而βααα,,,,21s Λ相关，则s αααβ,,,21Λ→ 证明：设c c c s ,,,1Λ不全为0，使得011=+++βααc c c s s Λ

则其中0≠c ，否则s c c ,,1Λ不全为0，011=++s s c c ααΛ，与条件

s αα,,1Λ无关矛盾。于是s s c

c c c ααβ---

=Λ11

。 ④当s ααβ,,1Λ→时，表示方式唯一s ααΛ1?无关

（表示方式不唯一s ααΛ1?相关） ⑤若s t ααββ,,,,11ΛΛ→，并且s t >，则t ββ,,1Λ一定线性相关。 证明：记()s A αα,,1Λ=，()t B ββ,,1Λ=，

则存在t s ?矩阵C ，使得 AC B =。

0=Cx 有s 个方程，t 个未知数，t s <，有非零解η，0=ηC 。

则0==ηηAC B ，即η也是0=Bx 的非零解，从而t ββ,,1Λ线性相关。

各性质的逆否形式

①如果s ααα,,,21Λ无关，则n s ≤。

②如果s ααα,,,21Λ有相关的部分组，则它自己一定也相关。 ③如果s ααΛ1无关，而s ααβ,,1Λ→/，则βααs ,,1Λ无关。 ⑤如果s t ααββΛΛ11→，t ββΛ1无关，则s t ≤。

推论：若两个无关向量组s ααΛ1与t ββΛ1等价，则t s =。 极大无关组

一个线性无关部分组()I ，若()I #等于秩()I →6421,,,αααα，()I 就一定是极大无关组

①s ααα,,,21Λ无关?()s s =αααγ,,, 21Λ

另一种说法： 取s ααα,,,21Λ的一个极大无关组()I ()I 也是βααα,,,,21s Λ的极大无关组?()β,I 相关。 证明：()()ββααβ,,,1I I s ?→?→Λ相关。

③β可用s αα,,1Λ唯一表示()()s s s ==?ααγβααγ,, ,,, 11ΛΛ 矩阵的秩的简单性质 A 行满秩：()m A r = A 列满秩：()n A r = n 阶矩阵A 满秩：()n A r =

A 满秩A ?的行（列）向量组线性无关

A ?可逆

0=?Ax 只有零解，β=Ax 唯一解。 矩阵在运算中秩的变化

初等变换保持矩阵的秩 ②0≠c 时，()()A r cA r =

⑤A 可逆时，()()B r AB r =

弱化条件：如果A 列满秩，则()()B AB γγ= 证：下面证0=ABx 与0=Bx 同解。 η是0=ABx 的解0=?ηAB

ηη?=?0B 是0=Bx 的解

B 可逆时，()()A r AB r =

⑥若0=AB ，则()()n B r A r ≤+（A 的列数，B 的行数） ⑦A 列满秩时()()B r AB r = B 行满秩时()()A r AB r = 解的性质

1．0=Ax 的解的性质。

如果e ηηη,,,21Λ是一组解，则它们的任意线性组合

e e c c c ηηη+++Λ2211一定也是解。 2．()0≠=ββAx

①如果e ξξξ,,,21Λ是β=Ax 的一组解，则

e e c c c ξξξ+++Λ2211也是β=Ax 的解121=+++?e c c c Λ e e c c c ξξξ+++Λ2211是0=Ax 的解021=+++?e c c c Λ 特别的： 当21,ξξ是β=Ax 的两个解时，21ξξ-是0=Ax 的解

②如果0ξ是β=Ax 的解，则n 维向量ξ也是β=Ax 的解0ξξ-?是

0=Ax 的解。

解的情况判别

方程：β=Ax ，即βααα=+++n n x x x Λ2211

n αααβ,,,21Λ→

()()A A γβγ>|

()()n A A ==γβγ|

()()n A A <=γβγ| 方程个数m ：

①当()m A =γ时，()m A =βγ|，有解

②当n m <时，()n A <γ，不会是唯一解 对于齐次线性方程组0=Ax ，

只有零解()n A =?γ（即A 列满秩） （有非零解()n A

两种特殊情形：

（1）A 是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。 （2）()1=A r 时：A 的特征值为()A tr ,0,,0,0Λ 特征值的性质

命题：n 阶矩阵A 的特征值λ的重数()A E r n --≥ λ 命题：设A 的特征值为n ,, , 21λλλΛ，则

命题：设η是A 的特征向量，特征值为λ，即ληη=A ，则

①对于A 的每个多项式()A f ，()()ηηx f A f =

②当A 可逆时，ηλη11=-A ，ηλ

η|

|*A A =

命题：设A 的特征值为n ,,, 2 1λλλΛ，则

①()A f 的特征值为()()()n f f f ,,, 2 1λλλΛ

②A 可逆时，1-A 的特征值为

n 1

,,1, 12 1λλλΛ *A 的特征值为

n

A A A 2 1|

|,,||, ||λλλΛ ③T A 的特征值也是n ,, , 21λλλΛ 特征值的应用

①求行列式n A ,,, ||2 1λλλΛ= ②判别可逆性

E A λ-可逆λ?不是A 的特征值。

当()0=A f 时，如果()0≠c f ，则cE A -可逆

若λ是A 的特征值，则()λf 是()A f 的特征值()0=?λf 。 ()c c f ?≠0不是A 的特征值AcE ?可逆。 n 阶矩阵的相似关系

当UA AU =时，A B =，而UA AU ≠时，A B ≠。 相似关系有i ）对称性：A B B A ~~? B AU U =-1，则1-=UBU A

ii ）有传递性：B A ~，C B ~，则C A ~

B AU U =-1，

C BV V =-1，则 命题 当B A ~时，A 和B 有许多相同的性质

③A ，B 的特征多项式相同，从而特征值完全一致。

A 与

B 的特征向量的关系：η是A 的属于λ的特征向量η1-?U 是B 的属于λ的特征向量。

正定二次型与正定矩阵性质与判别

可逆线性变换替换保持正定性

()n x x x f ,,,21Λ变为()n y y y g ,,,21Λ，则它们同时正定或同时不正定

B A -~，则A ，B 同时正定，同时不正定。

例如AC C B T =。如果A 正定，则对每个0≠x （C 可逆，0≠x ，0≠∴Cx ！） 我们给出关于正定的以下性质 A 正定E A -?~

?存在实可逆矩阵C ，C C A T =。 A ?的正惯性指数n =。 A ?的特征值全大于0。

A ?的每个顺序主子式全大于0。 判断A 正定的三种方法： ①顺序主子式法。 ②特征值法。 ③定义法。 基本概念

对称矩阵A A T =。 反对称矩阵A A T -=。