浙江专版高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程9.1直线方程和两直线的位置关系课件
(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第九章平面解析几何2第2讲两直线的位置关系课件
对称问题 已知直线 l：2x－3y＋1＝0，点 A(－1，－2)．求： (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标； (2)直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程； (3)直线 l 关于点 A(－1，－2)对称的直线 l′的方程．
【解】 (1)设 A′(x，y)，由已知
xy＋＋21×23＝－1， 2×x－2 1－3×y－2 2＋1＝0，
解得x＝－3133，所以 y＝143.
A′－3133，143.
(2)在直线 m 上取一点，如 M(2，0)，
则 M(2，0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上．
设 M′(a，b)，则 2ba× － －a02＋ ×2 223－＝3－×1b. ＋2 0＋1＝0，解得 M′163，3103. 设直线 m 与直线 l 的交点为 N， 则由23xx－－32yy＋－16＝＝00，. 得 N(4，3)． 又因为 m′经过点 N(4，3)， 所以由两点式得直线 m′的方程为 9x－46y＋102＝0.
角度三 距离公式的综合应用
(1)P 点在直线 3x＋y－5＝0 上，且 P 点到直线 x－y－1＝0 的距离为 2，则 P 点
的坐标为
()
A．(1，2) B．(2，1) C．(1，2)或(2，－1) D．(2，1)或(－1，2) (2)在△ABC 中，A(1，1)，B(m， m)(1<m<4)，C(4，2)，则当△ABC 的面积最大时，m ＝________．
(3)设 P(x，y)为 l′上任意一点，则 P(x，y)关于点 A(－1，－2)的对称点为 P′(－2－x，－4 －y)， 因为 P′在直线 l 上， 所以 2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即 2x－3y－9＝0.
高考数学(理科,课标Ⅰ专用)复习专题测课件：第九章 直线和圆的方程 §9.1 直线方程和两条直线的位置关系
1
1 x2
又∵0<x1<1,x2>1,x1x2=1,
x1 x2 =2, ∴x1+x2>2
∴0<S△PAB<1.故选A.
评析 本题考查了利用导数求切线问题,及考生的运算能力. 2.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+ (a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线 在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是 答案 -3 解析 由y=ax2+ 得y'=2ax- 2 ,
N两点. (1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程; (2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.
a ,a)或M(-2 a ,a),N(2 a ,a). 解析 (1)由题设可得M(2 a ,a),N(-2
又y'= ,故y= 在x=2 a 处的导数值为 a ,C在点(2 a ,a)处的切线方程为y-a= a (x-2 a ),即
故x1+x2=4k,x1x2=-4a.
y1 b + y2 b = 2kx1 x2 (a b)( x1 x2 ) = k ( a b) . 从而k1+k2= x1 x2 x1 x2
a
当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,- a) 符合题意. (12分) 疑难突破 要使∠OPM=∠OPN,只需直线PM与直线PN的斜率互为相反数.
y1 y2 2 1 1 x1 x2
,
1 |AB|· 1 |y -y +2|· | y1 y2 2 | ∴S△PAB= |xP|= 1 2 2 2
精选高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程9.3点、线、圆的位置关系获奖公开课优质课件
3.(2016课标全国Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( )
A.- 4
B.-3
3
4
C.3
D.2
答案 A 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为
| a =41,解1 | 得a=- .故选4 A.
35
B3 .- 或2 -
23
5 C.- 4 或-
45
4 D.3- 或-
34
答案 D 由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即
kx-y-2k-3=0.
∵反射光线所在直线与圆相切,∴ | 3=k1,2解得2kk=3- | 或k=- . 4
3
k2 1
3
4
a2 1
3
4.(2015课标Ⅱ,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|= ( ) A.2 6 B.8 C.4 6 D.10
答案 C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b= 3 =7 -2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-
2
2),|PA|= (=15,1于)2是(圆3P2的)2 方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2 ,则|MN|=|(-2+26 6)-(-2-2 )6|=4 . 6
5.(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C 的一条切线,切点为B,则|AB|= ( ) A.2 B.4 2 C.6 D.2 1 0
2020届高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程9.1直线方程与圆的方程课件理
示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
B组 自主命题·省(区、市)卷题组
1.(2019浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A
(-2,-1),则m=
,r=
.
答案 -2; 5
解析 本题考查直线与圆的位置关系,两条直线的垂直关系等知识点.通过圆的切线的性质考
| a 4 1| =1,解得a=- 4 .故选A.
a2 1
3
思路分析 将圆的方程化成标准方程,从而得出圆心坐标,进而利用点到直线的距离公式列出
关于a的方程,解方程即可求得a的值.
2.(2015课标Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆 x2 + y2 =1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆 16 4
由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.
所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=- 1 .
2
当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为 10 ,圆M的方程为(x-3)2+(y
-1)2=10.
当m=- 12 时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为 94 ,
( y0
x0 2
1)2
16.
解得
x0 y0
3, 2
或
x0 y0
11, 6.
因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
方法总结 有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重
2021届浙江新高考数学一轮复习：第九章 4 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d<r Δ>0相切d＝r Δ＝0相离d>r Δ<0设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．()(3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√[教材衍化]1．(必修2P128练习T4改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2， 所以|a －0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.答案：[－3，1]2．(必修2P133A 组T9)圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2. 答案：2 2 [易错纠偏](1)忽视分两圆内切与外切两种情形； (2)忽视切线斜率k 不存在的情形； (3)求弦所在直线的方程时遗漏一解．1．若圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则常数a ＝________． 解析：两圆的圆心距d ＝（－4）2＋a 2，由两圆相切(外切或内切)，得 （－4）2＋a 2＝5＋1或（－4）2＋a 2＝5－1，解得a ＝±25或a ＝0.答案：±25或02．已知圆C ：x 2＋y 2＝9，过点P (3，1)作圆C 的切线，则切线方程为________． 解析：由题意知P 在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x ＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k ，所以切线方程为y －1＝k (x －3)，所以kx －y ＋1－3k ＝0，所以|k ×0－0＋1－3k |k 2＋（－1）2＝3，所以k ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －15＝0.综上，切线方程为x ＝3或4x ＋3y －15＝0.答案：x ＝3或4x ＋3y －15＝03．若直线过点P ⎝⎛⎭⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为________．解析：当直线的斜率不存在时，该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足题意．当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，则圆心到直线的距离d ＝|6k －3|2k 2＋1，则252－⎝ ⎛⎭⎪⎫|6k －3|2k 2＋12＝8，解得k ＝－34，所以直线方程为3x ＋4y ＋15＝0.综上所述，所求直线方程为x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0. 答案：x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0直线与圆的位置关系(1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定(2)圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是________． 【解析】 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，从而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2＜1，所以直线与圆相交．(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k 2＋1)x 2＋4kx ＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k 2－12(k 2＋1)<0，解得k ∈(－3，3)．法二：圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋2的距离d ＝2k 2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d >1，即2k 2＋1>1，解得k ∈(－3，3)． 【答案】 (1)B (2)k ∈(－3，3)(变条件)若将本例(1)的条件改为“点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1上”，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系如何？解：由点M 在圆上，得a 2＋b 2＝1，所以圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b 2＝1，则直线与圆O 相切．[提醒] 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．(2020·衢州模拟)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．圆的切线与弦长问题(高频考点)圆的切线与弦长问题，是近年来高考的一个热点，多以选择题、填空题的形式呈现，多为中、低档题目．主要命题角度有：(1)求圆的切线方程； (2)求弦长及切线长； (3)由弦长及切线问题求参数． 角度一 求圆的切线方程过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0【解析】 因为过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条， 所以点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上， 因为圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1＝12，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.故选B. 【答案】 B角度二求弦长及切线长(1)若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且c sin C＝3a sin A＋3b sin B，则直线l：ax－by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为()A．4 6 B．2 6C．6 D．5(2)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________．【解析】(1)因为asin A＝bsin B＝csin C，故由c sin C＝3a sin A＋3b sin B可得c2＝3(a2＋b2)．圆O：x2＋y2＝12的圆心为O(0，0)，半径为r＝23，圆心O到直线l的距离d＝|c|a2＋b2＝3，所以直线l被圆O所截得的弦长为2r2－d2＝2（23）2－（3）2＝6，故选C.(2)由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)．所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6.【答案】(1)C(2)6角度三由弦长及切线问题求参数(1)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，P A，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形P ACB的最小面积是2，则k的值为()A．3 B.21 2C．2 2 D．2(2)(2019·高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．【解析】(1)如图，把圆的方程化成标准形式得x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(0，1)，半径为r＝1，四边形P ACB的面积S＝2S△PBC，所以若四边形P ACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为1.而S△PBC＝12r·|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，此时d＝|5|k2＋1＝12＋22＝5，即k 2＝4，因为k >0，所以k ＝2.(2)法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－（－2）×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.【答案】 (1)D (2)－25(1)求直线被圆截得的弦长的常用方法①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB |＝2r 2－d 2.②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.(2)圆的切线方程的求法①几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .②代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .1．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C ．[－3，3]D.⎣⎡⎦⎤－23，0 解析：选B.如图，设圆心C (2，3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若|MN |≥23，则d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎫12|MN |2≤4－3＝1， 即|2k |21＋k2≤1，解得－33≤k ≤33. 2．(2020·温州中学高三期末)若经过点P (－3，0)的直线l 与圆M ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋3＝0相切，则圆M 的圆心坐标是________；半径为________；切线在y 轴上的截距是________．解析：圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2，则圆心坐标为(－2，1)，半径R ＝2，设切线斜率为k ，过P 的切线方程为y ＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－2k －1＋3k |1＋k 2＝|k －1|1＋k 2＝2，平方得k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2＝0，解得k ＝－1，此时切线方程为y ＝－x －3，即在y 轴上的截距为－3.答案：(－2，1)2 －33．(2020·杭州市学军中学高三模拟)已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线n ：x ＋m (m －1)y ＝2垂直，则m 的值为________，动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0截得的最短弦长为________．解析：由题意得m －m (m －1)＝0⇒m ＝0或m ＝2；动直线l ：mx －y ＝1过定点(0，－1)，而动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：(x －1)2＋y 2＝9截得的弦长最短时，弦中点恰为(0，－1)，此时弦长为29－（1＋1）＝27.答案：0或2 27圆与圆的位置关系(1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( )A.62B.32C.94D ．2 3【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0，0)，(－a ，a )． 因为圆M 截直线所得线段长度为22， 所以a 2＋（－a ）2＝2 2. 又a >0，所以a ＝2.所以圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0，2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1，1)，半径r 2＝1，所以|MN |＝（0－1）2＋（2－1）2＝ 2. 因为r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3，1<|MN |<3， 所以两圆相交．(2)由圆C 1与圆C 2相外切，可得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝9，根据基本不等式可知9＝a 2＋2ab ＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4ab ，即ab ≤94，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故选C.【答案】 (1)B (2)C(变条件)若本例(2)条件中“外切”变为“内切”，求ab 的最大值． 解：由C 1与C 2内切，得 （a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝1.即(a ＋b )2＝1,又ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为14.(1)几何法判断圆与圆的位置关系的步骤 ①确定两圆的圆心坐标和半径；②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，并求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； ③比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，然后写出结论． (2)两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．1．圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9与圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4外切，则m 的值为( ) A ．2 B ．－5 C ．2或－5D ．不确定解析：选C.由C 1(m ，－2)，r 1＝3；C 2(－1，m )，r 2＝2；则两圆心之间的距离为|C 1C 2|＝（m ＋1）2＋（－2－m ）2＝2＋3＝5，解得m ＝2或－5.故选C.2．(2020·嘉兴模拟)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解析：⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，所以O 1A ⊥OA .又因为|OA |＝5，|O 1A |＝25，所以|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1所在直线对称， 所以AB 长为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍． 所以|AB |＝2 ×5×255＝4. 答案：4核心素养系列19 直观想象——解决直线与圆的综合问题直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．【解析】 法一：如图． 由题意易得∠BAD ＝45°.设直线DB 的倾斜角为θ，则tan θ＝－12，所以tan ∠ABO ＝－tan(θ－45°)＝3， 所以k AB ＝－tan ∠ABO ＝－3. 所以AB 的方程为y ＝－3(x －5)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －5），y ＝2x ，得x A ＝3.法二：设A (a ，2a )，a >0，则C ⎝⎛⎭⎫a ＋52，a ，所以圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －a ＋522＋(y －a )2＝（a －5）24＋a 2，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －a ＋522＋（y －a ）2＝（a －5）24＋a 2，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝1，y D ＝2，所以AB →·CD →＝(5－a ，－2a )·⎝⎛⎭⎫－a －32，2－a ＝a 2－2a －152＋2a 2－4a ＝0，所以a ＝3或a ＝－1，又a >0，所以a ＝3，所以点A 的横坐标为3.法三：因为AB →·CD →＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝45°.设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－3.又B (5，0)，所以直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －5），y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3. 【答案】 3本题法一，把AB →·CD →＝0的数量关系，转化为CD ⊥AB ，进而推出∠BAD ＝45°，结合图形得出直线AB 的斜率，体现核心素养中的直观想象．[基础题组练]1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C.(直接法)集合A 表示圆，集合B 表示一条直线，又圆心(0，0)到直线x ＋y ＝1的距离d ＝12＝22<1＝r ，所以直线与圆相交． 2．直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[－22，22]C ．[－2－1，2－1]D ．[－22－1，22－1]解析：选D.圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2＝|m ＋1|2，若直线l 与圆C 恒有公共点，则|m ＋1|2≤2，解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.3．若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a 的值为( ) A ．±2 B ．2 C ．－2D ．无解解析：选A.圆x 2＋y 2＝a 2的圆心为原点O ，半径r ＝|a |. 将x 2＋y 2＝a 2与x 2＋y 2＋ay －6＝0左右分别相减，可得a 2＋ay －6＝0，即得两圆的公共弦所在直线的方程为a 2＋ay －6＝0. 原点O 到直线a 2＋ay －6＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6a －a ， 根据勾股定理可得a 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎫6a －a 2，所以a 2＝4，所以a ＝±2.故选A.4．(2020·台州中学高三月考)若直线y ＝kx ＋4＋2k 与曲线y ＝4－x 2有两个交点，则k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎭⎫－1，－34 C.⎝⎛⎦⎤34，1D ．(－∞，－1]解析：选B.曲线y ＝4－x 2即x 2＋y 2＝4(y ≥0)，表示一个以(0，0)为圆心，以2为半径的位于x 轴上方的半圆，如图所示．直线y ＝kx ＋4＋2k 即y ＝k (x ＋2)＋4，表示恒过点(－2，4)，斜率为k 的直线， 结合图形可得k AB ＝4－4＝－1， 因为|4＋2k |1＋k 2＝2，解得k ＝－34，即k AT ＝－34， 所以要使直线与半圆有两个不同的交点，k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，－34. 5．圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey －3＝0(D <0，E 为整数)的圆心C 到直线4x －3y ＋3＝0的距离为1，且圆C 被截x 轴所得的弦长|MN |＝4，则E 的值为( )A ．－4B ．4C ．－8D ．8解析：选C.圆心C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. 由题意得⎪⎪⎪⎪4×⎝⎛⎭⎫－D 2－3×⎝⎛⎭⎫－E 2＋342＋（－3）2＝1，即|4D －3E －6|＝10，①在圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey －3＝0中，令y ＝0得x 2＋Dx －3＝0. 设M (x 1，0)，N (x 2，0)，则x 1＋x 2＝－D ，x 1x 2＝－3. 由|MN |＝4得|x 1－x 2|＝4，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16， (－D )2－4×(－3)＝16. 因为D <0，所以D ＝－2.将D ＝－2代入①得|3E ＋14|＝10， 所以E ＝－8或E ＝－43(舍去)．6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t ，0)，B (t ，0)，(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则当t 取得最大值时，点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫32，322B.⎝⎛⎭⎫322，32C.⎝⎛⎭⎫32，332 D.⎝⎛⎭⎫332，32解析：选D.设P (a ，b )为圆上一点，由题意知，AP →·BP →＝0，即(a ＋t )(a －t )＋b 2＝0，a 2－t 2＋b 2＝0，所以t 2＝a 2＋b 2＝|OP |2，|OP |max ＝2＋1＝3，即t 的最大值为3，此时k OP ＝33，OP 所在直线的倾斜角为30°，所以点P 的纵坐标为32，横坐标为3×32＝332，即P ⎝⎛⎭⎫332，32.7．(2020·浙江高中学科基础测试)由直线3x －4y ＋5＝0上的一动点P 向圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0引切线，则切线长的最小值为________．解析：当直线上的点到圆心(2，－1)的距离最短时，切线长最小．此时，圆心到直线的距离d ＝|3×2－4×（－1）＋5|32＋（－4）2＝3，r ＝1，所以切线长为2 2.答案：2 28．(2020·杭州七校联考)已知圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，直线l 过圆心且交圆C 于A ，B 两点，交y 轴于P 点，若2 P A →＝PB →，则直线l 的斜率k ＝________．解析：依题意得，点A 是线段PB 的中点，|PC |＝|P A |＋|AC |＝35，过圆心C (3，5)作y轴的垂线，垂足为C 1，则|CC 1|＝3，|PC 1|＝（35）2－32＝6.记直线l 的倾斜角为θ，则有|tan θ|＝|PC 1||CC 1|＝2，即k ＝±2. 答案：±29．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，若等边△P AB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则|PC |的最大值为________．解析：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为C (1，2)，半径r ＝2，若等边△P AB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC ⊥AB .在△P AC 中，∠APC ＝30°，由正弦定理得|AC |sin 30°＝|PC |sin ∠P AC ，所以|PC |＝22sin ∠P AC ≤22，故|PC |的最大值为2 2.答案：2 210．(2020·绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O 1和圆O 2都经过点(0，1)，若两圆与直线4x －3y ＋5＝0及y ＋1＝0均相切，则|O 1O 2|＝________．解析：如图，因为原点O 到直线4x －3y ＋5＝0的距离d ＝|5|42＋（－3）2＝1，到直线y ＝－1的距离为1，且到(0，1)的距离为1，所以圆O 1和圆O 2的一个圆心为原点O ，不妨看作是圆O 1， 设O 2(a ，b )，则由题意：⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝a 2＋（b －1）2b ＋1＝|4a －3b ＋5|42＋（－3）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1. 所以|O 1O 2|＝22＋12＝ 5. 答案： 511．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1，0)，因为直线过点P ，C ，所以k PC ＝2－02－1＝2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0，圆心C 到直线l 的距离为12，又因为圆的半径为3，所以弦AB 的长为34. 12．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心坐标为(2，1)．(1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解：(1)因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以圆心O 1(0，－1)，半径r 1＝2.设圆O 2的半径为r 2，由两圆外切知|O 1O 2|＝r 1＋r 2. 又|O 1O 2|＝（2－0）2＋（1＋1）2＝22， 所以r 2＝|O 1O 2|－r 1＝22－2.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2. (2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，相减得AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 设线段AB 的中点为H ，因为r 1＝2，所以|O 1H |＝r 21－|AH |2＝ 2. 又|O 1H |＝|4×0＋4×（－1）＋r 22－8|42＋42＝|r 22－12|42，所以|r 22－12|42＝2，解得r 22＝4或r 22＝20.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.[综合题组练]1．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49解析：选A.由题意知两圆的标准方程为(x ＋a )2＋y 2＝4和x 2＋(y －2b )2＝1，圆心分别为(－a ，0)和(0，2b )，半径分别为2和1，因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，故有a 2＋4b 2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝19⎝⎛⎭⎫9a 2＋9b 2＝19⎝⎛⎭⎫1＋4b 2a 2＋a 2b 2＋4≥19×(1＋4＋4)＝1.当且仅当4b 2a 2＝a 2b2，即|a |＝2|b |时取等号，故选A. 2．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，125 B ．[0，1] C.⎣⎡⎦⎤1，125 D.⎝⎛⎭⎫0，125解析：选A.因为圆心在直线y ＝2x －4上， 所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3.由a 2＋（2a －3）2≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ； 由a 2＋（2a －3）2≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125.故选A. 3．(2020·浙江省镇海中学高三模拟)已知点P (a ，b )关于直线l 的对称点为P ′(b ＋1，a －1)，则圆C ：x 2＋y 2－6x －2y ＝0关于直线l 对称的圆C ′的方程为______________；圆C 与圆C ′的公共弦的长度为________．解析：由题设将圆C ：x 2＋y 2－6x －2y ＝0中的x ，y 换为y ＋1，x －1可得圆C ′的方程为(y ＋1)2＋(x －1)2－6(y ＋1)－2(x －1)＝0，即x 2＋y 2－4x －4y －2＝0，也即(x －2)2＋(y －2)2＝10；将两圆的方程两边相减可得公共弦的直线方程为x －y －1＝0，圆心C ′(2，2)到该直线的距离d ＝12，半径r ＝10，故弦长L ＝210－12＝38.答案：(x －2)2＋(y －2)2＝10384．已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝（y 1y 2）24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝（m 2＋2）2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516.5．(2020·富阳市场口中学高三质检)已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是正整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．(1)求圆的方程；(2)设直线ax －y ＋5＝0(a ＞0)与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；(3)在(2)的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点P (－2，4)，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈N *)．由于圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且半径为5， 所以|4m －29|5＝5，即|4m －29|＝25.因为m 为正整数，故m ＝1. 故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25. (2)把直线ax －y ＋5＝0，即y ＝ax ＋5 代入圆的方程，消去y ，整理得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0， 由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点， 故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)＞0，即12a 2－5a ＞0，由于a ＞0，解得a ＞512，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫512，＋∞. (3)设符合条件的实数a 存在， 则直线l 的斜率为－1a，l 的方程为y ＝－1a (x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0.由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1，0)必在l 上， 所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝34.由于34∈⎝⎛⎭⎫512，＋∞，故存在实数a ＝34， 使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB .。
高考数学(浙江版,理科)大一轮复习：第九章++解析几何(
第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )．A ．4B ．3C ．2D ．1 解析 法一 (直接法)集合A 表示圆，集合B 表示一条直线，又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝1的距离 d ＝12＝22＜1＝r ，所以直线与圆相交，故选C.法二 (数形结合法)画图可得，故选C. 答案 C2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )．A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1. 答案 C3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a ，b 满足的关系是( ) A ．a 2＋2a ＋2b －3＝0 B ．a 2＋b 2＋2a ＋2b ＋5＝0 C ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0 D ．a 2－2a －2b ＋5＝0解析 即两圆的公共弦必过(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心， 两圆相减得相交弦的方程为－2(a ＋1)x －2(b ＋1)y ＋a 2＋1＝0， 将圆心坐标(－1，－1)代入可得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.答案 C4．若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条切线，则a ＋b 的最大值为( )．A ．－3 2B ．－3C ．3D ．3 2解析 易知圆C 1的圆心为C 1(－a,0)，半径为r 1＝2； 圆C 2的圆心为C 2(0，b )，半径为r 2＝1. ∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即a 2＋b 2＝9.∵⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22， ∴a ＋b ≤32(当且仅当a ＝b ＝32时取“＝”)， ∴a ＋b 的最大值为3 2. 答案 D5．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞解析 C1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意， 则－33<m <0或0<m <33. 综上知－33<m <0或0<m <33. 答案 B6．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是( )．解析 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O 1总与大圆O 相内切，且小圆O 1总经过大圆的圆心O .设某时刻两圆相切于点A ，此时动点M所处位置为点M ′，则大圆圆弧的长与小圆圆弧的长之差为0或2π.切点A 在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2π.以切点A 在第三象限为例，记直线OM 与此时小圆O 1的交点为M 1，记∠AOM ＝θ，则∠OM 1O 1＝∠M 1OO 1＝θ，故∠M 1O 1A ＝∠M 1OO 1＋∠OM 1O 1＝2θ.大圆圆弧的长为l 1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧的长为l 2＝2θ×1＝2θ，则l 1＝l 2，即小圆的两段圆弧与的长相等，故点M 1与点M ′重合．即动点M 在线段MO 上运动，同理可知，此时点N 在线段OB 上运动．点A 在其他象限类似可得，故M ，N 的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项知，只有选项A 符合．故选A. 答案 A 二、填空题7．直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________．解析 由题意得，圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x －y ＝0的距离d ＝22＝ 2. 设截得的弦长为l ，则由⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋(2)2＝22，得l ＝2 2.答案 2 28．设集合A ＝(x ，y )⎪⎪⎪m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________． 解析 ∵A ∩B ≠∅，∴A ≠∅， ∴m 2≥m 2.∴m ≥12或m ≤0.显然B ≠∅.要使A ∩B ≠∅，只需圆(x －2)2＋y 2＝m 2(m ≠0)与x ＋y ＝2m 或x ＋y ＝2m ＋1有交点，即|2－2m |2≤|m |或|1－2m |2≤|m |，∴2－22≤m ≤2＋ 2.又∵m ≥12或m ≤0，∴12≤m ≤2＋ 2. 当m ＝0时，(2,0)不在0≤x ＋y ≤1内．综上所述，满足条件的m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋29．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．解析 (数形结合法)如图，圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0 可化为x 2＋(y －6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3. 在Rt △OBC 中可得：∠OCB ＝π3，∴∠ACB ＝2π3， ∴所求劣弧长为2π. 答案 2 π10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析 画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，该圆半径为2即圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d ＜1，即0＜|c |13＜1，∴－13＜c ＜13. 答案 (－13,13) 三、解答题11．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程． 解 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.12．已知与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切的直线l 交x 轴，y 轴于A ，B 两点，|OA |＝a ，|OB |＝b (a >2，b >2)． (1)求证：(a －2)(b －2)＝2； (2)求线段AB 中点的轨迹方程； (3)求△AOB 面积的最小值．解 (1)证明：圆的标准方程是(x －1)2＋(y －1)2＝1，设直线方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，圆心到该直线的距离d ＝|a ＋b －ab |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＋a 2b 2＋2ab －2a 2b －2ab 2＝a 2＋b 2，即a 2b 2＋2ab －2a 2b －2ab 2＝0， 即ab ＋2－2a －2b ＝0，即(a －2)(b －2)＝2.(2)设AB 中点M (x ，y )，则a ＝2x ，b ＝2y ，代入(a －2)(b －2)＝2， 得(x －1)(y －1)＝12(x >1，y >1)．(3)由(a －2)(b －2)＝2得ab ＋2＝2(a ＋b )≥4ab ， 解得ab ≥2＋2(舍去ab ≤2－2)，当且仅当a ＝b 时，ab 取最小值6＋42， 所以△AOB 面积的最小值是3＋2 2.13．设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (其中k 的值与b 无关)，圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －4＝0.(1)如果不论k 取何值，直线l 与圆M 总有两个不同的交点，求b 的取值范围； (2)b ＝1时，l 与圆交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值． 解 圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5， ∴圆心M 的坐标为(1,0)，半径为r ＝ 5. (1)∵不论k 取何值，直线l 总过点P (0，b )，∴欲使l 与圆M 总有两个不同的交点，必须且只需点P 在圆M 的内部，即|MP |<5，即1＋b 2<5，∴－2<b <2，即b 的取值范围是(－2,2)．(2)当l 过圆心M 时，|AB |的值最大，最大值为圆的直径长2 5.当l ⊥MP 时，此时|MP |最大，|AB |的值最小，|MP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2k ＋1k≤1＋22k ·1k＝2，当且仅当k ＝1时取等号．最小值为2r 2－|MP |2＝25－2＝2 3.14．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1)若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程； (2)求四边形QAMB 面积的最小值； (3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1， 则圆心M 到切线的距离为1， ∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0， ∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1. (2)∵MA ⊥AQ ，∴S四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ， ∴|MP |＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |， 即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9. 设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)， ∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。
(浙江专用)高考数学一轮复习 第九章 直线和圆的方程 9.2 圆的方程课件.pptx
(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+
T=P
T,Q求实数t的取值范围.
8
解析 圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5. (1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0). 因为圆N与x轴相切,与圆M外切, 所以0<y0<7, 于是圆N的半径为y0, 从而7-y0=5+y0,解得y0=1. 因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
高考数学 (浙江专用)
第九章 直线和圆的方程
§9.2 圆的方程
1
五年高考
考点 圆的方程
1.(2016浙江文,10,6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是
,
半径是
.
答案 (-2,-4);5
解析 方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则a2=a+2,故a=-1或2.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y
2
2.(2015课标Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆 x2 + y2 =1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的
16 4
标准方程为
.
答案
x
+32y2=2
25 4
解析 由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线的
方程为2x-y-3=0.令y=0,得x= 3
+10=0,即x2+y2+x+2y+ 5
高考数学浙江专版(理)一轮复习：第9篇 第1讲 直线的方程.pdf
第九篇 解析几何 第1讲 直线的方程 分层A级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足( )． A．a＋b＝1 B．a－b＝1 C．a＋b＝0 D．a－b＝0 解析 由题意知tan α＝－1，即k＝tan α＝－1，又k＝－，所以a－b＝0. 答案 D 2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )． A. B．－ C．－ D. 解析 依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－，选B. 答案 B 3．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变化时，所有直线都过定点( )． A. B. C. D. 解析 原方程可化为(2x＋1)－m(y＋3)＝0，令解得x＝－，y＝－3，故所有直线都过定点. 答案 D 4．(2013·佛山调研)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )． A．ab>0，bc0，bc>0 C．ab0 D．ab<0，bc0；令y＝0，x＝－>0.即bc<0，ac<0. 答案 A 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知直线l的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在x轴上的截距为2，则直线l的方程是________． 解析 由3sin α＝cos α，得tan α＝，直线l的斜率为.又直线l在x轴上的截距为2，直线l与x轴的交点为(2,0)，直线l的方程为y－0＝(x－2)，即x－3y－2＝0. 答案 x－3y－2＝0 6．已知直线l经过A(2,1)，B(1，m2)两点(mR)，那么直线l的倾斜角的取值范围是________． 解析 直线l的斜率k＝＝1－m2，因为mR，所以k(－∞，1]，所以直线的倾斜角的取值范围是. 答案 三、解答题(共25分) 7．(12分)设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，根据下列条件分别确定m的值： (1)直线l的斜率为1； (2)直线l在x轴上的截距为－3. 解 (1)因为直线l的斜率存在，所以m≠0， 于是直线l的方程可化为y＝－x＋. 由题意得－＝1，解得m＝－1. (2)法一 令y＝0，得x＝2m－6. 由题意得2m－6＝－3，解得m＝. 法二 直线l的方程可化为x＝－my＋2m－6. 由题意得2m－6＝－3，解得m＝. 8．(13分)(2013·临沂月考)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(aR)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等．a＝2，方程即为3x＋y＝0. 当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， 得＝a－2，即a＋1＝1， a＝0，方程即为x＋y＋2＝0. 综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2， 或 a≤－1. 综上可知a的取值范围是(－∞，－1]． 分层B级 创新能力提升 1．条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”；条件q：“直线l的斜率为－2”，则p是q的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 主要考虑直线l在x、y轴上的截距都为0时，满足条件p，但不能推出q. 答案 B 2．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )． A. B. C. D. 解析 如图，直线l：y＝kx－，过定点P(0，－)，又A(3,0)，kPA＝，则直线PA的倾斜角为，满足条件的直线l的倾斜角的范围是. 答案 B 3．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________． 解析 设所求直线的方程为＋＝1， A(－2,2)在直线上，－＋＝1. 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， |a|·|b|＝1. 由可得(1)或(2) 由(1)解得或方程组(2)无解． 故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1， 即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程． 答案 x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0 4．(2012·盐城检测)已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________． 解析 直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋，由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值. 答案 5．(2013·青岛模拟)已知两点A(－1,2)，B(m,3)． (1)求直线AB的方程； (2)已知实数m，求直线AB的倾斜角α的取值范围． 解 (1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1， 当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)． (2)①当m＝－1时，α＝； 当m≠－1时，m＋1∪(0，]， k＝(－∞，－]， α∈∪. 综合知，直线AB的倾斜角α. 6．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，是否存在使ABO面积最小的直线l？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 解 存在．理由如下： 设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A，B(0,1－2k)，AOB的面积S＝(1－2k)＝≥(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立，故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.。
浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.1直线的方程
（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.1直线的方程教师用书1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0°，180°)． 2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式【知识拓展】 1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )． 2．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0. 3．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ³ ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ³ ) (4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ³ ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( ³ )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )1．(2016²天津模拟)过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4答案 A解析 依题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.2．(2016²镇海中学检测)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π4]B ．[3π4，π)C ．[0，π4]∪(π2，π)D ．[π4，π2)∪[3π4，π)答案 B解析 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1， 又－1≤－1a 2＋1<0， 所以倾斜角的取值范围是[3π4，π)．3．如果A ²C <0且B ²C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－C B>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．4．(教材改编)直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝ . 答案 1或－2解析 令x ＝0，得直线l 在y 轴上的截距为2＋a ； 令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a，依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 (1)(2016²北京东城区期末)已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“α>π3”是“k >3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 ．答案 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 (1)当π2<α<π时，k <0；当k >3时，π3<α<π2.所以“α>π3”是“k >3”的必要不充分条件，故选B.(2)如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． 引申探究1．若将题(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围． 解 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)， ∴k AP ＝1－02－ －1 ＝13，k BP ＝3－00－ －1＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.2．若将题(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的范围． 解 如图，直线PA 的倾斜角为45°， 直线PB 的倾斜角为135°，由图象知l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．(2016²南昌模拟)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B．135° C．120° D．不存在 答案 A解析 由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示．显然直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k2，弦长|AB |＝2 2－|2k |1＋k22＝22－2k21＋k2， 所以S △AOB ＝12³|2k |1＋k 2³22－2k21＋k2 ≤ 2k 2＋2－2k22 1＋k 2＝1， 当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，由图可得k ＝－33(k ＝33舍去)，故直线l 的倾斜角为150°. 题型二 求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(5,10)，到原点的距离为5；(3)过点A (－5，－4)作直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5，求直线l 的方程．解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. (3)由已知，l 的两截距不为0， 设l 的方程为x a ＋yb＝1， 则⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＋－4b ＝1，12|ab |＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝4.∴直线l 的方程为x 5－y2＝1或x －52＋y4＝1， 即2x －5y －10＝0或8x －5y ＋20＝0.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14倍；(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5. 解 (1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14³3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5， 即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －1 .得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2(k ≠－2，否则与已知直线平行)，则B 点坐标为(k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)． ∴(k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2k ＋2＋1)2＝52， 解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.题型三 直线方程的综合应用命题点1 与基本不等式相结合求最值问题例3 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解 方法一 设直线方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 把点P (3,2)代入得3a ＋2b ＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.方法二 依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，且有A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0,2－3k )，∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋ －9k ＋4 －k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 －9k ²4 －k＝12³(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立． 即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0. 命题点2 由直线方程解决参数问题例4 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12³2³(2－a )＋12³2³(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小． 思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．(2016²潍坊模拟)直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，当|OA |＋|OB |最小时，求直线l 的方程．解 依题意，直线l 的斜率存在且斜率为负， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －4＝k (x －1)(k <0)． 令y ＝0，可得A (1－4k，0)；令x ＝0，可得B (0,4－k )． |OA |＋|OB |＝(1－4k)＋(4－k )＝5－(k ＋4k)＝5＋(－k ＋4－k )≥5＋4＝9.∴当且仅当－k ＝4－k 且k <0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值． 这时直线l 的方程为2x ＋y －6＝0.10．求与截距有关的直线方程典例 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，求a . 错解展示现场纠错解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0. ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)由a －2a ＋1＝－(a －2)得a －2＝0或a ＋1＝－1， ∴a ＝2或a ＝－2.纠错心得 在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.1．(2016²北京顺义区检测)若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是( ) A ．－6<k <－2 B ．－5<k <－3 C ．k <－6 D ．k >－2答案 A 解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限， 所以k ＋6>0且k ＋2<0，所以－6<k <－2.2．(2016²威海模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2 答案 A解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4， 依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2， ∴斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x ＝2. 3．(2016²济宁模拟)直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(2,1)C ．(1，－2)D ．(1,2) 答案 A解析 mx －y ＋2m ＋1＝0，即m (x ＋2)－y ＋1＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，－y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝1，故定点坐标为(－2,1)．4．(2016²金华模拟)已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4 B ．－4≤k ≤34 C.34≤k ≤4 D ．－34≤k ≤4 答案 A解析 如图所示，∵k PN ＝1－ －2 1－ －3 ＝34， k PM ＝1－ －3 1－2＝－4.∴要使直线l 与线段MN 相交，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ，由已知得k ≥34或k ≤－4. 5．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0答案 A解析 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b <0且－c b>0，故ab >0，bc <0.6.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则 ( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.7．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是 ． 答案 3解析 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，∵动点P (x ，y )在直线AB 上，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y ) ＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3. 8．(2016²潍坊模拟)直线l 过点(－2,2)且与x 轴，y 轴分别交于点(a,0)，(0，b )，若|a |＝|b |，则直线l 的方程为 ．答案 x ＋y ＝0或x －y ＋4＝0解析 若a ＝b ＝0，则直线l 过点(0,0)与(－2,2)，直线l 的斜率k ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.若a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋2b＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝4，此时，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.9．(2016²奉化模拟)直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是 ．答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞) 解析 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合题意．当a ≠－1时，直线l 的斜率k ＝－a a ＋1， 由题意知－a a ＋1>1或－aa ＋1<0， 解得－1<a <－12或a <－1或a >0. 综上知，a <－12或a >0. 10．(2016²山师大附中模拟)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在mx ＋ny－1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n的最小值为 ． 答案 4解析 ∵函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)．∴把A (1,1)代入直线方程得m ＋n ＝1(mn >0)．∴1m ＋1n ＝(1m ＋1n )²(m ＋n )＝2＋n m ＋m n≥4 (当且仅当m ＝n ＝12时取等号)， ∴1m ＋1n的最小值为4. 11．(2016²太原模拟)已知两点A (－1,2)，B (m,3)．(1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈[－33－1，3－1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解 (1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． 即x －(m ＋1)y ＋2m ＋3＝0.(2)①当m ＝－1时，α＝π2； ②当m ≠－1时，m ＋1∈[－33，0)∪(0，3]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪[33，＋∞)， ∴α∈[π6，π2)∪(π2，2π3]． 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈[π6，2π3]． 12．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时直线l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图所示．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP ＝2.由直线方程的点斜式，得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5. (3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．*13.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12²m －3n2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。
(浙江专用)高考数学一轮复习 第九章 直线和圆的方程 9.3 点、线、圆的位置关系课件.pptx
当直线AB的斜率存在时,由抛物线与圆的对称性知,kAB>0和kAB<0时各有一条满足题意的直线l.
设圆的圆心为C(5,0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x0= x1 ,yx02= , y1 y2
2
2
∴kAB= y2 =y1
x2 x1
=y2 y.1
y22 y12
2 y0
44
∵kCM= y0,且kABkCM=-1,∴x0=3.
x0 5
∴r2=(3-5)2+ y02>4(∵y0≠0),即r>2.
另一方面,由AB的中点为M知B(6-x1,2y0-y1),
∵点B,A在抛物线上,∴(2y0-y1)2=4(6-x1),①
y12=4x1,② 由①②得 y12-2y0y1+2 y02-12=0, ∵Δ=4 y02-4(2 y02-12)>0,∴ y0<2 12. ∴r2=(3-5)2+ y02=4+ y02<16,∴r<4. 综上,r∈(2,4),故选D.
35
B3.- 或2 -
23
5C.- 4 或-
45
4 D.3- 或-
Байду номын сангаас34
答案 D 由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即
kx-y-2k-3=0.
∵反射光线所在直线与圆相切,∴ | 3=k 1,2解得2kk=3- | 或k=- . 4
3
k2 1
3
4
评析 本题主要考查直线和圆的位置关系.
答案 C 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直 线l过点C,所以2+a×1-1=0,得a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|= |=AC=|26.故22 40 4 选C.