北京市丰台区2007-2008学年度高三年级第一学期期末考试(数学文)
北京四中2007—2008年高三年级第一学期期中测试数学文科
北京四中2007—2008年高三年级第一学期期中测试数学文科试卷满分150分，考试时间为120分钟 一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合====N M N M N x M 则若},1{},2,1{},,0{A ．{0,x,1,2}B ．{1,2,0,1}C ．{0,1,2}D ．无法确定2．方程1cos 2=x 的解集为 A ．},32|{Z k k x x ∈+=ππ B ．},352|{Z k k x x ∈+=ππC ．},32|{Z k k x x ∈±=ππD ．},3)1(|{Z k k x x k∈-+=ππ3．函数]2,1[3--=在x x y 的最小值为A ．2B ．0C ．－4D ．－24．若等比数列的公比为2，但前4项和为1，则这个等比数列的前8项和等于A ．21B ．19C ．17D ．155．下列四个函数中，同时具有性质：①最小正周期为2π；②图象关于直线3π=x 对称的一个函数是 A ．)6sin(π-=x y B ．)6sin(π+=x yC ．)3sin(π+=x yD ．)32sin(π-=x y6．等差数列}{n a 中，a 3、a 8是方程0532=--x x 的两个根，则S 10是A ．15B ．25C ．30D ．507．函数)(x f 的定义域为R ，)2()2(x f x f -=+，xx f x )21()(,21=≤≤-时又，则有A ．1(1)(4)2f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭B ．1(4)(1)2f f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭C ．)4(21)1(f f f <⎪⎭⎫⎝⎛-<D ．⎪⎭⎫⎝⎛-<<21)4()1(f f f 8．命题p ：函数)10)(2(log ≠>+=a a a ax y a 且的图象必过定点（－1，1）；命题q ：如果函数)(x f y =的图象关于（3，0）对称，那么函数)3(-=x f y 的图象关于原点对称，则有 A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真二、填空题（每小题5分共30分）9．函数x y 2cos 3=的最小正周期为 . 10．曲线在153123=+-=x x x y 在处的切线的倾斜角为 . 11．已知数列}{n a 的前n 项和,92n n S n -=则其通项=n a ；若它的第k 项满足85<<k a ，则k = .12．函数)(x f y =在定义域（0,∞-）内存在反函数，若,2)1(2x x x f -=-)3(f 则= ， 则=-)3(1f.13．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5……的第100项是 . 14．给出下列命题：①函数)10(≠>=a a a y x且与函数)10(log ≠>=a a a y x a 且 的定义域相同； ②函数xy x y 33==与函数值域相同； ③使函数),2(21+∞-++=在区间x ax y 上为增函数的a 的范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21， 其中错误命题的序号为 .三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题13分）已知：a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对. （1）若△ABC 面积为,60,2,23︒==A c 求a 、b 的值； （2）若,cos cos B b A a =试判断△ABC 的形状，证明你的结论.已知：)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，,1)(2--=x x x f （1）求函数)(x f 在R 上的解析式； （2）解不等式.1)(<x f17．（本小题13分）已知：函数).(2sin 3cos 2)(2R a a x x x f ∈++= （1）若,x R ∈求()f x 的单调递增区间； （2）若]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值为4，求a 的值，并指出这时x 的值.18．（本小题满分13分）已知：13)(223-=+++=x a bx ax x x f 在时有极值0.求： （1）常数a 、b 的值； （2）)(x f 的单调区间.已知：数列}{n a 满足+-∈=++++N a na a a a n n ,333313221 . （1）求数列}{n a 的通项； （2）设,nn a nb =求数列}{n b 的前n 项和S n .20．（本小题14分）已知：函数),,(1)(2R c b a cbx ax x f ∈++=是奇函数，又3)2(,2)1(==f f . （1）求：a 、b 、c 的值；（2）当,),0(时+∞∈x 讨论函数)(x f 的单调性，并写出证明过程.数学文参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）1．C 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．D 8．B 二、填空题（每小题5分共30分） 9．π 10．43π11． 102-n 8 12．8 －2 13．14 14．②③ 三、解答题 15．（1）由已知得,60sin sin 2123︒==b A bc ,1=∴b 由余弦定理,3cos 2222=-++A b c b a3=∴a .……………………5分（2）由正弦定理得：,sin 2,sin 2b B R a A R ==,cos sin 2cos sin 2B B R A A R =∴即,2cos 2sin B A =由已知A 、B 为三角形内角，∴A+B=90°或A=B ，∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形.……………………12分16．（1）⎪⎩⎪⎨⎧<+--=>--)0(1)0(0)0(1)(22x x x x x x x x f ；（2）)2,0[)1,(Y --∞ 17．（1）.1)62sin(212cos 2sin 3)(a x a x x x f +++=+++=π解不等式.226222πππππ+≤+≤-k x k得),(63Z k k x k ∈+≤≤-ππππ)(x f ∴的单调区间为).](6,3[Z k k k ∈+-ππππ（2）],2,0[π∈x .67626πππ≤+≤∴x∴当.3)(,6262max a x f x x +===+时即πππ,43=+a 1=∴a ，此时6π=x .18．（1）,63)(2b ax x x f ++=' 由题知：2360(1)0(1)0130a b f f a b a -+='-=⎧⎧⇒⎨⎨-=-+-+=⎩⎩联立上式有：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==9231b a b a 或……………………4分 当a=1,b=3时，0)1(3963)(22≥+=++='x x x x f 这说明此时)(x f 为增函数，无极值，舍去………………6分 当)1)(3(39123)(,9,22++=++='==x x x x x f b a 时 故方程130)(-=-=='x x x f 或有根由表可见，当1-=x 时，)(x f 有极小值0，故⎩⎨⎧==92b a 符合题意………………9分 （2）由上表可知：)(x f 的减函数区间为（－3，－1）)(x f 的增函数区间为（－∞，－3）或（－，+∞）………………12分19．（1）,333313221n a a a a n n =++++- ),2(31333123221≥-=++++--n n a a a a n n),2(3131331≥=--=-n n n a n n )2(31≥=n a nn验证n=1时也满足上式：*)(31N n a nn ∈= （2）n n n b 3⋅=n n n S 333323132⋅+⋅+⋅+⋅= 143233332313+⋅+⋅+⋅+⋅=n n n S 12311332333333,13n nn n n S n n +++--=+++-⋅=-⋅-.433413211+⋅-⋅=++n n n n S 20．（1） )(x f 为奇函数，)()(x f x f -=-∴，即,1122cbx ax c bx ax --+=+-+ 比较分母的系数，得c=0，又f （1）=2，f （2）=3.得.23,2.3214,21==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+b a ba ba 解得0,23,2===∴cb a 为所求. （2）.22)0(24,3243243242312)(222=>==≥+=+=x x x x x x x x x x f 得由 21211212122212321)4(324324)()(x x x x x x x x x x x f x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+=-当0,021,0)(,22021211221><⎪⎭⎫ ⎝⎛->-≤<<x x x x x x x x 时 ⎥⎦⎤⎝⎛<∴22,0)(),()(12在x f x f x f 上是减函数.当2122x x <≤时，.0,021,0212112>>->-x x x x x x⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞>∴,22)(),()(12在x f x f x f 上是增函数.。
北京市丰台区2023-2024学年高三上学期期末练习数学试卷含答案
丰台区2023～2024学年度第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U A B ⋃=ð（）A.{3,2}-- B.{3,2,1,2}--C.{3,2,1,0,1}--- D.{3,2,1,0,2}---【答案】A【解析】【分析】由补集和并集的定义求解即可.【详解】因为{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，U ð(){}3,2A B ⋃=--.故选：A .2.若(1i)1i z -=+，则||z =（）A.iB.1C. D.2【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可.【详解】因为(1i)1i z -=+，所以()()()()1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z +++====-+-，所以i 1z z =-=，，故选：B ．3.在6(2)x y -的展开式中，42x y 的系数为（）A.120- B.120C.60- D.60【答案】D【解析】【分析】求出6(2)x y -的通项，令2r =即可得出答案.【详解】6(2)x y -的通项为：()()66166C 2C 2r rr r r r r r T x y x y --+=-=-，令2r =可得：42x y 的系数为()226C 215460-=⨯=.故选：D .4.在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积129,,,a a a L （单位：L ）依次成等差数列，若1233a a a ++=，80.4a =，则129a a a +++= （）A.5.4B.6.3C.7.2D.13.5【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质及求和公式求解.【详解】∵129,,,a a a L 依次成等差数列，1233a a a ++=，∴233a =，即21a =，又80.4a =，则()()()81912299910.49 6.3222a a a a a a a +⨯+⨯+⨯+++==== .故选：B.5.已知直线y kx =与圆221x y +=相切，则k =（）A.1± B.C. D.2±【答案】B【解析】【分析】根据题意可得圆心(0,0)O 到0-=kx y 的距离等于半径1，即可解得k 的值．【详解】直线y kx =+即0-=kx y ，由已知直线y kx =+与圆221x y +=相切可得，圆221x y +=的圆心(0,0)O 到0kx y -=的距离等于半径1，1=，解得k =，故选：B ．6.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式π()tan 4f x x >的解集是（）A.{|20}x x -<< B.{|01}x x <<C.{|21}x x -<< D.{|12}x x -<<【答案】C【解析】【分析】利用正切型函数的图象与性质结合分段函数性质即可得到解集.【详解】设()πtan4h x x =，令π242k x k ππππ-<<+，且k ∈Z ，解得4242k x k -<<+，k ∈Z ，令0k =，则22x -<<，则()h x 在()2,2-上单调递增，()00h =1,1BC AC k k =-=，则2,02()2,20x x f x x x -+≤<⎧=⎨+-<<⎩，则当20x -<≤时，()0h x ≤，()0f x >，则满足()()f x h x >，即π()tan 4f x x >，当02x <<时，()11f =，且()f x 单调递减，()11h =，且()h x 单调递增，则()0,1x ∈时，()()f x h x >，即π()tan4f x x >；()1,2x ∈时，()()f x h x <，即()πtan 4f x x <；综上所述：π()tan4f x x >的解集为()2,1-，故选；C.7.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC 折起，使得二面角A BC D --为直二面角，得图2所示四面体ABCD ．小明对四面体ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD ⊥平面ABC ；②AB ⊥平面ACD ；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面ABD ⊥平面BCD ．其中判断正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，因为二面角A BC D --为直二面角，可得平面ABC ⊥平面BCD ，又因为平面ABC ⋂平面BCD BC =，DC BC ⊥，且DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABC ，所以①正确；对于②中，由DC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ，可得AB CD ⊥，又因为AB AC ⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以②正确；对于③中，由AB ⊥平面ACD ，且AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD ，所以③正确；对于④，中，因为DC ⊥平面ABC ，且DC ⊂平面BCD ，可得平面ABC ⊥平面BCD ，若平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面ABC AB =，可得AB ⊥平面BCD ，又因为BC ⊂平面BCD ，所以AB BC ⊥，因为AB 与BC 不垂直，所以矛盾，所以平面ABD 和平面BCD 不垂直，所以D 错误.8.已知,a b 是两个不共线的单位向量，向量c a b λμ=+r r r （,λμ∈R ）．“0λ>，且0μ>”是“()0c a b ⋅+> ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.【详解】当0λ>，且0μ>时，()()()()()22cos ,c a b a b a b a a b b a b λμλλμμλμλμ⋅+=+⋅+=++⋅+=+++ ()0λμλμ>+-+=，充分性满足；当()0c a b ⋅+> 时，()()cos ,c a b a b λμλμ⋅+=+++ ，当0λ>，0μ=时，()cos ,c a b a b λλ⋅+=+ 是可以大于零的，即当()0c a b ⋅+> 时，可能有0λ>，0μ=，必要性不满足，故“0λ>，且0μ>”是“()0c a b ⋅+>”的充分而不必要条件.故选：A .9.在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为（）A.18B.19C.31D.37【答案】B【分析】设吉祥物宸宸记为a ，莲莲记为b ，将这八张纪念卡分为四组，共有3种分法，再分给四个人，分别求解即可.【详解】设吉祥物宸宸记为a ，莲莲记为b①每人得到一张a ，一张b ，共有1种分法；②将这八张纪念卡分为()()()(),,,,,,,a a a a b b b b 四组，再分给四个人，则有2242C C 6=种分法③将这八张纪念卡分为()()()(),,,,,,,a b a a a b b b 四组，再分给四个人，则有2142C C 12=种分法共有：161219++=种.故选：B .10.已知函数2()||2||f x x a x =++，当[2,2]x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()M a ，则()M a 的最小值为（）A.3.5B.4C.4.5D.5【答案】C【解析】【分析】先利用函数的奇偶性，转化为求()f x 在[]0,2上的最大值；再根据a 的取值范围的不同，讨论函数()f x 在[]0,2上的单调性，求函数()f x 的最大值.【详解】易判断函数()f x 为偶函数，根据偶函数的性质，问题转化为求函数()22f x x a x =++，[]0,2x ∈上的最大值()M a .当0a ≥时，()22f x x x a =++，二次函数的对称轴为1x =-，函数在[]0,2上单调递增，所以()()288M a f a ==+≥；当10a -≤<时，()222,022x x a x f x x x ax ⎧-+-≤≤⎪=⎨++≤⎪⎩，1≤，所以()f x在⎡⎣上递增，在2⎤⎦上也是递增，所以()()287M a f a ==+≥；当41a -<<-时，()222,022x x a x f x x x ax ⎧-+-≤≤⎪=⎨++≤⎪⎩，因为12<<，所以()f x 在[]0,1上递增，在(上递减，在2⎤⎦上递增，所以()()11M a f a ==-或()()28M a f a ==+，若18a a -≥+⇒742a -≤≤-，则()()9112M a f a ==-≥；若18a a -<+⇒712a -<<-，则()()9282M a f a ==+>;当4a ≤-时，()22f x x x a =-+-，[]0,2x ∈2≥），所以函数()f x 在[]0,1上递增，在(]1,2上递减，所以()()115M a f a ==-≥.综上可知：()M a 的最小值为92.故选：C【点睛】关键点点睛：问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题，然后讨论函数在给定区间上的单调性，从而求最大值.认真分析函数的单调性是关键.第二部分非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.双曲线2214x y -=的渐近线方程________．【答案】12y x =±【解析】【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线2214x y -=的a=2，b=1，焦点在x 轴上而双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y=±b x a ∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为y=±12x故答案为y=±12x 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想12.已知()44x x f x -=-，则11(()22f f -+=___．【答案】0【解析】【分析】由解析式直接代入求解即可.【详解】因为1122113()442222f -=-=-=，1122113()442222f --=-=-=-，所以11((022f f -+=.故答案为：0.13.矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，且,E F 分为,BC CD 的中点，则AE EF ⋅= ___．【答案】74-##-1.75【解析】【分析】以A 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，求出,AE EF ，由数量积的坐标表示求解即可.【详解】以A 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，()()()()()10,0,2,0,2,1,0,1,2,,1,12A B C D E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以112,,1,22AE EF ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11172122244AE EF ⋅=⨯-+⨯=-+=- .故答案为：74-.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角(0π)αα<<的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ．若记点M 到直线OP 的距离为()f α，则()f α的极大值点为___，最大值为___．【答案】①.π4或3π4②.12##0.5【解析】【分析】根据三角函数的概念得(cos ,sin )P αα及,,OP OM MP ，利用面积法求得()f α，根据α的范围及三角函数的性质讨论()f α的单调性，进而求得答案.【详解】由题意(cos ,sin )P αα，1,cos ,sin OP OM MP αα===，由()1122OP f OM MP α⋅=⋅，得()1πsin 2,0122cos sin sin cos sin 21π2sin 2,π22f αααααααααα⎧<<⎪⎪=⋅===⎨⎪-<<⎪⎩，∴当π04α<<时，()f α单调递增；当ππ42α<<时，()f α单调递减；当π3π24α<<时，()f α单调递增；当3ππ4α<<时，()f α单调递减，则()f α的极大值点为π4或3π4，∵0πα<<，022πα<<，∴当sin 21α=±，即π4α=或3π4α=时，()f α取最大值为12．故答案为：π4或3π4；12.15.在平面直角坐标系内，动点M 与定点(0,1)F 的距离和M 到定直线:3l y =的距离的和为4．记动点M 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论：①曲线W 过原点；②曲线W 是轴对称图形，也是中心对称图形；③曲线W 恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）；④曲线W 围成区域的面积大于则所有正确结论的序号是___．【答案】①③④【解析】【分析】根据题目整理方程，分段整理函数，画出图象，可得答案.【详解】设(),M x y ，则MF =，M 到直线l 的距离3d y =-，34y +-=，222(1)(43)x y y +-=--，22221168369x y y y y y +-+=--+-+，224483x y y =---，当3y ≥时，2214812412x y y x =-=-+，，则2214312,12x x x -+≥≤-≤≤，当3y <时，22144x y y x ==，，则2134x <，212x <，x -<<可作图如下：由图可知：曲线W 过原点，且是轴对称图形，但不是中心对称图形，故①正确，②错误；曲线W 经过()()()()0,02,10,42,1O A C E -，，，4个点，没有其它整点，故③正确；由()B ，()D -，()0,3F ，四边形AFEO 的面积113462S =⨯⨯=，122ABF EFD S S ==⨯= ，112BCD S =⨯⨯= ，多边形ABCDEO 的面积626S =+⨯=+曲线W 围成区域的面积大于，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在△ABC 中，a =，2π3A =．（1）求C 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出AC 边上的中线的长度．条件①：2a b =；条件②：△ABC 的周长为4+ABC 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π6（2【解析】【分析】（1）由正弦定理可解得；（2）条件②由余弦定理可得；条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得.【小问1详解】在ABC 中，因为sin sin a cA C=，又a =，所以sin A C =．因为2π3A =，所以1sin 2C =．因为π03C <<，所以π6C =．【小问2详解】选择条件②：因为ABC 中，2π3A =，π6C =，πA B C ++=，所以π6B =，即ABC 为等腰三角形，其中b c =．因为a =，所以24a b c b ++=+=+．所以2b =．设点D 为线段AC 的中点，在ABD △中，1AD =．因为ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22221221cos73π=+-⨯⨯⨯=，所以7BD =AC 7．选择条件③：因为ABC 中，2π3A =，π6C =，πA B C ++=，所以π6B =，即ABC 为等腰三角形，其中b c =．因为ABC 的面积为312πsin 323ABC S bc ∆==，所以2b c ==．设点D 为线段AC 的中点，在ABD △中，1AD =．因为ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22221221cos73π=+-⨯⨯⨯=，所以7BD =AC 7．由题可知3a b =，故①不合题意.17.如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AD PA =，点E 为PA 中点．（1）求证：AD //平面BCE ；（2）点Q 为棱BC 上一点，直线PQ 与平面BCE 所成角的正弦值为515，求BQ BC 的值．【答案】（1）证明见解析（2）12BQ BC =【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得Q 的坐标，即可得解.【小问1详解】因为正方形ABCD 中，//BC AD ．因为BC ⊂平面BCE ，AD ⊄平面BCE ，所以//AD 平面BCE ．【小问2详解】因为PA ⊥底面ABCD ，正方形ABCD 中AB AD ⊥，分别以,,AB AD AP的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图不妨设2PA =，因为AD PA =，点E 为PA 的中点，点Q 为棱BC 上一点，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,1)E ，(0,0,2)P ，(2,,0)Q m (02)m ≤≤．所以(0,2,0)BC = ，(2,0,1)BE =- ，(2,,2)PQ m =-．设(,,)n x y z =为平面BCE 的法向量，则BCn ⊥ ，BE n ⊥．所以2020BC n y BE n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得102x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,0,2)n = ．设直线PQ 与平面BCE 所成角为θ，则sin cos ,15PQ n PQ n PQ n θ⋅==== ，解得21m =，因为02m ≤≤，所以1m =，所以12BQ BC =．18.2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值a ，将该指标小于a 的人判定为阳性，大于或等于a 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p a ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q a ．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率．（1）当临界值20a =时，求漏诊率()p a 和误诊率()q a ；（2）从指标在区间[20,25]样本中随机抽取2人，记随机变量X 为未患病者的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记()f a 为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当[20,25]a ∈时，直接写出使得()f a 取最小值时的a 的值．【答案】（1）(20)0.1p =，(20)0.05q =（2）分布列见解析；期望为65（3）20a =【解析】【分析】（1）由频率分布直方图计算可得；（2）利用超几何分布求解；（3）写出()f a 的表达式判单调性求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知(20)0.0250.1p =⨯=，(20)0.0150.05q =⨯=．【小问2详解】样本中患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0252⨯⨯=，未患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0353⨯⨯=，总人数为5人．X 可能的取值为0，1，2．202325C C 1(0)10C P X ===，112325C C 3(1)C 5P X ===，022325C C 3(2)10C P X ===．随机变量X 的分布列为X012P11035310随机变量X 的期望为1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】由题，()()()95%5%f a q a p a =⨯+⨯，[20,25]a ∈时，令()20,0,1,2,3,4,5a t t =+=()()50.010.03,50.020.0255t t q a p a ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()50.010.0395%50.020.025%55t t f a g t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，关于t 的一次函数系数为()50.0319%0.021%0⨯-⨯>，故()g t 单调递增，则0=t 即20a =时()f a 取最小值19.已知函数2()e ()x f x x ax a =--．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先求函数()f x 的导函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，只需保证()01f '=，求实数a 的值即可；（2）求得()0f x '=有两个根“2x =-和x a =”，再分2a <-、2a =-和2a >-三种情况分析函数()f x 的单调性即可.【小问1详解】由题可得2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，因为()f x 在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，所以()01f '=，即e(33)0a -=，解得1a =，经检验1a =符合题意．【小问2详解】因为2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，令()0f x '=，得2x =-或x a =．当2a <-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,)a -∞a(,2)a -2-(2,)-+∞()f 'x +-+()f x 单调递增()f a 单调递减(2)f -单调递增所以()f x 在区间(,)a -∞上单调递增，在区间(,2)a -上单调递减，在区间(2,)-+∞上单调递增．当2a =-时，因为2()e (2)0x f x x '=+≥，当且仅当2x =-时，()0f x '=，所以()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增．当2a >-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,2)-∞-2-(2,)a -a(,)a +∞()f 'x +-+()f x 单调递增(2)f -单调递减()f a 单调递增所以()f x 在区间(,2)-∞-上单调递增，在区间(2,)a -上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增．综上所述，当2a <-时，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞和(2,)-+∞，单调递减区间为(,2)a -；当2a =-时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当2a >-时，()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(,)a +∞，单调递减区间为(2,)a -．20.已知椭圆22:143x y E +=．（1）求椭圆E 的离心率和焦点坐标；（2）设直线1:l y kx m =+与椭圆E 相切于第一象限内的点P ，不过原点O 且平行于1l 的直线2l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，点A 关于原点O 的对称点为C ．记直线OP 的斜率为1k ，直线BC 的斜率为2k ，求12k k 的值．【答案】（1）离心率为12，焦点坐标分别为(1,0)-，(1,0)（2）121k k =【解析】【分析】（1）根据椭圆方程直接求出离心率与焦点坐标；（2）根据直线1l 与椭圆E 相切求出P 坐标并得到134k k=-，法一：设直线2l 的方程为y kx n =+，由韦达定理求出234k k=-证得结论．法二：记1122(,),(,)A x y B x y ，由点差法求2k k ⋅可证得结论．【小问1详解】由题意得2222243a b c a b ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．所以椭圆E 的离心率为12c e a ==，焦点坐标分别为(1,0)-，(1,0)．【小问2详解】由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222()4384120k x kmx m +++-=①其判别式Δ0=得222(8)4(43)(412)0km k m -+-=，化简为2243m k =+．此时方程①可化为2228160m x kmx k ++=，解得4kx m=-，(由条件知,k m 异号)．记00(,)P x y ，则04k x m=-，所以220443()k m k y k m m m m -=-+==，即点43(,)k P m m -．所以OP 的斜率13344m k k k m==--．法一：因为12//l l ，所以可设直线2l 的方程为(0,)y kx n n n m =+≠≠．由22,143y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222(43)84120k x knx n +++-=．当其判别式大于零时，有两个不相等的实根，设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212228412,4343kn n x x x x k k -+=-=++．因为C 是A 关于原点O 的对称点，所以点C 的坐标为11(,)C x y --．所以直线BC 的斜率22121221212122243384443y y kx n kx n n n k k k k k kn x x x x x x k k k +++++===+=+=-=-+++-+．所以121k k =．法二：记1122(,),(,)A x y B x y ，因为点C 与点A 关于原点对称，所以11(,)C x y --．因为12//l l ，所以直线AB 的斜率为k ，所以22212121222212121y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-．因为点,A B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y+=．两式相减得：22222121043x x y y --+=．所以2221222134y yx x-=--，即234k k⋅=-，所以234kk=-．所以121kk=．【点睛】方法点睛：将P视为1l与椭圆相交弦中点，由中点弦定理得212bk ka⋅=-，设AB中点为M，由中点弦定理得22OMbk ka⋅=-，由2OMk k=得222bk ka⋅=-，故12k k=.21.对于数列{}n a，如果存在正整数T，使得对任意*()n n∈N，都有n T na a+=，那么数列{}na就叫做周期数列，T叫做这个数列的周期．若周期数列{}n b，{}n c满足：存在正整数k，对每一个*(,)i i k i∈N≤，都有i ib c=，我们称数列{}n b和{}n c为“同根数列”．（1）判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；①sinπna n=；②121,1,3,2,, 3.nn nnb nb b n--=⎧⎪==⎨⎪-≥⎩（2）若{}n a和{}n b是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：6k≤；（3）若{}n a和{}n b是“同根数列”，且周期的最小值分别是2m+和4m+*()m∈N，求k的最大值．【答案】（1）{}n a、{}n b均是周期数列，数列{}n a周期为1（或任意正整数），数列{}n b周期为6（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由周期数列的定义求解即可；（2）由“同根数列”的定义求解即可；（3）m是奇数时，首先证明25k m+≥不存在数列满足条件，其次证明24k m=+存在数列满足条件.当m 是偶数时，首先证明24k m+≥时不存在数列满足条件,其次证明23k m=+时存在数列满足条件．【小问1详解】{}n a 、{}n b 均是周期数列，理由如下：因为1sin (1)π0sin πn n a n n a +=+===，所以数列{}n a 是周期数列，其周期为1（或任意正整数）．因为32111n n n n n n n b b b b b b b +++++=-=--=-，所以63n n n b b b ++=-=．所以数列{}n b 是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）．【小问2详解】假设6k ≤不成立，则有7k ≥，即对于17i ≤≤，都有i i a b =．因为71a a =，722b b a ==，所以12a a =．又因为63a a =，611b b a ==，所以13a a =．所以123a a a ==，所以1=n n a a +，与1T 的最小值是3矛盾．所以6k ≤．【小问3详解】当m 是奇数时，首先证明25k m +≥不存在数列满足条件．假设25k m +≥，即对于125i m +≤≤，都有i i a b =．因为()54m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24454t t t a b a t m ---==≤≤+，即1352m a a a a +==== ，及2461m a a a a +==== ．又5t m =+时，12(2)12511m m m m a a b b a +++++====，所以1=n n a a +，与1T 的最小值是2m +矛盾．其次证明24k m =+存在数列满足条件．取(2)31,=21(1)212,2(1)2m l im i k k a m i k k +++⎧-≤≤⎪⎪=⎨+⎪=≤≤⎪⎩()l ∈N及()431,=21(1)212,2(1)21,32,4m l i m i k k m i k k b i m i m +++⎧-≤≤⎪⎪+⎪=≤≤=⎨⎪=+⎪⎪=+⎩()l ∈N ，对于124i m +≤≤，都有i i a b =．当m 是偶数时，首先证明24k m +≥时不存在数列满足条件．假设24k m +≥，即对于124i m +≤≤，都有i i a b =．因为()53m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24453t t t a b a t m ---==≤≤+，即1351m a a a a +==== ，及246m a a a a ==== ．又4t m =+时，2m m m a b a +==，所以2=n n a a +，与1T 的最小值是2m +矛盾．其次证明23k m =+时存在数列满足条件．取()221,=21(1)22,2(1)23,2m l i m i k k a m i k k i m +++⎧-≤≤⎪⎪=⎨=≤≤⎪⎪=+⎩()l ∈N 及()421,=21(1)22,2(1)23,21,32,4m l im i k k m i k k b i m i m i m +++⎧-≤≤⎪⎪⎪=≤≤⎪=⎨⎪=+⎪=+⎪⎪=+⎩()l ∈N ，对于123i m +≤≤，都有i i a b =．综上，当m 是奇数时，k 的最大值为24m +；当m 是偶数时，k 的最大值为23m +．【点睛】关键点睛：本题(3)的突破口是利用“同根数列”的定义分类讨论，当m 是奇数时，首先证明25k m +≥不存在数列满足条件，其次证明24k m =+存在数列满足条件.当m 是偶数时，首先证明24k m +≥时不存在数列满足条件，其次证明23k m =+时存在数列满足条件．。
崇文区2007—2008学年度第二学期高三统一练习一(数学文)
北京市崇文区2007—2008学年度第二学期高三统一练习（一）数学试题（文科）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题. 每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果全集U=R ，A=⋂=≤<A B x x 则},4,3{},42|{（ B ） （ ）A ．（2，3）∪（3，4）B ．（2，4）C ．（2，3）∪（3，4]D ．（2，4]2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知,2,32,3===b A A π则c =（ ）A ．4B ．3C ．13+D ．3 3．双曲线1422=-y x 的离心率为（ ）A ．25B ．5C ．25+1D ．21 4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1、C 1D 1的中点，则异面直线AB 1与EF所成的角的大小为 （ ） A ．60° B ．90° C ．45° D ．30°5．已知R b a ∈,，且ab >0，则下列不等式不正确．．．的是（ ）A ．b a b a ->+||B ．||||||b a b a +<+C ．||2b a ab +≤D ．2≥+baa b6．已知|log |)(3x x f =，则下列不等式成立的是 （ ）A ．)2()21(f f > B ．)3()31(f f >C ．)31()41(f f > D ．)3()2(f f >7．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有 （ ） A ．15种 B ．12种 C ．9种 D ．6种 8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中 若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（ ）第II 卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 9．=︒-)600tan( .10．不等式01|1|2<--x 的解集是 .11．若,6*),(1)1(2=+∈++++=+q p N n qx px x x nn且 那么n = . 12．一个球与一个正方体内切，已知这个球的体积是4π3，则这个正方体的体积是 .13．在正项等比数列}{n a 中，a 3a 7=4，则数列{n a 2log }的前9项之和为 .14．定义在R 上的函数⎩⎨⎧≤<-≤<-=-=+)10(1)01(1)(),()1()(x x x f x f x f x f 且满足，则f （3）= .三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）已知向量a =（tan x ，1），b =（sin x ，cos x ），=)(x f a ·b .（I ）求函数)(x f 的解析式及最大值； （II ）若1)4(cos 2,45)(2-+=x x f π求的值.16．（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC =90°，AB =BC =AA 1=2，M 、N 分别是A 1C 1、BC 1的中点.（I ）求证：BC 1⊥平面A 1B 1C ； （II ）求证：MN ∥平面A 1ABB 1； （III ）求多面体M —BC 1B 1的体积. 17．（本小题满分13分） 某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试. 甲工人通过每次测试的概率是43. （I ）求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过的概率； （II ）求甲工人连续3个月参加技能测试恰好通过2次的概率；（III ）工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格. 求甲工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格的概率.18．（本小题满分13分）已知抛物线2:ax y C =，点P （1，－1）在抛物线C 上，过点P 作斜率为k 1、k 2的两条直线，分别交抛物线C 于异于点P 的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且满足k 1+k 2=0. （I ）求抛物线C 的焦点坐标；（II ）若点M 满足BM =，求点M 的轨迹方程. 19．（本小题满分14分）已知数列}{n a ，其前n 项和S n 满足λλ(121+=+n n S S 是大于0的常数），且a 1=1，a 3=4.（I ）求λ的值；（II ）求数列}{n a 的通项公式a n ；（III ）设数列}{n na 的前n 项和为T n ，求T n . 20．（本小题满分14分）已知定义在R 上的函数)3()(2-=ax x x f ，其中a 为常数.（I ）若x =1是函数)(x f 的一个极值点，求a 的值；（II ）若函数)(x f 在区间（－1，0）上是增函数，求a 的取值范围；（III ）若函数]2,0[),()()(∈'+=x x f x f x g ，在x =0处取得最大值，求正数．．a 的取值范围.参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．C 2．A 3．B 4．A 5．B 6．C 7．D 8．A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．3- 10．)23,21( 11．3 12．324 13．9 14．－1 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分12分） 解：（I ）∵a =（tan x ，1），b =（sin x ，cos x ），=∴)(x f a ·b =.cos 1cos sin tan xx x x =+⋅……………………4分 （II ）,53sin ,54cos ,45cos 1,45)(±===∴=x x x x f 则 ………………8分.2524cos sin 22sin )22cos(1)4(cos 22±=-=-=+=-+∴x x x x x ππ……12分16．（本小题满分14分）解：（I ）∵直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，∴B 1B ⊥面A 1B 1C 1.………………1分 ∴B1B ⊥A 1B 1. 又∵A 1B 1⊥B 1C 1，∴A 1B 1⊥面BCC 1B 1. ∴A 1B 1⊥BC 1， 连结B 1C ，∵矩形BCC 1B 1中，BB 1=CB =2， ∴BC 1⊥B 1C ，∴B 1C ⊥平面A 1B 1C .………5分（II ）连结A 1B ，由M 、N 分别为A 1C 1、BC 1的中点可得，MN ∥A 1B 又∵A 1B 1⊂平面A 1ABB 1，MN ⊄平面A 1ABB 1， ∴MN ∥平面A 1ABB 1.……………………10分（III ）取C 1B 1中点H ，连结MH 、MB 1、MB ，又∵M 是A 1C 1中点，∴MH ∥A 1B 1，又∵A 1B 1⊥平面BBC 1B 1，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴三棱锥M —BC 1B 1以MH 为高，△BC 1B 1为底面，三棱锥M —BC 1B 1的体积.321421313111=⨯⨯⨯=⋅⋅=∆MH S V B BC ……14分 17．（本小题满分13分）解：（I ）记“甲工人连续3个月参加技能测试，至少有1次未通过”为事件A 1，,6437)43(1)(1)(311=-=-=A P A P ………………5分（II ）记“连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次”为事件A 2，则,6427)431()43()(2232=-⋅⋅=C A P …………………………10分 （III ）记“甲工人恰好测试4次后，被撤销上岗资格”为事件A 3，.643)41(4341)41()43()(2223=⋅⋅+⋅=A P ……………………………………13分18．（本小题满分13分） 解：（I ）将P （1，－1）代入抛物线C 的方程2ax y =得a =－1， ∴抛物线C 的方程为2x y -=，即.2y x -=焦点坐标为F （0，－41）.……………………………………4分 （II ）设直线P A 的方程为)1(11-=+x k y ，联立方程⎩⎨⎧-=-=+.),1(121x y x k y 消去y 得,01112=--+k x k x 则.1,111111--=--=⋅k x k x 即……………………8分同理直线PB 的方程为),1(12-=+x k y联立方程⎩⎨⎧-=-=+.),1(122x y x k y 消去y 得,01222=--+k x k x则.1,112222--=--=⋅k x k x 即…………………………11分设点M 的坐标为（x ，y ），由.2,21x x x +==则.2)(22112121k k k k x +--=----=又.1,021-=∴=+x k k …………………………………………13分19．（本小题满分14分）（I ）解：由121+=+n n S S λ得 12412,121212223112++=+=+=+=+=λλλλλλS S a S S ，.1,0,4,432233=∴>==-=∴λλλa S S a …………………………5分（II ）由)1(211211+=++=++n n n n S S S S 整理得，∴数列{1+n S }是以S 1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，),2(2,12,221111≥=-=∴-=∴⋅=+∴---n S S a S S n n n n n n n n当n=1时a 1=1满足.2,211--=∴=n n n n a a ……………………10分（III ）,22)1(23222112210--⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n T ① n n n n n n n T 22)1(2)2(22212122⋅+⋅-+⋅-++⋅+⋅=-- ，②①－②得n n n n n T 222221122⋅-+++++=--- ，则122+-⋅=nn n n T .…………………………………………14分20．（本小题满分14分） 解：（I ）).2(363)(,3)(223-=-='-=ax x x ax x f x ax x f)(1x f x 是= 的一个极值点，2,0)1(=∴='∴a f ；………………3分（II ）①当a =0时，23)(x x f -=在区间（－1，0）上是增函数，0=∴a 符合题意； ②当ax x x f a x ax x f a 2,0:0)(),2(3)(,021==='-='≠得令时； 当a >0时，对任意0,0)(),0,1(>∴>'-∈a x f x 符合题意； 当a <0时，当02,12,0)()0,2(<≤-∴-≤∴>'∈a ax f a x 时符合题意；综上所述，.2-≥a ………………………………………………8分（III ）].2,0[,6)33()(,023∈--+=>x x x a ax x g a ],2)1(2[36)33(23)(22--+=--+='x a ax x a ax x g ………………10分令.044(*),02)1(2,0)(22>+=∆=--+='a x a ax x g 显然有即设方程（*）的两个根为(*),,21由x x 式得0221<-=ax x ，不妨设210x x <<. 当202<<x 时，)(2x g 为极小值，所以)(x g 在[0，2]上的最大值只能为)0(g 或)2(g ；当22≥x 时，由于)(x g 在[0，2]上是单调递减函数，所以最大值为)0(g ，所以在[0，2]上的最大值只能为)0(g 或)2(g ，又已知)(x g 在x =0处取得最大值，所以),2()0(g g ≥……………………12分 即].56,0(,0,56,24200∈>≤-≥a a a a 所以又因为解得………………14分。
北京市海淀区2007届高三上学期期末考试数学(文)试题(WORD精校版)
北京市海淀区2007年高三年级第一学期期末练习数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1． =︒600tan（ ）A ．3-B ．3C ．33 D ．33-2．椭圆13422=+y x 的准线方程是（ ）A ．x =4B ．41±=x C ．x =±4 D ．41=x 3．已知=-=αα2cos ,53cos 则（ ）A ．257 B ．257-C ．2524 D ．2524-设集合 4．若直线0164202)1(=++=-+++y mx m y m x 与直线平行，则实数m 的值等于（ ）A ．1B ．－2C ．1或－2D ．－1或－25．已知三条不同直线m 、n 、l ，两个不同平面βα,，有下列命题，其中正确的命题是（ ） A ．βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n mB ．ααα⊥⇒⊥⊥⊂⊂l n l m l n m ,,,C ．αββαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥n m n n m ,,,D ．αα//,//m n n m ⇒⊂6．设a 、b 是两个非零向量，则“222||||)(b a b a +=+”是“b a ⊥”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知函数),20,0)(sin(πϕωϕω≤<>+=x y 且此函数的图象如图所示，则点P （),ϕω的坐标是（ ）A ．)2,2(πB ．)4,2(πC ．)2,4(πD ．)4,4(π8．设A 、B 、C 、D 是半径为r 的球面上的四点，且满足AB ⊥AC 、AD ⊥AC 、AB ⊥AD ，则ACD ABD ABC S S S ∆∆∆++ 的最大值是（ ）A ．r 2B ．2 r 2C ．3 r 2D ．4 r 2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．已知双曲线1422=-x y ，则其渐近线方程是 ，离心率e= .10．已知向量,//),1,(),2,13(b a k b k a 且=+=则实数k = .11．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BD 1与平面ABCD 所成角的正切值是 .12．设实数x 、y 满足y x z y x y x x 2,030223-=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥--≤则的最小值为 .13．三棱锥P —ABC 中，PA=PB=PC=2，AB ⊥BC ，AB=1，BC=3，则点P 到平面ABC的距离为 .14．动点P 在平面区域|)||(|2:221y x y x C +≤+内，动点Q 在曲线1)4()4(:222=-+-y x C 上，则平面区域C 1的面积为 ，|PQ|的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．本小题共13分）在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，且.si n si n si n 2c o s c o s BCA B C -= （Ⅰ）求∠B 的大小； （Ⅱ）若,4,7=+=c a b 求三角形ABC 的面积.16．（本小题共13分）已知圆C 的方程为：.422=+y x（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 交于A 、B 两点，若,32||=AB 求直线l 的方程；（Ⅱ）圆C 上一动点M （),0(),,000y y x =若向量OM +=，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.17．（本小题共13分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，,6,3,1,901===︒=∠AA CA CB ACB M 为侧棱CC 1上一点，AM ⊥A 1C（Ⅰ）求异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：AM ⊥平面A 1BC ；（Ⅲ）求二面角M —AB —C 的正切值.已知向量)sin ,(sin ),cos ,(sin ),sin ,0(),cos ,cos 3x x d x x c x b x x a ====（Ⅰ）当4π=x 时，求向量a 、b 的夹角；（Ⅱ）当]2,0[π∈x 时，求c ²d 的最大值；（Ⅲ）设函数)(),()()(x f d c b a x f 将函数+⋅-=的图象按向量m 平移得到函数g （x ）的图象，且||,12sin 2)(m x x g 求+=的最小值.19．（本小题共14分）已知函数,,,31)(23R c b cx bx x x f ∈++=且函数f （x ）在区间（－1，1）上单调递增，在区间（1，3）上单调递减. （Ⅰ）若b =－2，求c 的值； （Ⅱ）求证：c ≥3；（Ⅲ）设函数)(]3,1[),()('x g x x f x g 时，当-∈=的最小值是－1，求b 、c 的值.如图，设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且A 、B 两点坐标为（P y y y x y x ,0,0),,(),,212211<>是此抛物线的准线上的一点，O 是坐标原点.（Ⅰ）求证：221p y y -=；（Ⅱ）直线PA 、PF 、PB 的方向向量为（1，a ）、（1，b ）、（1，c ），求证：实数a 、b 、c成等差数列； （Ⅲ）若||,,,,0βαθθβα-==∠=∠=∠=⋅求证：PFO BPF APF PB PA .参考答案二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分第二空2分，共30分）9．x y 21±=（缺一扣1分）， 25 10．－1 11．2212．－5 13．3 14．122,48-+π 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共12分）解：（Ⅰ）由已知得sin B cos C = 2sin A cos B －cos B sin C …………………………………………………1分 ∴2sin A cos B = sin B cos C +cos B sin C = sin(B +C )……………………………………2分 又在三角形ABC 中，sin (B +C ) = sin A ≠0 ∴2sinAcosB = sinA ，即在△ABC 中，cosB=21，………………………………3分 ∵0＜B ＜π∴3π=B ………………………………………………6分（Ⅱ）B ac c a b cos 27222-+== =ac c a -+22①………………………8分 ac c a c a 216)(222++==+ ②由①，②可得3=∴ac …………………………………………………………………………10分 B ac S ABC sin 21=∴∆ 43323321=⨯⨯=∴∆ABC S …………………………………………………13分 16．（共13分）解：（Ⅰ）①直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为x =1，l 与圆的两个交点坐标为（1，3）和（1，－3），这两点的距离为32 满足题意……………………………1分②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为)1(2-=-x k y ，即02=+--k y kx …………………………………………………………2分 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得d =1…………………3分1|2|12++-=∴k k ，43=k ，………………………………………………………4分 故所求直线方程为0543=+-y x ………………………………………………5分 综上所述，所求直线方程为0543=+-y x 或x =1……………………………6分 （Ⅱ）设Q 点的坐标为（x ，y ），M 点坐标是),(00y x ，),,0(0y =,ON OM OQ +=0002,)2,(),(y y x x y x y x ===∴………………………………………………9分4)4(,4222020=+=+y x y x 即116422=+y x ……………………………………………11分∴Q 点的轨迹方程是116422=+y x ………………………12分轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆. ……………13分 17．（共13分）解法一：（Ⅰ）在直棱柱ABC —A 1B 1C 1中， AC//A 1C 1 ∴∠BA 1C 1是异面直线A 1B 与AC 所成的角……………………2分 连接BC 1∴CC 1⊥平面A 1B 1C 1 ∴CC 1⊥A 1C 1又∠A 1C 1B 1=∠ACB=90° 即A 1C 1⊥B 1C 1∴A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ∴BC 1⊂平面BB 1C 1C ∴A 1C 1⊥BC 1在直角三角形BCC 1中，BC=1，CC 1=AA 1=672121=+=∴CC BC BC在直角三角形A 1BC 1中，7,3111==BC C A10212111=+=∴BC C A B A1030cos 11111==∴B A C A C BA ………………………………………………4分 （Ⅱ）由（I ）可知，BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又AM ⊂平面ACC 1A 1，则BC ⊥AM ∵AM ⊥A 1C ，∴AM ⊥平面A 1BC（Ⅲ）在三角形ABC 中，作AB 边上的高CH ，垂足为H ，连接MH ，显然CH 是MH 在平面ABC 上的射影 ∴MH ⊥AB∴∠MHC 是二面角M —AB —C 的平面角 …………………………11分 ∵AM ⊥A 1C∴∠MAC=∠AA 1C ，则 tanMAC=tanAA 1C 即3,6,11===AC AA ACMCAA AC 又 中，，故在直角三角形又MCH CH MC 2326==∴22326tan ===CH MCMHC ………………………………………………13分解法二：（I ）如图，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在 直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则 C （0，0，0）)0,1,0(),6,0,3(),0,0,3(1B A A),6,1,3(1--=∴A)0,0,3(=……………………2分设异面直线A 1B 与AC 所成的角为1θ，则1030303||||cos 111==⋅=CA B A θ ……………………………………4分（Ⅱ）同解法一…………………………………………………………9分 （Ⅲ）设M （0，0，z 1） ∵AM ⊥A 1C 01=⋅∴A即－3+0)26,0,0(,26,0611M z z 所以故==+………………10分 设向量m=（x ，y ，z ）为平面AMB 的法向量，则m m ⊥⊥,，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅030263,00y x z x AB m m 即，令x=1，则平面AMB 的一个法向量为 ),2,3,1(=m显然向量n=（0，0，1）是平面ABC 的一个法向量， 设所求二面角的大小为2θ 则3362||||||cos 2==⋅⋅=n m n m θ 2tan 2=∴θ…………………………………………………………13分18．（共14分）解：（Ⅰ）4π=x)22,0(),22,26(==b a ……………………………………………………………1分 则2122221||||,cos ,21)22,0()22,26(=⋅=⋅>=<=⋅=⋅b a ba b a b a ∴向量a ，b 的夹角为3π………………………………………………………………3分 （Ⅱ）x x x x x x x d c cos sin sin )sin ,(sin )cos ,(sin 2+=⋅=⋅=)42sin(2221)2cos 2(sin 212122sin 22cos 1π-+=-+=+-x x x x x ……5分43424]2,0[ππππ≤-≤-∴∈x x …………………………………………6分 当212·83,242+==-取最大值时，即d c x x πππ…………………………8分 （Ⅲ）)cos sin ,sin 2()sin cos ,cos 3()()()(x x x x x x d c b a x f +⋅-=+⋅-==x x x x x x 2cos 2sin 3sin cos cos sin 3222+=-+=)62sin(2π+x ……………………………………………………10分设m=（s ，t ），则12sin 2)622sin(2]6)(2sin[2)()(+=++-=++-=+-=x t s x t s x t s x f x g ππ)(12,1Z k k s t ∈+==∴ππ易知当k=0时，1144||2min +=πm …………………………………………14分19．（共14分）解：（Ⅰ）由已知可得f ‘（1）=0…………………………………………………………1分又c bx x x f ++=2)(2'f ‘（1）=1+2b+c=0，………………………………………………………………2分将b=－2代入，可得c=3………………………………………………………………3分 （Ⅱ）可知c x c x x f x f c b ++-=+-=)1()()(,212'可得代入‘ 令c x x x f ===21',10)(，则……………………………………………………4分又当－1＜x ＜1时，时，当31,0)('<<≥x x f 0)('≤x f如图所示；易知c ≥3…………………………8分 （Ⅲ）若1≤－b ≤3，则.12)()(22m in -=+-=-=c b b b g x g又1+2b+c=0，得b=－2或b=0（舍），c=3， 若－b ≥3，则)3()(m in g x g = =9+6b+c=－1，又1+2b+c=0 得49-=b （舍） 综上所述，b=－2，c=3…………………………………………14分 20．（共14分）证明：（I ）（1）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为：2px =， 则),,2(),,2(p pB p p A - 221p y y -=∴……………………………………………………1分（2）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 方程为：),2(px k y -=则由 )0(02,2)2(222≠=--⎪⎩⎪⎨⎧=-=k kp py ky px y p x k y 可得 221p y y -=∴……………………………………………………3分（Ⅱ）由已知PB PF PA k c k b k a ===,,， 设)0,2(),,2(p F t p P -p y x p y x p x t y c p tb p x t y a 2,2;2,,22222112211==+-=-=+-=∴且 故222222112222112211)(2)(2222222p y t y p p y t y p p p y t y p p y t y p x t y p x t y c a +-++-=+-++-=+-++-=+ = ))(())(())((222222122122221p y p y p y t y p y t y p +++-++-⋅ b ptp y y p p y y t p p y y p y y tp ty p y y y tp ty p y y y p 22)2()2(2)(22222122222142221222212212221222221221=-=++++-⋅=+++--++--+⋅=∴a 、b 、c 成等差数列……………………………………………………8分 （Ⅲ）解法一：1,0-=⋅⊥∴=⊥c a PB PA PB PA 故由（Ⅱ）可知c b b a b c a -=-=+即,2 ①若AB ⊥x 轴，则︒=︒==0,45θβαβαθ-=∴②若,0>AB k 则c ac b a b a ab ac b a ab b a -==--=+--=+-=1)(1tan α同理可得αβ=tanb ca a c a c -=+-=-+--=⋅+-=-∴2)(1tan tan 1tan tan )tan(βαβαβα即θβαtan |||)tan(|==-b易知∠PFO ，∠BPF ，∠APF 都是锐角||βαθ-=∴③若,0<AB k 类似的也可证明||βαθ-=总上所述，||βαθ-=……………………………………………………14分 解法二：1,0-=⋅⊥∴=⊥c a PB PA 故①如图，若AB ⊥x 轴，则︒=︒==0,45θβαβαθ-=∴②若,0>AB k ∵A 、B 在抛物线上，||||,|||BD BF AC AF ==∴设AB 中点为M ，则2||||AB PM ==2||||2||||BD AC BF AF +=+ 所以PM 是梯形ABDC 的中位线，故P 是CD 中点2)(),(),2,()0,2(,2),2,2(2122121212212121y y x x p y y x x y y p p F y y t y y p P ---=⋅∴--=+-=+=+-∴又β=∠=∠∴∆≅∆∴⊥∴=---=DPB BPF PBF PDB x x p x x p .02)(2)(1212βαθβαβθ-=∴+=︒=+∴,902③若,0<AB k 类似②可证αβθ-=∴||βαθ-=……………………………………………………14分。
07-08年.高三下.丰台.数学.一模.卷答(2008-4,理科)
07-08年.高三下.丰台.数学.一模.卷答（2008-4，理科）一、选择题（共2小题；共10分）1. 已知等差数列a n的前n项和为S n，若a4=18−a5，则S8等于______A. 18B. 36C. 54D. 722. 设集合S=A0,A1,A2,A3,A4,A5，在S上定义运算" ⊕ "为：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被4除的余数，i,j=0,1,2,3,4,5．则满足关系式X⊕X⊕A2=A0的X X∈S的个数为______A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共1小题；共5分）3. 若limx→1x2+ax+3x3+3=2，则a= ______．三、选择题（共6小题；共30分）4. 设集合A=5,log2a+3，集合B=a,b，若A∩B=2，则A∪B等于______A. 1,2,5B. −1,2,5C. 2,5,7D. −7,2,55. 已知直线m,l，平面α,β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β；④若m∥l，则α⊥β．其中正确命题的个数是______A. 1B. 2C. 3D. 46. 若f x=2cos2x+3sin2x+a（a为实常数）在区间0,π2上的最小值为−4，则a的值为______A. 4B. −3C. −4D. −67. 在△ABC中，若BC=a，CA=b，AB=c且a⋅b=b⋅c=c⋅a，则△ABC的形状是______A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形8. 设5x−x n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M−N=240，则展开式中x3的系数为______A. −150B. 150C. −500D. 5009. 由直线y=x+1上的点向圆x−32+y+22=1引切线，则切线长的最小值为______A. B. 3 C. 19 D. 2四、填空题（共5小题；共25分）10. 若函数y=f(x)的图象与函数y=x2x≤0的图象关于直线x−y=0对称，则f(x)=______．11. 已知x,y满足条件x+y+2>0x+2y+1≤0y≥0，则r=x−12+y−22的值域是______．12. 过双曲线M:x2−y2b=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线相交于B、C两点，且 AB = BC ，则双曲线M的离心率为______．13. 函数f x=a sin x+π4+3sin x−π4是偶函数，则a= ______．14. 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，若经过5次跳动质点落在点3,0处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有______种（用数字作答）；若经过m次跳动质点落在点n,0处（允许重复过此点），其中m≥n，且m−n为偶数，则质点不同的运动方法共有______种．答案第一部分1. D2. C第二部分3. 4第三部分4. A5. B6. C7. D8. B9. A第四部分10. −x x≥011. 8,1712. 1013. −3m−n14. 5；C m。
2020.1北京市丰台区高三年级第一学期期末-数学试题
丰台区2019—2020学年度第一学期期末练习高三数学 2020.01 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若集合{|13}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则AB =（A ）{|13}x x -<<（B ）{|11}x x -<<（C ）{|12}x x <<（D ）{|23}x x <<2． 命题“000(0+)ln 1x x x ∃∈∞=-,，”的否定是（A ）000(0+)ln 1x x x ∃∈∞≠-,， （B ）000(0+)ln 1x x x ∃∉∞=-,， （C ）(0+)ln 1x x x ∀∈∞≠-,，（D ）(0+)ln 1x x x ∀∉∞=-,，3． 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）y x =- （B ）21y x =- （C ）cos y x =（D ）12y x =4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(000),,，(001),,，(110),,，(101),,， 则此四面体在xOy 坐标平面上的正投影图形的面积为 （A ）14（B ）12（C ）34（D ）15．已知菱形ABCD 边长为1，=60BAD ∠︒，则=BD CD（A ）12（B ）12-（C （D ）-6．双曲线2241x y -=的离心率为（A （B （C （D7．已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，满足3110S S -=，且124a a a ,,成等比数列，则3a = （A ）2 （B ）6（C ）56或（D ）128. 在261()x x-的展开式中，常数项是（A ）20-（B ） 15-（C ）15（D ）309. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为v （单位：m /s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q . 科学研究发现v 与3log 100Q成正比. 当1m /s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900. 当2m /s v=时，其耗氧量的单位数为 （A ）1800（B ） 2700（C ）7290（D ）810010. 在边长为2的等边三角形ABC 中，点D E ，分别是边AC AB ，上的点，满足DE ‖BC 且AD ACλ=((01))λ∈,，将△ADE 沿直线DE 折到△A DE '的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是（A ）在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足BF ‖平面A CD '（B ）存在1(0)2λ∈,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE（C ）若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，4A B '=（D ）在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ的最大值为9第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 复数11i+的实部为 ．12. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成 种重卦．（用数字作答） 13. 已知a b c ,,分别为△ABC 内角A B C ,,的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则cos A = ．14. 我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：①所有的奇数项满足2121n n a a -+<，所有的偶数项满足222n n a a +<； ②任意相邻的两项21n a -，2n a 满足21n a -<2n a . 根据上面的信息完成下面的问题：（i ）数列123456，，，，， “有趣数列”（填“是”或者“不是”）； （ⅱ）若2(1)nn a n n=+-，则数列{}n a “有趣数列”（填“是”或者“不是”）.15．已知抛物线24C y x =：的焦点为F ，则F 的坐标为 ；过点F 的直线交抛物线C 于A B ,两点，若4AF =，则△AOB 的面积为 ． 16．定义域为R 的函数()f x 同时满足以下两条性质：①存在0x ∈R ,使得0()0f x ≠； ②对于任意x ∈R ，有(1)2()f x f x +=.根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数. （i ）若()f x 是增函数，则()f x = ； （ⅱ）若()f x 不是单调函数，则()f x = .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.（本小题共13分）已知函数2()sin cos f x x x x =.（Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间π[0]2,上的最大值.18.（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，π2BAC ∠=，11AA AB AC ===，1CC 的中点为H .（Ⅰ）求证：1AB A C ⊥； （Ⅱ）求二面角1A BC A --的余弦值；（Ⅲ）在棱11A B 上是否存在点N ，使得HN ‖平面1A BC ？若存在，求出111A N AB 的值；若不存在，请说明理由．19.（本小题共13分）目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境. 我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境. 垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失. 2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类 .生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源. 如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75％，节省造纸能源消耗40％～50％.现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：（Ⅰ）从A ，B ，C ，D ，E 这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；（Ⅱ）从A ，B ，C ，D ，E 这5个小区中任取2个小区，记X 为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X 的分布列及期望．20.（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（异于S ），直线PS ，QS 分别交直线4x =于A ，B 两点. 求证：A ，B 两点的纵坐标之积为定值.21.（本小题共14分）已知函数321(1)()32a f x x x ax +=-+.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0(0))f ,处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）对于任意1x ，2[02]x ∈,，都有122()()3f x f x -≤，求实数a 的取值范围.22.（本小题共13分）已知*2n n ∈≥N ，，给定n n ⨯个整点()x y ,,其中1x y n x y ≤≤∈*N ,,,.（Ⅰ）当2n =时,从上面的22⨯个整点中任取两个不同的整点1122()()x y x y ,,,，求12x x +的所有可能值；（Ⅱ）从上面n n ⨯个整点中任取m 个不同的整点，512n m ≥-.（i ）证明：存在互不相同的四个整点),(),,(),,(),,(22221111y x y x y x y x ''''，满足11y y '=, 2212y y y y '=≠,； （ii ）证明：存在互不相同的四个整点),(),,(),,(),,(22221111y x y x y x y x ''，满足 2211x x x x '+='+,.21y y ≠（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。
北京市丰台区丰台高三上学期期末模拟数学试卷(理科)有答案
北京市丰台区丰台第一高三上学期期末模拟数学试卷（理）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合2{|20},{1,2,3}A x x x B =--≤=，那么A ∩B =(A){1,0,1,2,3}-(B){1,0,3}-(C){1,2,3}(D){1,2}2．已知向量(2,1)a =，(,)b x y =，则：“4x =-且2y =-”是“a b ∥”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件3．高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查，假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是 (A)两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同 (B)两组同学的样本平均数一定相等 (C)两组同学的样本标准差一定相等(D)该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同4．已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，7b =，3c =，6B π=，那么a 等于(A)l(B)2(C)4(D)l 或45．已知函数log ()(01)b y x a b b =->≠且的图象如图所示， 那么函数sin y a bx =+的图象可能是6．11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表，其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有(A)1818A 种 (B)218218A A 种(C)281031810A A A 种(D)2020A 种7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是8．在平面直角坐标系xOy 中，如果菱形OABC 的边长为2，点B 在y 轴上，则菱形内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是 (A){1,3}(B){0,1,3}(C){0,1,3,4}(D){0,1,2,3,4}第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2020北京丰台区高三上学期期末数学(文)试题答案
丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习高三数学（文科）参考答案一、选择题二、填空题：9．20； 10.12； 11. 3； 12． （写给3分）； 13．2； 14．5,16 12n m+ (第一个空2分,第二个空3分)三．解答题15．（本题共13分）设关于x 的函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数(),(04)g x x a x =-≤≤，的值域为集合B.（Ⅰ）求集合A ，B ； （Ⅱ）若集合A ，B 满足AB B =,求实数a 的取值范围.解：（Ⅰ）A=2{|230}x x x -->,={|(3)(1)0}x x x -+>={|1,3}x x x <->或， ….…………………..……4分 B {|4}y a y a =-≤≤-. ..……………………………………………….…...7分（Ⅱ）∵A B B =，∴B A ⊆．..….…………………………………………… 9分∴41a -<-或3a ->，∴实数a 的取值范围是{a |5a >或3a <-}．….………………..…………………..13分16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系中，角α和角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值；（Ⅱ） 若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅的值.解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，3c o s 5α=， 12s i n 13β=，……………………………………………………2分∵α的终边在第一象限，∴4sin 5α=． ……………………………………3分 ∵β的终边在第二象限，∴ 5c o s 13β=- ． ………………………………4分∴sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+=455()13⨯-+351213⨯=1665．………7分（Ⅱ）方法（1）∵∣AB ∣=|AB |=|OB OA -|32=，……………………………9分又∵222||222OB OA OB OA OA OB OA OB -=+-⋅=-⋅， …………11分 ∴9224OA OB -⋅=． ∴18OA OB ⋅=-． ……………………………………………………………13分方法（2）∵222||||||1cos 2||||8OA OB AB AOB OA OB +-∠==-，………………10分 ∴OA OB ⋅=1||||cos 8OA OB AOB ∠=-．…………………………………13分17．（本题共13分）如图三棱柱111C B A ABC —中，⊥1AA 平面ABC ，AB ⊥BC , 点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点. (Ⅰ)求证：MN //平面 BCC 1B 1;(Ⅱ)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1. 解：(Ⅰ)连结BC 1∵点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点，∴MN ∥BC 1．........................................................4分∵11111,?MN BCC B BC BCC B ⊄⊂平面平面， ∴MN ∥平面BCC 1B 1．.................................... ....6分 (Ⅱ)∵1AA ABC ⊥平面， BC ⊂平面ABC ，∴1AA BC ⊥．...................................................................................................... 9分又∵AB ⊥BC ，1AA AB A =，∴11BC A ABB ⊥平面．....................................................................................... 12分 ∵1BC A BC ⊂平面，∴平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1．............................................................................... 13分18．（本题共14分）已知函数2()()(0)xf x ax bx c e a =++>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的极小值为-1，求()f x 的极大值.解：（Ⅰ）22()(2)()[(2)]xxxf x ax b e ax bx c e ax a b x b c e '=++++=++++．…2分令2()(2)g x ax a b x b c =++++， ∵0xe >，∴'()y f x =的零点就是2()(2)g x ax a b x b c =++++的零点，且()f x '与()g x 符号相同． 又∵0a >，∴当3,0x x <->或时，()g x >0,即()0f x '>，当30x -<<时，()g x <0,即()0f x '<， ………………………………………6分 ∴()f x 的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．……7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，x =0是()f x 的极小值点，所以有1,0,93(2)0,c b c a a b b c =-⎧⎪+=⎨⎪-+++=⎩解得1,1,1a b c ===-． ………………………………………………………11分 所以函数的解析式为2()(1)xf x x x e =+-．又由（Ⅰ）知，()f x 的单调增区间是（-∞，-3）,（0，+∞），单调减区间是（-3，0）. 所以，函数()f x 的极大值为335(3)(931)f ee--=--=． ……………….…14分 19．（本题共13分）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M 的坐标是（0,1）,线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴 . 直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当m=54AC =时，求椭圆12,C C 的方程； （Ⅱ）若OC AN ⊥，求m 的值．解：设C 1的方程为2221x y a+=,C 2的方程为2221x y b +=（1,01a b ><<）． …..2分∵C 1 ,C 2的离心率相同，∴22211a b a-=-,∴1ab =，………………………………..……………………3分 ∴C 2的方程为2221a x y +=．当m=2时，A (2a -,C 1(2a ．………………………………….……5分 又∵54AC =, ∴15224a a +=，解得a=2或a=12(舍)， ……………………………...………..6分∴C 1 ,C 2的方程分别为2214x y +=，2241x y +=． …………………………..7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知A(-．……………….……………9分 ∵OC ⊥AN ，0OC AN ⋅=（*）． ……………………………............................................…10分∵OC =），AN =（,-1-m)， 代入（*）并整理得2m 2+m-1=0， ………………………………………………12分∴m=12或m=-1(舍负) ， ∴m=12． ……………………………………………………………………13分20．（本题共14分）已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形. （Ⅰ）求1A 、1B 的坐标； （Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令4,iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11n niii i b c ==<∑∑，若存在，求出N 的最小值;若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）∵∆B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形， ∴直线B 0A 1的方程为y=x ．由220y xy x y =⎧⎪=⎨⎪>⎩得，112x y ==，得A 1（2，2），1(4,0)B ． ….…….…….…......3分（Ⅱ）根据1n n n B A B -∆和11n n n B A B ++∆分别是以n A 和1n A +为直角顶点的等腰直角三角形可 得，11n n nn n n a x y a x y ++=+⎧⎨=-⎩ ，即11n n n n x y x y +++=- ．（*）…….………………………..5分∵n A 和1n A +均在曲线2:2(0)C y x y =≥上，∴22112,2n n n n y x y x ++==，∴2211,22n n n n y y x x ++==，代入（*）式得22112()n n n n y y y y ++-=+，∴12n n y y +-=(*n N ∈)．………………… …………………………..…..….…..7分 ∴数列{}n y 是以12y =为首项，2为公差的等差数列，故其通项公式为2n y n =(*n N ∈) ． …………....…………………………...……..8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，2222nn y x n ==， ….……………………………………………9分 ∴2(1)n n n a x y n n =+=+，……………………..……………………………….…10分 ∴422(1)(1)i b i i i i ==++，12iy i i c -==， ∴12221223(1)ni i b n n ==+++⨯⨯+∑=111112(1)2231n n -+-++-+ =12(1)1n -+，…………….……..11分2111(1)11112211222212nn in ni c=-=+++==--∑． …………………….……12分 欲使11nni i i i b c ==<∑∑，只需12(1)1n -+<112n -， 只需1112n n n -<-+， ………………………………………………….…………13分*110(),012n n n N n -≥∈-<+ ， ∴不存在正整数N ，使n≥N 时，11n niii i b c ==<∑∑成立．…………………….14分。
北京市丰台区2018届高三上学期期末考试数学(文)练习试卷(含答案)
（选择题 共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项． 1．已知集合 A {x Z ( x 2)( x 1) 0} ， B {2, 1} ，那么 A B 等于 (A)
0
(B)
1
(C)
2
(D)
3
第二部分
（非选择题
共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9. 设 i 是虚数单位，则复数 2 =
1 i
．
10. 设双曲线 C：
x2 y 2 1(a 0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，点 P 在双曲线 C 上，如果 a 2 16
第 9 页 共 13 页
……………………4 分
……………………5 分
……………………7 分 ……………………9 分
……………………11 分
……………………13 分 ……………………14 分
20.（本小题共 14 分） 已知函数 f ( x) x3 3ax (a R ) ． (Ⅰ)求曲线 y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 (- 1， 2) 上仅有一个极值点，求实数 a 的取值范围；
第 6 页 共 13 页
(Ⅲ)若 a 1 ，且方程 f ( x) a x 在区间 [ a, 0] 上有两个不相等的实数根，求实数 a 的最小值．
丰台区 2016~2017 学年度第一学期期末练习
高三数学（文科）参考答案及评分参考
北京市丰台区2023年高三上学期期末数学含答案
丰台区2022～2023学年度第一学期期末练习高 三 数 学 2023.01第一部分 （选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知全集U =R ，集合{|10}A x x =−<≤，则UA =（A ）(1)(0+)−∞−∞,,（B ）(1](0+)−∞−∞,,（C ）(1)[0+)−∞−∞,, （D ）(1][0+)−∞−∞,, 2．已知复数i(1i)z =+，则在复平面内，复数z 对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3．在42()x x−的展开式中，常数项为（A ）-24 （B ）24 （C ）-48 （D ）484．已知向量(2)λ=,a ，(1)λ=,b，则“λ=//a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．下列函数是偶函数，且在区间(01),上单调递增的是 （A ）21y x =− （B ）tan y x = （C ）cos y x x = （D ）e e x x y −=+ 6． 已知抛物线2:2C y px =(0)p >过点A (1，焦点为F .若点(0)B m ,满足AF BF =,则m 的值为（A ）2 （B1 （C ）2或1− （D1或1本次练习所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用小题对应选项涂黑用标准黑色字迹签字笔书写要求字体工整、字迹清楚。
超出答题区域书写的答案无效，在练作答时长7．已知函数2()3log 2(1)f x x x =−−，则不等式()0f x >的解集是 （A ）(14),（B ）(1)(4)−∞+∞,,（C ）(01)(4)+∞,,（D ）(04),8．设双曲线2222:1(00)x y C a b a b−=>>,的右焦点为F ，过点F 的直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P ，与双曲线C 交于点Q ，若Q 为线段FP 的中点，则双曲线C 的离心率为（A ）12（B ）2 （C （D ）59．如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，点M 为底面上的动点，M 到 PD 的距离记为d ，若MC =2d ，则点M 在底面正方形内 的轨迹的长度为（A ）2 （B ）23π（C （D ）34π10．市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类产品销售量（或销售额）的比重. 一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态（即顾客的流动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定市场占有率”. 有A ，B ，C 三个企业都生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率分别为：40%，30%，30%.经调查，2022年第二季度 A ，B ，C 三个企业之间的市场占有率转移情况如下图所示：若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场出现稳定的平衡状态，最终达到“稳定市场占有率”时，A 企业该产品的“稳定市场占有率”为（A ）45% （B ）48% （C ）50% （D ）52%第二部分 （非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
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NO.01 第 1 页 共 8 页 北京市丰台区2007—2008学年度第一学期期末练习 高三数学（文科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改法，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合BABA那么},,7,5,3,2{},,6,5,4,3{等于 （ ） A．{2，3，4，5，6，7} B．{3，5} C．{3，4，5，6} D．{2，3，5，7，}
2．函数12xy的反函数是 （ ）
A．)1)(1(log2xxy B．)0(log12xxy C．)(121Rxyx D．)1(121xyx 3．已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0）、（4，0），则双曲线方程为 （ ）
A．110622yx B．161022yx
C．112422yx D．141222yx 4．若平面向量baba与则),5,4(),4,5( （ ） A．平行且同向 B．平行且反向 C．垂直 D．不垂直也不平行
5．26)12(xx的展开式中的系数为 （ ） A．15 B．60 C．120 D．240 6．过坐点原点且与0252422yxyx相切的直线方程为 （ ） NO.01 第 2 页 共 8 页 A．xyxy313或 B．xyxy313或 C．xyxy313或 D．xyxy313或 7．若函数和则如图部分的图象,)()sin()(xxf的取值是 （ ） A．3,1 B．3,1 C．6,21D．6,21 8．把数列}12{n依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，„„，循环分为：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），„，则第60个括号内各数之和为 （ ） A．1112 B．1168 C．1176 D．1192
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）把答案填在题中横线上。
9．若xxyx4,0则函数的取值范围是 。
10．已知函数)1()1(,221))1(,1()(ffxyfMxfy则处的切线方程为的图象在点 = 。 11．从3名男生和3名女生中，选出3人分别担任语文、数学、英语的课代表，则选派方案共有 种（用数字作答）。
12．在△ABC中，角A、B、C所对的对边分别为a、b、c，若3,3,1Cca，则A= 。 13．设m、n是平面α外的两条直线，给出列下命题：①//,,nnmm则；②mnnm则,//,；
③nmnm则,//,；④nmnm//,//,//则。请将正确命题的序号填在横线上 。 14．若函数42212xxy的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b的取值为 。 三、解答题：（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分） NO.01 第 3 页 共 8 页 已知函数.)2sin()42cos(21)(xxxf （I）求)(xf的定义域； （II）若角).(,53cosf求在第一象限且
16．（本小题共13分） 已知函数0}{,5)(,13)(2nnaacxxgbxxxf满足数列是奇函数是偶函数
且}{.1)()(,12111nnnnnnaaaagaafa求的通项公式。
17．（本小题共14分） 已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且
PA=AD=DC=21AB=1。 （I）证明：面PAD⊥面PCD； （II）求AC与PB所成角的余弦值。
18．（本小题共13分） 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”，若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9，0.8，0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8，0.7，0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响。 （I）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （II）求这三个人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）。
19．（本小题共14分） NO.01
第 4 页 共 8 页 已知.0,,,1)1(3)(123mRnmnxxmmxxfx其中的一个极值点是函数 （I）求m与n的关系式； （II）求)(xf的单调区间。
20．（本小题共13分） 已知椭圆)0(2)(:,134:22221ppxmyCyxC抛物线，且C1，C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点。 （I）当AB⊥x轴时，求m，p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上； （II）是否存在m，p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m，p的值；若不存在，请说明理由。
参考答案 一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分） 1．A 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．D 8．D 二、填空题：（共6小题，每小题5分，共30分）
9．,4 10．3 11．120 12．6 13．①③ 14．2 三、解答题：（共6个小题，共80分） 15．（本小题共13分）
解：（I）由).(2,2,0)2sin(Zkkxkxxx则得
所以.,2)(ZkkxRxxf的定义域为 „„„„4分 NO.01 第 5 页 共 8 页 （II）由已知条件，得.54)53(1cos1sin22 „„„„6分 所以cos)4sin2sin4cos2(cos21)2sin()42cos(21)(f„„8分 coscossin2cos2cos2sin2cos12
„„„„10分
.514)sin(cos2 „„„„13分
16．（本小题共13分） 解：)()(,13)(2xfxfbxxxf是偶函数
即.13)(.0,131)()(3222xxfbbxxxbx „„„„„„2分 )()(,5)(xgxgcxxg是奇函数，
即.5)(.0),5()(5xxgccxcx „„„„„„4分 .1)(51)(3)()(2131311nnnnnnnnnnaaaaaaaagaaf
.32.0))(23(.0231112121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa „„„„„10分
32,1}{为首项是以na为公比的等比数列。 „„„„„12分
.)32(}{1nnnaa的通项公式为 „„„„„13分
17．（本小题共14分） （I）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊥AD， ∴由三垂线定理，得CD⊥PD， ∵CD⊥AD，CD⊥PD，且PD∩AD=D， ∴CD⊥平面PAD， ∵CD平面PCD， ∴面PAD⊥面PCD。 （II）解：过点B作BE//CA，且BE=CA，连结AE。 则∠PBE是AC与PB所成的角，„„„„2分
可求得AC=CB=BE=EA=2。 又AB=2，所以四边形ACBE为正方形，∴BE⊥AE， NO.01 第 6 页 共 8 页 ∵PA⊥底面ABCD。 ∴PA⊥BE， ∴BE⊥面PAE。 ∴BE⊥PE，即∠PEB=90°„„„„11分
在Rt△PAB中，得PB=5。„„„„12分
在Rt△PEB中，.510cosPBBEPBE„„„„14分 18．（本小题13分） 解：设“甲理论考核合格”为事件A1，“乙理论考核合格”为事件A2，“丙理论考核合格”为事件A3，
,3,2,1,iAAii的对立事件为设“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙
实验考核合格”为事件B3。 （I）设“理论考核中至少有两人合格”为事件C，C为C的对立事件，
7.08.01.07.02.09.03.08.09.07.08.09.0)()()()()()(321321321321321321321321AAAPAAAPAAAPAAAPAAAAAAAAAAAAPCP
=0.902. „„„„6分 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902. （II）设“三个人该课程考核都合格”为事件D。
)()()()()()()()()()]()()[()(332211332211332211BPAPBPAPBPAPBAPBAPBAPBABABAPDP
=0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9=0.254. „„„„13分 所以，这三个人该课程考核都合格的概率为0.254.
19．（本小题14分）解：（I）.)1(63)(2nxmmxxf
.0)1(63,0)1(,1)1(3)(123nmmfnxxmmxxfx即的一个极值点是函数
.63mn „„„„5分
（II）由（I）知)]21()[1(363)1(63)(2mxxmmxmmxxf，
当mm211,0有时， x )21,(m m21 )1,21(m
1
),1(