2017-2018学年苏教版选修2-1 第3章空间向量与立体几何 单元测试1
2018届苏教版(理科数学) 立体几何中的向量方法 单元测试
第3讲立体几何中的向量方法(限时:45分钟)【选题明细表】1.(2017·西藏林芝一中三模)如图,在四棱锥P ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.(1)求证:平面PBD⊥平面PAC;(2)若PA=AB,求PC与平面PBD所成角的正弦值.(1)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC,因为BD⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAC.(2)解:设AC∩BD=O,因为∠BAD=60°,PA=AB=2,所以BO=1,AO=CO=,如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,则P(,0,2),A(,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),C(-,0,0),所以=(-,1,-2),=(-,-1,-2),=(-2,0,-2).设平面PDB的法向量为n=(x,y,z),由得解得y=0,令z=,得x=-2,所以n=(-2,0,).设PC与平面PBD所成角为θ,则sin θ=|cos<n,>|===,则PC与平面PBD所成角的正弦值为.2.(2017·成都三诊)如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,DE=2,M为线段BF上一点,且DM⊥平面ACE.(1)求BM的长;(2)求二面角A DM B的余弦值的大小.解:(1)设AC∩BD=O,取EF中点N,连接NO,因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,因为四边形BDEF是矩形,所以ON⊥BD,因为平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,ON⊂平面BDEF, 所以ON⊥平面ABCD,以O为原点,以OC,OB,ON为坐标轴建立空间坐标系如图所示:因为底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,所以OB=OD=1,OA=OC=,因为四边形BDEF是矩形,DE=2,所以A(-,0,0),B(0,1,0),C(,0,0),E(0,-1,2),D(0,-1,0),设|BM|=h,则M(0,1,h),所以=(0,2,h),=(,-1,2),因为DM⊥平面ACE,所以⊥,所以-2+2h=0,解得h=1,所以|BM|=1.(2)=(,-1,0),=(0,2,1),设平面ADM的法向量为m=(x,y,z),则所以令x=得m=(,3,-6),又AC⊥平面BDM,所以n=(1,0,0)是平面BDM的一个法向量,所以cos<m,n>===,所以二面角A-DM-B的余弦值为.3.(2017·黑龙江大庆一中模拟)如图,在直三棱柱ABC A1B1C1,AC⊥BC,AC=BC=BB1,点D是BC的中点.(1)求证:A1C∥平面AB1D;(2)求二面角B1-AD-B的正弦值;(3)判断在线段B1B上是否存在一点M,使得A1M⊥B1D?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.(1)证明:法一取B1C1的中点E,连接A1E,CE.由已知得A1E∥AD,CE∥DB1,所以平面A1CE∥平面ADB1,又A1C⊂平面A1CE,所以AC1∥平面AB1D.法二以C为坐标原点,建立如图所示的坐标系,设AC=BC=BB1=2,则A1(2,0,2),C(0,0,0),D(0,1,0),A(2,0,0),B1(0,2,2),B(0,2,0), 所以=(-2,0,-2),=(-2,1,0),=(-2,2,2),设平面AB1D的法向量为n=(x,y,z),则由可得故可取n=(1,2,-1),因为·n=0,所以A1C∥平面AB1D.(2)解:由(1)知平面AB1D的法向量为n=(1,2,-1),设平面ABD的法向量为m=(0,0,2)所以二面角B1AD B的余弦值为||=||,所以二面角B1AD B的正弦值为.(3)解:设M(0,2,t),则=(-2,2,t-2),=(0,-1,-2),若A1M⊥B1D,则·=0,所以-2-2(t-2)=0,所以t=1,所以=时,A1M⊥B1D.4.(2017·天津卷)如图,在三棱锥P ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC= 90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(1)求证:MN∥平面BDE;(2)求二面角C EM N的正弦值;(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.解:如图,以A为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2), M(0,0,1),N(1,2,0).(1)证明:=(0,2,0),=(2,0,-2).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则即不妨设z=1,可得n=(1,0,1).又=(1,2,-1),可得·n=0.因为MN⊄平面BDE,所以MN∥平面BDE.(2)解:易知n1=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n2=(x1,y1,z1)为平面EMN的法向量,则因为=(0,-2,-1),=(1,2,-1),所以不妨设y1=1,可得n2=(-4,1,-2).因此有cos<n1,n2>==-,于是sin<n1,n2>=.所以二面角C EM N的正弦值为.(3)解:依题意,设AH=h(0≤h≤4),则H(0,0,h),进而可得=(-1,-2,h),=(-2,2,2).由已知,得|cos<,>|===,整理得10h2-21h+8=0,解得h=或h=.所以线段AH的长为或.。
数学选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 章末检测试卷(三)
章末检测试卷(三)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是________． 答案 5解析 ∵a ·b ＝－3＋2x －5＝2， ∴x ＝5.2.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 －23a ＋12b ＋12c解析 如图，连结ON ，由向量的加法法则，可知MN →＝MO →＋ON →＝－23OA →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12(b ＋c )＝－23a ＋12b ＋12c .3．设i ，j ，k 为单位正交基底，已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a ·3b ＝________. 答案 －15解析 ∵a ＝(3,2，－1)，b ＝(1，－1,2)，∴5a ·3b ＝15a ·b ＝－15.4．设平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6，6)，则α，β的位置关系为________．考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面平行 答案 平行或重合解析 ∵平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6,6)，满足v ＝－3u ，∴α∥β或重合．5．若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a 与b 的夹角为60°，则a ·a ＋a ·b ＝________. 答案 32解析 由空间向量数量积的性质，知a ·a ＝|a |2＝1. 由空间向量数量积的定义，得a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1×1×cos60°＝12，从而a ·a ＋a ·b ＝1＋12＝32.6．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 为________三角形． 答案 直角解析 ∵M 为BC 中点， ∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD →＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0. ∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．7.在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面P AB 的法向量的是________．(填序号)①⎝⎛⎭⎫1，1，12；②(1，2，1)；③(1,1,1)；④(2，－2,1)． 答案 ①解析 由题意知，C (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，P (0,0,2)，则P A →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)， 设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，－x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，∴n ＝(2,2,1)．又⎝⎛⎭⎫1，1，12＝12n ，∴①正确． 8．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，D 为AB 的中点，沿中线将△ACD 折起使得AB ＝13，则二面角A －CD －B 的大小为________． 答案 120°解析 如图，取CD 中点E ，在平面BCD 内过点B 作BF ⊥CD ，交CD 延长线于点F .据题意知AE ⊥CD ，AE ＝BF ＝3，EF ＝2，AB ＝13. 且〈EA →，FB →〉为二面角的平面角， 由AB →2＝(AE →＋EF →＋FB →)2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos 〈AE →，FB →〉， ∴cos 〈EA →，FB →〉＝－12，又∵〈EA →，FB →〉∈[0°，180°]， ∴〈EA →，FB →〉＝120°. 即所求的二面角为120°.9.如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，若以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________.答案 －112AB →－13AC →＋34AD →解析 GE →＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM →＝AD →＋14DB →－13(AB →＋AC →)＝AD →＋14AB →－14AD →－13AB →－13AC →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.10.如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝8，AD ＝6，AA ′＝8，∠BAD ＝∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为________．答案 18解析 ∵AC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AB →＋AD →＋AA ′—→，|AC ′—→|2＝(AB →＋AD →＋AA ′—→)2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA ′—→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA ′—→＋AD →·AA ′—→) ＝82＋62＋82＋2×(24＋32＋24)＝324， ∴|AC ′—→|＝324＝18.11.如图，S 是正三角形ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB 和SC 的中点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝90°，则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为________．答案105解析 不妨设SA ＝SB ＝SC ＝1，以点S 为坐标原点，SA ，SB ，SC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系S －xyz ，则相关各点坐标为A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，S (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，0，N ⎝⎛⎭⎫0，0，12. 因为SM →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0， BN →＝⎝⎛⎭⎫0，－1，12， 所以|SM →|＝12，|BN →|＝54， SM →·BN →＝－12，cos 〈SM →，BN →〉＝SM →·BN →|SM →| |BN →|＝－105，因为异面直线所成的角为锐角或直角， 所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为105. 12.如图所示，已知二面角αlβ的平面角为θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________．答案3－2cos θ解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.所以|AD →|＝3－2cos θ， 即AD 的长为3－2cos θ.13．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫43，43，83解析 设Q (x ，y ，z )，因为Q 在OP →上，故有OQ →∥OP →， 设OQ →＝λOP →(λ∈R )，可得x ＝λ，y ＝λ，z ＝2λ， 则Q (λ，λ，2λ)，QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎫λ－432－23， 故当λ＝43时，QA →·QB →取最小值，此时Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83. 14．给出下列命题：①若AB →＝CD →，则必有A 与C 重合，B 与D 重合，AB 与CD 为同一线段； ②若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角；③若a 为直线l 的方向向量，则λa (λ∈R )也是l 的方向向量；④非零向量a ，b ，c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则a ，b ，c 必共面． 其中不正确的命题为________．(填序号) 答案 ①②③④解析 ①错误，如在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝A 1B 1—→，但线段AB 与A 1B 1不重合；②错误，a ·b <0，即cos 〈a ，b 〉<0⇒π2<〈a ，b 〉≤π，而钝角的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2，π；③错误，当λ＝0时，λa ＝0不能作为直线l 的方向向量；④错误，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，令AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则它们两两共面，但显然AB →，AD →，AA 1—→是不共面的． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值． 解 a ＝AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， b ＝AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0， ∴k ＝－52或k ＝2.16．(14分)已知空间内三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 与向量AB →，AC →都垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标． 解 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12，又∵∠BAC ∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°，∴S ＝|AB →||AC →|sin60°＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由a ⊥AB →，得－2x －y ＋3z ＝0， 由a ⊥AC →，得x －3y ＋2z ＝0， 由|a |＝3，得x 2＋y 2＋z 2＝3， ∴x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1. ∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．17．(14分)如图所示，已知几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．(1)化简12AA 1—→＋BC →＋23AB →，并在图上标出结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且C 1N ＝14C 1B ，设MN→＝αAB →＋βAD →＋γAA 1—→，试求α，β，γ的值．解 (1)取AA 1的中点E ，在D 1C 1上取一点F ，使得D 1F ＝2FC 1，连结EF ，则12AA 1—→＋BC →＋23AB → ＝EA 1—→＋A 1D 1—→＋D 1F —→＝EF →. (2)MN →＝MB →＋BN → ＝12DB →＋34BC 1—→ ＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC 1—→)＝12AB →＋14AD →＋34AA 1—→， 所以α＝12，β＝14，γ＝34.18．(16分)如图所示，已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1.(1)求证：BC 1⊥AB 1； (2)求证：BC 1∥平面CA 1D .证明 如图所示，以C 1为坐标原点，C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．(1)由于BC 1—→＝(0，－2，－2)，AB 1—→＝(－2,2，－2)， ∴BC 1—→·AB 1—→＝0－4＋4＝0， 即BC 1—→⊥AB 1—→，故BC 1⊥AB 1. (2)取A 1C 的中点E ，连结DE . 由于E (1,0,1)，∴ED →＝(0,1,1)，又BC 1—→＝(0，－2，－2)， ∴ED →＝－12BC 1—→，且ED 与BC 1不共线，∴ED ∥BC 1，又ED ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ， ∴BC 1∥平面CA 1D .19．(16分)如图，已知四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且ABCD 为正方形，P A ＝AB ＝a ，点M 是PC 的中点．(1)求BP 与DM 所成的角的大小； (2)求二面角M －DA －C 的大小．解 (1)以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系． 由已知得A (0，0,0)，B (a,0,0)，C (a ，a,0)，D (0，a,0)，P (0,0，a )，M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.设直线BP 与DM 所成的角为θ. ∵BP →＝(－a,0，a )，DM →＝⎝⎛⎭⎫a 2，－a 2，a 2， ∴BP →·DM →＝0.∴BP 与DM 所成的角θ＝90°.(2)∵AP →＝(0,0，a )，AB →＝(a,0,0)，AD →＝(0，a,0)， BP →＝(－a,0，a )，∴BP →·AD →＝0，AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0. 又由(1)知BP →·DM →＝0，∴BP →是平面MDA 的法向量，AP →是平面ABCD 的法向量，则cos 〈BP →，AP →〉＝BP →·AP →|BP →||AP →|＝22.∴所求的二面角M －DA －C 的大小为45°.20．(16分)如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，△ABE 为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，AB ＝2CD ＝2BC ＝2，P 为CE 的中点．(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值；(3)在△ABE 内是否存在一点Q ，使PQ ⊥平面CDE ？如果存在，求PQ 的长；如果不存在，请说明理由．(1)证明 取AB 的中点O ，连结OD ，OE ， 因为△ABE 是正三角形，所以AB ⊥OE .因为四边形ABCD 是直角梯形，DC ＝12AB ，AB ∥CD ，所以四边形OBCD 是平行四边形， 所以OD ∥BC .又AB ⊥BC ，所以AB ⊥OD ，又OE ∩OD ＝O ，所以AB ⊥平面ODE ， 所以AB ⊥DE .(2)解 因为平面ABCD ⊥平面ABE ，AB ⊥OE ，OE ⊂平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB . 所以OE ⊥平面ABCD ， 所以OE ⊥OD .如图所示，以O 为坐标原点，OA ，OE ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (－1,0,0)， D (0,0,1)，C (－1,0,1)， E (0，3，0)，所以AD →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，3，－1)．最新中小学教案、试题、试卷设平面ADE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DE →＝0，n 1·AD →＝0，即⎩⎨⎧3y 1－z 1＝0，－x 1＋z 1＝0， 令z 1＝1，则x 1＝1，y 1＝33， 所以n 1＝⎝⎛⎭⎫1，33，1， 同理可求得平面BCE 的一个法向量为 n 2＝(－3，1,0)，设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ， 则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝⎪⎪⎪⎪33－373×2＝77， 所以平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为77. (3)解 假设存在Q (x 2，y 2,0)满足题意，因为P ⎝⎛⎭⎫－12，32，12，所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫x 2＋12，y 2－32，－12， 又CD →＝(1,0,0)，DE →＝(0，3，－1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧PQ →·CD →＝0，PQ →·DE →＝0，即⎩⎨⎧ x 2＋12＝0，3⎝⎛⎭⎫y 2－32＋12＝0， 解得⎩⎨⎧x 2＝－12，y 2＝33， 易知点Q ⎝⎛⎭⎫－12，33，0在△ABE 内， 所以△ABE 内存在点Q ⎝⎛⎭⎫－12，33，0，使PQ ⊥平面CDE ，此时PQ ＝33.。
数学精选练习选修2-1苏教版第3章空间向量与立体几何章末检测试卷(三)含答案
章末检测试卷(三)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是________． 答案 5解析 ∵a ·b ＝－3＋2x －5＝2， ∴x ＝5.2.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 －23a ＋12b ＋12c解析 如图，连结ON ，由向量的加法法则，可知MN →＝MO →＋ON →＝－23OA →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12(b ＋c )＝－23a ＋12b ＋12c .3．设i ，j ，k 为单位正交基底，已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a ·3b ＝________. 答案 －15解析 ∵a ＝(3,2，－1)，b ＝(1，－1,2)，∴5a ·3b ＝15a ·b ＝－15.4．设平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6，6)，则α，β的位置关系为________．考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面平行 答案 平行或重合解析 ∵平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6,6)，满足v ＝－3u ，∴α∥β或重合．5．若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a 与b 的夹角为60°，则a ·a ＋a ·b ＝________. 答案 32解析 由空间向量数量积的性质，知a ·a ＝|a |2＝1. 由空间向量数量积的定义，得a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1×1×cos60°＝12，从而a ·a ＋a ·b ＝1＋12＝32.6．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 为________三角形． 答案 直角解析 ∵M 为BC 中点， ∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD →＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0. ∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．7.在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面P AB 的法向量的是________．(填序号)①⎝⎛⎭⎫1，1，12；②(1，2，1)；③(1,1,1)；④(2，－2,1)． 答案 ①解析 由题意知，C (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，P (0,0,2)，则P A →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)， 设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，－x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，∴n ＝(2,2,1)．又⎝⎛⎭⎫1，1，12＝12n ，∴①正确． 8．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，D 为AB 的中点，沿中线将△ACD 折起使得AB ＝13，则二面角A －CD －B 的大小为________． 答案 120°解析 如图，取CD 中点E ，在平面BCD 内过点B 作BF ⊥CD ，交CD 延长线于点F .据题意知AE ⊥CD ，AE ＝BF ＝3，EF ＝2，AB ＝13. 且〈EA →，FB →〉为二面角的平面角， 由AB →2＝(AE →＋EF →＋FB →)2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos 〈AE →，FB →〉， ∴cos 〈EA →，FB →〉＝－12，又∵〈EA →，FB →〉∈[0°，180°]， ∴〈EA →，FB →〉＝120°. 即所求的二面角为120°.9.如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，若以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________.答案 －112AB →－13AC →＋34AD →解析 GE →＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM →＝AD →＋14DB →－13(AB →＋AC →)＝AD →＋14AB →－14AD →－13AB →－13AC →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.10.如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝8，AD ＝6，AA ′＝8，∠BAD ＝∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为________．答案 18解析 ∵AC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AB →＋AD →＋AA ′—→，|AC ′—→|2＝(AB →＋AD →＋AA ′—→)2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA ′—→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA ′—→＋AD →·AA ′—→) ＝82＋62＋82＋2×(24＋32＋24)＝324， ∴|AC ′—→|＝324＝18.11.如图，S 是正三角形ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB 和SC 的中点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝90°，则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为________．答案105解析 不妨设SA ＝SB ＝SC ＝1，以点S 为坐标原点，SA ，SB ，SC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系S －xyz ，则相关各点坐标为A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，S (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，0，N ⎝⎛⎭⎫0，0，12. 因为SM →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0， BN →＝⎝⎛⎭⎫0，－1，12， 所以|SM →|＝12，|BN →|＝54， SM →·BN →＝－12，cos 〈SM →，BN →〉＝SM →·BN →|SM →| |BN →|＝－105，因为异面直线所成的角为锐角或直角， 所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为105. 12.如图所示，已知二面角αlβ的平面角为θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________．答案3－2cos θ解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.所以|AD →|＝3－2cos θ， 即AD 的长为3－2cos θ.13．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫43，43，83解析 设Q (x ，y ，z )，因为Q 在OP →上，故有OQ →∥OP →， 设OQ →＝λOP →(λ∈R )，可得x ＝λ，y ＝λ，z ＝2λ， 则Q (λ，λ，2λ)，QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎫λ－432－23， 故当λ＝43时，QA →·QB →取最小值，此时Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83. 14．给出下列命题：①若AB →＝CD →，则必有A 与C 重合，B 与D 重合，AB 与CD 为同一线段； ②若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角；③若a 为直线l 的方向向量，则λa (λ∈R )也是l 的方向向量；④非零向量a ，b ，c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则a ，b ，c 必共面． 其中不正确的命题为________．(填序号) 答案 ①②③④解析 ①错误，如在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝A 1B 1—→，但线段AB 与A 1B 1不重合；②错误，a ·b <0，即cos 〈a ，b 〉<0⇒π2<〈a ，b 〉≤π，而钝角的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2，π；③错误，当λ＝0时，λa ＝0不能作为直线l 的方向向量；④错误，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，令AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则它们两两共面，但显然AB →，AD →，AA 1—→是不共面的． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值． 解 a ＝AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， b ＝AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0， ∴k ＝－52或k ＝2.16．(14分)已知空间内三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 与向量AB →，AC →都垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标． 解 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12，又∵∠BAC ∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°，∴S ＝|AB →||AC →|sin60°＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由a ⊥AB →，得－2x －y ＋3z ＝0， 由a ⊥AC →，得x －3y ＋2z ＝0， 由|a |＝3，得x 2＋y 2＋z 2＝3， ∴x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1. ∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．17．(14分)如图所示，已知几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．(1)化简12AA 1—→＋BC →＋23AB →，并在图上标出结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且C 1N ＝14C 1B ，设MN→＝αAB →＋βAD →＋γAA 1—→，试求α，β，γ的值．解 (1)取AA 1的中点E ，在D 1C 1上取一点F ，使得D 1F ＝2FC 1，连结EF ，则12AA 1—→＋BC →＋23AB → ＝EA 1—→＋A 1D 1—→＋D 1F —→＝EF →. (2)MN →＝MB →＋BN → ＝12DB →＋34BC 1—→ ＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC 1—→)＝12AB →＋14AD →＋34AA 1—→， 所以α＝12，β＝14，γ＝34.18．(16分)如图所示，已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1.(1)求证：BC 1⊥AB 1； (2)求证：BC 1∥平面CA 1D .证明 如图所示，以C 1为坐标原点，C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．(1)由于BC 1—→＝(0，－2，－2)，AB 1—→＝(－2,2，－2)， ∴BC 1—→·AB 1—→＝0－4＋4＝0， 即BC 1—→⊥AB 1—→，故BC 1⊥AB 1. (2)取A 1C 的中点E ，连结DE . 由于E (1,0,1)，∴ED →＝(0,1,1)，又BC 1—→＝(0，－2，－2)， ∴ED →＝－12BC 1—→，且ED 与BC 1不共线，∴ED ∥BC 1，又ED ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ， ∴BC 1∥平面CA 1D .19．(16分)如图，已知四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且ABCD 为正方形，P A ＝AB ＝a ，点M 是PC 的中点．(1)求BP 与DM 所成的角的大小； (2)求二面角M －DA －C 的大小．解 (1)以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系． 由已知得A (0，0,0)，B (a,0,0)，C (a ，a,0)，D (0，a,0)，P (0,0，a )，M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.设直线BP 与DM 所成的角为θ. ∵BP →＝(－a,0，a )，DM →＝⎝⎛⎭⎫a 2，－a 2，a 2， ∴BP →·DM →＝0.∴BP 与DM 所成的角θ＝90°.(2)∵AP →＝(0,0，a )，AB →＝(a,0,0)，AD →＝(0，a,0)， BP →＝(－a,0，a )，∴BP →·AD →＝0，AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0. 又由(1)知BP →·DM →＝0，∴BP →是平面MDA 的法向量，AP →是平面ABCD 的法向量，则cos 〈BP →，AP →〉＝BP →·AP →|BP →||AP →|＝22.∴所求的二面角M －DA －C 的大小为45°.20．(16分)如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，△ABE 为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，AB ＝2CD ＝2BC ＝2，P 为CE 的中点．(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值；(3)在△ABE 内是否存在一点Q ，使PQ ⊥平面CDE ？如果存在，求PQ 的长；如果不存在，请说明理由．(1)证明 取AB 的中点O ，连结OD ，OE ， 因为△ABE 是正三角形，所以AB ⊥OE .因为四边形ABCD 是直角梯形，DC ＝12AB ，AB ∥CD ，所以四边形OBCD 是平行四边形， 所以OD ∥BC .又AB ⊥BC ，所以AB ⊥OD ，又OE ∩OD ＝O ，所以AB ⊥平面ODE ， 所以AB ⊥DE .(2)解 因为平面ABCD ⊥平面ABE ，AB ⊥OE ，OE ⊂平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB . 所以OE ⊥平面ABCD ， 所以OE ⊥OD .如图所示，以O 为坐标原点，OA ，OE ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (－1,0,0)， D (0,0,1)，C (－1,0,1)， E (0，3，0)，所以AD →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，3，－1)．高中数学 设平面ADE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DE →＝0，n 1·AD →＝0，即⎩⎨⎧3y 1－z 1＝0，－x 1＋z 1＝0， 令z 1＝1，则x 1＝1，y 1＝33， 所以n 1＝⎝⎛⎭⎫1，33，1， 同理可求得平面BCE 的一个法向量为 n 2＝(－3，1,0)，设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ， 则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝⎪⎪⎪⎪33－373×2＝77， 所以平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为77. (3)解 假设存在Q (x 2，y 2,0)满足题意，因为P ⎝⎛⎭⎫－12，32，12，所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫x 2＋12，y 2－32，－12， 又CD →＝(1,0,0)，DE →＝(0，3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧PQ →·CD →＝0，PQ →·DE →＝0，即⎩⎨⎧ x 2＋12＝0，3⎝⎛⎭⎫y 2－32＋12＝0， 解得⎩⎨⎧x 2＝－12，y 2＝33， 易知点Q ⎝⎛⎭⎫－12，33，0在△ABE 内， 所以△ABE 内存在点Q ⎝⎛⎭⎫－12，33，0，使PQ ⊥平面CDE ，此时PQ ＝33.。
数学选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 章末检测试卷(三)
章末检测试卷(三)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是________． 答案 5解析 ∵a ·b ＝－3＋2x －5＝2， ∴x ＝5.2.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 －23a ＋12b ＋12c解析 如图，连结ON ，由向量的加法法则，可知MN →＝MO →＋ON →＝－23OA →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12(b ＋c )＝－23a ＋12b ＋12c .3．设i ，j ，k 为单位正交基底，已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a ·3b ＝________. 答案 －15解析 ∵a ＝(3,2，－1)，b ＝(1，－1,2)，∴5a ·3b ＝15a ·b ＝－15.4．设平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6，6)，则α，β的位置关系为________．考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面平行 答案 平行或重合解析 ∵平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6,6)，满足v ＝－3u ，∴α∥β或重合．5．若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a 与b 的夹角为60°，则a ·a ＋a ·b ＝________. 答案 32解析 由空间向量数量积的性质，知a ·a ＝|a |2＝1. 由空间向量数量积的定义，得a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1×1×cos60°＝12，从而a ·a ＋a ·b ＝1＋12＝32.6．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 为________三角形． 答案 直角解析 ∵M 为BC 中点， ∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD →＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0. ∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．7.在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面P AB 的法向量的是________．(填序号)①⎝⎛⎭⎫1，1，12；②(1，2，1)；③(1,1,1)；④(2，－2,1)． 答案 ①解析 由题意知，C (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，P (0,0,2)，则P A →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)， 设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，－x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，∴n ＝(2,2,1)．又⎝⎛⎭⎫1，1，12＝12n ，∴①正确． 8．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，D 为AB 的中点，沿中线将△ACD 折起使得AB ＝13，则二面角A －CD －B 的大小为________． 答案 120°解析 如图，取CD 中点E ，在平面BCD 内过点B 作BF ⊥CD ，交CD 延长线于点F .据题意知AE ⊥CD ，AE ＝BF ＝3，EF ＝2，AB ＝13. 且〈EA →，FB →〉为二面角的平面角， 由AB →2＝(AE →＋EF →＋FB →)2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos 〈AE →，FB →〉， ∴cos 〈EA →，FB →〉＝－12，又∵〈EA →，FB →〉∈[0°，180°]， ∴〈EA →，FB →〉＝120°. 即所求的二面角为120°.9.如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，若以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________.答案 －112AB →－13AC →＋34AD →解析 GE →＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM →＝AD →＋14DB →－13(AB →＋AC →)＝AD →＋14AB →－14AD →－13AB →－13AC →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.10.如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝8，AD ＝6，AA ′＝8，∠BAD ＝∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为________．答案 18解析 ∵AC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AB →＋AD →＋AA ′—→，|AC ′—→|2＝(AB →＋AD →＋AA ′—→)2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA ′—→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA ′—→＋AD →·AA ′—→) ＝82＋62＋82＋2×(24＋32＋24)＝324， ∴|AC ′—→|＝324＝18.11.如图，S 是正三角形ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB 和SC 的中点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝90°，则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为________．答案105解析 不妨设SA ＝SB ＝SC ＝1，以点S 为坐标原点，SA ，SB ，SC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系S －xyz ，则相关各点坐标为A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，S (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，0，N ⎝⎛⎭⎫0，0，12. 因为SM →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0， BN →＝⎝⎛⎭⎫0，－1，12， 所以|SM →|＝12，|BN →|＝54， SM →·BN →＝－12，cos 〈SM →，BN →〉＝SM →·BN →|SM →| |BN →|＝－105，因为异面直线所成的角为锐角或直角， 所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为105. 12.如图所示，已知二面角αlβ的平面角为θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________．答案3－2cos θ解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.所以|AD →|＝3－2cos θ， 即AD 的长为3－2cos θ.13．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫43，43，83解析 设Q (x ，y ，z )，因为Q 在OP →上，故有OQ →∥OP →， 设OQ →＝λOP →(λ∈R )，可得x ＝λ，y ＝λ，z ＝2λ， 则Q (λ，λ，2λ)，QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎫λ－432－23， 故当λ＝43时，QA →·QB →取最小值，此时Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83. 14．给出下列命题：①若AB →＝CD →，则必有A 与C 重合，B 与D 重合，AB 与CD 为同一线段； ②若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角；③若a 为直线l 的方向向量，则λa (λ∈R )也是l 的方向向量；④非零向量a ，b ，c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则a ，b ，c 必共面． 其中不正确的命题为________．(填序号) 答案 ①②③④解析 ①错误，如在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝A 1B 1—→，但线段AB 与A 1B 1不重合；②错误，a ·b <0，即cos 〈a ，b 〉<0⇒π2<〈a ，b 〉≤π，而钝角的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2，π；③错误，当λ＝0时，λa ＝0不能作为直线l 的方向向量；④错误，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，令AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则它们两两共面，但显然AB →，AD →，AA 1—→是不共面的． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值． 解 a ＝AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， b ＝AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0， ∴k ＝－52或k ＝2.16．(14分)已知空间内三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 与向量AB →，AC →都垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标． 解 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12，又∵∠BAC ∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°，∴S ＝|AB →||AC →|sin60°＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由a ⊥AB →，得－2x －y ＋3z ＝0， 由a ⊥AC →，得x －3y ＋2z ＝0， 由|a |＝3，得x 2＋y 2＋z 2＝3， ∴x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1. ∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．17．(14分)如图所示，已知几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．(1)化简12AA 1—→＋BC →＋23AB →，并在图上标出结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且C 1N ＝14C 1B ，设MN→＝αAB →＋βAD →＋γAA 1—→，试求α，β，γ的值．解 (1)取AA 1的中点E ，在D 1C 1上取一点F ，使得D 1F ＝2FC 1，连结EF ，则12AA 1—→＋BC →＋23AB → ＝EA 1—→＋A 1D 1—→＋D 1F —→＝EF →. (2)MN →＝MB →＋BN → ＝12DB →＋34BC 1—→ ＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC 1—→)＝12AB →＋14AD →＋34AA 1—→， 所以α＝12，β＝14，γ＝34.18．(16分)如图所示，已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1.(1)求证：BC 1⊥AB 1； (2)求证：BC 1∥平面CA 1D .证明 如图所示，以C 1为坐标原点，C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．(1)由于BC 1—→＝(0，－2，－2)，AB 1—→＝(－2,2，－2)， ∴BC 1—→·AB 1—→＝0－4＋4＝0， 即BC 1—→⊥AB 1—→，故BC 1⊥AB 1. (2)取A 1C 的中点E ，连结DE . 由于E (1,0,1)，∴ED →＝(0,1,1)，又BC 1—→＝(0，－2，－2)， ∴ED →＝－12BC 1—→，且ED 与BC 1不共线，∴ED ∥BC 1，又ED ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ， ∴BC 1∥平面CA 1D .19．(16分)如图，已知四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且ABCD 为正方形，P A ＝AB ＝a ，点M 是PC 的中点．(1)求BP 与DM 所成的角的大小； (2)求二面角M －DA －C 的大小．解 (1)以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系． 由已知得A (0，0,0)，B (a,0,0)，C (a ，a,0)，D (0，a,0)，P (0,0，a )，M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.设直线BP 与DM 所成的角为θ. ∵BP →＝(－a,0，a )，DM →＝⎝⎛⎭⎫a 2，－a 2，a 2， ∴BP →·DM →＝0.∴BP 与DM 所成的角θ＝90°.(2)∵AP →＝(0,0，a )，AB →＝(a,0,0)，AD →＝(0，a,0)， BP →＝(－a,0，a )，∴BP →·AD →＝0，AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0. 又由(1)知BP →·DM →＝0，∴BP →是平面MDA 的法向量，AP →是平面ABCD 的法向量，则cos 〈BP →，AP →〉＝BP →·AP →|BP →||AP →|＝22.∴所求的二面角M －DA －C 的大小为45°.20．(16分)如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，△ABE 为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，AB ＝2CD ＝2BC ＝2，P 为CE 的中点．(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值；(3)在△ABE 内是否存在一点Q ，使PQ ⊥平面CDE ？如果存在，求PQ 的长；如果不存在，请说明理由．(1)证明 取AB 的中点O ，连结OD ，OE ， 因为△ABE 是正三角形，所以AB ⊥OE .因为四边形ABCD 是直角梯形，DC ＝12AB ，AB ∥CD ，所以四边形OBCD 是平行四边形， 所以OD ∥BC .又AB ⊥BC ，所以AB ⊥OD ，又OE ∩OD ＝O ，所以AB ⊥平面ODE ， 所以AB ⊥DE .(2)解 因为平面ABCD ⊥平面ABE ，AB ⊥OE ，OE ⊂平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB . 所以OE ⊥平面ABCD ， 所以OE ⊥OD .如图所示，以O 为坐标原点，OA ，OE ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (－1,0,0)， D (0,0,1)，C (－1,0,1)， E (0，3，0)，所以AD →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，3，－1)．最新中小学教案、试题、试卷设平面ADE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DE →＝0，n 1·AD →＝0，即⎩⎨⎧3y 1－z 1＝0，－x 1＋z 1＝0， 令z 1＝1，则x 1＝1，y 1＝33， 所以n 1＝⎝⎛⎭⎫1，33，1， 同理可求得平面BCE 的一个法向量为 n 2＝(－3，1,0)，设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ， 则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝⎪⎪⎪⎪33－373×2＝77， 所以平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为77. (3)解 假设存在Q (x 2，y 2,0)满足题意，因为P ⎝⎛⎭⎫－12，32，12，所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫x 2＋12，y 2－32，－12， 又CD →＝(1,0,0)，DE →＝(0，3，－1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧PQ →·CD →＝0，PQ →·DE →＝0，即⎩⎨⎧ x 2＋12＝0，3⎝⎛⎭⎫y 2－32＋12＝0， 解得⎩⎨⎧x 2＝－12，y 2＝33， 易知点Q ⎝⎛⎭⎫－12，33，0在△ABE 内， 所以△ABE 内存在点Q ⎝⎛⎭⎫－12，33，0，使PQ ⊥平面CDE ，此时PQ ＝33.。
2017-2018学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末综合测评 新人教B版选修2-1
(三) 空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D ．()2，－3，－22【解析】 a ＝(1，－3,2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1.【答案】 C2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O 和点A (2,1,1)，且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )A.32 B ．22C. 3D ．3 2【解析】 两平面间的距离d ＝|OA →·n ||n |＝22.【答案】 B3．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2)【解析】 a ＝CA →＝(－1,0，－2)，b ＝CB →＝(－4,9,0)， ∴a ＋b ＝(－5,9，－2)． 【答案】 B4．在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝aAB →＋2bAD →＋3cA 1A →，则abc 的值等于( )【导学号：15460084】A.16 B ．56 C.76D ．－16【解析】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →－A 1A →＝aAB →＋2bAD →＋3cA 1A →， ∴a ＝1，b ＝12，c ＝－13，∴abc ＝－16.【答案】 D5．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( ) A.AB →＝－C 1D 1→B ．AB →·BC →＝0 C.AA 1→·B 1D 1→＝0D ．AC 1→·A 1C →＝0【解析】 如图，AB →∥C 1D 1→，AB →⊥BC →，AA 1→⊥B 1D 1→，故A ，B ，C 选项均正确．【答案】 D6．已知向量a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则“c ·a ＝0，且c ·b ＝0”是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若l ⊥α，则l 垂直于α内的所有直线，从而有c ·a ＝0，c ·b ＝0.反之，由于a ，b 是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．【答案】 B7．已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 设BC 的中点为D ，则D (2,1,4)， ∴AD →＝(－1，－2,2)， ∴|AD →|＝－2＋－2＋22＝3，即BC 边上的中线长为3.【答案】 B8．若向量a ＝(x,4,5)，b ＝(1，－2,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为26，则x ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．－11D ．3或－11【解析】 因为a·b ＝(x,4,5)·(1，－2,2)＝x －8＋10＝x ＋2，且a 与b 的夹角的余弦值为26，所以26＝x ＋2x 2＋42＋52×1＋4＋4，解得x ＝3或－11(舍去)，故选A. 【答案】 A9.如图1，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )图1A.63 B ．255C.155D ．105【解析】 以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，∴BC 1→＝(－2,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，且AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝45·8＝105.∴sin 〈BC →1，AC →〉＝|cos 〈BC →1，AC →〉|＝105，∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为105. 【答案】 D10．已知正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23 B ．33 C.23D ．13【解析】 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1,2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC→|n ||DC →|＝23.【答案】 A11．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－nAA 1→，则m ，n 的值分别为( )A.12，－12 B ．－12，－12C ．－12，12D ．12，12【解析】 由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1→，所以m ＝12，n ＝－12，故选A.【答案】 A12．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝435，那么二面角A BD P的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解析】如图所示，建立空间直角坐标系， 则PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，－453，BD →＝(－3,4,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →＝0，n ·BD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，－453＝0，x ，y ，z－3，4，＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3x －453z ＝0，－3x ＋4y ＝0.令x ＝1，则n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34，543.又n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，453为平面ABCD 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 〉＝n 1·n |n 1||n |＝32，∴所求二面角为30°.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________.【导学号：15460085】【解析】 由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.【答案】 16 －3214．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12， 2，C (－1,0, 2)，则角A 的大小为________．【解析】 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，AC →＝(－1,0,0)，则cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝321×1＝32，故角A 的大小为30°.【答案】 30°15．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，若直线AB 交平面xOz 于点C ，则点C 的坐标为________．【解析】 设点C 的坐标为(x,0，z )，则AC →＝(x －1,2，z －3)，AB →＝(1,3，－4)，因为AC →与AB →共线，所以x －11＝23＝z －3－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，z ＝13，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，13.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，1316.如图2，在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A ，B ，C ，D 的距离都等于2.图2给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0；②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0；③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0；④SA →·SB →＝SC →·SD →；⑤SA →·SC →＝0，其中正确结论的序号是________．【解析】 容易推出：SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2×2cos∠ASB ，SC →·SD →＝2×2cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确；其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.【答案】 ③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图3，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .图3(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)证明：PC ∥平面BAQ .【证明】 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .(1)依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1，0)，所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC 且DQ ∩DC ＝D . 故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)根据题意，DA →＝(1,0,0)，AB →＝(0,0,1)，AQ →＝(0,1,0)，故有DA →·AB →＝0，DA →·AQ →＝0，所以DA →为平面BAQ 的一个法向量．又因为PC →＝(0，－2,1)，且DA →·PC →＝0，即DA ⊥PC ，且PC ⊄平面BAQ ，故有PC ∥平面BAQ . 18. (本小题满分12分)如图4，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．图4【解】 因为BA 1→＝BA →＋AA 1→ ＝BA →＋BB 1→，AC →＝BC →－BA →， 且BA →·BC →＝BB 1→·BA → ＝BB 1→·BC →＝0，所以BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(BC →－BA →) ＝BA →·BC →－BA →2＋BB 1→·BC →－BB 1→·BA → ＝－1.又|AC →|＝2，|BA 1→|＝1＋2＝3， 所以cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC →|BA 1→||AC →|＝－16＝－66，则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66. 19.(本小题满分12分)如图5，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．图5(1)求证：平面PBC ⊥平面PAC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，PA ＝1，求二面角C PB A 的余弦值． 【解】 (1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ， 由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC . 又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以BC ⊥平面PAC . 因为BC ⊂平面PBC . 所以平面PBC ⊥平面PAC .(2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3. 又因为PA ＝1，所以A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1)． 故CB →＝(3，0,0)，CP →＝(0,1,1)． 设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ CB →·n 1＝0，CP →·n 1＝0，所以⎩⎨⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0,1，－1)． 因为AP →＝(0,0,1)，AB →＝(3，－1,0)， 设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎨⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0，不妨令x 2＝1，则n 2＝(1, 3，0)． 于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64. 由图知二面角C PB A 为锐角，故二面角C PB A 的余弦值为64.20. (本小题满分12分)如图6，在四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ⊥PA ，BC ＝2AB ＝2AD ＝4BE ，平面PAB ⊥平面ABCD .图6(1)求证：平面PED ⊥平面PAC ；(2)若直线PE 与平面PAC 所成的角的正弦值为55，求二面角A PC D 的余弦值． 【解】 (1)证明：∵平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，AB ⊥PA ， ∴PA ⊥平面ABCD ，又∵AB ⊥AD ，故可建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示， 不妨设BC ＝4，AP ＝λ(λ>0)，则有D (0,2,0)，E (2,1,0)，C (2,4,0)，P (0,0，λ)， ∴AC →＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，λ)，DE →＝(2，－1,0)， ∴DE →·AC →＝4－4＋0＝0，DE →·AP →＝0，∴DE ⊥AC ，DE ⊥AP 且AC ∩AP ＝A ， ∴DE ⊥平面PAC . 又DE ⊂平面PED ， ∴平面PED ⊥平面PAC .(2)由(1)知，平面PAC 的一个法向量是DE →＝(2，－1，0)，PE →＝(2,1，－λ)， 设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，∴sin θ＝|cos 〈PE →，DE →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－155＋λ2＝55，解得λ＝±2.∵λ>0，∴λ＝2，即P (0,0,2)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，DC →＝(2,2,0)，DP →＝(0，－2,2)， 由n ⊥DC →，n ⊥DP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，－2y ＋2z ＝0，不妨令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)．∴cos 〈n ，DE →〉＝2＋13 5＝155，显然二面角A PC D 的平面角是锐角， ∴二面角A PC D 的余弦值为155. 21.(本小题满分12分)如图7，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 为一直角梯形，其中BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD ＝AD ＝2AB ，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．图7(1)求证：BE ∥平面PAD ； (2)若BE ⊥平面PCD ，①求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值； ②求二面角E BD C 的余弦值．【解】 设AB ＝a ，PA ＝b ，建立如图的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (a,0,0)，P (0,0，b )，C (2a,2a,0)，D (0,2a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，b 2.(1)BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，a ，b 2，AD →＝(0,2a,0)，AP →＝(0,0，b )，所以BE →＝12AD →＋12AP →，因为BE ⊄平面PAD ，所以BE ∥平面PAD .(2)因为BE ⊥平面PCD ，所以BE ⊥PC ，即BE →·PC →＝0，PC →＝(2a,2a ，－b )，所以BE →·PC →＝2a 2－b 22＝0，则b ＝2a . ①PD →＝(0,2a ，－2a )，BC →＝(a,2a,0)，cos 〈PD →，BC →〉＝4a 222a ·5a ＝105，所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为105. ②在平面BDE 和平面BDC 中，BE →＝(0，a ，a )，BD →＝(－a ，2a,0)，BC →＝(a,2a,0)，所以平面BDE 的一个法向量为n 1＝(2,1，－1)；平面BDC 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)；cos 〈n 1，n 2〉＝－16，所以二面角E BD C 的余弦值为66. 22．(本小题满分12分)如图8，在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．图8(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解】 以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．由已知得B (2,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1,0,0)，P (0,0，λ)，BC 1→＝(－2,0,2)，FP →＝(－1,0，λ)，FE →＝(1,1,0)．(1)当λ＝1时，FP →＝(－1,0,1)，因为BC 1→＝(－2,0,2)．所以BC 1→＝2FP →，可知BC 1∥FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0， 于是可取n ＝(λ，－λ，1)，同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2,2－λ，1)，若存在λ，使得平面EFPQ 与平面PQMN 所在的二面角为直二面角， 则m·n ＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角．。
2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 模块综合
模块综合试卷(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋>0，则綈p 为________．14答案 ∃x ∈R ，x 2－x ＋≤014解析 全称命题的否定是存在性命题．2．设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 充分不必要解析 当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q ⇏p .3．抛物线y ＝－x 2的焦点坐标是________．18答案 (0，－2)解析 抛物线方程化为标准方程为x 2＝－8y ，∴2p ＝8，∴＝2.p 2∵抛物线开口向下，∴抛物线y ＝－x 2的焦点坐标为(0，－2)．184．已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双2曲线的标准方程为________．答案 －＝1y 24x 24解析 由题意设双曲线方程为－＝1(a >0，b >0)，则a ＝2,2a ＋2b ＝2c ，得y 2a 2x 2b 22b ＝c －2，结合a 2＋b 2＝c 2，得b ＝2，故双曲线方程为－＝1.2y 24x 245．若a ＝(1，－1，－1)，b ＝(0,1,1)，且(a ＋λb )⊥b ，则实数λ的值是________．答案 1解析 λb ＝(0，λ，λ)，a ＋λb ＝(1，λ－1，λ－1)．∵(a ＋λb )⊥b ，∴(a ＋λb )·b ＝0.∴λ－1＝0，即λ＝1.6．设F 1和F 2为双曲线－＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是等边三角x 2a 2y 2b 2形的三个顶点，则双曲线的离心率为________．答案 2解析 由题意知tan ＝＝，π6c 2b 33所以3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，则e ＝＝2.ca 7．给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要不充分条件，则p 是綈q 的________条件．答案 充分不必要解析 由q ⇒綈p 且綈p ⇏q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇏p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件．8．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p 的值为________．x 26y 22答案 4解析 根据题意知抛物线的焦点坐标为，椭圆的右焦点为(2,0)，即＝2，解得p ＝4.(p 2，0)p29．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于________．答案 4解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P 到焦p2点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p ＝4，故焦点F 到抛物线准线的距p2离等于4.10．已知a ＞0且a ≠1，设p ：y ＝a x 是R 上的单调递减函数；q ：函数g (x )＝lg(2ax 2＋2x ＋1)的值域为R ；如果“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，则a 的取值范围是________．答案 (12，1)解析 由题意知，p ：0＜a ＜1，q ：0＜a ≤，当p 真q 假时，得＜a ＜1；当p 假q 真时，1212无解．故a ∈.(12，1)11．已知点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，MF ＋NF ＝6，则MN 的中点的横坐标为________．答案 2解析 ∵F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，∴F (1,0)，准线为直线x ＝－1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴MF ＋NF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝6，解得x 1＋x 2＝4.∴线段MN 的中点的横坐标为2.12．设P 为直线y ＝x 与双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂b 3a x 2a 2y 2b 2直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.答案 324解析 由PF 1⊥x 轴且P 点在双曲线的左支上，可得P.又因为点P 在直线(－c ，－b 2a )y ＝x 上，所以－＝×(－c )，整理得c ＝3b ，根据c 2＝a 2＋b 2得a ＝2b ，所以双曲b 3a b 2a b 3a 2线的离心率e ＝＝＝.ca 3b 22b 32413．椭圆＋＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若PF 1＝4，则∠F 1PF 2的大小为x 29y 22________．答案 120°解析 在椭圆＋＝1中，a 2＝9，a ＝3，b 2＝2，x 29y 22又c 2＝a 2－b 2＝7，所以c ＝.7因为PF 1＝4，且PF 1＋PF 2＝2a ＝6，所以PF 2＝6－4＝2.所以cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 2－F 1F 22PF 1·PF 2＝＝－，42＋22－(27)22×4×212因为0°<∠F 1PF 2<180°，所以∠F 1PF 2＝120°.14．已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为________．答案 63解析 以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz 如图所示，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，D 1(0,0,1)，所以＝(－1，－2,1)．BD 1→ 因为AB ⊥平面BCC 1B 1，所以＝(0,2,0)为平面BCC 1B 1的法向量．AB → 设直线BD 1与平面BCC 1B 1所成的角为θ，则有sin θ＝|cos 〈，〉|＝AB → BD 1→ |AB → ·BD 1→||AB →| |BD 1→ |＝＝.|(0，2，0)·(－1，－2，1)|2×663二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”．若p ∨q 为真，綈p 为真，求m 的取值范围．解 对p ：∵直线与圆相交，∴d ＝<1，|1－m |2∴－＋1<m <＋1.22对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根，∴令f (x )＝mx 2－x ＋m －4，∴Error!或Error!解得0<m <4.∵綈p 为真，∴p 假．又∵p ∨q 为真，∴q 为真．由数轴可得＋1≤m <4.2故m 的取值范围是[＋1,4)．216．(14分)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A ，B π4两点．(1)用p 表示线段AB 的长；(2)若·＝－3，求这个抛物线的方程．OA → OB → 解 (1)抛物线的焦点为F ，过点F 且倾斜角为的直线方程是y ＝x －.(p 2，0)π4p 2设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立Error!得x 2－3px ＋＝0，p 24∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝，∴AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4p .p 24(2)由(1)知x 1x 2＝，x 1＋x 2＝3p ，p 24∴y 1y 2＝＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋＝－＋＝－p 2，(x 1－p 2)(x 2－p 2)p 2p 24p 243p 22p 24∴·＝x 1x 2＋y 1y 2＝－p 2＝－＝－3，OA → OB → p 243p 24解得p 2＝4，∵p ＞0，∴p ＝2.∴抛物线的方程为y 2＝4x .17．(14分)已知命题p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解 由x 2－8x －20>0，得x <－2或x >10，即命题p 对应的集合为P ＝{x |x <－2或x >10}，由x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)，得[x －(1－m )][x －(1＋m )]>0(m >0)，解得x <1－m 或x >1＋m (m >0)，即命题q 对应的集合为Q ＝{x |x <1－m 或x >1＋m ，m >0}，因为p 是q 的充分不必要条件，所以P 是Q 的真子集．故有Error!或Error!解得0<m ≤3.所以实数m 的取值范围是(0,3]．18．(16分)如图，平面PAC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，PA ＝PC ＝10.设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE .证明 如图，连结OP ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则O (0,0,0)，B (8,0,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，G (0,4,0)．因为＝(8,0,0)，＝(0，－4,3)，设平面BOE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，OB → OE → 则Error!解得x ＝0,4y ＝3z ，令z ＝4，则n ＝(0,3,4)，所以平面BOE 的一个法向量为n ＝(0,3,4)．由＝(－4,4，－3)，得n ·＝0，所以⊥n .FG → FG → FG → 又直线FG 不在平面BOE 内，所以FG ∥平面BOE .19．(16分)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的离心率为，且a 2＝2b .x 2b 2y 2a 222(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝上，求59m 的值．解 (1)由题意得Error!解得Error!故椭圆的方程为x 2＋＝1.y 22(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．联立直线与椭圆的方程得Error!即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，由Δ＝4m 2－12(m 2－2)＝－8m 2＋24＞0，得－＜m ＜.33所以x 0＝＝－，y 0＝x 0＋m ＝，x 1＋x 22m 32m 3即M ，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝上，(－m 3，2m 3)59所以2＋2＝，解得m ＝±1，满足Δ＞0，(－m 3)(2m 3)59故m ＝±1.20．(16分)如图所示，正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，AB ＝2AD ＝2，点E 为AB 的中点．(1)求证：BD 1∥平面A 1DE ；(2)求证：D 1E ⊥A 1D ；(3)在线段AB 上是否存在点M ，使二面角D 1－MC －D 的大小为？若存在，求出AM 的长；π6若不存在，请说明理由．(1)证明 由题意可得D 1D ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,2,0)，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，B (1,2,0)，E (1,1，0)．＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，设平面A 1DE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，DA 1→ DE → 则Error!得Error!取x 1＝1，则n 1＝(1，－1，－1)是平面A 1DE 的一个法向量，又＝(－1，－2,1)，且BD 1—→ ·n 1＝(－1，－2,1)·(1，－1，－1)＝0，故⊥n 1，又BD 1不在平面A 1DE 内，故BD 1—→ BD 1—→ BD 1∥平面A 1DE .(2)证明 由题意得＝(1,1，－1)，＝(1,0,1)，D 1E —→ DA 1—→ ·＝(1,1，－1)·(1,0,1)＝0，D 1E —→ DA 1—→⊥，故D 1E ⊥A 1D .D 1E —→ DA 1—→ (3)解 设M (1，y 0，0)(0≤y 0≤2)，因为＝(－1,2－y 0，0)，＝(0,2，－1)，MC → D 1C —→ 设平面D 1MC 的一个法向量为v 1＝(x ，y ，z )，则Error!得Error!取y ＝1，则v 1＝(2－y 0,1,2)是平面D 1MC 的一个法向量，而平面MCD 的一个法向量为v 2＝(0,0,1)，要使二面角D 1MCD 的大小为，π6则cos ＝|cos 〈v 1，v 2〉|＝π6|v 1·v 2||v 1||v 2|＝＝，2(2－y 0)2＋12＋2232解得y 0＝2－(0≤y 0≤2)．33所以当AM ＝2－时，二面角D 1MCD 的大小为.33π6。
2016-2017学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何单元检测(A)苏教版选修1-2
第3章 单元检测(A 卷)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，使a ⊥b 成立的x 与使a ∥b 成立的x 分别为________．2．设a ＝(x,4,3)，b ＝(3,2，z )，且a∥b ，则xz 的值为________．3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______.4．若向量(1,0，z )与向量(2,1,2)的夹角的余弦值为25，则z ＝________.5．已知a 、b 、c 是不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间一个基底的一组向量是________．(填序号) ①2a ，a －b ，a ＋2b ； ②2b ，b －a ，b ＋2a ； ③a,2b ，b －c ； ④c ，a ＋c ，a －c .6．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.7．设直线a ，b 的方向向量是e 1，e 2，平面α的法向量是n ，则下列命题中错误的是________．(写出所有错误命题的序号) ①⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥e 2e 1∥n ⇒b ∥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥n e 2∥n ⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥n b ⊄αe 1⊥e 2⇒b ∥α； ④⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥e 2e 1∥n ⇒b⊥α.8．如图所示，已知正四面体ABCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．9．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为________．10．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则α与β的关系为________．11．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是________． 12．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝(1,0,1)，b ＝(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是________．13．已知力F1＝(1,2,3)，F2＝(－2,3，－1)，F3＝(3，－4,5)，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从M1(0，－2，1)移到M2(3,1,2)，则合力作的功为________．14．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则x＝______，y＝______.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，点E是棱PB的中点．证明：AE⊥平面PBC.16．(14分)在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，若F是AE的中点．求证：DF∥平面ABC.17．(14分)如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．18.(16分)如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．19．(16分)在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB ＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面所成的角为30°.(1)若AE⊥PD，垂足为E，求证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值．20.(16分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝2，CE ＝EF＝1.(1)求证：CF⊥平面BDE；(2)求二面角A －BE －D 的大小．第3章 空间向量与立体几何(A)1.103，－6 解析 若a ⊥b ，则－8－2＋3x ＝0，x ＝103；若a∥b ，则2∶(－4)＝(－1)∶2＝3∶x ，x ＝－6. 2．9解析 ∵a ＝(x,4,3)，b ＝(3,2，z )，且a∥b ， ∴存在实数λ使得a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ，4＝2λ，3＝z λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，z ＝32.∴xz ＝9.3．－9解析 ∵l ⊥α，∴u ⊥v ，∴(1，－3，z )·(3，－2,1)＝0，即3＋6＋z ＝0，∴z ＝－9.4．2或12解析 由题知，0，z ，1，1＋z 2·3＝2＋2z 1＋z 2·3＝25， 即2z 2－5z ＋2＝0，得z ＝2或12.5．③解析 ∵a ，b 不共线，由共线向量定理知由a ，b 表示出的向量与a ，b 共面，即①、②中的向量因共面不能构成空间一个基底，同理④中的三向量也不能构成空间一个基底． 6．16解析 PA →＝(－1，－3,2)，PB →＝(6，－1,4)．根据共面向量定理，设PC →＝xPA →＋yPB →(x 、y ∈R )，则(2a －1，a ＋1,2)＝x (－1，－3,2)＋y (6，－1,4)＝(－x ＋6y ，－3x －y,2x ＋4y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，解得x ＝－7，y ＝4，a ＝16.7．① 8.413解析 因四面体ABCD 是正四面体，顶点A 在底面BCD 内的射影为△BCD 的垂心，所以有BC ⊥DA ，AB ⊥CD .设正四面体的棱长为4，则BF →·DE →＝(BC →＋CF →)·(DA →＋AE →)＝0＋BC →·AE →＋CF →·DA →＋0＝4×1×cos 120°＋1×4×cos 120°＝－4，BF ＝DE ＝42＋12－2×4×1×cos 60°＝13，所以异面直线DE 与BF 的夹角θ的余弦值为：cos θ＝|BF →·DE →||BF →||DE →|＝413.9．60°解析 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →. ∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA →，BD →〉＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，即〈CA →，BD →〉＝120°，所以二面角的大小为60°.10．α∥β解析 ∵v ＝－3u ，∴v ∥u .故α∥β.11.64解析如图所示，建立坐标系，易求点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，1， 平面AA 1C 1C 的一个法向量是 n ＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，AD →〉＝322＝64，即sin α＝64. 12．60° 解析 ∵cos θ＝a·b |a|·|b |＝12，∴θ＝60°.13．16解析 合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(2,1,7)，F 对物体作的功即为W ＝F ·M 1M 2→＝(2,1,7)·(3,3,1)＝2×3＋1×3＋7×1＝16. 14.16 －32解析 ∵a∥b ，∴2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.15．证明 如图所示，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系A —xyz .设D (0，a,0)，则B (2，0,0)，C (2，a,0)，P (0,0，2)，E (22，0，22)．于是AE →＝(22，0，22)，BC →＝(0，a,0)，PC →＝(2，a ，－2)，则AE →·BC →＝0，AE →·PC →＝0.所以AE →⊥BC →，AE →⊥PC →， 即AE ⊥BC ，AE ⊥PC . 又因为BC ∩PC ＝C ， 所以AE ⊥平面PBC .16．证明 如图所示，以点B 为原点，BA 、BC 、BE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，D (0,2,1)，E (0,0,2)． 由中点坐标公式知F (1,0,1)． ∴DF →＝(1，－2,0)，BE →＝(0,0,2)． ∵BE ⊥平面ABC ， ∴BE →是平面ABC 的一个法向量． ∵DF →·BE →＝(1，－2,0)·(0,0,2)＝0， ∴DF →⊥BE →.又∵DFD 平面ABC ，∴DF ∥平面ABC .17．解 因为BC →＝AC →－AB →，所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB → ＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120° ＝－162＋24.所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.18．解 如图所示，以D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系D —xyz . (1)DA →＝(1,0,0)，CC ′→＝(0,0,1)．连结BD ，B ′D ′.在平面BB ′D ′D 中， 延长DP 交B ′D ′于H . 设DH →＝(m ，m,1) (m >0)，由已知〈DH →，DA →〉＝60°， 由DA →·DH → ＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉，可得2m ＝2m 2＋1.解得m ＝22，所以DH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即DP 与CC ′所成的角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0,1,0)．因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°. 19．(1)证明 以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A —xyz ，由题意知A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (a ，a,0)，D (0,2a,0)． ∵PD 在底面的射影是DA ，且PD 与底面所成的角为30°，∴∠PDA ＝30°，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，233a ，∵AE ⊥PD ，∴|AE →|＝12|AD →|＝a ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，32a ， ∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，12a ，32a ，PD →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，2a ，－233a ， ∴BE →·PD →＝0·(－a )＋a 2·2a ＋3a 2·⎝⎛⎭⎪⎫－23a ＝0， ∴BE →⊥PD →，即BE ⊥PD .(2)解 由(1)知AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，3a 2， CD →＝(－a ，a,0)，∴AE →·CD →＝a 22，又|AE →|＝a ，|CD →|＝2a ， ∴cos 〈AE →，CD →〉＝AE →·CD →|AE →||CD →|＝24， ∴异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为24. 20．(1)证明 因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，且CE ⊥AC ，所以CE ⊥平面ABCD .如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C －xyz .则C (0,0,0)，A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，E (0,0,1)，F (22，22，1)． 所以CF →＝(22，22，1)，BE →＝(0，－2，1)，DE →＝(－2，0,1)． 所以CF →·BE →＝0－1＋1＝0，CF →·DE →＝－1＋0＋1＝0.所以CF →⊥BE →，CF →⊥DE →，即CF ⊥BE ，CF ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以CF ⊥平面BDE .(2)解 由(2)知，CF →＝(22，22，1)是平面BDE 的一个法向量． 设平面ABE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·BA →＝0，n ·BE →＝0， 即⎩⎨⎧ x ，y ，z 2，0，＝0，x ，y ，z ，－2，＝0.所以x ＝0，且z ＝2y .令y ＝1，则z ＝2，所以n ＝(0,1，2)．从而cos 〈n ，CF →〉＝n ·CF →|n ||CF →|＝32. 因为二面角A －BE －D 为锐角，所以二面角A －BE －D 的大小为π6.。
空间向量与立体几何--学习.探究.诊断(选修2-1)
第三章 空间向量与立体几何 测试十一 空间向量及其运算AⅠ 学习目标1．会进行空间向量的加法、减法、数乘运算．2．会利用空间向量基本定理处理向量共线，共面问题以及向量的分解． 3．会进行空间向量数量积的运算，并会求简单的向量夹角．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD BC BA ++＝( )(A)11B D (B)B D 1 (C)1DB(D)1BD2．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若c b a ===1,,AA AD AB ，则下列式子中与M B 1相等的是( )(A)c b a ++-2121 (B)c b a -+2121 (C)c b a -+-2121(D)c b a +--21213．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量BD AD AB 、、11是( ) (A)有相同起点的向量 (B)等长的向量 (C)共面向量(D)不共面向量4．已知空间的基底{i ，j ，k }，向量a ＝i ＋2j ＋3k ，b ＝－2i ＋j ＋k ，c ＝－i ＋m j －n k ，若向量c 与向量a ，b 共面，则实数m ＋n ＝( ) (A)1(B)－1(C)7(D)－75．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，则1AC BD ⋅ ( ) (A)1 (B)0(C)3(D)－3二、填空题6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简=-+1AA AD AB ______.7．已知向量i ，j ，k 不共面，且向量a ＝m i ＋5j －k ，b ＝3i ＋j ＋r k ，若a ∥b ，则实数m ＝______，r ＝______.8．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，所有的棱长均为2，且2-=⋅CC AB ，则AB <,1CC ＞＝_______；异面直线AB 与CC 1所成的角的大小为______.9．已知i ，j ，k 是两两垂直的单位向量，且a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a ·b ＝______． 10．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为1，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，AB ⊥AD ，则AC 1的长度为______.三、解答题11．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，c b a ===1,,AA AD AB ，E 为A 1D 1中点，用基底{a ，b ，c }表示下列向量(1)AF BE DB ,,1；(2)在图中画出CD DB DD ++1化简后的向量．12．已知向量a ＝2i ＋j ＋3k ,b ＝－i －j ＋2k ，c ＝5i ＋3j ＋4k ，求证向量a ，b ，c 共面．13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，E 为CC 1中点，(1)求BC AB ⋅1；(2)求><⋅BE AB BE AB ,cos ,11．Ⅲ 拓展性训练14．如图，点A 是△BCD 所在平面外一点，G 是△BCD 的重心，求证：)(31AD AC AB AG ++=． (注：重心是三角形三条中线的交点，且CG ∶GE ＝2∶1)第三章 空间向量与立体几何测试十一 空间向量及其运算A1．D2．C c b a c c -+-=-+-=+-=+=2121)(212111B B ．3．C ∵D B 111111,∴==-共面． 4．B c ＝a ＋b ＝－i ＋3j ＋4k ＝－i ＋m j －n k ，m ＝3，n ＝－4，m ＋n ＝－1．5．C 12211)()()(AA AB AD AB AD AA AD AB AB AD AC BD ⋅⋅⋅-+-=++-=30||||22=+-=．6．C A AA AC AA AD AB 111=-=-+． 7．15=m ，51-=r ． 8．120°；60°． 9．－2．10．212)(||;5++=112122222AA AB AA AD AD AB AA AD AB ⋅⋅⋅+++++=＝1＋1＋1＋0＋2cos60°＋2cos60°＝5．11．(1)c b a c a c b a ++-=++-=++=+-=2121;11111B A A DB ； c b a c a 2121)(21111++=-++=++=+=BB B BB ．(2)1111111)(DA A D DD CB DD DB CD DD CD DB DD =+=+=++=++． 12．解：设c ＝m a ＋n b ，则5i ＋3j ＋4k ＝m (2i ＋j ＋3k )＋n (－i －j ＋2k ) ＝(2m －n )i ＋(m －n )j ＋(3m ＋2n )k ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-423352n m n m n m ，解得⎩⎨⎧-==12n m ，所以c ＝2a －b ，所以向量a ，b ，c 共面． 13．)()(1111CC BB BC +⋅+=⋅1100011111=+++=⋅+⋅+⋅+⋅CC BB BC BB CC AB BC AB )()(11CE BC BB AB BE AB +⋅+=⋅ ⋅=⋅+⋅+⋅=112121000=+++=． 1010||||,cos ,25||,2||1111=>=<==BE AB BE AB BE AB ． 14．证明∵+=)(31)(31)](21[3232AD CA AB CA CD CB CD CB CE CG +++=+=+==∴)(31)2(31++=+++=．测试十二 空间向量及其运算BⅠ 学习目标1．会进行向量直角坐标的加减，数乘，数量积的运算． 2．掌握用直角坐标表示向量垂直，平行的条件．3．会利用向量的直角坐标表示计算向量的长度和两个向量的夹角．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．a ＝(2，－3，1)，b ＝(2，0，3)，c ＝(0，0，2)，则a ＋6b －8c ＝( ) (A)(14，－3，3)(B)(14，－3，35) (C)(14，－3，－12)(D)(－14，3，－3)2．下列各组向量中不平行的是( ) (A)a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4) (B)c ＝(1，0，0)，d ＝(－3，0，0) (C)e ＝(2，3，0)，f ＝(0，0，0)(D)g ＝(－2，3，5)，h ＝(16，24，40)3．已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－4，2，x )，若a ⊥b ，则x ＝( ) (A)2(B)－2(C)310(D)310-4．与向量(－1，－2，2)共线的单位向量是( )(A))32,32,31(-和)32,32,31(-- (B))32,32,31(- (C))32,32,31(和)32,32,31(---(D))32,32,31(--5．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于( )(A)2 (B)－2 (C)－2或552 (D)2或552-二、填空题6．已知点A (3，2，1)，向量＝(2，－1，5)，则点B 的坐标为______，｜｜＝______． 7．已知3(2，－3，1)－3x ＝(－1，2，3)，则向量x ＝______． 8．若向量a ＝(2，1，－2)，b ＝(6，－3，2)，则cos<a ，b>＝______．9．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是______． 10．若空间三点A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)共线，则p ＝______，q ＝______． 三、解答题11．已知向量a ＝(1，－1，2)，b ＝(－2，1，－1)，c ＝(2，－2，1)，求(1)(a ＋c )·a ； (2)｜a －2b ＋c ｜； (3)cos 〈a ＋b ，c 〉．12．已知向量a ＝(2，－1，0)，b ＝(1，2，－1)，(1)求满足m ⊥a 且m ⊥b 的所有向量m ． (2)若302||=m ，求向量m ．13．已知向量a ＝(－2，1，－2)，b ＝(1，2，－1)，c ＝(x ，5，2)，若c 与向量a ，b 共面，求实数x 的值．14．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点。
选修2-1章末综合测评3 空间向量与立体几何【含答案】
章末综合测评(三) 空间向量与立体几何(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a ＝(1，－3，2)平行的一个向量的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D.()2，－3，－22C [a ＝(1，－3，2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1.]2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12 B ．x ＝1，y ＝13 C ．x ＝12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝14D [AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→ ＝AA 1→＋14AC →＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)， ∴x ＝1，y ＝14.应选A.]3．已知A (2，－4，－1)，B (－1，5，1)，C (3，－4，1)，D (0，0，0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 为( )A ．(5，－9，2)B ．(－5，9，－2)C ．(5，9，－2)D ．(5，－9，－2) B [a ＝CA →＝(－1，0，－2)，b ＝CB →＝(－4，9，0)， ∴a ＋b ＝(－5，9，－2)．]4．已知点A (1，2，1)，B (－1，3，4)，D (1，1，1)，若AP →＝2PB →，则|PD →|的值是( )A.13 B.23 C.773D.63C [设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －1，y －2，z －1)， PB →＝(－1－x ，3－y ，4－z )， 由AP →＝2PB →知x ＝－13，y ＝83，z ＝3， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，83，3.由两点间距离公式可得|PD →|＝773.]5．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( ) A.AB →＝－C 1D 1→ B.AB →·BC →＝0 C.AA 1→·B 1D 1→＝0D.AC 1→·A 1C →＝0D [如图，AB →∥C 1D 1→，AB →⊥BC →，AA 1→⊥B 1D 1→，故A ，B ，C 选项均正确．]6．设ABCD 的对角线AC 和BD 交于E ，P 为空间任意一点，如图所示，若P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝xPE →，则x ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5C [∵E 为AC ，BD 的中点， ∴由中点公式得PE →＝12(P A →＋PC →)， PE →＝12(PB →＋PD →)．∴P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PE →.从而x ＝4.]7．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.647D.657D [∵a ，b ，c 三向量共面，则存在不全为零的实数x ，y ，使c ＝x a ＋y b ， 即(7，5，λ)＝x (2，－1，3)＋y (－1，4，－2) ＝(2x －y ，－x ＋4y ，3x －2y )， 所以⎩⎨⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337，y ＝177.∴λ＝3x －2y ＝657.]8．若向量a ＝(x ，4，5)，b ＝(1，－2，2)，且a 与b 的夹角的余弦值为26，则x ＝( )A ．3B ．－3C ．－11D ．3或－11A [因为a·b ＝(x ，4，5)·(1，－2，2)＝x －8＋10＝x ＋2，且a 与b 的夹角的余弦值为26，所以26＝x ＋2x 2＋42＋52×1＋4＋4，解得x ＝3或－11(舍去)，故选A.]9．若直线l 的方向向量为(2，1，m )，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，且l ⊥α，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 C [∵l ⊥α，∴直线l 的方向向量平行于平面α的法向量． ∴21＝112＝m 2.∴m ＝4.]10．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° C [建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1， 则A (0，0，0)，B (1，0，0)，A 1(0，0，1)，C 1(0，1，1)， ∴BA 1→＝(－1，0，1)，AC 1→＝(0，1，1)，∴cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝BA 1→·AC 1→|BA 1→||AC 1→|＝12×2＝12.∴〈BA 1→，AC 1→〉＝60°，即异面直线BA 1与AC 1所成角为60°.]11．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13A [以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D (0，0，0)，C (0，1，0)，B (1，1，0)，C 1(0，1，2)，则DC →＝(0，1，0)，DB →＝(1，1，0)，DC 1→＝(0，1，2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以有⎩⎨⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2，1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC →|n ||DC →|＝23.]12．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝435，那么二面角A -BD -P 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° A [如图所示，建立空间直角坐标系， 则PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，－453，BD →＝(－3，4，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的一个法向量，则 ⎩⎨⎧n ·PB →＝0，n ·BD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧（x ，y ，z ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，－453＝0，（x ，y ，z ）·（－3，4，0）＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧3x －453z ＝0，－3x ＋4y ＝0.令x ＝1，则n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34，543.又n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，453为平面ABCD 的一个法向量，∴cos 〈n 1，n 〉＝n 1·n |n 1||n |＝32，∴所求二面角为30°.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，则下列三个式子中： ①AB →－CB →＝AC →； ②AA ′→＝CC ′→；③AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 其中正确的有________．①② [①AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，正确；②显然正确；③AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝(AB →＋BC →)＋(BB ′→＋C ′C →)＝AC →＋0≠AC ′→，错误．]14．若向量m ＝(－1，2，0)，n ＝(3，0，－2)都与一个二面角的棱垂直，则m ，n 分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为________．－36565或36565 [∵cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n | ＝－1×3＋2×0＋0×（－2）5×13＝－36565.∴二面角的余弦值为－36565或36565.]15．如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是平面A 1B 1C 1D 1的中心，则BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________．36 [建立坐标系如图，则B (1，1，0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，DA 1→＝(1，0，1)是平面ABC 1D 1的一个法向量．又OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－1，∴BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为|cos 〈OB →，DA 1→〉| ＝|OB →·DA 1→||OB →|·|DA 1→|＝1262×2＝36.] 16．设动点P 在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1PD1B＝λ，当∠APC 为钝角时，λ的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (1，0，0)，C (0，1，0)，B (1，1，0)，D 1(0，0，1)，设P (x ，y ，z )，则D 1P →＝(x ，y ，z －1)，D 1B →＝(1，1，－1)，由D 1P →＝λD 1B →， 得(x ，y ，z －1)＝λ(1，1，－1)， ∴⎩⎨⎧x ＝y ＝λ，z －1＝－λ，即P (λ，λ，1－λ)， ∴P A →＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC →＝(－λ，1－λ，λ－1)， 由P A →·PC →<0得－2λ(1－λ)＋(λ－1)2<0，解得13<λ<1. 由题意知P A →与PC →所成的角不可能为π，故13<λ<1.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 是正方形，CC 1＝3，CD ＝2，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝60°.(1)设CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示A 1C →； (2)已知O 为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心，求CO 的长． [解] (1)由CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，得CA 1→＝a ＋b ＋c ， 所以A 1C →＝－a －b －c .(2)O 为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心，即O 为线段A 1C 的中点． 由已知条件得|a |＝|b |＝2，|c |＝3，a ·b ＝0，〈a ，c 〉＝60°，〈b ，c 〉＝60°. 由(1)得CA 1→＝a ＋b ＋c ，则|CA 1→|2＝CA 1→2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝22＋22＋32＋0＋2×2×3×cos 60°＋2×2×3×cos 60°＝29.所以A 1C 的长为29，所以CO 的长为292.18．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)证明：PC ∥平面BAQ .[证明] 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D -xyz .(1)依题意有Q (1，1，0)，C (0，0，1)，P (0，2，0)，则DQ →＝(1，1，0)，DC →＝(0，0，1)，PQ →＝(1，－1，0)，所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC 且DQ ∩DC ＝D . 故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)根据题意，DA →＝(1，0，0)，AB →＝(0，0，1)，AQ →＝(0，1，0)，故有DA →·AB →＝0，DA →·AQ →＝0，所以DA →为平面BAQ 的一个法向量．又因为PC →＝(0，－2，1)，且DA →·PC →＝0，即DA ⊥PC ，且PC 平面BAQ ，故有PC ∥平面BAQ .19．(本小题满分12分)如图所示，已知点P 在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小． (2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．[解] (1)如图所示，以D 为原点，DA ，DC ，DD ′分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，设DA ＝1.则DA →＝(1，0，0)，CC ′→＝(0，0，1)． 连接BD ，B ′D ′.在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于H .设DH →＝(m ，m ，1)(m >0)， 由已知〈DH →，DA →〉＝60°，由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉，可得2m ＝2m 2＋1.解得m ＝22， 所以DH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×12×1＝22，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即DP 与CC ′所成的角为45°. (2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0，1，0)， 因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，可得DP 与平面AA ′D ′D所成的角为30°.20．(本小题满分12分)如图，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．(1)求证：平面PBC ⊥平面P AC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角C -PB -A 的余弦值． [解] (1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ， 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面PBC . 所以平面PBC ⊥平面P AC .(2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3.又因为P A ＝1，所以A (0，1，0)，B (3，0，0)，P (0，1，1)． 故CB →＝(3，0，0)，CP →＝(0，1，1)．设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧CB →·n 1＝0，CP →·n 1＝0，所以⎩⎨⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0，1，－1)．因为AP →＝(0，0，1)，AB →＝(3，－1，0)，设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧AP →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎨⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0， 不妨令x 2＝1，则n 2＝(1 3，0)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64. 由图知二面角C -PB -A 为锐角，故二面角C -PB -A 的余弦值为64.21．(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．[解]以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)，BC 1→＝(－2，0，2)，FP →＝(－1，0，λ)，FE →＝(1，1，0)．(1)证明：当λ＝1时，FP →＝(－1，0，1)，因为BC 1→＝(－2，0，2)．所以BC 1→＝2FP →，可知BC 1∥FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0， 于是可取n ＝(λ，－λ，1)，同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)，若存在λ，使得平面EFPQ 与平面PQMN 所在的二面角为直二面角， 则m·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角．22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1BC 1B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BD BC 1的值． [解] (1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题意知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A -xyz ，则B (0，3，0)，A 1(0，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(4，0，4)．所以A 1B →＝(0，3，－4)，A 1C 1→＝(4，0，0)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0，即⎩⎨⎧3y －4z ＝0，4x ＝0. 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(0，4，3)． 同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3，4，0)．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.由题意知二面角A 1BC 1B 1为锐角，所以二面角A 1BC 1B 1的余弦值为1625.(3)证明：假设D (x 1，y 1，z 1)是线段BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→(λ∈[0，1])，所以(x 1，y 1－3，z 1)＝λ(4，－3，4)． 解得x 1＝4λ，y 1＝3－3λ，z 1＝4λ，所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD →·A 1B →＝0，得9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0，1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B . 此时BD BC 1＝λ＝925.。
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其线性运算 3.1.2 共面向量定理学业
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其线性运算 3.1.2 共面向量定理学业分层测评 苏教版选修2-1(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．下列命题中，假命题是________(填序号)． ①若AB →与CD →共线，则A ，B ，C ，D 不一定在同一直线上； ②只有零向量的模等于0； ③共线的单位向量都相等．【解析】 ①②正确．共线的单位向量方向不一定相同，③错误． 【答案】 ③2．下列结论中，正确的是________(填序号)． ①若a ，b ，c 共面，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ； ②若a ，b ，c 不共面，则不存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ； ③若a ，b ，c 共面，b ，c 不共线，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c .【解析】 要注意共面向量定理给出的是一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提；b ，c 是不共线向量，否则即使三个向量a ，b ，c 共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③正确．【答案】 ②③3．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的点P 与A ，B ，C 共面，那么λ＝________.【解析】 ∵P 与A ，B ，C 共面，∴AP →＝αAB →＋βAC →，∴AP →＝α(OB →－OA →)＋β(OC →－OA →)，即OP →＝OA →＋αOB →－αOA →＋βOC →－βOA →＝(1－α－β)OA →＋αOB →＋βOC →，∴1－α－β＋α＋β＝1.因此15＋23＋λ＝1，解得λ＝215.【答案】2154．如图317，已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________(用向量a ，b ，c 表示)．图317【解析】 设G 为BC 的中点，连结EG ，FG ，则EF →＝EG →＋GF →＝12AB →＋12CD →＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c ) ＝3a ＋3b －5c . 【答案】 3a ＋3b －5c5．如图318，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1，若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，则x ＋y ＋z ＝________.图318【解析】 EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝AD →－AB →＋13AA 1→，∴x＝－1，y ＝1，z ＝13，∴x ＋y ＋z ＝13.【答案】 136．如图319，在三棱锥A BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其重心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________. 【导学号：09390071】图319【解析】 ∵E 为△BCD 的重心， ∴DE ＝23DF ，DF →＝32DE →.∴AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AB →＋BF →－AD →－32DE →＝AF →－AD →－32DE →＝DF →－32DE →＝0.【答案】 07．i ，j ，k 是三个不共面的向量，AB →＝i －2j ＋2k ，BC →＝2i ＋j －3k ，CD →＝λi ＋3j －5k ，且A ，B ，C ，D 四点共面，则λ的值为________．【解析】 若A ，B ，C ，D 四点共面，则向量AB →，BC →，CD →共面，故存在不全为零的实数a ，b ，c ，使得aAB →＋bBC →＋cCD →＝0，即a (i －2j ＋2k )＋b (2i ＋j －3k )＋c (λi ＋3j －5k )＝0， ∴(a ＋2b ＋λc )i ＋(－2a ＋b ＋3c )j ＋(2a －3b －5c )k ＝0. ∵i ，j ，k 不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋λc ＝0，－2a ＋b ＋3c ＝0，2a －3b －5c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝－c ，λ＝1.【答案】 1 8．有四个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ； ③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A ，B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题是________(填序号)．【解析】 由共面向量定理知，①正确；若p 与a ，b 共面，当a 与b 共线且p 与a 和b 不共线时，就不存在实数组(x ，y )使p ＝x a ＋y b 成立，故②错误；同理③正确，④错误．【答案】 ①③二、解答题9．如图3110所示，ABCD A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是平行四边形．若AE →＝12EC →，A 1F →＝2FD →，若AB →＝b ，AD →＝c ，AA 1→＝a ，试用a ，b ，c 表示EF →.图3110【解】 如图，连结AF ，则EF →＝EA →＋AF →.由已知ABCD 是平行四边形， 故AC →＝AB →＋AD →＝b ＋c ，A 1D →＝A 1A →＋AD →＝－a ＋c .由已知，A 1F →＝2FD →，∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →－FD →＝AD →－13A 1D →＝c －13(c －a )＝13(a ＋2c )，又EA →＝－13AC →＝－13(b ＋c )，∴EF →＝EA →＋AF →＝－13(b ＋c )＋13(a ＋2c )＝13(a －b ＋c )．10．如图3111所示，已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．图3111【证明】 ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，则EH →＝AH →－AE → ＝12AD →－12AB →＝12BD → ＝12(CD →－CB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32CG →－32CF →＝34(CG →－CF →)＝34FG →， ∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在直线EH 上， ∴四边形EFGH 是梯形．能力提升]1．平面α内有点A ，B ，C ，D ，E ，其中无三点共线，O 为空间一点，满足OA →＝12OB →＋xOC→＋yOD →，OB →＝2xOC →＋13OD →＋yOE →，则x ＋3y ＝________.【解析】 由点A ，B ，C ，D 共面得x ＋y ＝12，又由点B ，C ，D ，E 共面得2x ＋y ＝23，联立方程组解得x ＝16，y ＝13，所以x ＋3y ＝76.【答案】 762．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________. 【解析】 如图，取AB 的中点D ， OG →＝OC →＋CG →＝OC →＋23CD →＝OC →＋23·12(CA →＋CB →)＝OC →＋13(OA →－OC →)＋(OB →－OC →)]＝13OA →＋13OB →＋13OC →. ∴OA →＋OB →＋OC →＝3OG →. 【答案】 33．(2016·贵港高二检测)在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是______．【解析】 a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确．综上可知，四个命题中正确的个数为0.【答案】 04．如图3112，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，H 为BC 的中点．求证：FH ∥平面EDB .图3112【证明】 因为H 为BC 的中点，所以FH →＝12(FB →＋FC →)＝12(FE →＋EB →＋FE →＋ED →＋DC →)＝12(2FE→＋EB →＋ED →＋DC →)．因为EF ∥AB ，CD ∥AB ，且AB ＝2EF ，所以2FE →＋DC →＝0，所以FH →＝12(EB →＋ED →)＝12EB →＋12ED →.因为EB →与ED →不共线，由共面向量定理知，FH →，EB →，ED →共面． 因为FH ⊄平面EDB ， 所以FH ∥平面EDB .。
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本章测评 一、选择题 1.若a、b、c为任意向量,m∈R,下列等式不一定成立的是( ) A.(a+b)+c=a+(b+c) B.(a+b)·c=a·c+b·c C.m(a+b)=ma+mb D.(a·b)·c=a·(b·c) 思路解析:本题考查了向量的运算法则、运算律.A表示的是向量加法,符合结合律,B表示数量积形式下的分配律，C表示数乘向量，均正确，而D中（a·b）·c表示与c共线的向量，a·(b·c)表示与a共线的向量，故不正确. 答案:D
2.已知ABCD是四面体,O为△BCD内一点,则AO=31(AB+AC+AD)是O为△BCD的重心的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 思路解析:本题考查了向量的运算、充要条件的判断等基础知识. 答案:C
3.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),a、b夹角的余弦值为98,则λ等于( )
A.2 B.-2 C.-2或552 D.2或552 思路解析:本题考查了向量夹角公式.cos〈a,b〉=||||baba,∴9835422, 解之，得λ=-2或552. 答案:C 4.在以下命题中: ①｜a｜-｜b｜=｜a+b｜是a、b共线的充要条件; ②若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb;
③对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C,若OP=2OA-2OB-OC,则P、A、B、C四点共面; ④若{a,b,c}为空间一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间另一个基底; ⑤｜(a·b)c｜=｜a｜｜b｜｜c｜. 其中不正确的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 思路解析:①不正确，应为充分不必要条件;②不正确，b应为非零向量;③不正确，右边系数和为1时，才可得四点共面;⑤不正确，｜(a·b)c｜=｜a｜｜b｜｜c｜cos〈a,b〉. 答案:C 5.设a=(x,4,3),b=(3,2,z),且a∥b,则xz等于( )
A.-4 B.9 C.-9 D.964
思路解析:本题考查了空间向量共线的充要条件.a∥bzx3243∴x=6,z=23 ∴xz=9. 答案:B 6.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成的角为( )
A.arccos23 B.arccos1010 C.arccos53 D.arccos52 思路解析:本题考查了异面直线所成角的求法，可以构建空间直角坐标系求解.如图，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),M(1,21,1),C(0,1,0),N(1,1,21).
∴AM=(0,21,1),CN=(1,0,21). ∴AM·CN=21,｜AM｜=25=｜CN｜.
∴cos〈AM,CN〉=52252521. 答案:D 7.如图,四面体P—ABC中,PC⊥面ABC,AB=BC=CA=PC,那么二面角BAPC的余弦值为( )
A.22 B.33 C.77 D.75 思路解析:求二面角的大小，可以用传统方法，也可用向量法.作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，设AB=1,则易得CE=22,EP=22,PA=PB=2,AB=1, 可以求得BD=414,ED=42. ∵BC=BD+DE+EC, ∴BC2=BD2+DE2+EC2+2BD·DE+2DE·EC+2EC·BD. ∴EC·BD=41.
∴cos〈BD,EC〉=77. 答案:C 8.已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是边AB、AD的中点,GC垂直于正方形ABCD所在平面α,且GC=2,则点B到平面EFG的距离为( )
A.3 B.5 C.1111 D.11112 思路解析:如图，建立空间直角坐标系，则B(0,4,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2),
GE=(2,4,-2),GF=(4,2,-2),
设n=(x,y,z)是平面EFG的一个法向量，则,0224,0242zyxGFnzyxGEn 令x=1,则y=1,z=3, ∴n=(1,1,3).而EB=(-2,0,0), ∴d=11112||||nEBn. 答案：D 9.空间四点A、B、C、D每两点的连线长都等于a,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上,则点P与Q的最小距离为( )
A.2a B.a22 C.a23 D.a26 思路解析:求PQ的最小值，需先将PQ表示出来，再用代数方法确定最值.
AB、AC、AD两两夹角均为60°，
设PA=-λAB,DQ=uDC, 则PQ=PA+AD+DQ=-λAB+AD+u(AC-AD)=-λAB+(1-u)AD+uAC. ∴｜PQ｜2=λ2AB2+(1-u)2AD2+u2AC2+2λ(u-1)AB·AD+2(1-u)uAD·AC-2λuAB·AC=λ2a2+
a2-2ua2+u2a2+u2a2+λua2-λa2+ua2-u2a2-λua2=a2(λ2+u2-u-λ+1)
=a2［(λ-21)2+(u-21)2+21］≥22a.
∴｜PQ｜≥a22. 答案:B 10.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别为A1B和AC上的
点,A1M=AN=a32,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 思路解析:用向量法判断.
∵A1M=AN=a32, ∴A1M=31AB,AN=31AC. ∴MN=ANAAMA11 =ACAABA313111=-3111BA-31AA1+AA1+3111BA+31AD =32AA1+31AD=32BB1+3111CB. ∴MN、BB1、11CB共面. ∵MN平面BB1C1C, ∴MN∥平面BB1C1C. 答案:B 二、填空题 11.与A(-1,2,3),B(0,0,5)两点距离相等的点满足的条件为______________.
思路解析:利用空间距离公式解题，设符合条件的点P的坐标为(x,y,z),则｜PA｜=｜PB｜. ∴(x+1)2+(y-2)2+(z-3)2=x2+y2+(z-5)2, 化简得2x-4y+4z-11=0. 答案:2x-4y+4z-11=0
12.A1、A2、A3是空间不共线的三点,则133221AAAAAA=___________________.类比上述性质得到一般性结论为___________________. 思路解析:充分利用向量加法的三角形法则解决问
题.3131133221AAAAAAAAAA=0,可以推广为n个首尾顺次相连的有向线段对应的向量相加，只需连续运用三角形法则来解题. 答案:0 113221AAAAAAAAnnn
=0
13.已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,ABCD是边长为a的正方形,AA1=b,∠A1AB= ∠A1AD=120°,则A1C的长为_______________.
思路解析:利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，将CA1用11BA、11DA、AA1来
表示，然后用求向量的模的方法，求长度｜CA1｜. CA1=AA1+11BA+11DA, ∴｜CA1｜2=(AA1+11BA+11DA)2 =AA12+11BA2+11DA2+2AA1·11BA+2AA1·11DA+211BA·11DA =b2+a2+a2+ab+ab=2a2+2ab+b2. 答案:2222baba
14.设点O(0,0,0),A(1,-2,3),B(-1,2,3),C(1,2,-3),若OA与BC的夹角为θ,则cosθ=____________. 思路解析:本题主要考查向量夹角公式.OA=(1,-2,3),BC=(2,0,-6), ∴cosθ=353546232163022122222.
答案:35354 三、解答题 15.已知向量a,b,c满足a+b+c=0,｜a｜=3,｜b｜=2,｜c｜=4,求a·b+b·c+c·a. 思路解析:利用向量运算律和数量积公式解题. 解：∵a+b+c=0, ∴(a+b+c)2=0. ∴a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0.
∴a·b+b·c+c·a=21(32+22+42)=229. 16.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M为B1C1上一点,且B1M=2,点N在线段A1D上,A1D⊥AN.
(1)求cos〈AMDA,1〉; (2)求直线AD与平面ANM所成角的大小. 思路解析:本题主要考查向量夹角公式和直线与平面所成的角问题.由于在长方体中解决问题，故可以通过构建空间直角坐标系的方法求解. 解:（1）如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)，M（5,2,4）,A1(0,0,4),D(0,8,0), ∴AM=(5,2,4),DA1=(0,8,-4). ∴AM·DA1=0+16-16=0. ∴cos〈DA1,AM〉=0. （2）∵AM·DA1=0,∴AM⊥DA1. 又AN⊥A1D, ∴A1D⊥平面AMN.
∴DA1=(0,8,-4)是平面ANM的法向量.
又AD=(0,8,0), ｜DA1｜=54,｜AD｜=8,DA1·AD=64,
∴cos〈DA1,AD〉=55285464.
∴AD与平面ANM所成的角为2-arccos552. 17.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D为A1C1的中点,E为B1C的中点.
(1)求直线BE与A1C所成的角; (2)在线段AA1上是否存在点F,使CF⊥平面B1DF?若存在,求出｜AF｜;若不存在,说明理由. 思路解析:求异面直线所成的角为常规问题，比较简单.第(2)问为探索性问题，通常有两种方法：（1）猜出结论（点F的位置）.然后证明；（2）利用计算的方法直接求出该点位置.方法（1）偶然性较强，因为必须“猜中”点的位置，否则将无法进行下去，方法（2）比较稳妥. 解:如图,建立空间直角坐标系.