初一动点问题答案

线段与角的动点问题 1．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发． （1）当P运动到线段AB上且PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OC的三等分点，求点Q的运动速度； （2）若点Q运动速度为3cm/秒，经过多长时间P、Q两点相距70cm

【解答】解：（1）P在线段AB上，由PA＝2PB及AB＝60，可求得PA＝40，OP＝60，故点P运动时间为60秒． 若CQ＝OC时，CQ＝30，点Q的运动速度为30÷60＝（cm/s）； 若OQ＝OC，CQ＝60，点Q的运动速度为60÷60＝1（cm/s）． （2）设运动时间为t秒，则t+3t＝90±70，解得t＝5或40， ∵点Q运动到O点时停止运动， ∴点Q最多运动30秒，当点Q运动30秒到点O时PQ＝OP＝30cm，之后点P继续运动40秒，则 PQ＝OP＝70cm，此时t＝70秒，

故经过5秒或70秒两点相距70cm． 2．如图，直线l上依次有三个点O，A，B，OA＝40cm，OB＝160cm． （1）若点P从点O出发，沿OA方向以4cm/s的速度匀速运动，点Q从点B出发，沿BO方向匀速运动，两点同时出发 ①若点Q运动速度为1cm/s，则经过t秒后P，Q两点之间的距离为 |160﹣5t| cm（用含t的式子表示） ②若点Q运动到恰好是线段AB的中点位置时，点P恰好满足PA＝2PB，求点Q的运动速度． （2）若两点P，Q分别在线段OA，AB上，分别取OQ和BP的中点M，N，求的值． 【解答】解：（1）①依题意得，PQ＝|160﹣5t|； 故答案是：|160﹣5t|； ②如图1所示：4t﹣40＝2（160﹣4t），解得 t＝30， 则点Q的运动速度为：＝2（cm/s）； 如图2所示：4t﹣40＝2（4t﹣160），解得t＝7， 则点Q的运动速度为：＝（cm/s）； 综上所述，点Q的运动速度为2cm/s或cm/s； （2）如图3，两点P，Q分别在线段OA，AB上，分别取OQ和BP的中点M，N，求的值． OP＝xBQ＝y，则MN＝（160﹣x）﹣（160﹣y）+x＝（x+y），

所以，＝＝2．

3．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝60cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动． （1）当点P运动到AB的中点时，所用的时间为 90 秒． （2）若另有一动点Q同时从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，速度为3cm/秒，求经过多长时间P、Q两点相距30cm

【解答】解：（1）当点P运动到AB的中点时，点P运动的路径为60cm+30cm＝90cm， 所以点P运动的时间＝＝90（秒）； 故答案为90； （2）当点P和点Q在相遇前，t+30+3t＝60+60+10，解得t＝25（秒）， 当点P和点Q在相遇后，t+3t﹣30＝60+60+10，解得t＝40（秒）， 答：经过25秒或40秒时，P、Q两点相距30cm． 4．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍． （1）点B表示的数是 15 ；点C表示的数是 3 ； （2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6 （3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）点B表示的数是﹣3+18＝15；点C表示的数是﹣3+18×＝3． 故答案为：15，3； （2）点P与点Q相遇前，4t+2t＝18﹣6，解得t＝2； 点P与点Q相遇后，4t+2t＝18+6，解得t＝4； （3）假设存在， 当点P在点C左侧时，PC＝6﹣4t，QB＝2t， ∵PC+QB＝4，∴6﹣4t+2t＝4， 解得t＝1． 此时点P表示的数是1； 当点P在点C右侧时，PC＝4t﹣6，QB＝2t， ∵PC+QB＝4，∴4t﹣6+2t＝4，解得t＝． 此时点P表示的数是． 综上所述，在运动过程中存在PC+QB＝4，此时点P表示的数为1或． 5．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．

（1）如图①，若∠AOB＝155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数． （2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系∠AOB与∠DOC有何关系直接写出你发现的结论． （3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由． 【解答】解：（1）∠AOD＝∠BOC＝155°﹣90°＝65°， ∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°； （2）∠AOD＝∠BOC， ∠AOB+∠DOC＝180°； （3）∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°， ∵∠AOC＝∠BOD＝90°， ∴∠AOB+∠DOC＝180°． 6．以直线AB上点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将直角△DOE的直角顶点放在点O处． （1）如图1，若直角△DOE的边OD放在射线OB上，则∠COE＝ 30° ； （2）如图2，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE平分∠AOC，说明OD所在射线是∠BOC的平分线； （3）如图3，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得∠COD＝∠AOE．求∠BOD的度数． 【解答】解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°， 又∵∠COB＝60°， ∴∠COE＝30°， 故答案为：30°；

（2）∵OE平分∠AOC， ∴∠COE＝∠AOE＝COA， ∵∠EOD＝90°， ∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°， ∴∠COD＝∠DOB， ∴OD所在射线是∠BOC的平分线；

（3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝5x°， ∵∠DOE＝90°，∠BOC＝60°， ∴6x＝30或5x+90﹣x＝120 ∴x＝5或， 即∠COD＝5°或° ∴∠BOD＝65°或°． 7．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝130°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：此时直线ON是否平分∠AOC请直接写出结论：直线ON 平分 （平分或不平分）∠AOC． （2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 13或49 ．（直接写出结果） （3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究：当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．

【解答】解：（1）平分，理由：延长NO到D， ∵∠MON＝90°∴∠MOD＝90° ∴∠MOB+∠NOB＝90°， ∠MOC+∠COD＝90°， ∵∠MOB＝∠MOC， ∴∠NOB＝∠COD， ∵∠NOB＝∠AOD， ∴∠COD＝∠AOD， ∴直线NO平分∠AOC；

（2）分两种情况： ①如图2，∵∠BOC＝130° ∴∠AOC＝50°， 当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD＝∠COD＝25°， ∴∠BON＝25°，∠BOM＝65°， 即逆时针旋转的角度为65°， 由题意得，5t＝65° 解得t＝13（s）； ②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA＝25°， ∴∠AOM＝65°， 即逆时针旋转的角度为：180°+65°＝245°， 由题意得，5t＝245°， 解得t＝49（s）， 综上所述，t＝13s或49s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC； （3）∠AOM﹣∠NOC＝40°， 理由：∵∠AOM＝90°﹣∠AON∠NOC＝50°﹣∠AON， ∴∠AOM﹣∠NOC ＝（90°﹣∠AON）﹣（50°﹣∠AON） ＝40°． 9．已知∠AOC＝40°，∠BOD＝30°，∠AOC和∠BOD均可绕点O进行旋转，点M，O，N在同一条直线上，OP是∠COD的平分线．

（1）如图1，当点A与点M重合，点B与点N重合，且射线OC和射线OD在直线MN的同侧时，求∠BOP的余角的度数； （2）在（1）的基础上，若∠BOD从ON处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为5°/s，同时∠AOC从OM处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为3°/s，如图2所示，当旋转6s时，求∠DOP的度数． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°，∠BOD＝30°， ∴∠COD＝180°﹣40°﹣30°＝110°， ∵OP是∠COD的平分线，