构造函数证明平面几何问题
用函数解决几何问题
用函数解决几何问题函数是数学中的重要概念，它们能够将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
在几何学中，我们也可以使用函数来解决一些几何问题。
本文将介绍如何使用函数来解决几何问题，并且给出几个具体的例子。
一、函数的基本概念函数是几何学中常用的工具，它可以将几何形状的属性与数值联系起来。
在几何学中，我们通常将几何形状的特征参数称为自变量，而将对应的几何属性称为因变量。
通过定义一个函数，我们可以根据给定的自变量的值求出对应的因变量的值，从而解决几何问题。
二、使用函数解决几何问题的步骤1. 确定问题的几何形状和属性。
首先，我们需要明确问题是关于哪个几何形状的，以及需要解决该几何形状的哪些属性。
例如，如果问题涉及到一个圆的面积，我们需要确定圆是我们需要考虑的几何形状，而面积是我们需要求解的属性。
2. 建立函数表达式。
在确定了问题的几何形状和属性之后，我们需要建立一个函数表达式，将自变量和因变量联系起来。
函数表达式的形式与具体的问题相关，可以是一元函数或多元函数。
例如，在求解圆的面积问题中，我们可以建立一个一元函数，该函数的自变量是圆的半径，因变量是圆的面积。
3. 求解函数的值。
一旦建立了函数表达式，我们就可以根据给定的自变量的值，使用函数表达式求解对应的因变量的值。
这样，我们就能够准确地得到问题的答案。
三、使用函数解决几何问题的例子1. 求解圆的面积。
假设我们要求解一个半径为r的圆的面积。
我们可以建立一个函数A(r)表示圆的面积，其中r为自变量。
利用圆的面积公式A(r) = π*r^2，我们可以根据给定的半径r，通过函数A(r)求解对应的面积。
2. 求解三角形的面积。
假设我们要求解一个三角形的面积。
我们可以建立一个函数A(a, b, c)表示三角形的面积，其中a、b、c为三角形的边长。
利用海伦公式，我们可以根据给定的三个边长a、b、c，通过函数A(a, b, c)求解对应的面积。
3. 求解直线的斜率。
假设我们要求解一条直线的斜率。
例析构造法在高中数学解题中的应用
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１６㊀例析构造法在高中数学解题中的应用例析构造法在高中数学解题中的应用Һ张文琴１㊀许零筝２㊀（１．台州市第一中学，浙江㊀台州㊀３１８０００；２．三门第二高级中学，浙江㊀台州㊀３１７１９９）㊀㊀ʌ摘要ɔ构造法是指依据题设条件㊁结论特征和性质，构造辅助内容，使其成为全新的方程㊁函数㊁图像㊁代数式等．构造法在数学解题中的应用，彻底打破了定向思维的束缚，开辟了全新的解题视角，有效提升了学生的数学解题能力．基于此，文章分析了构造法在高中数学解题中的应用价值，并针对构造法在高中数学解题中的具体应用进行了详细探究．ʌ关键词ɔ高中数学；解题能力；构造法；核心素养常规的解题思路基本上都是从已知条件向所求结论展开定向思考．但针对部分题目来说，常规的解题思路已经无法满足解题要求．此时，学生可以借助创造性的思维，根据题目中所给出的已知条件㊁结论特征等，构造辅助内容，使其成为全新的方程㊁函数㊁图像㊁代数式等，进而将已知条件和结论联系起来，形成解题思路．从构造法的内涵上来说，其中也蕴含了大量的数学思想，如：类比㊁归纳㊁转化．学生在创造性解答问题的过程中，不仅促进了数学知识的内化㊁迁移，也实现了数学思维的发展，这与数学核心素养的要求不谋而合．鉴于此，强化学生利用构造法解题，已经成为当前高中数学教学的重中之重．一㊁构造法与高中数学解题教学（一）构造法的内涵构造法在高中数学解题中尤为常见，主要思路是运用所学数学知识，以题目中的已知条件㊁所求结论作为解题出发点，通过综合性分析，构造出能够满足题目已知条件和所求结论的新形式，进而促进原有数学问题转化，使原本繁杂的数学问题变得简单㊁清晰，以便于学生迅速形成新的解题思路．鉴于构造法的内涵，其在解题中呈现出五个显著的特点：其一，构造性，主要是借助创新思维构造模型，立足于数学问题的本质，促进数学问题的简单化；其二，直观性，主要是借助已有数学知识，结合数学题目构建新的模型，形成解题思路；其三，可行性，构造法在高中数学解题中应用范围比较广，具备极强的实用性；其四，灵活性，在运用构造法解答数学问题时，学生必须具备丰厚的知识储备量，并结合自身的解题习惯，自行选择构造数学模型的类型；其五，多样性，构造法在应用时没有定式，学生可结合具体的题目要求，构造不同的解题模型．（二）构造法的应用价值首先，提高了学生的数学解题能力．构造法作为一种创造性解决问题的方法，可以使得题目中的隐藏条件变得可视化．因此，构造法的应用有效地消除了学生在解题过程中的畏难情绪，有助于强化学生的数学解题思路，使其逐渐强化解题能力．其次，提高了学生的数学思维能力．数学学科对学生的思维能力要求比较高，而学生的思维能力和解题能力之间息息相关．构造法的应用不仅促进了学生归纳㊁类比㊁转化数学思想的发展，也促进了学生数学思维能力的发展，这为学生更好地解决数学问题奠定了坚实的基础．最后，提高了学生的知识转化能力．高中数学题目极具综合性，学生在解题时，只有将各个部分的数学知识点整合起来，通过数学知识的迁移和转化，才能完成数学题目的解答．构造法的应用将代数㊁几何㊁函数等知识点整合起来，促进了数学知识的转化，使学生能灵活运用数学知识，从不同的角度思考问题㊁解决问题．二㊁构造法在高中数学解题中的具体应用（一）构造方程，解答数学问题构造方程在高中数学解题中尤为常见，主要是立足于方程与函数之间的关系，结合题目已知条件，构造方程，解答相关的数学问题．例１㊀已知（ｍ－ｎ）ｘ２－４（ｎ－ｘ）（ｘ－ｍ）＝０，求证：参数ｍ，ｘ，ｎ所构成的数列为等差数列．解析㊀这一数学题目与数列相关．如果按照传统的解题思路，那么学生所面临的求解难度比较大，甚㊀㊀㊀解题技巧与方法１１７㊀㊀至还需要大量的运算，极易出现错解的现象．鉴于此，可通过构造方程，从题目中所求结论出发，将其与题目中的已知条件结合起来，进而形成明确的证明思路：构造二次方程（ｎ－ｘ）ｔ２－（ｍ－ｎ）ｔ＋（ｘ－ｍ）＝０．观察其各项系数特点，可发现各项系数之和为零，故方程必有一根为１．又恰好该二次方程的根的判别式Δ＝０，故该二次方程有两个等根，即由根与系数的关系，得ｔ１ｔ２＝ｘ－ｍｎ－ｘ＝１，即２ｘ＝ｍ＋ｎ，所以得证．由此可见，借助构造方程的思想，从新的角度思考和分析问题，使得原本复杂的数学问题简单化，真正提升了学生的数学解题效率．（二）构造数列，解答数学问题在高中数学教学中，数列知识尤为重要．解答这一类型数学问题时，可灵活运用构造数列的方式，结合题目中相关信息和条件要求，通过替换等方式，构建新的数列，旨在简化数学问题，提升解题效率．例２㊀已知ｎ为正整数，求证：１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋１ｎ＋３＋ ＋１３ｎ＋１＞１．解析㊀在这一题目中，已知条件非常简单，只有ｎ为正整数．鉴于此，可运用构建数列的方式寻求证明思路：令１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋１ｎ＋３＋ ＋１３ｎ＋１＝ａｎ，则：ａｎ＋１－ａｎ＝１３ｎ＋４＋１３ｎ＋３＋１３ｎ＋２－１ｎ＋１＝１３ｎ＋４＋１３ｎ＋２－２３ｎ＋３＝２（３ｎ＋２）（３ｎ＋３）（３ｎ＋４）．因为ｎ为正整数，所以ａｎ＋１－ａｎ＞０，因此数列｛ａｎ｝为递增数列，根据ａ１＞１可得出该不等式成立．由此可见，按照常规思路很难求解此题，甚至还会在解题的过程中，由于步骤多㊁计算复杂等，导致出现错误．鉴于此，可通过构造数列，使复杂问题简单化，帮助学生顺利解题．（三）构建函数，求解数学问题在高中数学解题中，构造函数也尤为常见，其与构造方程本质相同．在解题中，可结合具体题目，构造函数，以此分析并解决数学问题．例３㊀已知ａ＜ｂ，ａ，ｂ，ｃ均为正实数，求证：ａｂ＜ａ＋ｃｂ＋ｃ．解析㊀对于这一题目，如果按照传统思路和方法进行证明，则极易陷入解题误区．鉴于此，可融入构造法，通过分析题目中已知条件，构建函数模型，形成证明思路：假设ｃ＝ｘ，将ａ＋ｃｂ＋ｃ构造成函数，即ｆ（ｘ）＝ａ＋ｘｂ＋ｘ，将ｆ（ｘ）＝ａ＋ｘｂ＋ｘ进行转化，即ｆ（ｘ）＝ａ＋ｘｂ＋ｘ＝ａ－ｂｂ＋ｘ＋１．该函数为增函数，递增区间为（０，＋ɕ）．又因为ａ，ｂ，ｃ均为正实数，因此ａｂ＜ａ＋ｃｂ＋ｃ．例４㊀已知关于ｘ的方程ｘ２－（２ａ＋１）ｓｉｎ（ｃｏｓｘ）＋１－４ａ２＝０存在唯一的实数解，求实数ａ的值．解析㊀该题目为二次方程问题．因为题目中含有参数，所以学生在解题时常常毫无头绪．鉴于此，可结合已知条件和未知参数，通过构造函数的方式，形成解题思路：构造函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－（２ａ＋１）ｓｉｎ（ｃｏｓｘ）＋１－４ａ２．因为ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），所以该函数为偶函数．假设ｘ０为ｆ（ｘ）＝０的解，则－ｘ０也为函数ｆ（ｘ）＝０的解，即－ｘ０＝ｘ０，因此，ｘ０＝０．所以ｆ（０）＝０２－（２ａ＋１）ｓｉｎ（ｃｏｓ０）＋１－４ａ２，即（２ａ＋１）（１－２ａ－ｓｉｎ１）＝０，解得ａ＝－１２或ａ＝１＋ｓｉｎ１２．由此可见，在遇到这一类型的问题时，学生可通过对已知条件㊁所求结论的分析，构造一个新的函数关系，将所求的问题转化为函数问题，进而运用函数的相关性质进行解答．（四）构造几何图形，解答数学问题在解答数学问题时，由于部分题目难度非常大，并且已知条件复杂，因此学生在分析题目时，常常难以理清思路，导致解题陷入困境．鉴于此，可运用构造法，结合题目中已知条件，构造出直观的几何图形，进而打开解题思路．例５㊀求函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－４ｘ＋１３＋ｘ２－１０ｘ＋２６的最小值．㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１８㊀解析㊀这一题目已知条件简单，但如果按照常规思路进行解题，学生则难以形成清晰的解题思路．鉴于此，可通过构造图形的方式，将题目中的已知条件直观地呈现出来．㊀ｆ（ｘ）＝ｘ２－４ｘ＋１３＋ｘ２－１０ｘ＋２６＝（ｘ－２）２＋（０－３）２＋（ｘ－５）２＋［０－（－１）］２．㊀图１构造平面几何图形（如图１所示），假设平面上有一点Ｐ（ｘ，０），定点Ｍ（２，３），Ｎ（５，－１）．如此，所求问题转化为求Ｐ到Ｍ，Ｎ距离的最小值．结合所学知识可知，当三点共线时，ｆ（ｘ）存在最小值，即ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ＭＮ＝（２－５）２＋（３＋１）２＝５．由此可见，借助构造平面图形的方式，可将原本繁杂的数学问题简单化．学生通过观察，构建已知条件和所求结论之间的关系，并运用所学知识灵活解答问题．（五）构造向量，解答数学问题在高中阶段，构造向量是一种非常重要的解题方式．在具体的高中数学解题中，可运用构造法，将不等式问题㊁函数问题等构造成向量问题，进而运用向量的相关知识进行解答．例６㊀假设函数ｙ＝２ｘ＋１＋４－ｘ，求该函数的最大值．解析㊀这是一道经典的函数问题，如果按照传统的解题思路解答问题，则会产生大量的计算步骤，极易出现计算错误．鉴于此，可借助构造法，运用向量的相关知识㊁性质进行解答．假设向量ｍ＝（２，１），向量ｎ＝（ｘ＋１，４－ｘ）．由于ｍ㊃ｎɤｍ㊃ｎ，因此ｙ＝ｍ㊃ｎɤ５．故当ｘ＝３时，函数ｙ＝２ｘ＋１＋４－ｘ存在最大值，为５．例７㊀在әＡＢＣ中，øＢＣＡ＝θ，ＣＢ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，试对әＡＢＣ的余弦定理进行证明．解析㊀可结合题目中的已知条件，构造向量：向量ＣＢң＝ａ，向量ＣＡң＝ｂ，向量ＡＢң＝ｃ．已知ｃ＝ａ－ｂ，则ｃ２＝ｃ㊃ｃ＝（ａ－ｂ）㊃（ａ－ｂ）＝ａ㊃ａ＋ｂ㊃ｂ－２ａ㊃ｂ＝ａ２＋ｂ２－２｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ．即ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓθ．由此可见，借助构造向量的方法，可将原本繁杂的数学问题简单化．学生从新的视角出发，根据新的思维模式，运用所学的知识思考问题㊁分析问题㊁解答问题．三㊁基于构造法解答数学问题的教学启示课堂教学实践证明，通过构造法在高中数学解题中的应用，真正实现了 化繁为简㊁由难到易 的目的．学生结合题目中的已知条件和所求问题，构造新的关系，促进所求问题的转化．可以这样说，构造法在解题中的应用不仅提升了学生的数学解题能力，也发展了学生的思维能力，更加强了学生的数学综合素养．鉴于此，教师在日常教学中，应有意识地渗透构造法，加深学生对构造法的理解，使其能掌握构造法．一方面，学生的构造意识并不是在短时间内形成的，唯有通过潜移默化地渗透，才能达到预期的目标；另一方面，虽然构造法在解题中占据一定的优势，但并不意味着构造法适用于每一道题目，因此教师在日常解题中要带领学生积极开展一题多解训练，帮助学生掌握多种解题方法，便于学生在对比中了解构造法的解题优势和具体应用，使其在日后解题中能够合理利用这一方法．结㊀语构造法在高中数学解题中尤为常见，通过构造函数㊁构造方程㊁构造数列㊁构造平面图形等手段，可将原本复杂的数学问题简单化，便于学生形成新的解题思路，从新的视角分析问题㊁解答问题．鉴于此，教师在日常教学中，应结合实际情况，有意识地渗透构造法，不断提升学生的解题能力．ʌ参考文献ɔ［１］庄素慧．基于 构造法 的高中数学解题思路探索［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（３１）：５５－５７．［２］张宏敏．应用构造法在高中数学中的解题策略［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２２（１８）：４９－５１．［３］刘海杰．构造法在高中数学解题中的运用措施分析［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（１２）：１４－１６．［４］丁爱年．高中数学解题教学中构造法运用分析［Ｊ］．数学之友，２０２２（０４）：２５－２７．［５］张焕生．解析构造法在高中数学解题中的运用［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２２（０２）：１４－１５．［６］刘晓妮．高中数学解题中应用构造法的总结［Ｊ］．数理化解题研究，２０２１（３１）：６５－６６．。
高中数学6种构造函数法
高中数学6种构造函数法1、几何体构造法：几何体构造法是高中数学中常见的构造函数，即根据给定的条件，从原点出发，通过叠加若干条定义运算，利用实际工具画出题目要求构造的图形或者要求构造的几何体。
例如：根据给定的定义三角形ABC，在其外接圆上构造一个直角，使得构造出的四边形的一条边和三角形的一条边等长。
2、用线段构造法：用线段构造法是高中数学中常见的构造函数，是根据给定的条件，几何体和直线的位置，及题目要求的其他条件，按照一定的步骤和规律来画出要构造的几何体或其他东西。
例如：依据给定的线段AB，在其上端点A处构造一个半径等于原线段AB一半长度的圆，使得线段AB的端点A和圆的交点坐标相同；并在构造出的圆上构造一个到线段AB 端点B距离等于原线段AB一半长度的直线段。
3、从原点构造法：从原点构造法是高中数学中常见的构造函数，是指从某一原点出发，根据给定的情况，经过若干步的构造，建立若干定义关系，确定一个几何体的形状和大小，并与给定的几何体完全相同或满足给定条件的几何体。
例如：在原点构造一个半径等于原点O到给定点A的距离的圆，从这个圆上构造与 OA 相等的直线段，在这个直线段依次画上给定的点B、C。
4、标准图形构造法：标准图形构造法是在高中数学中学习的构造函数，即根据给定的它定义的图形和要求画出的图形之间的规律，采用实际的工具画出要求的图形。
例如：构造出与正方形相等的长方形(15cm×20cm)，方法为：在一根边长15cm的尺子上划分出4等分点，然后再在另一根尺子上划分出5等分点，将它们相互链接，即可构造出长方形。
5、参数方程构造法：参数方程构造法是高中数学中学习的构造函数，即根据给定的参数条件所决定的几何体的特征，可利用参数方程的技巧，根据参数条件用参数方程来求出构造出几何体的函数，并且利用函数求出相应的构造过程，或者利用参数方程既定的几何图形，求出给定点的位置。
例如：求出构造出半径为 2 的半圆的函数，可以用参数方程 x = 2cos t，其中x 为构造出的半圆的横坐标，t 为角度参数。
平面几何证明题的解题方法
平面几何证明题的解题方法平面几何证明题是数学中的重要内容之一，通过证明题的解答，我们可以深入理解几何学的概念和性质。
然而，解答平面几何证明题并非易事，需要灵活运用多种证明方法和技巧。
本文将介绍几种常用的解题方法，帮助读者更好地应对平面几何证明题。
一、直接证明法直接证明法是解答平面几何证明题的基础方法之一。
它通过逻辑推理和已知条件与结论之间的关系，一步步地证明结论的正确性。
在使用直接证明法时，首先要仔细分析所给条件和待证明结论。
根据已知条件，可以运用各种几何定理和性质，逐步推导出结论，直至得到所要证明的结论。
例如，对于“证明三角形ABC的三条中线交于一点”的证明题，我们可以先通过已知条件得出三角形ABC的三条中线等长，再利用中位线的性质得出这三条中线交于一点的结论。
二、反证法反证法是解答平面几何证明题的另一种常用方法。
它通过假设所要证明的结论不成立，推导出一个与已知条件矛盾的结论，从而证明所要证明的结论成立。
在运用反证法时，我们需要首先假设所要证明的结论不成立，然后通过推理，得出一个矛盾的结论，以此证明原命题的正确性。
例如，对于“证明等腰三角形的底角相等”的证明题，我们可以先假设等腰三角形的底角不相等，然后推导出一个与已知条件矛盾的结论，例如底边不等长或者顶角不等于90度，从而证明等腰三角形的底角相等的结论成立。
三、合同法合同法是一种常用于证明线段或角相等的证明方法。
通过构造相等的辅助线段或角，以达到证明所要求的结论。
在使用合同法时，我们需要根据已知条件和待证明的结论，合理构造辅助线段或角，并利用几何定理和性质证明这些辅助线段或角相等，从而得出所要证明的结论。
例如，对于“证明两个三角形全等”的证明题，我们可以通过构造辅助线段或角，使得两个三角形的对应边或对应角相等，然后运用全等三角形的性质，推导出两个三角形全等的结论。
四、相似法相似法是一种常用于证明平行线、比例关系和相似三角形等性质的证明方法。
通过证明对象与已知对象之间的相似关系，来推导出所要求的结论。
利用构造法巧解高中数学问题
利用构造法巧解高中数学问题作者：王运行来源：《课程教育研究·新教师教学》2017年第16期【摘要】在中学数学中，构造法在技巧与方法中占据着非常重要的地位，它可以起到化繁为简，化难为易的作用，将中学数学中的技巧性展示的淋漓尽致。
下面笔者将从一些常见的数学问题中来阐述构造法的具体应用。
【关键词】构造；转化；中学数学解题应用【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）16-0266-02一、構造空间图形求三棱锥的外接球半径题目1 在半径为R的球面上由不共面的四个点A，B，C，D，且AB=CD=x，BC=DA=y，CA=BD=z，x2+y2+z2=8，求R。
解析：由条件可知该三棱锥的四个面的三角形全等，可在长方体中构造出该三棱锥（图1），则长方体的体对角线为三棱锥的外接球的直径，设长方体的长宽高分别为a，b，c，则有：点评：构造几何模型是求三棱锥外接球的常见方法，在该题中，因为四个面全等，若三边分别为x，y，z，则可直接计算出外接球的半径为：二、构造基本不等式求最值问题题目2 已知a>b>c，求使得：恒成立的实数k的最大值；解析：∵（当且仅当a+c=2b时“=”成立）恒成立。
点评：在该题目中所采用的构造法为“1的妙用”，属于解决基本不等式问题的长江方法。
三、构造抽象函数解不等式题目3 设函数在R上的导函数为，对有，在上，若，则实数m的取值范围是？解析：通过变式可得到构造函数，故为奇函数当x>0时，，故是定义在R上的增函数由函数的单调性可知：点评：构造抽象函数这一考点在高考中常以选择题压轴题的形式出现，考法较为固定，常见的形式有：四、构造几何模型求代数问题题目4 函数的值域为；解析：，则点在以点为焦点的双曲线上，于是由双曲线的定义可知，即-1点评：代数式以及函数的几何意义是现在高考中的常考点，常见的考点还有例如在线性规划问题中求的取值范围。
构造图形法证明不等式(可编辑)
构造图形法证明不等式（可编辑）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑推荐下载）构造图形法证明不等式构造图形法不但是证明不等式常用的方法,而且是一种重要的数学思想.对于用一般的方法很难解的题型,若将代数式变形,构造图形,降低思维难度;从多角度、多侧面、多结构的思维方向去研究,探寻解决问题的最佳方法,它有助于将所学的知识融会贯通,并且能沟通数学分支之间的内在联系.应用构造图形法证明不等式,就是根据问题的内在联系或数式的结构特征,通过唤起表象和再造想象,赋以适当的几何意义,构造出与之相应的几何图形或将问题的条件及数量关系直接在图中表现出来,并利用图形之间的关系推理.系统的掌握构图法的特征及应用,对提高解题能力、培养创造力有着积极的意义.以下将从三大方面加以说明.一、构造平面几何模型作为基础的构图法，通过代数式的变形，从而使数量关系具有几何意义.以下将从构造直角三角形、构造正三角形、构造矩形、构造圆对此加以说明.（一）构造直角三角形证明不等式例1 已知21)(x x f +=，b a ,为相异实数，求证：)()(b f a f -〈b a -. 分析 待证式实际上为2211b a +-+〈b a -，故可构造共直角边为1的两个直角三角形.证明 b a ≠ ,假设 b a 〉,构造直角ABC ∆，如图1,使得1=AC ,a BC = ,则)(12a f a AB =+=,在BC 上取一点D ，使b CD =. 则b a BD -=; )(12b f b AD =+= 在ADB ∆中，显然有BD AD AB 〈- 即b a b f a f -〈-)()(．同样，b a 〈时，可证得a b a f b f -〈-)()( 综上所述)()(b f a f -〈b a -.（二）构造正三角形证明不等式BD AABN Ca nb图3例2 正数p n m c b a ,,,,,满足 k p c n b m a =+=+=+，求证：2k cm bp an 〈++. 分析 条件中的数量关系所表示的“形”的特征是相等的三条线段，可联想起以k 为边长的正三角形，求结论中的两条线段积的形式cm bp an ,,，可分别看成相应的三角形面积的特征，故构造正三角形，根据它们之间的面积关系找出cm bp an ,,之间的关系.证明 如图2，构造以k 为边长的正三角形ABC ，分别在其各边上取点P N M ,,，使得c AP p CP b CN n BN a BM m AM ======,,,,,,则ABC S ∆+AMP S ∆+CNP S ∆〈ABC S ∆即bp cm an 434343++〈243k∴bp cm an ++〈2k . D（三）构造矩形证明不等式例3 已知n m b a ,,,都是正数，且n m a b 〈，求证：nmn a m b a b 〈++〈. 证明 构造边长分别是n a m b ++,的矩形如图3，设b BQ =,m QC =,n BE =,a AE =.nma b 〈, ∴am bn 〈 ∴ O FD P BQ D E S S 矩形矩形〈 ∴Q CD P BCFE S S 矩形矩形〈 即m n a n m b )()(+〈+ 所以nmn a m b 〈++ 又AEFD ABQ P S S 矩形矩形〈，即a m b b n a )()(+〈+所以abn a m b 〉++ 综上所得：nmn a m b a b 〈++〈. （四） 构造圆证明不等式例4 已知2522=+y x ，50685086+-++-=x y y x z ,A BCQPa nb b mnamE F D O求证：210≤z .证明 由2522=+y x ，z 可变形为258625862222++-+++-++=y x y x y x y x z=2222)4()3()4()3(++-+-++y x y x .故可设z 为圆2522=+y x 上的点),(y x P 到该圆上的定点A (-3, 4) 和B (3, -4)的距离之和.因此本题只需要证明圆的内接PAB ∆的两边之和PB PA +不超过210.如图4，由几何知识我们知道：底边一定的圆内接三角形 的周长以等腰三角形的周长为最大.不难求出， 此时顶点C 的坐标（4，3）或（-4，-3）,故有,2222max )43()34()43()34(++-+-++=z=210,或2222max )43()34()43()34(+-+--+--++-=z=210,∴210≤z .二、构造立体几何模型构造立体几何图形，使题设条件中的数量关系能直接体现在图形中，以下 从构造长方体、三棱锥来说明.例5 已知z y x ,,均为正数，且1=++z y x ，求证：9111≥++zy x . 证明如图6,设),,(cos ,cos ,cos 222为锐角γβαγβα===z y x ，则+α2cos1cos cos 22=+γβ，由上题可知，构造一长方体，且与棱////,,C B AA BB 的夹角分别为γβα,,,则可得,BCASz xyγβα222cos 1cos 1cos 1111++=++zy x92223)()()(3222222222222222222222222=+++≥++++++=++++++++=a c c a c b b c b a a b c c b a b c b a a c b a（二）构造三棱锥证明不等式例6 已知z y x ,,+∈R ，求证:xz z x yz z y xy y x -+〉-++-+222222. 分析 xy y x ±+22其几何意义表示为以y x ,为两边，夹角为)120(60 的三角形第三边的平方。
初中数学中的平面几何如何证明定理与性质
初中数学中的平面几何如何证明定理与性质平面几何是数学中的一个重要分支，包含了很多定理和性质。
在初中数学中，学生需要学习和运用这些定理和性质来解决各种几何问题。
本文将探讨初中数学中的平面几何定理与性质的证明方法。
一、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理是初中数学中的基础定理之一，它的表述是：“线段上的所有点到线段的两个端点的距离相等的直线称为线段的垂直平分线。
”我们可以通过以下步骤来证明线段的垂直平分线定理：步骤一：假设有一条线段AB，我们需要构造一条通过线段上所有点且与线段AB垂直的直线CD。
步骤二：以A和B为圆心，以AB的长度为半径，分别作两个圆。
步骤三：两个圆交于一点C和D，这两个点同时位于线段AB的垂直平分线上。
步骤四：连接线段AB的两个端点A和B与点C和D，即可得到线段的垂直平分线CD。
步骤五：通过测量线段AB上的任意一点到点C或点D的距离，可以发现它们相等。
综上所述，线段CD是线段AB的垂直平分线。
二、三角形的等腰定理三角形的等腰定理是另一个重要的定理，它的表述是：“三角形的两边相等，则两个对应的角也相等。
”要证明三角形的等腰定理，可以采用以下步骤：步骤一：假设有一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
步骤二：以线段AB和AC为边，以点A为顶点作一个角的平分线。
步骤三：该平分线与边BC相交于点D。
步骤四：连接点D和顶点A，此时得到线段AD。
步骤五：通过比较三角形ABD和ACD的两条边和夹角，可以得出它们相等。
综上所述，根据等腰三角形ABC的条件，我们可以证明两个对应的角也相等。
三、直角三角形的勾股定理直角三角形的勾股定理是数学中著名的定理之一，它的表述是：“对于直角三角形来说，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
”我们可以通过以下步骤来证明勾股定理：步骤一：假设有一个直角三角形ABC，其中∠C是直角。
步骤二：以直角边AB为底边，通过点C作一个与AB垂直的高CD。
步骤三：连接点C和顶点D，此时得到线段CD。
构造函数法在高考压轴题中的应用
构造函数法在高考压轴题中的应用构造函数法是高中数学中的一种重要解题方法，它在解决复杂问题时能够提供简洁明了的解题思路，同时也在高考压轴题中扮演着重要的角色。
本文将从构造函数法的基本概念、解题思路以及在高考压轴题中的应用等方面进行探讨。
一、构造函数法的基本概念构造函数法是通过找到一个函数表达式，使得该函数满足一定的条件，从而解决复杂的问题。
其基本思路是构造一个函数f(x)，使得f(x)满足问题中所给定的条件，然后通过简化问题或者利用函数的性质来解决问题。
二、构造函数法的解题思路在使用构造函数法解题时，需要根据问题的特点选择合适的函数形式，并尝试通过构造函数来满足问题中给定的条件。
通常情况下，构造函数可以选择为多项式函数、三角函数、指数函数等。
还需要注意对构造的函数进行合理的简化和整理，以便更好地解决问题。
三、构造函数法在高考压轴题中的应用构造函数法在高考压轴题中的应用非常广泛，特别是在数学和物理这类理科科目中。
下面我们将通过具体的题目来看一下构造函数法在高考压轴题中的应用。
1. 几何题：已知三角形内切圆半径为r，求三角形面积S与r的关系。
这类题目通常可以利用构造函数法中的三角函数来解决。
可以构造函数f(x) = tanx，利用三角函数的性质和三角形内切圆的性质，通过建立方程组来求解得出S与r的关系。
2. 函数题：已知函数y=f(x)，求证函数的单调性。
这类题目通常可以利用构造函数法中的多项式函数来解决。
可以构造函数f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，然后利用导数的性质和函数的性质来判断函数的单调性。
通过以上例题，可以看出构造函数法在高考压轴题中的应用非常灵活和多样化。
在解题时，我们不仅需要灵活选择构造的函数形式，还需要熟练掌握函数的性质和运用数学知识来解决问题。
四、结语构造函数法作为高中数学中的一种重要解题方法，不仅在解决复杂的问题时起到了重要作用，而且在高考压轴题中的应用也是非常广泛的。
妙用构造法解题
思路探寻运用构造法解答数学问题，需观察与分析命题条件与结论中数学元素的名称、结构、关系，发现其与学过的某些数学知识之间的关联，构造与命题相匹配的数学模型，以使命题转化，最终解题.构造法的核心是构造新的数学模型，要不断尝试将问题与方程、函数、图形等建立联系，构造出新的数学关系.一、构造直线的斜率直线的斜率是直线的一个重要特征.直线的斜率公式为k =f ()x 1-f ()x 2x 1-x 2()x 1≠x 2，该公式揭示了直线上两点的坐标之间的关系.在解答函数、平面几何、平面向量问题时，我们可以将有关两点的纵坐标之差、横坐标之差的式子看作直线的斜率，利用直线斜率的性质和意义解题.一般地，当k >0时，直线呈上升趋势；当k <0时，直线呈下降趋势.例1.已知函数f (x )=log 2(x +1),a >b >c >0，比较f ()a a ,f ()b b ,f ()c c的大小.解：f ()a a =f ()a -f ()0a -0,f ()b b =f ()b -f ()0b -0,f ()c c =f ()c -f ()0c -0，则上述三式可看作定点()0,0与函数f (x )图象上的点()a ,f ()a ，()b ,f ()b ，()c ,f ()c 连线的斜率，而f (x )=log 2(x +1)的导函数为f ′(x )=1(x +1)ln 2，即切线的斜率，所以f ′(a )>f ′(b )>f ′(c )，所以f ()a a <f ()b b <f ()c c.我们将要比较的三个分式变形，构造出新模型f ()x x =f ()x -0x -0，即可将其视为定点()0,0与函数f (x )图象上的点()x ，f ()x 连线的斜率，结合导函数的几何意义和直线的升降趋势，就能快速比较出三个分式的大小.二、构造直线我们知道y =kx +b ，ax +by +c =0均可表示直线，因此在解答二元一次方程、不等式、函数问题时，可根据解题需求将二元一次式看成是直线的方程，从而构造出直线.通过讨论直线、点之间的位置关系，寻找到图形中的特殊点或特殊位置，从而迅速找到解题的突破口.例2.已知实数x ,y 满足x ||x +y ||y =1，求||x +y +2的取值范围.解：当x <0，y <0时，x ||x +y ||y =1不成立，则x ||x +y ||y =ìíîïïx 2+y 2=1()x ≥0,y ≥0，x 2-y 2=1()x >0,y <0，-x 2+y 2=1(x <0,y >0)，画出如图所示的图形.则曲线上的点(x ,y )到直线x +y +2=0的距离为d x +y +2>1，故|x +y +2的取值范围为2d .而直线x +y +2=0与曲线渐近线x +y =0平行，其距离为1，则圆弧上的点到直线x +y +2=0的最大距离为2，则||x +y +2的取值范围为（2，22].我们将x +y +2=0看作直线的方程，画出其图形，通过数形结合，确定直线到曲线的最大距离和最小距离，从而求得目标式的最值.三、构造函数函数的概念、图象、性质是解答代数问题的重要工具.当解答代数问题受阻时，我们可将代数式或其中某一部分看作一个新函数，通过研究新函数的概念、图象、性质，求得问题的答案.例3.设函数f (x )=()x +12+sin x x 2+1的最大值为M ，最小值为m ，求M +m 的值.解：由f (x )=1+2x +sin x x 2+1可得f (x )-1=2x +sin x x 2+1，设g ()x =2x +sin x x 2+1，则g ()-x =-2x -sin x x 2+1=-g ()x ，所以g ()x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，故g ()x max =M -1,g ()x min =m -1,可得M -1+m -1=0即M +m =2.总之，构造法是解答高中数学问题的重要方法，但构造法较为灵活.同学们要善于观察、分析元素之间的内在联系，在“需求”和“可求”之间搭建解答问题的“桥梁”，运用构造法，快速找到解答问题的切入点.（作者单位：上海市朱家角中学）x +y +2=0y =-xx |x |+y |y |=1yx111O45。
数学构造法.ppt
选题背景及意义
•
数学是一门具有高度思维性的科学,学习数学我们就得多了解 并掌握有关解决数学问题的思想方法.从数学科学的产生那时起,数 学构造性方法就伴随着产生了。数学构造法的产生,给我们解决数 学问题带来了简便与快捷。特别是在当今 ,数学教育成为了许多学 生和家长的眼中热点,它不但要求学生掌握数学知识,而且要求掌握 渗透于数学学习知识中的数学思想方法,使学生能应用数学知识和 方法解决实际问题。因此我们很有必要对数学中的构造性方法进行 分析和研究。 数学构造法作为数学中的一种方法,不同于一般的逻辑方法,一 步一步寻求必要条件,直至推导出结论,它是一种非常规的数学思维。 它具有思维的试探性,不规则性和创造性。数学构造法的主要思想 在于构造函数,构造方程,构造数列等等。本课题不仅丰富了数学构 造法在数学解体中的应用,还通过直观的数学案例体现出数学构造 法的优点和好处。
一、构造函数图像
一次函数图像，二次函数图像，三角函数图像，双曲 线图像，椭圆图像，等等函数图像。根据不同图像性质或者 几个图像之间的关系建立某种关系求解问题。
二、构造（三角形）几何图形 在证明不等式时，常常用到三角不等式，构造三 角形，用三边关系求解问题。
AC BC AB ,
6、其他数学构造法在中学数学解题中的应用
论文的结构和主要内容
数学构造法在中学数学解题中的应用
1、 数学构造法的含义与产生 一、数学构造法的背景和历史 2、 数学构造法的发展 1、构造方程（组）在中学数学解题中的应用 2、 构造函数在中学数学解题中的应用 3、构造数列在中学数学解题中的应用 二、数学构造法在中学数学解题中的应用 4、构造向量在中学数学解题中的应用 5、构造图形在中学数学解题中的应用 6、其他构造法在中学数学解题中的应用
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构造函数证明平面几何问题
唐录义汪思明
(安徽省枞阳县浮山中学246736安徽省枞阳县牛集职高)
众所周知,单调函数的一个最基本性质:若
f(x)是区间I上的单调函数x1,x2I I,且f(x1)
=f(x2),则x1=x2.下面我们利用这个性质来证
明5数学通报62007年8期数学问题第1687题,
进而再证明著名的施泰纳)莱默斯定理.
(问题解答第1687题)v A BC中,两条角平
分线BE,CD和延长线交v A BC的外接圆于G,
F,BE、CD交于M,且DF=E G.求证AB=A C.
证明设DF=EG=a,DM=x1,EM=x
2
由M为v AB C的内心,易得F M=F A,所以FM2=F A2=FD#FC.
所以(a+x1)2=a(x1+M C+a).
所以M C=x21
a
+x1.
所以FM#M C=(a+x1)x21
a
+x1
=1
a(x
3
1+2ax21+a2x1)
同理GM#M B=1
a
(x32+2ax22+a2x2)
构造函数f(x)=1
a
(x3+2ax2+a2x)
(x I R+,a>0)
f c(x)=1
a
(3x2+4ax+a2)
因为x>0,所以f c(x)>0,所以f(x)在R+上单调递增.
又f(x1)=FM#MC=G M#M B=f(x2),
所以x1=x2,所以MF=MG,所以M C =M B,
易知AB=A C
(施泰纳)莱默斯定理)在v AB C中,B E平分N A BC交A C于E,CF平分N A CB交A B于F,B E
=CF.求证:A B=AC
证明作v ABC的外接圆,延长BE,CF交圆于H,G.BE与CF交于M,设BE=CF=a, FM=x1,EM=x2.
由M是v A BC的内心知,GM=GA,所以GM2=GA2=GF#GC.
所以(GF+x1)2=GF(GF+a),所以GF =
x21
a-2x1
.
GM#M C=
x21
a-2x1
+x1(a-x1) =
x1(a-x1)2
a-2x1.
同理H M#MB=
x2(a-x2)2
a-2x2
构造函数f(x)=x(a-x)
2
a-2x
,x I0,a
2
a>0.
f c(x)=(a-x)(4x
2-3ax+a2)
(a-2x)2
(下转第39页)
38数学通报2009年第48卷第2期
怎样截最合理
刘和邦
(海南省三亚市第一中学 572000)
题目 有一批钢管,长度都是4000m m,要截成500m m 和600mm 两种毛坯,且这两种毛坯的数量比大于1
3,怎样截才最合理
?
图1
这是文[1]的例11文[1]先对一个错解进行了分析,认为其错误是在作一组平行直线x +y =t 时没能准确作出,从而得到经过可行域内的点为过A 点的直线(图1)1于是给出了如下的正确解法:
如图2,设截500m m 的x 根,600m m 的y 根,
则
500x +600y [4000,x y >13,x ,y I N +1图2作出可行域如图2中阴影所示,目标函数
为x +y =t,再作出一组平行直线x +y =t,则经过可行域内的点且与原点距离最远的
直线为过点B(0,8)的直线,但由于x ,y I N +,故B(0,8)不是最优解1在可行域内找整点,使x +y =7,可知(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)均为最优解1
对上述解法,笔者不以为然1首先,纠正一个小疏忽,B(0,8)应该为B(8,0)1其次在于如何理解/怎样截才最合理0,文[1]认为是两种型号的根数之和为最大,是这样的吗?有什么根据?笔者认为这是误解了题意1正确的理解应该是:在满足题目要求的前提下,原材料的利用率最高,才是最合理的1因此,本题目的解答应作如下修正:应该先取符合要求的,且在直线5x +6y =40上的点;若直线5x +6y =40上无符合要求的点,则取最靠近直线5x +6y =40上的点1由图1知2[x <8,将x =2,x =3,x =4,x =5,x =6,x =7分别代入5x +6y =40求得y ,可知符合条件的最优解为x =2,y =5,即每根钢管截500mm 的2根,600m m 的5根最为合理1另外,本文开始的题目最好写成/有一批钢管,长度都是4000m m,要截成甲种长500mm 和乙种长600mm 的毛坯,
且乙种毛坯的根数不能超过甲种毛坯根数的3倍,怎样截才最合理0,以免引起误解1
参考文献
1 周淦利.解题教学中如何实施/出误探究法01数学通报,2007,2
39
2009年 第48卷 第2期 数学通报。