01三角函数基础1
三角函数的图像及其变换规律
三角函数的图像及其变换规律三角函数是高中数学中的重要内容之一，也是大学数学和物理的基础。
其中，三角函数与图像变换规律是我们需要深入了解的。
一、初步认识三角函数的图像三角函数是由单位圆上的点的坐标表示的函数，我们称这些点的坐标为正弦和余弦，正弦函数的图像和余弦函数的图像可以通过下面的方式作出：1. 画一个以原点 O 为圆心、1 为半径的单位圆；2. 以非负 x 轴正半轴为起始线，从原点开始按逆时针方向旋转一定角度θ，记作点 A (1,0)，A 点纵坐标就是正弦值sinθ；3. 以非负 y 轴正半轴为起始线，从原点开始按逆时针方向旋转一定角度θ，记作点 B (0,1)，B 点横坐标就是余弦值cosθ。
4. 相邻两个峰值之间的水平距离称为周期，即正弦函数和余弦函数的周期都是2π。
这样我们就可以画出正弦函数 y = sin x 和余弦函数 y = cos x 的图像了。
在这个图像中，横轴表示角度，纵轴表示函数值。
另外，三角函数中还有一种常见的函数，即 y = tan x（正切函数）和 y = cot x（余切函数），它们的图像可以通过画出正弦函数和余弦函数的图像来得到。
二、三角函数的图像变换规律我们还可以通过对函数公式的系数进行变换，来改变函数图像的期数、振幅、图像的左右平移及上下平移等。
具体变换规律如下：1. 函数 y = A sin(Bx - C) + D，其中 A 为振幅，B 为周期，C 为左右平移，D 为上下平移。
当 A 和 B 变化时，函数图像的振幅和期数也随之发生变化。
其中，若 A > 1，则函数图像沿 y 轴方向压缩；若 A < 1，则函数图像沿 y 轴方向伸长。
当 B > 1 时，函数图像变窄了，其左右的振动次数增多，周期减小；当 B < 1 时，函数图像变宽了，左右振动次数减少，周期增加。
当 C > 0 时，函数图像向右移动；当 C < 0 时，函数图像向左移动。
三角函数的基本性质知识点总结
三角函数的基本性质知识点总结一、正弦函数的性质1. 基本定义：在直角三角形中，正弦函数是指对于一个锐角A，其对边与斜边之比，即sin A = 对边/斜边。
2. 定义域和值域：正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-A) = -sinA，对称轴为原点。
4. 周期性：正弦函数的周期是360°或2π，即sin(A + 360°) = sinA。
5. 正弦函数的图像：根据正弦函数的性质，可以绘制出正弦函数的图像，在0°到360°的范围内，图像呈现周期性的波动。
二、余弦函数的性质1. 基本定义：在直角三角形中，余弦函数是指对于一个锐角A，其临边与斜边之比，即cos A = 临边/斜边。
2. 定义域和值域：余弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-A) = cosA，对称轴为y轴。
4. 周期性：余弦函数的周期是360°或2π，即cos(A + 360°) = cosA。
5. 余弦函数的图像：根据余弦函数的性质，可以绘制出余弦函数的图像，在0°到360°的范围内，图像呈现周期性的波动，与正弦函数的图像相似但形状相对位移。
三、正切函数的性质1. 基本定义：在直角三角形中，正切函数是指对于一个锐角A，其对边与临边之比，即tan A = 对边/临边。
2. 定义域和值域：正切函数的定义域是除去所有使得临边等于零的实数，值域是全体实数集。
3. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-A) = -tanA，对称轴为原点。
4. 周期性：正切函数的周期是180°或π，即tan(A + 180°) = tanA。
5. 正切函数的图像：根据正切函数的性质，可以绘制出正切函数的图像，在0°到180°的范围内，图像呈现周期性的波动。
MSDC[1].初中数学.锐角三角函数C级.第01讲.学生版
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内容 基本要求略高要求较高要求锐角三角函数了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算 能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题模块一 三角函数基础一、锐角三角函数的定义如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．（1）正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin aA c=． （2）余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． （3）正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b=． 注意：① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cba CBA例题精讲中考要求锐角三角函数cos 与A 、tan 与A 的乘积．③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．二、特殊角三角函数这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住！ 三、锐角三角函数的取值范围在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan aA b=，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，． 四、三角函数关系 1．同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A= 2．互余角三角函数关系：(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-；(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-． 3．锐角三角函数值的变化规律：(1)A 、B 是锐角，若A >B ，则sin A >sin B ；若A <B ，则sin A <sin B(2) A 、B 是锐角，若A >B ，则cos A <cos B ；若A <B ，则cos A >cos B (3) A 、B 是锐角，若A >B ，则tan tan A B >；若A <B ，则tan tan A B <【例1】 已知在ABC △中，A B ∠∠、是锐角，且5sin tan 22913A B AB cm ===，，，则ABC S =△ ．【巩固】如图，点A在半径为R的O上，以A为圆心，r为半径作A，设O的弦PQ与A相切，求证PA QA⋅为定值．【例2】求tan1tan2tan3tan89︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒的值【巩固】化简：22sin cos sin1tan sin cosαααααα++--OQP A【例3】已知tan α1）221cos sin cos 1sin cos sin a ααααα-+-+，（2090α︒<<︒）．【巩固】已知tan 2α=，求4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+．【例4】 已知α为锐角，且22sin 5cos 10αα-+=，求α的度数．【巩固】若α为锐角，且22cos 7sin 50αα+-=，求α的度数．【例5】已知sin cos αα+（α为锐角），求作以1sin α和1cos α为两根的一元二次方程．【巩固】若方程222210x ax a -+-=的一个根是sin α，则它的另一个根必是cos α或cos α-．【巩固】已知：ABC △中，方程2(sin sin )(sin sin )(sin sin )0B A x A C x C B -+-+-=的两根相等，求证60B <︒．【巩固】在ABC △中，60A =︒，最大边与最小边的边长分别是方程2327320x x -+=的两个根，求ABC △的外接圆半径和内切圆的面积．【例6】 若0°<θ<30°，且1sin 3km θ=+(k 为常数，且k <0)，则m 的取值范是 ．模块二 解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： （1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =； （3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=； （4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠． 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A=等． 四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题． 六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等． 七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为hi l=，cb aC BA坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． （3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．【例7】 如图，某高层楼房与上海东方明珠电视塔隔江想望，甲、乙两学生分别在这楼房的A B ，两层，甲在A 层测得电视塔塔顶D 的仰角为α，塔底C 的俯角为β，乙在B 层测得塔顶D 的仰角为θ，由于塔底的视线被挡住，乙无法测得塔底的俯角，已知A B ，之间的高度差为a ，求电视塔高CD（用含a αβθ，，，的代数式表示）【例8】 一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形． 现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB 的坡度由1:0.75改为；图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线② 用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花 ．（1）求整修后背水坡面的面积；（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？【例9】 如图，在某海域内有三个港口A 、D 、C ．港口C 在港口A 北偏东60︒方向上，港口D 在港口A北偏西60︒方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30︒的方向驶离A 港口3小时后到达B 点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B 处测得港口C 在B 处的南偏东75︒方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B 处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．【巩固】海面上B 处有一货轮正在向正南方向航行，其航行路线是当它到达正南方C 时，在驶向正西方的目的地A 处，且200CA CB ==海里，在AB 中点O处有一客轮，其速度为货轮的一半，现在客轮DCBA要截住货轮取一件货物，于是选择某一航向行驶去截住货轮，那么当客轮截住客轮时至少航行了多少海里，它所选择了怎样的方向角？（路程保留整数海里，角度精确到度）1． （辽宁竞赛）如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB (见示意图)，可供使用的工具有测倾器、皮尺．（1）请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB 的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上（所测的距离用m ，n 表示，角用α，β表示，测倾器高度忽略不计）；（2）根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB (用字母表示)．2． 化简：222tan1tan 2....tan89sin 1sin 2...sin 89︒⋅︒︒︒+︒++︒BA课堂检测3． 如图1、图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB （与地面平行）或绕定点P （固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持''AP A P BP B P ==，）．通过向下踩踏点A 到'A （与地面接触点）使点B 上升到点'B ，与此同时传动杆BH 运动到''B H 的位置，点H 绕固定点D 旋转（DH 为旋转半径）至点'H ，从而使桶盖打开一个张角'HDH ∠．如图3，桶盖打开后，传动杆''H B 所在的直线分别与水平直线AB DH 、垂直，垂足为点M C 、，设''H C B M =．测得6cm 12cm '8cm AP PB DH ===，，．要使桶盖张开的角度'HDH ∠不小于60︒，那么踏板AB 离地面的高度至少等于多少cm ？（结果保留两位有效数字）图3图2C MAA'P BB'HDH'H'DHB'BPA'A课后作业（图1）MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学．锐角三角函数C 级.第01讲．学生版 Page 11 of 111． 化简求值：- （090α︒<<︒）2． 若045α︒<<︒，且sin cos αα=sin α的值．3． （2011甘肃兰州）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）．如图①在ABC △中，AB AC =，顶角A 的正对记作sadA ，这时=BC sadA AB =底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）60sad ︒= ．（2）对于0180A ︒<<︒，∠A 的正对值sadA 的取值范围是 ．（3）如图②，已知3sin 5A =，其中A ∠为锐角，试求sadA 的值．图②图①C BAC B A。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质Ⅰ、基础知识精要：一、正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像二、三角函数的单调区间：)(Z k ∈x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-，递减区间是[]πππ+k k 22，，tan y x =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，， cot y x =的递减区间是()πππ+k k ，三、函数sin()y A x k ωϕ=++00A ω>>（，）平衡位置是()()2A k k A k ++-=+=最大值最小值2，最小值是k A -，振幅A =()()2A k k A +---=最大值最小值2，周期是512T x x πω==-()()213142x x x x =-=-，频率是12f T ωπ==，相位是ϕω+x ，初相是ϕ，令1230,,,2x x x πωϕωϕωϕπ+=+=+=453,22x x πωϕωϕπ+=+=解得的ϕ即为所求，关键是从“五点法”中的第一个零点（平衡点）,0ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭作为突破口，从图象的升降情况找准该点的位置；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线y k =的交点都是该图象的对称中心四、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换移也常出现无论哪种变形，切记每一个变换总是对x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0)平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0),再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象五、由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置 六、对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系 tan y x =的对称中心为2(,0)k π.七、求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间. 八、求三角函数的周期的常用方法：经过变形化成“sin()y A x k ωφ=++、cos()y A x k ωφ=++，tan()y A x k ωφ=++”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法 九、判断三角函数的奇偶性()Z ∈k①y = sin (x ＋φ)是奇函数πϕk =⇔．②y = sin (x ＋φ)是偶函数2k πϕπ⇔=+．③y =cos (x ＋φ)是奇函数2k πϕπ⇔=+．④y = cos (x ＋φ)是偶函数k ϕπ⇔=．十、五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：五点取法是由ωx +ϕ取0、2π、π、2π3、2π来求. Ⅱ、典型例题精讲1. （2011课标5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x=上，则cos 2θ= A ．45-B ．35-C ．35D ．45解析：本题考查三角公式和直线斜率定义，属于容易题．易知tan θ=2，cos θ=51±.由cos2θ=22cos 1θ-=35-．解法2：tan θ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.选A ． 2．（08全国Ⅰ 8）为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象 A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位解：55cos 2sin 2sin 2,3612y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像.选A ．3．（01新课程）若b a =+=+<<<ββααπβαcos sin ,cos sin ,40，则A ．a <bB ．a >bC ．ab <1D ．ab >2解法1：利用sin cos ),m θθθϕ++其中tan nmϕ=，得),),0,,444444a b πππππππαβαβαβ=+=+∴+ <<<<<+<2sin()sin(),1))24444ππππαβαβ∴++∴++<<<1<<<1<<<a b ∴选A ．解法2：0<<<sin >0,cos >0,sin >0,cos >0,>0,>04a b παβααββ∴∴ ，221sin 2>0,1sin 2000sin 2sin 22a b ><<<<<<παβαβαβ∴=+=+∴，22，1，21<2<a <b ∴，2 1<<<a b ∴选A ．解法3：利用导数研究函数()sin cos f x x x =+在04π⎛⎫⎪⎝⎭，上的单调性．()cos sin f x x x '=- 在04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒大于0，故()f x 在04π⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，所以()()()04f ff f παβ⎛⎫<<⎪⎝⎭，1<<<a b ∴选A ．解法4：令0,30,αβ=0=15则0001sin cos15sin 30cos30,22a b =+==+=0151<<<a b ∴（特殊值估算法）选A ．解法5：取04παβ→→，，则1,a b →，排除B 、C 、D （极限排除法）选A ．4．(07全国Ⅰ12)函数22()cos 2cos2xf x x =-的一个单调增区间是 A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解：函数22()cos 2cos2x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增函数，选A ．或者用排除法.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负.利用单调性比较函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间. 5．（08天津）已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数. 令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sinπππf c f b f a ，则 A ． c a b << B ． a b c << C ．a c b << D ． c b a <<解析：5(cos)(c 2os )77b f f ππ=-=，5(tan )(t 2an )77c f f ππ=-=. 因为2472πππ<<，所以220cos sin 1tan 7772πππ<<<<，所以b a c <<，选A ．6.（2012新课标理9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
三角函数的定义、图像和性质
极值点：函数 在其周期内取 得最大值和最 小值的点，即 最值点的横坐 标
0 4
诱导公式
三角函数的诱导 公式是三角函数 性质的重要组成 部分，它可以帮 助我们简化复杂 的三角函数计算。
添加标题
诱导公式包括正 弦、余弦和正切 的诱导公式，它 们可以通过三角 函数的周期性和 对称性推导出来。
添加标题
奇偶性
奇函数：满足f(-x)=-f(x) 的函数
偶函数：满足f(-x)=f(x) 的函数
奇偶性的判断方法：根据 定义来判断
奇偶性在三角函数中的应 用：判断函数的图像对称
性
最值和零点
最大值和最小 值：三角函数 在其周期内可 以达到的最大 和最小值
0 1
零点：函数值 为零的点，即 解方程的根
0 2
周期性：三角 函数图像呈现 周期性变化， 每个周期内存 在一个最大值 和一个最小值
利用诱导公式， 我们可以将任意 角的三角函数转 化为锐角或0到 360度之间的角的 三角函数，从而
简化计算。
添加标题
诱导公式在三角 函数的图像和性 质中有着广泛的 应用，可以帮助 我们更好地理解 三角函数的性质
和图像。
添加标题
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三角函数的定义、 图像和性质
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目录
01 三 角 函 数 的 定 义 02 三 角 函 数 的 图 像 03 三 角 函 数 的 性 质
01
三角函数的定义
正弦函数
定义：正弦函数是三角函数的一种，定义为y=sinx，x∈R。 图像：正弦函数的图像是一个周期函数，形状类似于波浪。 性质：正弦函数具有一些重要的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。
简单的三角恒等变换
复数与三角恒等变换
复数的三角形式
通过三角恒等变换，可以将复数表示为三角形式，这有助于我们更好地理解复数 的性质和运算规则。
复数运算的几何解释
通过将复数表示为极坐标形式，并利用三角恒等变换进行运算，可以直观地理解 复数运算的几何意义。
05
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特殊角的三角函数值
三十度、四十度和六十度的三角函数值
极坐标系下的方程
极坐标系与直角坐标系转换
三角恒等变换在极坐标系和直角坐标系之间转换时发挥重要作用， 使得在极坐标系下求解某些问题变得简便。
极坐标系下的曲线方程
通过三角恒等变换，可以建立极坐标系下的曲线方程，从而研究该 曲线的性质。
极坐标系下求解物理问题
在一些物理问题中，如带电粒子在磁场中的运动，三角恒等变换可 以帮助我们更好地理解和求解问题。
三十度
sin(30°) = 1/2，cos(30°) = √3/2， tan(30°) = 1/√3
四十度
sin(40°) = 2/5，cos(40°) = √5/5， tan(40°) = 2/√5
六十度
sin(60°) = √3/2，cos(60°) = 1/2， tan(60°) = √3
其他特殊角的三角函数值计算方法
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简单的三角恒等变换
2023-11-10
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目 录
• 三角函数的基础知识 • 三角恒等式 • 正弦定理和余弦定理 • 三角恒等变换的应用 • 特殊角的三角函数值 • 三角恒等变换的例题解析
01
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三角函数的基础知识
角的概念
周角
等于360度的角。
平角
第01讲 任意角和弧度制及三角函数的概念 (精讲+精练)(教师版)
第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：象限角、区域角、终边相同的角角度1:象限角角度2:区域角角度3角:终边相同的角高频考点二：角度制与弧制度的相互转化高频考点三：弧长公式与扇形面积公式角度1：弧长的有关计算角度2：与扇形面积有关的计算角度3：题型归类练角度4：扇形弧长公式与面积公式的应用高频考点四：任意角的三角函数角度1：单位圆法与三角函数角度2：终边上任意点法与三角函数角度3：三角函数值符号的判定高频考点五：三角函数线高频考点六：解三角不等式第四部分：高考真题感悟第五部分：第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念（精练）1、角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角． ③终边相同的角：终边与角α相同的角可写成360()k k Z βα=+⋅∈．2、弧度制的定义和公式①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，||lrα=，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． ④弧度与角度的换算：3602rad π=；180rad π=． 若一个角的弧度数为α，角度数为n ，则180()rad απ=，180n n rad π=⋅．3、任意角的三角函数3.1.单位圆定义法：任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么 （1）点P 的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sin y α=； （2）点P 的横坐标叫角α的余弦函数，记作cos x α=； （3）点P 的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tan yxα=（0x ≠）.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．3.2.终边上任意点法：设(,)P x y 是角α终边上异于原点的任意一点，它到原点的距离为r （0r >）那么：sin y r α=；cos x rα=；tan yx α=（0x ≠）(1)弧长公式在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α，则||lrα=变形可得||l r α=，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．(2)扇形面积公式211||22S lr r α== 5、三角函数线正弦线：MPOM正切线：AT6常用结论（1）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.（2）角度制与弧度制可利用180rad π=进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，不可混淆. 30 60 90 150 180）象限角：,k k ∈360180,}k k Z +∈36090,}k k Z +∈ 360270,}k k Z +∈180,}k k Z ∈ 18090,}k k Z +∈ 90,}k k Z ∈一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）“角α是第一象限的角”是“角2α是第一象限的角”的充分不必要条件.( ) 【答案】错误 【详解】由α是第一象限角可举例380α=︒， 则1902α=︒，得角2α是第二象限的角， 即由“角α是第一象限的角”推不到“角2α是第一象限的角”，所以不是充分条件，所以错误.故答案为：错误. 2．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是1或4.( ) 【答案】正确 【详解】设扇形所在圆的半径为r ，则扇形弧长l r α=，于是得226122r r r αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得21r α=⎧⎨=⎩或14r α=⎧⎨=⎩，所以扇形的圆心角的弧度数α是1或4. 故答案为：正确3．（2022·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）已知角α的终边经过点()P m ，0m ≠，且sin α=，则cos α= ) 【答案】正确 【详解】因为角α的终边经过点()P m ，0m ≠，且sin α=，=m =所以cos α==故答案为：正确4．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）角θ终边经过点（-3,4），则7cos 225θ=-.( ) 【答案】正确 【详解】由角θ终边经过点()3,4-，可得3cos 5θ==-，而2237cos 22cos 12()1525θθ=-=--=-.故答案为：正确.5．（2022·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）tan 300︒= ) 【答案】错误 【详解】tan 300tan(36060)tan 60︒=︒-︒=-︒=故答案为：错误高频考点一：象限角、区域角、终边相同的角①象限角角度1：确定已知角所在象限例题1．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）若()45180k k α=+⋅∈Z ，则α的终边在（ ） A ．第二或第三象限 B ．第一或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限【答案】B 【详解】当k 为奇数时，记21,k n n =+∈Z ，则()225360n n α+⋅∈︒=Z ，此时α为第三象限角；当k 为偶数时，记2,k n n =∈Z ，则()45360n n α+⋅∈︒=Z ，此时α为第一象限角. 故选：B例题2．（2022·上海市宝山中学高一期中）平面直角坐标系中，若角532α=︒，则α是第________象限的角. 【答案】二##2 【详解】532360172︒=︒+︒，因此532︒与172︒终边相同，而172︒是第二象限角．所以α是第二象限角． 故答案为：二．角度1题型归类练1．（2022·江西抚州·高一期中）若34πα=-，则α是第（ ）象限角． A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】C 【详解】34πα=-，α终边落在第三象限，α为第三象限角.故选：C.2．（2022·河南南阳·高一期中）“α是第一象限角”是“0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【详解】若α是第一象限角，则22,2k k k Z ππαπ<<+∈，无法得到α一定属于0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，充分性不成立， 若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则α一定是第一象限角，必要性成立，所以“α是第一象限角”是“0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”的必要不充分条件.故选：B3．（多选）（2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末）下列四个角为第二象限角的是（ ）A ．200-B ．100C ．220D ．420【答案】AB 【详解】对于A 选项，200160360-=-，故200-为第二象限角； 对于B 选项，100是第二象限角； 对于C 选项，220是第三象限角；对于D 选项，42060360=+，故420为第一象限角. 故选：AB.角度2：由已知角所在的象限确定某角的范围例题1．（多选）（2021·全国·高一专题练习）有一个小于360︒的正角α，这个角的6倍的终边与x 轴的非负半轴重合，则这个角可以为（ ） A ．60︒ B ．90︒ C ．120︒ D ．300︒【答案】ACD 【详解】由题意，62180k α=⨯︒且k Z ∈，则1803kα︒=，又0360α︒<<︒， ∴1k =时，60α=︒；2k =时，120α=︒；3k =时，180α=︒；4k =时，240α=︒；5k =时，300α=︒； 故选：ACD6．（多选）（2021·全国·高一专题练习）若α为第一象限角，则180()k k Z α⋅︒+∈的终边所在的象限可能是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】AC 【详解】由题设，36036090k k α''︒<<︒+︒，k Z '∈，∴(2)180180(2)18090k k k k k α''+⋅︒<⋅︒+<+⋅︒+︒，令12k k k Z '=+∈，∴1118018018090k k k α⋅︒<⋅︒+<⋅︒+︒，故180()k k Z α⋅︒+∈的终边所在的象限可能是第一、三象限. 故选：AC角度2题型归类练1．（2021·全国·高一专题练习）若α是第一象限角，则2α-是（ ）A ．第一象限角B ．第一、四象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角【答案】D 【详解】由题意知，36036090k k α⋅︒<<⋅︒+︒，k ∈Z ，则180180452k k α⋅︒<<⋅︒+︒，所以180451802k k α-⋅︒-︒<-<-⋅︒，k ∈Z ．当k 为偶数时，2α-为第四象限角；当k 为奇数时，2α-为第二象限角．所以2α-是第二或第四象限角.故选：D.2．（2021·广东·中山纪念中学高一阶段练习）若α是第四象限角，则90º－α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】B 【详解】由题知，(90360,360)k k α∈-+⋅⋅，k Z ∈， 则90(90360,180360)k k α-∈-⋅-⋅，在第二象限， 故选：B3．（多选）（2022·安徽·界首中学高一期末）若α是第二象限角，则（ ） A ．πα-是第一象限角 B ．2α是第一或第三象限角 C ．32πα+是第二象限角D ．2α是第三或第四象限角【答案】AB 【详解】解：因为α与α-关于x 轴对称，而α是第二象限角，所以α-是第三象限角，所以πα-是第一象限角，故A 选项正确；因为α是第二象限角，所以222k k ππαππ+<<+，k ∈Z ，所以422k k παπππ+<<+，k ∈Z ，故2α是第一或第三象限角，故B 选项正确；因为α是第二象限角，所以32πα+是第一象限角，故 C 选项错误；因为α是第二象限角，所以222k k ππαππ+<<+，k ∈Z ，所以4224k k ππαππ+<<+，k ∈Z ，所以2α的终边可能在y 轴负半轴上，故D 选项错误． 故选：AB.角度3：确定n 倍角所在象限例题1．（2022·广东广州·高一期末）已知α是锐角，那么2α是（ ）． A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．小于180°的正角 D ．第一或第二象限角【答案】C 【详解】因为α是锐角,所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()20,απ∈,满足小于180°的正角.其中D 选项不包括90，故错误. 故选：C2．（2021·上海·高一课时练习）角θ的终边在第二象限，则角2θ的终边在_________． 【答案】第三、四象限或y 轴非正半轴 【详解】解：θ是第二象限角，36090360180k k θ∴︒+︒<<︒+︒，k Z ∈．236018022360360k k θ︒+︒<<︒+︒，k Z ∈．2θ的终边的位置是第三或第四象限，y 的非正半轴．故答案为：第三、第四象限或y 轴的非正半轴角度3题型归类练1．（2021·上海·高一课时练习）若α是第三象限角，则α-是第_________象限角． 【答案】二 【详解】因为α是第三象限角，所以α的终边在第三象限， 又α-的终边与α的终边关于x 轴对称，所以α-的终边在第二象限，所以α-是第二象限角， 故答案为：二.2．（2018·广西·高一阶段练习）已知α终边在第四象限，则2α终边所在的象限为_______________． 【答案】第三象限或第四象限或y 轴负半轴 由于α是第四象限角,故π2π2π2k k α-<<,故4ππ24πk k α-<<,即2α终边在” 第三象限或第四象限或y 轴负半轴”. 角度4：确定n 分角所在象限例题1．（2021·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）若角α是第一象限角，则2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第二或第四象限角【答案】C 【详解】因为α是第三象限角，所以36036090,k k k Z α⋅<<⋅+∈， 所以18018045,2k k k Z α︒⋅<<⋅+∈，当k 为偶数时，2α是第一象限角， 当k 为奇数时，2α是第三象限角. 故选：C ．例题2．（多选）（2022·辽宁·抚顺县高级中学校高一阶段练习）如果α是第三象限的角，那么3α可能是下列哪个象限的角（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】ACD 【详解】α是第三象限的角，则32,22k k παπππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，所以22,33332k k αππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈； 当=3,k n n Z ∈，2,2,332n n n Z αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，在第一象限； 当=31,k n n Z +∈，72,2,36n n n Z αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，在第三象限； 当=32,k n n Z +∈，5112,2,363n n n Z αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，在第四象限； 所以3α可以是第一、第三、或第四象限角． 故选：ACD角度4题型归类练1．（2022·河南新乡·高一期末）“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】当α是第四象限角时，3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，则3,42k k k Z παπππ+<<+∈，即2α是第二或第四象限角.当324απ=为第二象限角，但32πα=不是第四象限角，故“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的充分不必要条件． 故选：A2．（多选）（2022·江西·南昌十五中高一阶段练习）已知角α是第一象限角，则角3α可能在以下哪个象限（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】ABC 【详解】解：因为角α是第一象限角，所以222k k ππαπ<<+，k Z ∈，所以223363k k παππ<<+，k Z ∈， 当3k t =，t Z ∈时，2236t t απππ，t Z ∈，3α位于第一象限，当31k t =+，t Z ∈时，2522336t t παπππ，t Z ∈，3α位于第二象限，当32k t =+，t Z ∈时，4322332t t παπππ，t Z ∈，3α位于第三象限，综上可得3α位于第一、二、三象限； 故选：ABC3．（2022·上海师大附中高一期末）设α是第三象限的角，则2α的终边在第______象限. 【答案】二或四 【详解】因为α是第三象限角，所以3222k k ππαππ+<<+，k Z ∈，所以3224k k παπππ+<<+，k Z ∈， 当k 为偶数时，2α为第二象限角， 当k 为奇数时，2α为第四象限角. 故答案为：二或四.②区域角例题1．（2022·湖南·高一课时练习）已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．【答案】{α|k ·360°＋45°＜α＜k ·360°＋150°，k ∈Z } 【详解】观察图形可知，终边落在边界上的角分别是36045,360150,k k k Z ⋅︒+︒⋅︒+︒∈, 所以角α的集合是{α|k ·360°＋45°＜α＜k ·360°＋150°，k ∈Z }． 故答案为：{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k ∈Z} 例题2．（2020·全国·高一课时练习）如图所示,终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是________.【答案】{}90180120180,k k k αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈Z 【详解】因为终边落在y 轴上的角为90180,k k Z ︒+⋅︒∈，终边落在虚线上的角为1203601202180,k k ︒︒+⋅︒=+⋅︒k Z ∈； 3003601201802180120(21)180,n n n n Z ︒︒︒+⋅︒=+︒+⋅︒=++⋅︒∈，即终边在虚线上的角为120180k ︒+⋅︒，k Z ∈，所以终边落在阴影部分的角为90180120180,k k k Z α︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈， 故答案为：{}90180120180,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈题型归类练1．（2022·上海·华师大二附中高一期中）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合是__________．【答案】32,2,Z 64k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【详解】由题图，终边OB 对应角为26k ππ-且Z k ∈，终边OA 对应角为324k ππ+且Z k ∈， 所以阴影部分角θ的集合是32,2,Z 64k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：32,2,Z 64k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦2．（2021·全国·高一专题练习）如图所示，终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为______．【答案】{}4518060180,n n n Z αα+⋅≤≤+⋅∈ 【详解】终边在直线OM 上的角的集合为：{}{}45360,225360,M k k Z k k Z αααα==︒+⋅︒∈⋃=︒+⋅︒∈{}(){}452180,4521180,k k Z k k Z αααα==︒+⋅︒∈⋃=︒++⋅︒∈{}45180,n n Z αα==︒+⋅︒∈．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{}60180,n n Z αα=︒+⋅︒∈，所以终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为{}4518060180,n n n Z αα︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈． 故答案为：{}4518060180,n n n Z αα︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈3．（2020·全国·高一课时练习）如下图，终边落在OA 位置时的角的集合是__________；终边落在OB 位置，且在360360-︒︒内的角的集合是________；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是______．【答案】 {|360120,}k k αα=︒+︒∈Z {45,315}-︒︒ {|36045360120,}k k k αα︒-︒︒+︒∈Z 【详解】由题意以OA 为终边的一个角是120︒，因此以OA 为终边的角的集合是{|360120,}k k αα=︒+︒∈Z ；以OB 为终边的角的集合是{|36045,}k k αα=︒-︒∈Z ，在已知范围内的有45,315-︒︒两个角，集合表示为{45,315}-︒︒；∴终边落在阴影部分（含边界）的角的集合为{|36045360120,}k k k αα︒-︒︒+︒∈Z ． 故答案为：{|360120,}k k αα=︒+︒∈Z ；{45,315}-︒︒；{|36045360120,}k k k αα︒-︒︒+︒∈Z ．4．（2019·江苏·海安市南莫中学高一期中）如图所示，阴影部分表示的角的集合为（含边界）______（用弧度表示）．【答案】{|,}3k k k Z παπαπ≤≤+∈【详解】如图，阴影部分表示的角α位于一、三象限， 在第一象限，03πα≤≤；在第三象限，43ππα≤≤， ∴阴影部分表示的角的集合为（含边界）： {|223k k παπαπ≤≤+或()()21213k k ππαπ+≤≤++，}{|,}3k Z k k k Z παπαπ∈=≤≤+∈．故答案为{|,}3k k k Z παπαπ≤≤+∈．③终边相同的角例题1．（2022·北京师大附中高一期中）将x 轴正半轴绕原点逆时针旋转30，得到角α，则下列与α终边相同的角是（ ） A ．330︒ B ．330-︒C ．210︒D ．210-︒【答案】B 【详解】由题意得：{}30360,k k Z αα=︒+⋅︒∈，当1k =-时，330α=-︒，B 正确，其他选项经过验证均不正确. 故选：B例题2．（2017·天津市红桥区教师发展中心高一期末）在0~180范围内，与950-终边相同的角是______．【答案】130 【详解】与950-终边相同的角的集合为}{()950360Z k k αα=-+∈， 当3k =时，9503603130α=-+⨯=，所以在0~180范围内， 与950-终边相同的角是130.故答案为：130题型归类练1．（2022·辽宁·凌源市实验中学高一阶段练习）下列与角23π的终边一定相同的角是（ ） A ．53πB ．()43k k Z ππ-∈ C ．()223k k Z ππ+∈ D ．()()2213k k Z ππ++∈ 【答案】C 【详解】 对于选项C ：与角23π的终边相同的角为()223k k Z ππ+∈，C 满足. 对于选项B ：当()2k n n Z =∈时， ()442,33k n k Z n Z ππππ-=-∈∈成立； 当()21k n n Z =+∈时，()()44212,333k n n k Z n Z ππππππ-=+-=-∈∈不成立. 对于选项D ：()()2521233k k k Z ππππ++=+∈不成立. 故选: C2．（2022·上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）与1920°终边相同的角中，最小的正角是________ 【答案】120° 【详解】19205360120︒=⨯︒+︒,所以与1920°终边相同的角中，最小的正角为120°. 故答案为：120°.高频考点二：角度制与弧制度的相互转化例题1．（2022·河南南阳·高一期中）把π5化成角度制是（ ）A ．36°B ．30°C ．24°D ．12°【答案】A 【详解】由角度制与弧度制的互化知，π180=︒， 所以ππ180()3655π=⨯︒=︒， 故选：A例题2．（2022·陕西汉中·高一期中）如图，时钟显示的时刻为12：55，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的锐角为（ ）A ．π3B ．23π72C ．11π36D ．3π10【答案】B 【详解】由图可知，该时刻的时针与分针所夹的锐角为2π112π23π12121272+⨯=． 故选：B.题型归类练1．（2022·安徽·砀山中学高一期中）将210°化成弧度为（ ） A ．5π6-B ．5π6C ．4π3D ．7π6【答案】D 【详解】 7210=210=1806ππ︒⨯， 故选：D.2．（2022·上海市七宝中学高一开学考试）经过50分钟，钟表的分针转过___________弧度的角. 【答案】5π3-【详解】根据题意，分针转过的弧度为5052603ππ-⨯=-. 故答案为：53π-.3．（2022·湖南·高一课时练习）将下表中的角度和弧度互化：180π=︒∴1180π︒=，1801π︒=故：高频考点三：弧长公式与扇形面积公式角度1：弧长的有关计算例题1．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ） A ．2 B ．sin 2 C ．2sin1D ．2sin1【答案】C 【详解】2弧度的圆心角所对的弦长为2，∴半径1sin1r =，∴所求弧长为22sin1r =. 故选：C.例题2．（2022·湖南·高一课时练习）已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮顺时针转动一周时，小轮转动的角是多少度？多少弧度？如果大轮的转速是150r/min ，小轮的半径为10cm ，那么小轮圆周上的点每秒转过的弧长是多少？ 【答案】小轮转动的角是864︒，245π弧度，小轮圆周上的点每秒转过的弧长为120π cm 【详解】由题意得，相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿， 所以当大轮旋转一周时，大轮转了48个齿，小轮转了20齿， 所以小轮转动了4812205=周，即123608645⨯︒=︒，1224255ππ⨯=，所以当大轮的转速为150r/min 时，小轮的转速为121503605⨯=r/min ， 所以小轮圆周上的点每秒转过的弧度数为 36026012ππ⨯÷=，因为小轮的半径为10cm ，所以小轮圆周上的点每秒转过的弧长 1210120ππ⨯= cm角度1题型归类练1．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知扇形的圆心角为2rad 5，半径为10，则扇形的弧长为（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D ．4【答案】D 【详解】解：因为扇形的圆心角为2rad 5，半径为10，所以由弧长公式得：扇形的弧长为21045l r α=⋅=⨯=故选：D2．（2022·北京·汇文中学高一期中）一圆锥的侧面展开图为一圆心角为23π的扇形，该圆锥母线长为6，则圆锥的底面半径为________． 【答案】2 【详解】因为圆锥的母线长为6，所以侧面展开图扇形的半径为6，设该圆锥的底面半径为r ， 所以有26223r r ππ⋅=⇒=， 故答案为：2.角度2：与扇形面积有关的计算例题1．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）已知扇形OAB 的圆心角为8rad ，其周长是，则该扇形的面积是___2cm ． 【答案】8 【详解】设扇形的半径为R ，弧长是88l R R =⨯=，则其扇形周长是82R R +=R =22188cm 2R ⨯⨯=． 故答案为：8例题2．（2022·重庆八中高一期末）如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为3π，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.【答案】6π-【详解】解：根据题意，只需计算图中阴影部分的面积， 设AOB α∠=，因为弧田的弧AB 长为3π，弧所在的圆的半径为4， 所以34πα=，所以阴影部分的面积为113444sin 622παπ⨯⨯-⨯⨯⨯=-所以弧田的面积是6π-故答案为：6π-例题3．（2022·湖南·雅礼中学高一期中）中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O （半径为20cm ）中作出两个扇形OAB 和OCD ，用扇环形ABDC （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC 的面积为1S ，扇形OAB 的面积为2S，当12S S =时，扇形的现状较为美观，则此时扇形OCD 的半径为__________cm【答案】1) 【详解】设,AOB θ∠=，半圆O 的半径为r ，扇形OCD 的半径为1r ，1252S S =，所以2212112212r r rθθθ-，即2212r r r -，所以2212r r===，所以1r r =20,r cm =，所以11)r cm=， 故答案为：1).角度2题型归类练1．（2022·上海市行知中学高二期中）已知圆锥的表面积为28π，其侧面展开扇形的圆心角大小为3π，则这个圆锥的底面半径为______. 【答案】2 【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， 由题意，有228rl r πππ+=①， 由于侧面展开扇形的圆心角大小为3π， 所以23l r ππ=，即6l r =②，由①②得12l =，2r =， 即圆锥的底面半径为2， 故答案为：2.2．（2022·上海市七宝中学高一开学考试）已知扇形的圆心角为3π，弧长为45π，则扇形的面积为___________.【答案】2425π 【详解】依题意，扇形的半径412553lrππα===，所以扇形的面积1141224225525S lrππ==⨯⨯=，故答案为：2425π.3．（2022·上海·高三专题练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1)9π2m)；(2)少1.522m．试题解析：(1) 扇形半径，扇形面积等于弧田面积=（m2）（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=.平方米按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.角度3：扇形中的最值问题例题1．（2022·吉林·长春十一高高一期末）已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（）A．32B．52C．3 D．2【答案】D 【详解】设扇形半径为r ,易得020r <<,则由已知该扇形弧长为402r -.记扇形面积为S ,则()()()22014022010024r r S r r r r +-=-=-≤=,当且仅当20r r =-，即10r =时取到最大值，此时记扇形的圆心角为θ，则40220210r r θ-=== 故选：D例题2．（2022·江西·奉新县第一中学高一阶段练习）如果一个扇形的周长为60cm ，那么当它的半径和圆心角分别为多少时，扇形的面积最大？【答案】当扇形的半径为15cm ，圆心角为2rad 时，扇形的面积最大 【详解】解：设该扇形的半径为cm r ，圆心角为θ，弧长为cm l ，面积为2cm S ， 则260l r +=，所以602l r =-，其中030r <<，所以，()()2211602301522522S lr r r r r r ==-=-+=--+，所以当15cm r =时，S 最大，最大值为2225cm ， 此时()602152rad 15l r θ-⨯===. 例题3．（2022·广西梧州·高一期中）已知扇形的周长为30． (1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角α，弧长l 及面积S ; (2)求该扇形面积S 的最大值及此时扇形的半径 . 【答案】(1)1α=，10l =，50S =； (2)2254，152. (1)由题知扇形的半径10r =，扇形的周长为30， ∴22030l r l +=+=， ∴10l =，10110lr α，1110105022S lr ==⨯⨯=.(2)设扇形的圆心角α，弧长l ，半径为r ，则230l r +=， ∴302l r =-，∴()()21522530112222154S lr r r r r r r -+⎛⎫--=⎪=⎭≤⎝== 当且仅当15r r -=，即152r =取等号， 所以该扇形面积S 的最大值为2254，此时扇形的半径为152.1．（2022·浙江·高三专题练习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10OA =，()010OB x x =<<，线段BA ，CD 与BC ，AD 的长度之和为30，圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x 的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值. 【答案】(1)210(010)10x x x θ+=<<+； (2)52x =，2254. (1)解：根据题意，可算得()m BC x θ=，()10m AD θ=． 因为30AB CD BC AD +++=，所以()2101030x x θθ-++=， 所以，()21001010x x x θ+=<<+. (2)解：根据题意，可知()()()2222251011102210AOD BOCx x y S S x x θ+-=-=-=⨯+扇形扇形 ()()22522551055024x x x x x ⎛⎫=+-=-++=--+⎪⎝⎭， 当()5m 2x =时，()2max 225m 4=y .综上所述，当5m 2x =时铭牌的面积最大，且最大面积为2225m 4. 2．（2022·全国·高一阶段练习）已知一扇形的圆心角为()0αα>，周长为C ，面积为S ，所在圆的半径为r ． (1)若35α=︒，8r =cm ，求扇形的弧长；(2)若16C =cm ，求S 的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【答案】(1)149πcm ； (2)S 的最大值是216cm ，此时扇形的半径是4 cm ，圆心角为2． 【解析】35α=︒＝735rad rad 18036ππ⨯=， 扇形的弧长7148369l r αππ==⨯=cm ； (2)设扇形的弧长为l ，半径为r ，则216r l +=，∴162l r =-()08r <<，则()()2211162841622S lr r r r r r ==-=-+=--+，当4r =时，2max 16cm S =，16248l =-⨯=cm ，2l rα，∴S 的最大值是216cm ，此时扇形的半径是4 cm ，圆心角2α=．3．（2022·河北张家口·高一期末）已知扇形的圆心角是α，半径为r ，弧长为l . (1)若135α=，10r =，求扇形的弧长l ；(2)若扇形AOB 的周长为22，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值. 【答案】(1)152π； (2)当2α=时，扇形面积最大值max 1214S =. (1)31354πα==，∴扇形的弧长3151042l r ππα==⨯=；(2)扇形AOB 的周长()22222L r l r r r αα=+=+=+=，222rα∴=-， ∴扇形AOB 面积2221111112S r r r r r α⎛⎫==-=-+ ⎪⎝⎭，则当112r =，max 1214S =， 即当2α=时，扇形面积最大值max 1214S =. 角度4：扇形弧长公式与面积公式的应用例题1．（2022·陕西·西安中学高一期中）中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为67π，扇面所在大圆的半径为20cm ，所在小圆的半径为8cm ，那么这把折扇的扇面面积为（ ）A ．288πB ．144πC ．487π D ．以上都不对【答案】B 【详解】 由题意得，大扇形的面积为11612002020277S ππ=⨯⨯⨯=， 小扇形的面积为21619288277S ππ=⨯⨯⨯=， 所以扇面的面积为12120019214477S S πππ-=-=. 故选：B6．（2022·全国·高一课时练习）已知扇形面积为225cm ，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取得最小值？ 【答案】当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值． 【详解】解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，扇形的周长为y ，则2y l R =+． 由题意，得1252lR =，则50l R =，故502522(0)y R R R R R ⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭． 利用函数单调性的定义，可得当05R <时，函数502y R R=+是减函数； 当5R >时，函数502y R R=+是增函数． 所以当5R =时，y 取得最小值20，此时10l =，2lRα==， 即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值． 【点睛】要求周长的最小值，可考虑将周长写成某个变量的函数式，利用函数的单调性求最值.函数()()0,0kf x x x k x=+≠>在(x ∈-∞上单调递减，在)x ∈+∞上单调递增.角度4题型归类练1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知扇形所在圆的半径为2，圆心角的弧度数是2，则该扇形的弧长为（ ） A ．1 B ．4C ．6D ．8【答案】B因为扇形所在圆的半径2r =，圆心角的弧度数α=2， 所以该扇形的弧长224l r α==⨯=. 故选：B2．（2022·北京·高一期中）已知某扇形的圆心角为6π，弧长为23π，则该扇形的半径为___________；面积为___________. 【答案】 4 43π##43π 【详解】由题设，该扇形的半径2436r ππ=÷=，面积为1244233S ππ=⨯⨯=. 故答案为：4，43π3．（2022·江苏省木渎高级中学高一期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面所在扇形的圆心角为____rad ，此时扇面．．面积为____cm 2．【答案】 52704 【详解】解：如图，设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得：485r =，52θ=. 所以，21481486416247042525OCD OAB S S S cm ⎛⎫=-=⨯⨯+-⨯⨯=⎪⎝⎭．故答案为：5;7042．高频考点四：任意角的三角函数角度1：单位圆法与三角函数例题1．（2022·全国·高三专题练习）设0a <，角α的终边与圆221x y +=的交点为(34)P a a -，，那么sin 2cos αα+=（ ） A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】D 【详解】画图，角α的终边与圆221x y +=的交点为(34)P a a -，，设()P x y ，，则3x a =-，4y a =，代入得22(3)(4)1a a -+=，解得2125a =， ∵0a <， ∴15a =-，∴34()55P -，， 又∵在单位圆中，cos x α=，sin y α=， ∴3cos 5α=，4sin 5α=-， ∴2sin 2cos 5αα+=， 故选：D例题2．（2022·北京师大附中高三期中）已知正角α的终边经过点1(2P -，则角α的值可以是_______（写出一个就可以）．【详解】因为1(2P -，所以2tan 12α==-所以角α的值可以是23π.故答案为：23π（答案不唯一）角度1题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）点P 为圆221x y +=与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周逆时针旋转至点P '，当转过的弧长为2π3时，点P '的坐标为（ ）A．1,2⎛ ⎝⎭ B．12⎛- ⎝⎭C．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D．12⎫-⎪⎪⎝⎭【答案】B 【详解】设旋转角为θ，则22123θπππ⨯⨯=，得23πθ=，从而可得1(2P '-. 故选：B.2．（2022·四川凉山·高一期末）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与以原点为圆心，半径为1的圆相交于点则34,55A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则 tan α=（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43-【答案】B 【详解】由题意可得：角α的终边与单位圆的交点为34,55A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以35x =-，45y =-，所以445tan 335y x α-===-，故选：B.角度2：终边上任意点法与三角函数例题1．（2022·北京师大附中高一期中）若角α的终边经过点(2,4)P -，则tan α=（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．2-由题设，4tan 22α==--. 故选：D例题2．（2022·北京·人大附中高一期中）已知角α的终边过点()4,3(0)P a a a ->，则cos α的值是（ ） A ．35 B ．35C ．45D ．45-【答案】C 【详解】 由题意知：44cos 55a a α===.故选：C.角度2题型归类练1．（2022·山东山东·高一期中）已知点(1)P -是角α终边上一点，则cos α=（） A ． B ．12-C D ．12【答案】A 【详解】因为点(1)P -是角α终边上一点，所以cos α==故选：A.2．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））已知角θ的终边上有一点(4,3)(0)a a a P ->，则2sin cos θθ+的值是（ ） A ．25-B ．25C ．25或25-D ．不确定【答案】B 【详解】角θ的终边上点(4,3)(0)aa a P ->，则||5r OP a ==， 于是得3344sin ,cos 5555a a a a θθ-====-， 所以3422sin cos 2()555θθ+=⨯+-=.故选：B3．（2022·河南焦作·高一期中）若角θ的终边经过点(),3P x -，且3sin 5θ=-，则tan θ=（ ）A ．43-B ．43±C ．34-D ．34±由三角函数的定义可得3sin 5θ==-，解得4x =±，因此3tan 4θ=±．故选：D.4．（2022·四川自贡·高一期末）角α的终边过点()12,5P ，则cos α=（ ） A ．513B ．1213C ．125D ．512【答案】B 【详解】由题意P 到原点的距离为13r OP ==， 所以12cos 13α=． 故选：B ．角度3：三角函数值符号的判定例题1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）若3α=，则（ ） A ．sin 0,cos 0αα>> B ．sin 0,cos 0αα>< C ．sin 0,cos 0αα<> D ．sin 0,cos 0αα<<【答案】B 【详解】 因32παπ<=<，则α是第二象限象限角， 所以sin 0,cos 0αα>< . 故选：B例题2．（2022·北京房山·高一期中）若sin 0θ<且tan 0θ<，则角θ所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【详解】sin 0θ<，则角θ在第三，四象限，tan 0θ<，则角θ在第二，四象限，所以满足sin 0θ<且tan 0θ<，角θ在第四象限. 故选：D3．（2022·全国·高三专题练习（理））若tan 0α<，则下列结论一定正确是（ ） A ．sin 0α< B ．sin 20α<C ．cos 0α<D ．cos20α<【答案】B 【详解】。
两角和与差及二倍角三角函数公式
05 公式的应用举例
在三角形中的应用
已知两边及夹角求第三边
求三角形的面积
利用两角和与差的余弦公式，结合三 角形的边长和角度关系，可以求出第 三边的长度。
在已知三角形的三边长度时，可以利 用海伦公式结合两角和与差的三角函 数公式求出三角形的面积。
判断三角形的形状
通过比较三角形的三个内角的余弦值， 可以判断三角形的形状（锐角、直角 或钝角^circ - 45^circ) = cos30^circcos45^circ + sin30^circsin45^circ = frac{sqrt{3}}{2} times frac{sqrt{2}}{2} + frac{1}{2} times frac{sqrt{2}}{2} = frac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}$。
二倍角公式允许我们将一个 角的二倍角的三角函数表达 式化简为单角的三角函数表 达式，这在解决一些特定问 题时非常有用，如求某些特 殊角的三角函数值或证明某 些恒等式。
公式在三角恒等 式证明中的应用
两角和与差及二倍角公式在 三角恒等式的证明中扮演着 重要角色。通过使用这些公 式，我们可以将复杂的三角 函数表达式化简为更简单的 形式，从而更容易地证明恒 等式。
04 公式推导与证明
两角和与差公式的推导
利用三角函数的和差化积公式， 将两角和与差的三角函数表达式 转化为单个角的三角函数表达式。
通过三角函数的加减变换，得到 两角和与差的正弦、余弦公式。
结合三角函数的周期性，将公式 扩展到任意角。
二倍角公式的推导
利用三角函数的倍角公式，将 二倍角的三角函数表达式转化 为单个角的三角函数表达式。
三角函数的性质
高一数学任意角的三角函数(一)
cos θ>0 由tan θ<0， 得角 θ 为第四象限角.
∴角θ为第三或第四象限角.
探究点四 诱导公式一
思考1 诱导公式一是什么？ 答 由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同 一三角函数值相等.由此得到诱导公式一： sin(k·360°＋α)＝sin α，cos(k·360°＋α)＝cos α， tan(k·360°＋α)＝tan α，其中k∈Z， 或者：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α， tan(2kπ＋α)＝tan α，其中k∈Z.
圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角α
的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sin α＝ y， y
cos α＝ x ，tan α＝ x .
探究点二 任意角三角函数的概念
y
yx
x
x2＋y2
思考2 对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的 位置的改变而改变呢？ 答 由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实 数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边 上点P的位置无关.
思考2 诱导公式一的作用是什么？ 答 把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角 函数值.
例如：sin 420°＝sin 60°＝ 23；cos(－330°)＝cos 30°＝ 23；
tan(－315°)＝tan 45°＝1.
例3 求下列各式的值.
(1)cos 253π＋tan－154π；
45°－sin
90°＋cos
30°＝1－1＋
3 2
＝
3 2.
呈重点、现规律
1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位 置无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关. 2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时 必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取. 3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.
三角函数公式大全
三角函数的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
本文将三角函数公式列举出来，方便大家查阅。
一两角和三角函数公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB二倍角三角函数公式三三倍角三角函数公式五和差化积三角函数公式六积化和差三角函数公式八万能三角函数公式九其他三角函数公式十双曲函数公式十一其他三角函数公式01三角函数公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)= sinαcos(2kπ+α)= cosαtan(2kπ+α)= tanαcot(2kπ+α)= cotα02三角函数公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)= -sinαtan(π+α)= tanαcot(π+α)= cotα03三角函数公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)= -sinαcos(-α)= cosαtan(-α)= -tanαcot(-α)= -cotα04三角函数公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)= sinαcos(π-α)= -cosαtan(π-α)= -tanαcot(π-α)= -cotα05三角函数公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)= -sinαcos(2π-α)= cosαtan(2π-α)= -tanα06三角函数公式六：07公式七：。
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1. 给出下列命题：
①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；
④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知角α的终边与单位圆的交点Px，32，则tanα＝( )
A. 3 B. ±3 C. 33 D. ±33
4.已知扇形的面积为3π16，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是( )
A. 3π16 B. 3π8 C. 3π4 D. 3π2
5. 若α是第三象限角，则y＝|sinα2|sinα2＋|cosα2|cosα2的值为( )
A. 0 B. 2 C. －2 D. 2或－2
6. 已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为( )
A. －12 B. 12 C. －32 D. 32
7. 点P是始边与x轴的正半轴重合,顶点在原点的角θ的终边上的一点,若|OP|=2,θ=60°,则点P
的坐标是 .
8. 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a<0)，则2sinα＋cosα的值为________．
9.如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点Acosα，35，则
cosα－sinα＝________.
10. 已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.
11.已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα、tanα的值．
12.若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为( )
A. 43 B. －43 C. ±43 D. 3
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13. 一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A. π3 B. 2π3 C. 3 D. 2
14. 在直角坐标系中，O是原点，A(3，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为
________．
15.点A(sin2014°，cos2014°)在直角坐标平面上位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
16.如果角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值等于( )
A. 12 B. －12 C. －32 D. －33
17.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
18. [2015²成都模拟]若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )
A. sinα＋cosα<0 B. tanα－sinα<0
C. cosα－tanα<0 D. tanαsinα<0
19.角α终边上有一点P(x,5)，且cosα＝x13(x≠0)，则sinα＝________.
20．集合M＝{x|x＝kπ2＋π4，k∈Z}，N＝x x＝kπ4＋π2，k∈Z，则( )
A．M＝N B．MN C．NM D．M∩N＝∅
21．sin 2²cos 3²tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在
22．角α的终边过点P(－1,2)，则sinα＝( )
A.55 B.255 C．－55 D．－255
23．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( )
A．2 B．－2 C．2－π2 D.π2－2
24．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )
A．sinθ2 B．cosθ2 C．tanθ2 D．cos2θ
25．若点(sinα，sin2α)位于第四象限，则角α在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
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26．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是( )
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
27．已知点P(sin3π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4
28．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
29．有下列各式：①sin1125°；②tan3712π²sin3712π；③sin4tan4；
④sin|－1|，其中为负值的个数是________．
30．若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sinα²cosα＝34，则a的值为________．
31．如果θ是第二象限角，且cosθ2－sinθ2＝1－sinθ，那么θ2所在象限为第________象限．
32．已知角α的终边经过点P(x，－6)，且tanα＝－35，则x的值为________．
33．若0<α<β<π2，则下列不等式正确的是________．
①sinα＋sinβ<α＋β ②α＋sinβ
34．求函数f(x)＝sinx－cosx的定义域．
35．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( )
A．sinθ>cosθ>tanθ B．cosθ>tanθ>sinθ
C．sinθ>tanθ>cosθ D．tanθ>sinθ>cosθ
36．点P(tan2009°，cos2009°)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
37．(1)如果点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限．
(2)若θ是第二象限角，试判断sincosθcossin2θ的符号是什么？