哈工大大一(下)工科数学分析期末考试知识点总结-刘星斯维提整理

1102002班工科数学分析（下）知识点
整理人：刘星斯维提
（1）：曲线积分：
⎩⎨
⎧==<'+'=≤≤⎩
⎨
⎧==⎰
⎰)()()()()](),([),(),(,)()
(),(2
2t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L
ϕβαψϕψϕβαψϕβ
α
特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：
第一类曲线积分（对弧。

，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：二元函数的全微分求积注意方向相反！
减去对此奇点的积分，，应。

注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；
、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。

上积分起止点处切向量分别为
和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()
(00
)
,()
,(00==+=
+∂∂∂∂∂∂∂∂-===∂∂-∂∂=-=+=∂∂-∂∂+=∂∂-∂∂+=+'+'=+⎩
⎨
⎧==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰y x
dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y
P
x Q y
P
x Q G y x Q y x P G ydx
xdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y P
x Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dt
t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D L
D L D L L
L
L
βαβαψψϕϕψϕψϕβ
α
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
++=++±=±=±=++++=ds
R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx
yz
xy
xy
D D D D y x )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)],(,,[),,(22γβα系：两类曲面积分之间的关号。

，取曲面的右侧时取正号；
，取曲面的前侧时取正号；
，取曲面的上侧时取正，其中：
对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：
（3）：高斯公式：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
∑
∑
∑
∑
∑
Ω
∑=++==⋅<∂∂+∂∂+∂∂=++=++=∂∂+∂∂+∂∂ds
A dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R
y Q x P n n
div )cos cos cos (...
,0div ,div )cos cos cos ()(
成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：
—高斯公式的物理意义γβαννγβα
（4）：斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Γ
Γ
∑∑
∑
Γ
⋅=++Γ∂∂
∂∂∂∂=
∂∂=
∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂
=∂∂∂∂∂∂
++=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-
∂∂ds
t A Rdz Qdy Pdx A R
Q P z y x A y P
x Q x R z P z Q y R R
Q
P
z y x R Q
P
z y x dxdy dzdx
dydz Rdz Qdy Pdx dxdy y P
x Q dzdx x R z P dydz z Q y R
的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，　，　关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：k
j i rot cos cos cos )()()(γβ
α
是发散的
调和级数：等差数列：等比数列：n n
n n q q q q q n
n 1
312112
)1(3211111
2
+++++=
++++--=
++++-
（6）：级数审敛法：
散。

存在，则收敛；否则发、定义法：
时，不确定
时，级数发散
时，级数收敛
，则设：、比值审敛法：
时，不确定时，级数发散
时，级数收敛，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞
→+∞→∞
→+++=⎪⎩
⎪
⎨⎧=><=⎪⎩
⎪
⎨⎧=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ。

的绝对值其余项，那么级数收敛且其和
如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数111
3214321,0lim )0,(+∞→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>+-+-+-+-n n n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u
（7）：绝对收敛与条件收敛：
∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛
１时发散ｐ 级数： 收敛；
级数：收敛；
发散，而调和级数：为条件收敛级数。

收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11
1
)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p
n
n n n
（8）：幂级数：
01
0)3(lim
)3(111
1111
221032=+∞=+∞
===
≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n
n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。

，其中时不定
时发散时收敛
，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全
，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散
时，收敛于
ρρρ
ρρ
（9）：函数展开成幂级数：
+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n
n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !
)0(!2)0()0()0()(00
lim )(,)()!1()
()(!
)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ
（10）：一些函数展开成幂级数：
)
()!12()1(!5!3sin )11(!
)1()1(!2)1(1)1(121
532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+
+=+--x n x x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n
m 。