(完整版)排列组合习题_[含详细答案解析]

圆梦教育中心排列组合专项训练1.题 1 （方法对比，二星）题面：（1）有 5 个插班生要分配给 3 所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？（2）有5个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？解析：“名额无差别”——相同元素问题（法1）每所学校各分一个名额后，还有 2 个名额待分配，21 可将名额分给 2 所学校、1 所学校，共两类：C32C31（种）（法 2 ——挡板法）2 相邻名额间共 4 个空隙，插入 2 个挡板，共：C426（种）注意：“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别，且每个位置至少分配一个元素的问题.（位置有差别，元素无差别）题面：有10 个运动员名额，分给7 个班，每班至少一个, 有多少种分配方案？答案：C96详解：因为10 个名额没有差别，把它们排成一排。

相邻名额之间形成9 个空隙。

在9 个空档中选 6 个位置插个隔板，可把名额分成7 份，对应地分给7 个班级，每一种插板6方法对应一种分法共有C96种分法。

题面：完美WORD 格式由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z 之值, 故解的个数为 C 9 2=36 （个）。

2.题 2 （插空法，三星）题面：某展室有9 个展台，现有3 件展品需要展出，要求每件展品独自占用1 个展台，并且3 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有 ______________________________ 种；如果进一步要求3 件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____ 种.答案：60，48 同类题一题面：6 男 4 女站成一排，任何 2 名女生都不相邻有多少种排法？答案：A66·A47种.详解：任何 2 名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A66·A47种不同排法．题面：有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36 种B．48 种C．72 种D．96 种答案： C. 详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A 33A24＝72 种排法，故选 C.求方程X+Y+Z=10 的正整数解的个数。

答案：36.详解：将10 个球排成一排，球与球之间形成9 个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定3．题 3 （插空法，三星）题面： 5 个男生到一排12 个座位上就座，两个之间至少隔一个空位．[2] ( 法 1——插空 )每个男生占一个位子，插入 7 个位子所成的 8 个空当中，有：A 85=6720 种排法 .(法 2)[1]5 个男生先排好： A 55；[2] 每个男生加上相邻的一个座位， 共去掉 9 个位置，当 作 5 个排好的元素，共有6 个空，剩下的 3 个元素往里插空，每个空可以插1 个、2 个、3 个元素，共有： C 632C 62C 61种，综上：有 A 55(C 632C 62C 61)=6720 种.题面：(2013 年开封模拟 )2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女 生相邻，则不同排法的种数是 ( )A ． 60B ． 48C ． 42D ．36 答案： B.详解：排列 A 22，第三步男生甲插在中间， 1 种插法，第四步男法．题面：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4 个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列 方法有多少种？ 答案： 30 。

详解：记两个小品节目分别为 A 、 B 。

先排 A 节目。

根据A 节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把 4 个球分成两堆，有 种方法。

这一步完成后就有 5 个节目了。

再考虑需加入的 B 节目前后的节目数，同理知有种方法。

故由分步计数原理知，方种)。

题面： 15 个相．同．的球，按下列要求放入 4 个写上了1 、 2、 3、 4 编号的盒子，各有多少种不同的放法 ?(1) 将 15 个球放入盒子内，使得每个盒子都不空；3C 134 364(2)将15 个球放入盒子内，每个盒子的球数不小于盒子 的编号数；(3) 将 15 个球放入盒子内，每个盒子不必非空； (4) 任取 5个球，写上 1-5 编号，再放入盒内， 使每个盒子都至少有一个球；(5) 任取 10 个球，写上 1-10 编号，奇数编号的球放入奇数编号的盒子，偶数编号的球放入偶数编号的盒子． 解析：(2)先将 2、3、4 号盒子分别放入 1、2、3个球，剩下 的9 个球用挡板法， C 83=56第一步选 2 女相邻排列 C 32·A 22，第二步与男—女 男生插空 C 41，故有 C 23C 41＝ 48 种不同排法共有（3）借来 4个球，转化为 19 个球放入盒子内，每个盒子非空， C 138 816（4） 不能用“挡板法”，因为元素有差别 .24（法 1）必有一个盒子有 2 个球， C 52A 44240 ；（法 2） 先选 3 个球，分别排到 4 个盒子中的 3 个里，剩 下的盒子自然放 2 个球 .33C 53A 43240；41（法 3） A 54C 41480 ，会重！需要除 2！重复原因： 1 号盒子放 1 、5 号球，先放 1 后放 5 与先 放 5 、后放 1 是一样的！（5）（ 法 1）每个球都有 2 种选择，共有 210种方法； （法 2） 奇数号的球有 1、3、5、7、9，共 5 个，可以在 1、 3 号两个盒子中选一个放入，54 3 21 05共有： C 55C 54C 53C 52C 51C 5025种放法，5 10同理放偶数号的球也有 25种方法，综上共有 210 种方法 .同类题一 题面：某车队有 7 辆车， 现要调出 4 辆按一定顺序出去执行任 务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出 有_________ 种不同的调度方法 （填数字 ）．答案： 120. 详解：先从除甲、乙外的 5 辆车任选 2 辆有 C 52种选法，连同甲、乙共 4 辆车，排列在一起，先从 4 个位置中选两个 位置安排甲、乙，甲在乙前共有 C 42种，最后，安排其他两辆车共有 A 22种方法，故不同的调度方法为题面：我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训 练中 ,有 5架舰载机准备着舰 ,如 果甲、乙两机必须相邻着舰 ,而丙、丁两机不能相邻着舰那么不同的着舰方法有（ ）A ． 12B ． 18C ． 24答案： C. 详解：分三步 :把甲、乙捆绑为一个元素 A ,有 A 22种方 法;A 与戊机形成三个“空” , 把丙、 丁两机插入空中有 A 32种方法;考虑 A 与戊机的排法有2 2 2 2A 22种方法.由乘法原理可知共有 A 22A 32A 2224种不同的着舰方法 .故应选 C ．5. 题 5（ 相同与不同，三星 ） 题面：某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本， 从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本，则不同的 赠送方法共有 （ ）A ．4种B ．10种C ．18种D ．20 种题面：（2013 ·北京高考） 将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的2 张参观券连号，那么不同的分法种数是 ________ ．答案： 96. 详解：按照要求要把序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券 分成 4 组，然后再分配给 4 人，连号的情况是 1 和 2,2和 3,3 和 4,4 和 5 ，故其方法数是＝ 120种．完美WORD 格式题面：题面：3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A. 360B. 288C. 216D. 96答案：288 种.详解：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，先从3个女生中选两位，22 有C32种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有A22种方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把2三个男生任意排列，有A32中不同的排法，然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成2两个元素插入 4 个位置中。

有A42种不同的排法，共有A22C32A33A42种不同的排法。

然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。

1甲可能站左端，也可能是右端，有C2 种不同的方法，然后其他两个男生排列有A22种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列，有A32种不同的排法。

共A22C32 C21A22A32种不同的排法，故总的排法为2 23 2 2 2 1 2 2A2 C3 A3 A4 —A2 C3 C2 A2 A3 =288 种不同的方法。

.题6（组合数的性质，二星）题面： 5 个男生 3 个女生，分别满足下列条件，各有多少种方法？（1）选出3人参加 A 活动；（2）选出 5 人参加B活动；（3）选出 4 人参加一项活动，女生甲必须参加；（4）选出 4 人参加一项活动，女生甲不能参加答案：从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A. 70 种B. 80 种C. 100 种D. 140 种答案： A.详解：分为 2 男 1 女，和 1 男 2 女两大类，共有2 1 1 2C52C41C51C42=70 种题面：男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 人. 选派 5 人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员 3 名，女运动员 2 名；（2）至少有 1 名女运动员；（3）队长中至少有 1 人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.答案：（1）120 种（2）246 种.详解：（1）第一步：选 3 名男运动员，有 C 63种选法.第二步：选 2 名女运动员，有 C 24 种选法.共有 C 63·C 24 =120 种选法.2 ）至少 1 名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男. 由分类加法计数原理可得总选法数为+C 44C 16 =246 种..题7 （选和排，二星）题面：从 4 名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这 3 人中有且只有 1 名女生，则选派方案共有多少种？法一：先选后排，C31C42A33同类题二233241同类题一题面：将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名教师，则不同的分配方案共有( )A．12 种B．24 种C．36 种D．48 种答案： C.详解：完美WORD 格式只用1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A．6 个B．9 个 C ．18 个D．36 个答案： C. 详解：注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C31＝3(种)选先分组再排列：将 4 名教师分成 3 组有 C 24 种分法，法，即1231,1232,1233 ，而每种选择有再将这三组分配到三所学校有A33种分法，由分步乘法计排法，所以共有3× 6＝18(种)情况，即这样的四位数有A33＝36 种不同分配方案．18 个．题面：甲、乙、丙3人站到共有7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是( )A ．258 B．306 C ．336 D ．296答案： C.详解：根据题意，每级台阶最多站 2 人，所以，分两类：第一类，有 2 人站在同一级台阶，共有 C 32A27种不同的站法；第二类，一级台阶站 1 人，共有 A 73种不同的站法．根据分类加法计数原理，得共有C32A27＋A37＝336( 种) 不同的站法．3．题一(合理分类，二星) 题面：若从1，2，3，⋯，9这9个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60 种B．63 种C．65 种 D ．66 种题面：题面：由1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且1、 3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( )A．72 B．96 C．108D．144答案： C.详解：分两类：若 1 与 3 相邻，与 3 不相邻有 A 33·A33＝36( 个)故共有72＋36 ＝108 个．题8题面： 5 个男生 3 个女生，分别满足下列条件，各有多少种方法？(1)选出 4 人参加一项活动，女生甲必须参加；(2) 选3人参加数学竞赛，至少有一名男生. (法1)分类：1 名、 2 名、3 名男生：法二：边选边排，1 1 2(C31A31) A42种(＝23C×2231A22A23＝72( 个)，若1完美 WORD 格式333（法 2） 间接法—— C 83C 33C 831 55.（法 3）[1] 先取 1 名男生； [2]再在剩下的 7 人中取 3人；1 2 7 6 C 51C 725 105 ？5 7 2题面： 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班 至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个 班，则不同分法的种数为A.18B.24C.30D.36答案： C.详解： 用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种 数是 C 42，顺序有 A 33种，而甲乙被分在同一个班的有 A 33种，所以种数是 C 42 A 33 A 3330题 9 （组合数性质，三星 ） 某班分成五个小组，分别有5,6,7,8,9 名同学， 现从该班挑选 2 名同学参加比赛， 且这两名同学必须来自同一小组，共有多少种不同的方 案？同类题一题面： 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个 班，则不同分法的总数为（）A. 18 30 答案： C.详解：B. 24C. 30D.将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有2C 42种不3 同的分法，然后三组进行全排列共A 33 种不同的方法；3 然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，共 A 33种不2 3 3同的排法。