数列求和7种方法(方法全例子多)84179

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）

一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式

错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和

二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，

三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

n

3、 )1(211+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(611

2

++==∑=n n n k S n

k n

[例1] 已知2

1=

x ，求???++???+++n

x x x x 32的前n 项和. 解：由等比数列求和公式得 n

n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）

＝x x x n

--1)1(＝

2

11)

211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2

1

++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=

n n S n S n f ＝64

342++n n n

＝

n

n 64341+

+＝

50

)8(12+-

n

n 50

1≤

∴ 当

n

n 8=

，即n ＝8时，501)(max =n f

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：1

32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1

)12(--n x

n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1

-n x

}的通项之积

设n

n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n

n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1

----?

+=-- ∴ 2

1)1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+

[例4] 求数列

??????,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21

}的通项之积

设n n n

S 2226242232+???+++=…………………………………①

14322

226242221++???+++=n n n

S ………………………………② （设制错位） ①－②得14322

22222222222)211(+-+???++++=-n n n n

S （错位相减）

∴ 12

2

4-+-=n n n S

练习题1 已知，求数列｛a n｝的前n项和S n. 答案：

练习题的前n项和为____

答案：

三、逆序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++

证明： 设n

n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=………………………….. ①

把①式右边倒转过来得

113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- （反序）

又由m

n n m n C C -=可得

n

n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②

①+②得 n

n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110?+=++???+++=- （反序相加） ∴ n

n n S 2)1(?+=

题1已知函数

（1）证明：；

（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边

（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知， 两式相加得：

所以.

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+???+++-n a a a n ，… 解：设)231

()71()41()11(12-++???++++++=-n a

a a S n n

将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+???+++++???+++

=-n a

a a S n n （分组） 当a ＝1时，2

)13(n n n S n -+=＝2)13(n

n + （分组求和）

当1≠a 时，2)13(1111n n a

a S n

n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

解：设k k k k k k a k ++=++=2

332)12)(1(

∴ ∑=++=

n k n k k k S 1

)12)(1(＝)32(23

1

k k k

n

k ++∑=

将其每一项拆开再重新组合得

S n ＝k k k n

k n k n

k ∑∑∑

===++1

2

1

3

132

（分组）

＝)21()21(3)21(22

2

2

3

3

3

n n n +???++++???++++???++

＝2)

1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2

)

2()1(2++n n n

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοο

οο

n n n n tan )1tan()

1cos(cos 1sin -+=+ （3）1

1

1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=

n n n n n a n （5）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=

n n n n n n n a n

(6) n

n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2

)1(1

1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=

-则 （7）)1

1(1))((1C

An B An B C C An B An a n +-+-=++=

（8

）n a =

= [例9] 求数列???++???++,1

1,,321,

2

11n n 的前n 项和.

解：设n n n n a n -+=++=

111 （裂项）

则 1

13

212

11+++???+++

+=

n n S n （裂项求和）

＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，1

1211++???++++=

n n

n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

解： ∵ 2

11211n

n n n n a n =++???++++=

∴ )11

1(82

122+-=+?=

n n n n b n （裂项）

∴ 数列{b n }的前n 项和

)]1

11(

)4

131()3121()211[(8+-+???+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝

1

8+n n

（2009年广东文）20.（本小题满分14分）

已知点（1，3

1

）是函数,0()(>=a a x f x

且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S +1+n S （n ≥2）. （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）若数列{

}1

1

+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >

20091000的最小正整数n 是多少? 0.【解析】（1）()113f a ==Q ,()13x

f x ??

∴= ???

()11

13

a f c c =-=

- ,()()221a f c f c =---????????29=-, ()()32

3227

a f c f c =---=-???????? . 又数列{}n a 成等比数列，2213421

81233

27

a a c a ===-=-- ，所以 1c =；

又公比2113a q a ==，所以1

2112333n n

n a -??

??

=-=- ?

???

??

*n N ∈ ；

又0n b >

0>

, 1=；

数列

构成一个首相为1公差为1

()111n n =+-?= ， 2n S n =

当2n ≥， ()2

2

1121n n n b S S n n n -=-=--=- ；

21n b n ∴=-(*n N ∈)；

（2）12233411111n n n T b b b b b b b b +=

++++L ()1111133557

(21)21n n =++++???-?+K

1111111111112323525722121n n ????????=

-+-+-++- ? ? ? ?-+????????K 11122121

n

n n ??=-= ?++??；

由

1000

212009

n

n

T

n

=>

+

得

1000

9

n>，满足

1000

2009

n

T>的最小正整数为112.

练习题1.

.

练习题2。=

答案：

求数列通项公式的常用方法

（1）求差（商）法

［练习］数列{}n a 满足1115

43

n n n S S a a +++==，，求n a

注意到11n n n a S S ++=-，代入得

1

4n n

S S +=；

又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S =

2n ≥时，113

4n n n n a S S --=-==……· （2）叠乘法

如：数列{}n a 中，1131

n n a n

a a n +==+，，求n a

解

3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11

n a a n

=又13a =，∴3n a n =. （3）等差型递推公式

由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法

2n ≥时，21321(2)

(3)()n n a a f a a f a a f n --=?

?-=?

???-=?…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……

∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++…… ［练习］数列{}n a 中，()1

1113

2n n n a a a n --==+≥，，求n a （

()1312n

n a =

-）

已知数列{}n a 满足211=

a ，n

n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1

1

1)1(112

1+-=+=+=

-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即 所以n

a a n 111-

=- 211=a Θ，n

n a n 1231121-=-+=∴

（4）等比型递推公式

1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）

可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+?=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =

-，∴1n d a c ?

?+??-?

?是首项为1

1d a c c +-，为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -??+

=+ ?--??·，∴1111n n d d a a c c c -?

?=+- ?--??

（5）倒数法

如：11212

n

n n a a a a +==

+，，求n a 由已知得：

1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112

n n a a +-= ∴1n a ??????

为等差数列，11

1a =，公差为12，∴()

()11111122n n n a =+-=+·， ∴2

1n a n =

+