数学建模_初等模型

模型2：动态系统中的平衡点
模型2.1：出租车的调配问题
一家出租车公司有出租车7000辆，在甲地和乙地各有一家 分支机构，专门负责为旅游公司提供出租车。由于甲地和乙地 距离不远，出租车每天可以往返两地。根据公司统计的历史数 据，每一天甲地的车辆有60%前往乙地后返回甲地，余下40% 前往乙地并留在乙地分支机构；而每一天乙地的车辆有70%前 往甲地后返回乙地，余下30%前往甲地并留在甲地分支机构。 现在公司担心出现甲、乙两地车辆分布越来越不平衡的情况， 如果出现，公司就必须考虑是否对甲乙两地车辆进行调配，这 就需要支付一定的调度费用。
Jn = 3000 , Yn = 4000 这就说明，甲地分配3000辆车，乙地分配4000辆车，则此 后两地车辆数目不变，即达到平衡状态。（如表1）
表1
n
1
2
3
4
...
n
...
甲地 3000 3000 3000 3000
...
3000
...
乙地 4000 4000 4000 4000
...
4000
模型1：谁将是胜利者
1805年，英国和法国进行了一场惨烈的海战。其中，尼尔 森担任英国统帅，他的对手则是大名鼎鼎的拿破仑。尼尔森的 舰队有27艘战舰，而拿破仑的舰队却有33艘战舰。根据以往的 战争经验，若两军相遇，一方损失兵力大约是对方兵力的10％。 如果按照这一公式计算，显然人多势众的法军将获胜，而且在 第11次遭遇战中全歼英军，如表所示。
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Bri 27.0 23.7 20.7 17.9 15.3 12.9 10.6 8.5 6.5 4.5 2.7 Fra 33.0 30.3 27.9 25.9 24.1 22.5 21.3 20.2 19.3 18.7 18.2
⎧ ⎪ ⎨
Bn+1 Fn+1
现保守估计，每一场遭遇战，法军损失兵力大约是英军的 5％，列表如下计算：
战役A情况
n
1
2
3
4
Bri
13.0
12.7
12.5
12.4
Fra
3.0
2.4
1.7
1.1
战役B情况（法军在战役A中逃脱的1艘战舰加入战斗）
n
1
2
3
4 … 13 14 15 16
Bri 26.0 25.1 24.3 23.5 … 19.1 18.8 18.6 18.5
表4 车辆数量模拟（三）
1
2
3
4
5
6
7
2700 2910 2973 2991.9 2997.57 2999.271 2999.781
4300 4090 4027 4008.1 4002.43 4000.729 4000.219
n 甲地 乙地
0 0 7000
表5 车辆数量模拟（四）
1
2
3
4
5
6
7
2100 2730 2919 2975.7 2992.71 2997.813 2999.344
最后英军战胜了法军，而且双方伤亡情况与历史事实也很 相近。当年，英军在战役A和战役B中战胜法军，但法军没有增 援C，而是选择了撤退，大约有13艘战舰退回法国海港。
点评：数学建模以解决某现实问题为目的，从问题中抽象 并归结出来的数学问题。从现象到模型，数学建模必须反映现 实，既然是一种模型，它就不是现实问题的全部复制，常常会 忽略一些次要因素，作一些必要的简化，但本质上必须反映现 实问题的数量规律。
试建立数学模型研究它们数量之间的关系！
分析：首先，假定一个种群的数量增加跟其自身数量成正 比，则在不考虑死亡的情况下。
令On代表斑点猫头鹰第n天的数量，Tn代表老鹰第第n天的 数量，则有
斑点猫头鹰的增加量为 ΔOn = k1On (k1 ∈ R+ )
老鹰的增加量为
ΔTn = k2Tn (k2 ∈ R+ )
世界核武器分布图
核武器 （nuclear weapon） 利用能自持进行核裂变或聚变反应释放的能量，产生爆炸 作用，并具有大规模杀伤破坏效应的武器的总称。其中主要利 用铀235(U-235) 或钚239(239Pu)等重原子核的裂变链式反应原 理制成的裂变武器,通常称为原子弹;主要利用重氢(D，氘 {dāo}) 或超重氢(T，氚 {chuān})等轻原子核的热核反应原理制成的热 核武器或聚变武器，通常称为氢弹。
进一步分析：考查该动态系统平衡点的稳定性。 现在考虑以下四种初始情况下斑点猫头鹰和老鹰的变化。
斑点猫头鹰 老鹰
情况1
150 200
情况2
151 199
情况3
149 201
情况4
10 10
下面四个图分别对应四种情况。
情况1：两个种群数量始终 数量 保持不变，永远相互共存下去。 200 但这仅仅是最理想化的情况。 150
在什么情况下双方的核军备精神才不会无限扩张而存在暂 时的平衡状态，处于这种平衡状态下双方拥有最少的核武器数 量是多大，这个数量受哪些因素影响，当一方采取诸如加强防 御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发 生什么变化？
...
进一步分析：如果甲地、乙地的车辆不是3000和4000时， 甲地和乙地的车辆数量则每天都在变动，是否会出现不平衡， 是否需要进行调配？
表2 车辆数量模拟（一）
n
0
1
2
3
4
5
6
7
甲地 7000 4200 3360 3108 3032.4 3009.72 3002.916 3000.875
乙地 0 2800 3640 3892 3967.6 3990.28 3997.084 3999.125
数学建模
——初等模型
初等模型
1）研究对象的机理比较简单 2）用静态、线代、确定性模型即可达到建模的目的 3）可以利用初等数学方法来构造和求解模型
如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果差 不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎。 尽量采用简单的数学工具来建模。
一、数列建模
数列是最基本的概念之一。
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
幼兔
1
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
成年兔
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
兔子数（对） 1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
幼兔比率
1.0 0.0 0.5 0.33333 0.40000 0.37500 0.38462 0.38095 0.38235 0.38182 0.38202 0.38194 0.38197
老鹰 斑点猫头鹰
天数
情况2：斑点猫头鹰成为胜利 数量 者，老鹰最后灭绝了。尽管斑点 猫头鹰的数量仅比情况1多一只， 199 老鹰的数量比情况1少一只，老鹰 151 种群在争夺食物的大战中不敌对 手，甚至灭绝。
情况3：老鹰成为胜利者，斑 数量 点猫头鹰最后灭绝了。尽管斑点 猫头鹰的数量仅比情况1少一只， 201 老鹰的数量比情况1多一只，老鹰 149 种群在争夺食物的大战中成为胜 利者，斑点猫头鹰惨遭灭绝。
试对上述问题提出决策分析！
40%
甲地
乙地
30%
60%
70%
分析：设Jn为第n天在甲地的出租车数量，Yn为第n天在乙 地的出租车数量，由历史统计规律可知
⎧⎪⎨YJnn++11
= =
0.6 J n 0.4 J n
+ 0.3Yn + 0.7Yn
⎪⎩Jn + Yn = 7000
如果存在平衡状态，即Jn= Jn＋1及 Yn= Yn＋1，解得
Fra 18.0 16.7 15.4 14.2 … 4.7 3.8 2.8 1.9
战役C情况（法军剩余兵力全部参加战斗）
n
1
2
3
4 … 14 15 16 17
Bri 19.0 18.3 17.6 17.0 … 13.2 13.0 12.8 12.7
Fra 14.0 13.1 12.1 11.3 … 3.8 3.1 2.4 1.8
4900 4270 4081 4024.3 400ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.29 4002.187 4000.656
经过模拟（表2－表5），可以知道无论车辆如何分配，经 过有限天数后，最终都将达到平衡状态。｛Jn｝的极限是3000， ｛Yn｝的极限是4000。其中，（J，Y）=（3000，4000）为该 动态系统的平衡点，而且是稳定的平衡点（不动点）！
模型：核军备竞赛
【资料】二十世纪六七十年代的冷战时期，美苏实行所谓 核威慑战略，核军备竞赛不断升级。随着前苏联的解体和冷战 的结束，双方通过了一系列的核裁军协议，2001年7月美俄两 国总统同意进行进一步裁减核武器，俄罗斯总统普京建议两国 各自裁减1500枚战略核武器。
蘑菇云
二战中美国投放日本长崎的原子弹——“胖子”
= =
Bn Fn
− −
0.1Fn 0.1Bn
⎪⎩B1 = 27, F1 = 33
但是，尼尔森将军成功的运用了逐个击破的策略，扭转劣 势转败为胜，还差一点全歼法军。经此一战，英国大大巩固了 它在海上的霸权。
当时法军舰队分在三处，分别为A处（3艘）、B处（17艘）、 C处（13艘），彼此相距很远。尼尔森将军收集了丰富的情报 以后，当机立断，制定以下作战方案：先派13艘战舰进攻法军 A队，胜利后尽快与留守港口的14艘战舰汇合，一起进攻法军B 队，最后，乘胜追击，集中所有剩余兵力，围攻法军C队。
n 甲地 乙地
0 5000 2000
表3 车辆数量模拟（二）
1
2
3
4
5
6
7
3600 3180 3054 3016.2 3004.86 3001.458 3000.437
3400 3820 3946 3983.8 3995.14 3998.542 3999.563
n 甲地 乙地
0 2000 5000
斑点猫头鹰
老鹰 天数 老鹰 斑点猫头鹰 天数
情况4：老鹰仍然成为胜利者， 斑点猫头鹰最后还是灭绝了。与 数量 前面三种情况相比，两个种群的 初始数量相同，可以说是站在同 一条起跑线上。但是，老鹰种群 以绝对的优势赢得胜利，而斑点 10 猫头鹰种群惨遭灭绝。
老鹰
斑点猫头鹰 天数
情况1是最理想化的情况。情况2和情况3表明，即使系统只 有细微偏差，但最后结果却截然不同。情况1、情况2和情况3尽 管在初始数量相差不多，但最终结果相差悬殊。
现在考虑种群的死亡问题，由于它们是那个地区的霸主， 倒不担心被别的动物吞食。它们的死亡主要由于缺乏食物造 成。这里假定一个种群数量的减少跟它的数量与其竞争对手数 量的乘积成正比，则有
斑点猫头鹰的变化量为 ΔOn = k1On − k3OnTn
老鹰的变化量为
ΔTn = k2Tn − k4OnTn
则该动态系统的状态转移方程为
模型评价：综合上述讨论，可以看出竞争捕食者模型是一 个对初始值非常敏感的模型。平衡点（150，200）是一个不稳 定的平衡点，即使初值非常接近它，最后发展的结果始终不能 达到这个平衡点，甚至偏离很远。要得到更好的分析结果，必 须修正原来的假设，添加更多的因素，考虑用更好的建模方法。
练习：兔子的繁殖问题。 由一对幼兔开始，一年后可以繁殖多少对兔子？假设兔子 的生殖能力是这样的：每一对兔子每一个月可以生一对兔子， 并且兔子在出生满一个月以后就具有生殖能力。 试用数学建模的方法来讨论上述问题，并分析兔群的增长 规律。
成兔比率
0.0 1.0 0.5 0.66667 0.60000 0.62500 0.61538 0.61905 0.61765 0.61818 0.61798 0.61806 0.61803
二、图解法建模
图象分析是一种十分直观的数学方法，在简单的定性分析 中很实用。难以量化的研究对象，不容易用解析法处理，这时 可以根据数与形的关系，利用图象中曲线的关系推断结论，借 助图象来描述研究对象。图解法可以取得一目了然的效果，但 也有自身的缺点（例如，量化不彻底，不易表示三个以上变量 之间的关系，要深入研究还要利用其他的数学工具，比如概率 统计、线性规划等）。
(k3 ∈ R+ ) (k4 ∈ R+ )
⎧⎨⎩TOnn++11
= On + ΔOn = Tn + ΔTn =
= (1 (1 +
+ k1)On k2 )Tn −
− k3OnTn k4OnTn
现在，取k1=0.2、 k2=0.3、 k3=0.001、 k4=0.002，解得平衡 点（O，T）=（150，200）或（0，0）【舍去】
点评：上述问题，如果没有进一步分析就略显平庸！数学 建模是一个迭代的过程，是一个螺旋上升的过程，通过不断的 迭代、不断的修正，最终得到更好、更接近现实情况的结果！
模型2.2：竞争的捕食者模型
在非洲，有一个地方栖息着一种特别的斑点猫头鹰。它们 在那儿跟老鹰同处于食物链的最高层，本应无忧无虑，但是由 于它们的捕食对象相同、相互竞争，因此随时有种群灭绝的危 险。