状态反馈预测控制系统的鲁棒稳定性

第 16 卷 第 1 期
pj
胡品慧等: 状态反馈预测控制系统的鲁棒稳定性
P
127
- i
c jA p j x ( k ) +
∑
i= 1
c jA
i- 1
B u (k + p j -
i)
(1 - z - p ) +
∑S ( i)U (z ) z }
i= 1
( 9)
( 2) j = 1, 2, …, r ( ) 其中, r 是系统输出维数, p j 是对第 j 个输出 y j k 选 取的预测时域。 δ, 对未来 使用当前输出实测值 y 和输出预测值 y p j 时刻的输出预测值进行反馈修正, 即 δ δ δ y c j ( k + p j ) = y j ( k + p j ) + y j ( k ) - y j ( k ) ( 3) δ p y (k ) = c A j x (k - p ) +
Robustness of Sta te Feedback Pred ictive Con trol System s
H U P in 2hu i , YUA N P u
(R esea rch In stitue of A u tom a tion, U n iversity of Petro leum , B eijing 102200, Ch ina ) Abstract: T he robu stness of stabe feedback p redictive con tro l system s is studied. T he robu st sufficien t condition s a re given fo r the sta te feedback p redictive con tro l system design. B y u sing the sta te sp ace m odel, the detected sta te va riab le feedback con tro l is i m po sed to ca lcu la te the op ti m a l con tro l. T he p a 2 ram eter uncerta in ty term s a re app lied a s a feed fo rw a rd term. T hen the robu stness of the con tro l sys2 tem is i m p roved. Key words: p redictive con tro l; robu stness; H
( 13)
∑c jA
i= 1
i- 1
B u (k -
i)
( 4)
应用单值预测控制算法 , 控制时域 L = 1, 即只在 k 时刻改变控制作用的大小, 其后则维持不 变, 亦即 u ( k + i) = u ( k ) ( i > 0) , 使反馈修正后的 输出预测值等于输出给定值。 由式 ( 3) 和 ( 4) 得 s pj ( ) ( y j k + p j = c jA x k ) + y j ( k ) δ ( 5) y (k ) + s (p ) u (k )
2
性, 给出了鲁棒稳定性的充分条件。 基于状态空间模 型, 使用实测状态变量反馈, 将参数不确定项引入控 制作用中, 增加了状态变量的动态反馈。 与 DM C, GPC 和 I M C 算法相比, 改善了控制系统的鲁棒性, 为状态反馈预测控制系统的分析、 设计及实际应用 提供了理论依据。 参考文献:
p j 采样时刻第 j 个输出预测值为
法, 基于状态空间模型, 采用实测状态变量反馈, 有 利于改善控制系统的鲁棒性。
收稿日期: 1999212208; 修回日期: 2000205229
δ (k + p ) = y j j
作者简介: 胡品慧 ( 1959—) , 男, 天津人, 副教授, 博士, 从事控制理论与应用、 预测控制等研究; 袁璞 ( 1934—) , 男, 北京 人, 教授, 博士生导师, 从事多变量协调预测控制、 先进过程控制等研究。
T
应用一元二次代数方程求根公式
ax + bx + c = 0
2
{
Y (z ) -
K X (z ) ×
128 - b±
b 2a
2
控 制 与 决 策
4ac ( 19)
2001年
x 1, 2 =
将a = Κ Κ m ax (H ) , b = 2 Κ M (A ) Κ m ax (H ) , c = m in (Q ) 代入式 ( 19) , 整理得 ϖ‖ < - Κ ϖ ‖∃A M (A ) + Κ m in (Q ) 2 ϖ ( 20) Κ M (A ) + Κ m ax (H ) 因 为式 ( 20) 成立, 保证式 ( 18) 小于零成立, 所以预 ( 证毕) 测控制系统 ( 13) 具有鲁棒稳定性。 如果选取 Q = I 为单位矩阵, 则有 ϖ‖ < - Κ ϖ ‖∃A M (A ) + ϖ Κ M (A ) +
[ 1 ] Cu lter C R , R am aker B L. D ynam ic m a trix con tro l —— A com p u ter con tro l a lgo rithm [M ]. JA CC , 1980. [ 2 ] C la rke D W ,M oh tadi C , T uffs P S. Genera lized p redic2 San F rancisco:
2 1 2 2 2 1 2
式中, P = [ p 1 p 2 … p r ] 是选定的预测时域。 由式 ( 6) 知, 选取 P 的必要条件是使矩阵 S ( P ) 的逆存 在。 将不确定性影响表示为如下形式 ( 7) x ( k + 1) = A x ( k ) + B u ( k ) + ∃ ( k ) 其中 ∃ ( k ) = ∃A x ( k ) + ∃B u ( k ) 。 对上式求 z 变换得 - 1 ( 8) X ( z ) = ( z I - A ) B U ( z ) + ∃ ( z ) 使用实测状态变量 x ( k ) 和被控变量 y ( k ) 计算 最优控制律。 由式 ( 4) 和 ( 6) 得
( 1)
其中, x ∈ R n , y ∈ R r , u ∈ R r , ∃A 和 ∃B 表示模型参 数的不确定性。 不失一般性, 假设矩阵 C 是行满秩 T T T 的, 即 rankC = r , 并表示为 C = [ cT 1 c2 … c r ] 。 使用模型预测被控变量 y ( k ) 的未来值。 在未来
P i= 1 p2
B
ϖ - Κ M (A ) +
S (P ) =
∑
i= 1
CA
i- 1
B =
s2 ( p 2 ) sr (p r )
=
∑c A
2Biblioteka Baidu
i= 1 pr
i- 1
B
ϖ‖ 为已知, H 和 Q 是对称的正定矩 其中, 范数 ‖∃A 阵, 并满足下列 L yap unov 矩阵方程 ϖT ϖ A HA - H = - Q
j j j pj
将式 ( 8) 代入 ( 9) , 得
- 1 s U (z ) = S (P ) Y (z ) -
{
Y (z ) -
K (z I - A )
1
×
B U (z ) ( 1 P
z
- p
) + K ∃ (z ) ( 1 - z - p ) + ( 10)
∑S ( i)U (z ) z }
- i
( 15) ( 16) ( 17)
Κ m in (Q ) 2 ϖ Κ M (A ) + Κ m ax (H )
( 14)
∑c A
r i= 1
i- 1
B
ϖ‖ = Κ 1 2 ϖT ϖ ϖ ‖A A) = Κ m ax (A M (A ) ϖ‖ = Κ 1 2 ϖT ϖ ϖ ‖∃A m ax ( ∃A ∃A ) = Κ M ( ∃A )
第 16 卷 第 1 期
Vol . 16 N o. 1
控 制 与 决 策
CON T ROL A N D D EC IS ION
2001 年 1 月
J an. 2001
文章编号: 100120920 ( 2001) 0120126203
状态反馈预测控制系统的鲁棒稳定性
胡品慧, 袁 璞
∞
con tro l; sta te feedback; sta te sp ace m odel
1 引 言
模 型 预 测 控 制 技 术, 如 动 态 矩 阵 控 制
(DM C )
[1 ]
2 主要结果
[ 2, 3 ]
, 广义预测控制 ( GPC )
和状态反馈预
测控制
[4 ～ 7]
等算法, 以其独有的模型预测、 反馈校正
j j j
[4 ～ 7]
由此得到多变量预测控制系统的最优控制律 - 1 s u (k ) = S (P ) [ Y (k ) - y (k ) δ ( 6) K x (k ) + y (k ) ] δ s 其中, Y ( k ) 是输出给定值, y ( k ) 是当前输出的预测 值, 而
c1A K = CA
- 1 s U (z ) = S (P ) Y (z ) -
T
‖x ‖ = ( x + x + … + x n ) , Κ “” m in ( ) 是矩阵 最小 特 征 根, Κ “ ”最 大 特 征 根 [ 11 ] , m ax ( ) 是 矩 阵 Κ “” 最大奇异值。 M ( ) 是矩阵 证明 ϖ + ∃A ϖ) T H (A ϖ + ∃A ϖ) - H ] x ≤ x [ (A 2 ϖ m ax (H ) Κ ϖ - Κ m in (Q ) ‖x ‖ + 2 Κ M (A ) Κ M ( ∃A ) × 2 ϖ 2 ( 18) ‖x ‖2 + Κ m ax (H ) Κ M ( ∃A ) ‖x ‖
和滚动优化等特点, 受到人们广泛的重视, 并在实际 工程应用中取得了丰硕的成果[ 8～ 10 ]。 本文分析了状态反馈预测控制系统的鲁棒稳定 性, 给出的鲁棒稳定性的充分条件为选取预测时域
[ 10 ] 提供了理论依据。 对比 DM C, GPC 和 I M C 等算
假设被控过程模型由状态空间描述如下 x ( k + 1) = (A + ∃A ) x ( k ) + (B + ∃B ) u ( k ) y (k ) = C x (k )
i= 1
式 ( 10) 表明, 状态反馈预测控制系统除了具有 输出反馈外, 由于使用实测状态变量 x ( k ) 反馈, 增 加了参数不确定项的前馈, 即 K ∃ ( z ) ( 1 - z - p ) , 因 此它在改善控制系统的鲁棒性方面, 比 DM C , GPC 和I M C 算法有所提高。 首先按标称系统 (A , B , C ) 设计预测控制系统, 适当选取预测时域 P , 使所设计的控制系统稳定; 其 次考虑系统的不确定性, 此时闭环系统可描述为 ϖ ϖ ( 11) x ( k + 1) = (A + ∃A ) x ( k ) - 1 ϖ A = A - B S (P ) K ( 12) ϖ = ∃A - ∃B S - 1 ( P ) K ∃A 其中, S - 1 ( P ) 和 K 由标称系统 (A , B , C ) 按式 ( 6) 设 ϖ 稳定, ∃A ϖ 为系统的不确定项。 计, 并使闭环系统 A 关 于预测控制系统的鲁棒性稳定问题, 有如下 定理: ϖ 定理 1 如果选取预测时域 P , 使闭环系统 A
P p1 p2
y (k )
s1 s2
=
c2A c rA
, Y s ( k ) =
y (k ) y (k )
p1 sr
稳定, 则参数不确定性预测控制系统 ϖ ϖ x ( k + 1) = (A + ∃A ) x ( k ) 鲁棒性稳定的条件是下列不等式成立 ϖ‖ < ‖∃A
1
i- 1
pr
∑c A
s1 ( p 1 )
( 石油大学 ( 北京) 自动化研究所, 北京 102200)
摘 要: 对状态反馈预测控制系统的鲁棒稳定性进行分析, 给出了鲁棒稳定性的充分条件。基于状态空 间模型, 使用实测状态变量反馈计算最优控制律, 将参数不确定项作为前馈引入控制作用, 改善了控制 系统的鲁棒性, 为状态反馈预测控制系统的分析、 设计及实际应用提供了理论依据。 关键词: 预测控制; 鲁棒稳定性; H ∞ 控制; 状态反馈; 状态空间模型 中图分类号: O 317 文献标识码: A