高一数学必修一必修二检测含标准答案

孟津一高2015----2016学年上期期末考试

高一数学（理）试题

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

.1已知集合{}

x x x A -<=22，{}21<<-=x x B ，则=B A Y （ ）

()1,1.-A ()2,2.-B ()2,1.-C ()1,2.-D

2．设m 为一条直线, βα,为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若ββαα//,//,//m m 则 B ．ββαα⊥⊥⊥m m 则,, C ．若ββαα⊥⊥m m 则,,// D ．若ββαα⊥⊥m m 则,//, 3．两直线20ax y a -+=和(21)0a x ay a -++=互相垂直，则a =（ ） A ．1 B ．31-

C ．1或0

D ．51-或3

1 4．已知函数(0),()(3)4(0)x a x f x a x a x ?<=?-+≥?

满足对任意12x x ≠，都有1212()()

0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是

（ ）

A ．1(0,]4

B ．(0,1)

C ．1

[,1)4

D ．(0,3)

5．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A ．105+

B ．102+

C ．6226++

D ．626++

6．若圆C 的方程为2

2

(3)(2)4x y -+-=，直线l 的方程为10x y -+=，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为（ ）

A ．2

2

(1)(4)4x y +++= B ．2

2

(1)(4)4x y -+-= C ．2

2

(4)(1)4x y -+-= D ．2

2

(4)(1)4x y +++=

7．已知)38(log )(ax x f a -=在[﹣1，2]上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．)34

,1( C ．)4,3

4[ D ．（1，+∞）

8．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA 垂直底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）

A ．1CC 与1

B E 是异面直线 B ．A

C ⊥平面11ABB A

C ．AE 与11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥

D ．11//AC 平面1AB E

9．若圆2

2

44100x y x y +---=上至少有三个不同的点，到直线:l y x b =+的距离为22，则b 取值范围为 （ ）

A ．(2,2)-

B ．[2,2]-

C ．[0,2]

D ．[2,2)-

10．长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AA AD ===，则异面直线11CD BC 与所成角的余弦值为 （ ） A ．

105 B ．15 C ．1010 D ．1

2

11．设点0(,1)M x ，在圆O :2

2

1x y +=上存在点N ，使得4

OMN π

∠=，则0x 的取值范围是 （ ）

A ．[1,1]-

B ．11

[,]22- C ．[2,2]- D ．22[,]22

-

12.已知偶函数)(x f 的定义域为}0|{≠∈x R x x 且，)(x f =???

??>-≤<--2),2(2

120,12|1|x x f x x ，则函数

)

1|(|7

log )(4)(+-=x x f x g 的零点个数为 ( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)

13.直线022=++ay x 与直线01)4(=-++y a ax 平行，则a 的值为______________.

14.已知函数x x x f 2)(2

+=，m x g x

+=)2

1()(，若任意]2,1[1∈x ，存在]1,1[2-∈x ，使得)()(21x g x f ≥，

则实数m 的取值范围是______________.

15.若四面体ABCD 中，5====AD BC CD AB ,2==BD AC ,则该四面体的外接球的表面积为

______________.

16.若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，φ属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑.已知函数

]][[)(x x x f =，其中][x 表示不大于x 的最大整数，当*],,0(N n n x ∈∈时，函数)(x f 的值域为集合n A ，则

集合2A 上的含有4个元素的拓扑τ的个数为______________.

三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.（本小题满分10分）

如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3， AD ＝4，∠P AD ＝60°.

(1)若M 为P A 的中点，求证：DM ∥平面PBC ； (2)求三棱锥D —PBC 的体积．

18.（本小题满分12分）

已知圆C:1)4(2

2

=-+y x ，直线02:=-y x l ，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA,PB ，切点分别为A,B.

(1)若∠APB=60°，求点P 的坐标；

(2)求证：经过点A,P,C 三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．

19.（本小题满分12分）

“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4

(1)当0

(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．

20.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ， ∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点． (1)证明：AE ⊥平面PCD ； (2)求二面角A —PD —C 的正弦值．

21.（本小题满分12分）

已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．

(1)求M 的轨迹方程；

(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．

22.（本小题满分12分）

已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且1)1(=f ，若b a ,[]1,1∈-，0≠+b a 时有

()()

0f a f b a b

+>+成立.

（1）判断()f x 在[]1,1- 上的单调性，并证明； （2）解不等式：11

()(

)21

f x f x +<-； （3）若2

()21f x m am ≤-+对所有的[]1,1a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.

孟津一高2015----2016学年上学期期末考试

高一数学（理）参考答案

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B

D

C

A

C

B

B

C

B

A

A

D

)

13. 2-4或 14. 2

5

≤

m 15. π6 16. 9 三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.

(1)证明 如图，取PB 中点N ，连接MN ，CN . 在△P AB 中，∵M 是 P A 的中点， ∴MN ∥AB ，MN ＝1

2AB ＝3，

又CD ∥AB ，CD ＝3， ∴MN ∥CD ，MN ＝CD ， ∴四边形MNCD 为平行四边形， ∴DM ∥CN .

又DM ?平面PBC ，CN ?平面PBC ，

∴DM ∥平面PBC . ….…………………5分 (2)解 V D —PBC ＝V P —DBC ＝1

3S △DBC ·PD ，

又S △DBC ＝6，PD ＝43，

所以V D —PBC ＝8 3. ….…………………10分 18.

解：（1）由条件可得2=PM ，设)2,(a a P ，则2)42(2

2

=-+a a ，

解得2=a 或5

6=

a ， 所以点)4,2(P 或点)5

12

,56(P ………………………….…………………5分

（2）设)2,(a a P ，过点C P A ,,的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为：

0)2)(4()(=--+-a y y a x x ， .…………………7分

整理得08242

2=+---+a ay y ax y x

即0)82()4(2

2

=-+--+y x a y y x ……………………….……………9分

由???=-+=-+0

82042

2

y x y y x 得???==40y x 或??

??

?==51658y x ， 该圆必经过定点)4,0(和)5

16

,58( .…………………12分

19.

解 (1)由题意得当0

由已知得???

??

20a ＋b ＝0，

4a ＋b ＝2，

解得???

a ＝－1

8，

b ＝5

2，

所以v ＝－18x ＋5

2

， ….…………………5分

故函数v ＝?????

2， 0

－18x ＋52， 4

(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意并由(1)可得f (x )＝?????

2x ， 0

－18x 2

＋52x ， 4

当0

8，f (x )max ＝f (10)＝12.5.

所以当0

即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米． ….…………………12分 20.

(1))证明 在四棱锥P —ABCD 中， 因为P A ⊥底面ABCD ，CD ?平面ABCD ， 故CD ⊥P A .由条件CD ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，

∴CD ⊥平面P AC .

又AE ?平面P AC ，∴AE ⊥CD .

由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A . ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .

又PC ∩CD ＝C ，综上得AE ⊥平面PCD . ….…………………5分 (2)解 过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连接AM ，如图所示． 由(1)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ， 则可得AM ⊥PD .

因此∠AME 是二面角A —PD —C 的平面角． ….…………………7分 由已知，可得∠CAD ＝30°. 设AC ＝a ，可得

P A ＝a ，AD ＝233a ，PD ＝213a ，AE ＝22a .

在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ·PD ＝P A ·AD ， 则AM ＝P A ·AD PD ＝a ·233a 21

3a ＝27

7a .

在Rt △AEM 中，sin ∠AME ＝

AE AM ＝144

. 所以二面角A —PD —C 的正弦值为14

4

. ….…………………12分 21.

解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4. 设M (x ，y )，ΘC M ⊥AB ∴ CM ⊥PM 故点M 在以PC 为直径的圆上 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，

所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. ….…………………6分 (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．

由于|OP |＝|OM |， 故M 在圆O ：82

2

=+y x 上.

由?????=+=-+-8

2)3()1(222

2y x y x 可得:

01662=-+y x

即l 的方程为01662=-+y x . ….…………………9分 又|OM |＝|OP |＝22， O 到l 的距离为4105，

|PM |＝

410

5

， 所以△POM 的面积为16

5. ….…………………12分

22.

解：（1）()f x 在[]1,1- 上为增函数，证明如下： 设任意12,x x []1,1∈-，且12x x <， 在

()()

0f a f b a b

+>+中令1a x =，2b x =-，可得

1212()()0()f x f x x x +->+-， 又∵()f x 是奇函数，得22()()f x f x -=-， ∴

1212

()()

0f x f x x x ->-．∵12x x <，∴120x x -<，

∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x < 故()f x 在[]1,1-上为增函数……………4分 （2）∵()f x 在[]1,1-上为增函数， ∴不等式11

()(

)21f x f x +<-，即

11

1121

x x -≤+<≤-

解得3,12x ??

∈-

-????

，即为原不等式的解集；……………8分 （3）由（1），得()f x 在[]1,1- 上为增函数，且最大值为(1)1f =， 因此，若2

()21f x m am ≤-+对所有的[]1,1a ∈-恒成立，

2211m am -+≥对所有的[]1,1a ∈-恒成立,

设2

()20g a ma m =-+≥对所有的[]1,1a ∈-恒成立………………………10分

①若0m =则()00g a =≥对[]1,1a ∈-恒成立 ②若0m ≠若()0g a ≥对所有的[]1,1a ∈-恒成立必须

(1)0g -≥且(1)0g ≥，2m ≤-或2m ≥

综上：m 的取值范围是02m m =≤-或或2m ≥ ………………………12分