第一讲 数学模型及初等方法

× × × 3名随从 名随从
问题分析
多步决策过程
决策： 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸) 决策： 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求：在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 要求：在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 ), 限步使全体人员过河. 限步使全体人员过河.
模型构成
Uk：第k次渡船上的商人数 次渡船上的商人数 Vk：第k次渡船上的随从人数 次渡船上的随从人数 dk=(uk , vk)：决策向量 个 ：决策向量9个
uk=0,1,2; k=1,2,… … … vk=0,1,2; k=1,2,… …
D={(u , v)| u+v=1, 2} —允许决策向量集合 允许决策向量 | 允许决策向量集合
建模时需要注意的几个问题
1、尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量。 2、尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数。尽量 少使用绝对值、符号函数、多个变量求最大（小）值、四 舍五入、取整函数等，通常采用连续、可微问题处理起来 比较简单。 3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和线性变量的 x 个数。如： < 5 改为 x < 5 y 。
（6）模型求解 使用各种数学方法（可以是初等方法、状态转移法和图 解法）或数学软件求解数学模型。此部分应该包括：公式 推导、算法步骤、计算其结果，有时需要对数据的稳定性 或灵敏性分析等。 （7）模型检验 把求解和分析的结果返回到实际问题中，与实际的现 象、数据进行比较，检验模型的合理性。如果结果与实际 不符，应该修改或补充假设，重新建模，这对于模型是否 有用十分关键。 （8）模型推广 将该问题的模型推广到解决更多的类似问题或讨论给出 该模型更一般情况下的解法或指出可能的深化、推广及进一 步研究的建议。
数学建模
第一讲 数学模型及其初等方法
数学建模的基本知识
1、基本概念 定义1：数学模型就是用数学术语（数学公式、各种 方程或方程组、不等式、图、表、框图等）对现实问题 的具体描述。 定义2：数学建模是构造和建立数学模型的过程。 即用数学语言等刻画和描述一个实际问题，然后经过 数学的处理——计算、迭代、等得到定量的结果，以 供人们作分析、预报、决策和控制。 2、数学建模型的流程图： 在对实际问题建立数学模型实，需要解决的问 题往往涉及众多的因素，这时必须分清问题的主要 因素和次要因素，适当地忽略次要因素，提出合理
y 3 2 1 0 1 2 3 x
s1
d1
d1, …，d11给出安全渡河方案 d11
评注和思考
规格化方法,易于推广 规格化方法,
sn+1
考虑4名商人各带一随从的情况 考虑 名商人各带一随从的情况
具体有10个：（ ， ）（ ）（0， ）（ ）（1， ）（ ）（1， ）（ ）（2， ） 具体有 个：（0，1）（ ，2）（ ，0）（ ，1）（ ，0）
sk+1=sk +(-1)k dk
———状态转移律 状态转移律
多步决策 问 题
求dk∈D(k=1,2, …n), 使sk∈S, 并按 转移律由 转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0). 到达
ຫໍສະໝຸດ Baidu
求解
x =20 y =5
船速每小时20千米 小时. 千米/ 答：船速每小时 千米/小时.
航行问题建立数学模型的基本步骤 航行问题建立数学模型的基本步骤
1、作出简化假设（船速、水速为常数）； 、作出简化假设（船速、水速为常数）； 2、 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 、 用符号表示有关量（ 表示船速和水速 表示船速和水速）； 3、用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 、用物理定律（ 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 4、 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 、 求解得到数学解答（ ）； 5、 回答原问题（船速每小时 千米 小时）。 、 回答原问题（船速每小时20千米 小时）。 千米/小时
1.2
数学建模示例
1.2.1 椅子能在不平的地面上放稳吗
其中三只脚能放稳 四只脚着地？ 问题分析 通常 其中三只脚能放稳 ，四只脚着地？
模型假设
1、四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四 、四条腿一样长，椅脚与地面点接触， 脚连线呈正方形 正方形; 脚连线呈正方形 2、 地面高度连续变化，可视为数学上的连 、 地面高度连续变化， 续曲面; 续曲面 3、 地面相对平坦，使椅子在任意位置至 、 地面相对平坦， 少三只脚同时着地。 少三只脚同时着地。
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30 千米，船从甲到乙顺水航行需 甲乙两地相距 千米 小时，从乙到甲逆水航行需50小时 问船的速度是多少? 小时， 小时，从乙到甲逆水航行需 小时，问船的速度是多少 表示船速， 表示水速，列出方程： 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x + y) × 30 = 750 (x − y) × 50 = 750
Xk：第k次渡河前此岸的商人数 次渡河前此岸的商人数 sk=(xk , yk)：状态向量 个， ：状态向量16个
具体有10个： ）（0， ）（ ）（0， ）（ ）（0， ）（ ）（3， ） （0，0）（ ，1）（ ，2）（ ，3）（ ，0） ， ）（ ）（3， ）（ ）（3， ）（ ）（1， ）（ ）（2， ） （3，1）（ ，2）（ ，3）（ ，1）（ ，2） ， ）（
y
4、合理设定变量的上下界，尽可能给出变量的初始值。 5、模型中使用的参数量级要适当。
1.1
从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型 玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机 水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图 地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型
xk=0,1,2,3; k=1,2,… … 其中允许状态向量集合 其中允许状态向量集合 允许状态
Yk：第k次渡河前此岸的随从数 yk=0,1,2,3; k=1,2,… … 次渡河前此岸的随从数 S={(x , y)| x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2} |
模型是为了一定目的， 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 是为了一定目的 进行简缩、抽象、提炼出来的原型 原型的替代物 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 集中反映了原型
我们碰到过的数学模型如“航行问题” 我们碰到过的数学模型如“航行问题” 列方程解应用题） （列方程解应用题）
（4）模型假设 建模时，要根据问题的特征和建模的目的，抓住 问题的本质，对问题进行必要的简化，做出一些合理的 假设。假设做得不合理或太简单，会导致错误的或无用 的模型；假设做的过分详细，会使工作很难或无法继续 下去，因此必须在合理与简化之间作恰当的折中。 （5）分析和建立模型 根据假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律， 得到一个数学结构，建模时应该尽量采用简单的数学工具， 使建立的数学模型易于被人理解，对所用的变量、符号、计 量单位应该做出解释，特定的变量和参数应该在整篇文章中 保持一致，可以借助于适当的图形、表格来描述问题或数据
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 • 椅子位置 利用正方形(椅脚连线 的对称性 利用正方形 椅脚连线)的对称性 B 椅脚连线 B´
C O C´ D A´
用θ表示对角线与 轴的夹角 表示对角线与x轴的夹角 两个距离 A,C 两脚与地面距离之和 为 f(θ) B,D 两脚与地面距离之和 为 g(θ)
θ
D´ ´
A
x
正方形ABCD 正方形 绕O点旋转 点旋转
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f(θ) , g(θ)是连续函数 是 对任意θ, f(θ), g(θ)至少一个为 至少一个为0 至少一个为
数 学 问 题
已知： 已知： f(θ) , g(θ)是连续函数 ; 是 对任意θ， f(θ) • g(θ)=0 ; 且 g(0)=0， f(0) > 0. ， 证明： 证明：存在θ0，使f(θ0) = g(θ0) = 0.
模型简化假设
建立模型 模型求解
模型分析
3、数学模型的馔写方法： 数学模型的馔写包括以下一些基本步骤 （1）题目 要求简单精练、高度概括、准确得体、恰如其分。 （很关键） （2）摘要 要求将论文第一页全部用作摘要，对文字无明确 的限制，但不能太少。在摘要中可适当出现反映结果的 图、表和数学公式等。 （3）问题重述 论文中应该叙述给定的问题，馔写这部分内容时， 不要照抄原题，应把握问题的实质，再用较精练的语言 叙述问题。
（9）参考文献 出版物名称、页码、著作者姓名、出版日期、出版单 位。 （10）附 录 正文的补充，与正文有关而又不便于编入正文的内容收 集在这里（包括计算机程序，比较重要但数据量较大的中间 结果、补充图片等）。
数学建模论文评阅的标准
1、假设的合理性：假设很关键，不欣赏罗列大量无 关紧要的假设。（一二页） 2、模型的创造性：特别欣赏独树一帜、标新立异。 但要尽可能的合理。 3、结果的正确性：不强调与参考答案的一致性和 结论的精度。 4、表达的清晰性：摘要提纲挈领。摘要占10—— 20分，摘要要求表达严谨、简洁，思路清新，不欣赏 罗列一系列模型；摘要占1 页，即不超过一页，但不 能太少。摘要必须写清楚吸引评委。最常用的符号列 出来，不常用的符号不用罗列（避免仅符号就有两三 页），在后面用到时，最好再说明各符号的意思。
5、对参考文献的要求：参考文献必须是在不易看懂的 地方注明，不能在正文中没有注明参考文献，而在参考文 献部分罗列了大量的文献，特别注意，本来参考的某一文 章内容很多，但没有罗列出该文献，这属于抄袭，坚决反 对。 6、其它：对试题中给出的数据，不能利用数据凑模型， 而应该是建立模型后把数据代入进行检验、验证。
模型求解
给出一种简单的证明方法
证明：将椅子旋转90 对角线AC和 互换 互换。 证明：将椅子旋转 0，对角线 和BD互换。 旋转 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(π/2)=0 , g(π/2)>0. ， π π 令h(θ)= f(θ)–g(θ), 则h(0)>0和h(π/2)<0. 和 π 由 f, g的连续性知 h为连续函数 据连续函数的基本性 为连续函数, 的连续性知 为连续函数 质, 必存在θ0 , 使h(θ0)=0, 即f(θ0) = g(θ0) . 因为f( 所以f( 因为 θ) • g(θ)=0, 所以 θ0) = g(θ0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ： θ和 f(θ), g(θ)的确定 的确定
考察四脚呈长方形的椅子， 考察四脚呈长方形的椅子，是否还有相同的结论
1.2.2 商人们怎样安全过河
问题(智力游戏) 问题(智力游戏)
北
随从们秘密约定, 随从们秘密约定, 在河 河 小船(至多 至多2人 小船 至多 人) 的任一岸, 的任一岸, 一旦随从的人 数比商人多, 就杀人越货。 数比商人多, 就杀人越货。 南 但是乘船渡河的方案由商人决定。 但是乘船渡河的方案由商人决定。 ∆ ∆ ∆ 3名商人 名商人 商人们怎样才能安全过河? 商人们怎样才能安全过河
模型求解
• 穷举法 ~ 编程上机 • 图解法 状态s=(x,y) 有16个格点 状态 个格点 允许状态 有 10个 点 个 移动1或 格 允许决策 ： 移动 或2格; k奇,左下移 k偶,右上移 左下移; 右上移. 奇 左下移 偶 右上移
S={(x , y)| x=0, y=0,1,2,3; | x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
的假设，建立相应的数学模型，并且用相应的数学方法或 数学软件（Matlab、Mathematics、Lingo 、SAS（统计分 析））求解模型，然后将所得的解与实际问题作比较，找 出存在的差距和原因，对问题作进一步的分析，提出新的 假设，逐步修改完善模型，使问题得到更好的解决。
实际问题 模型检验 模型应用