2011年湖南高考数学文科试卷带详解

2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南

卷）

数学（文史类）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集，，则 ( )

A． B． C． D．

【测量目标】集合的表示、集合的基本运算，数形结合思想．

【考查方式】考查了集合的表示法（描述法）、集合的补集、交集运算．给出全集与交集求．

【参考答案】B

【试题解析】画出韦恩图可知，

2．若，为虚数单位，且则 ( )

A． B． C． D．

【测量目标】复数代数形式的四则运算．

【考查方式】给出复数的等式，进行四则运算，根据实数只有实部没有虚部的特征，判断的的值．

【参考答案】C

【试题解析】因，根据复数相等的条件可知．

3． “”是“” 的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【测量目标】命题的基本关系，充分条件与必要条件．

【考查方式】主要考查命题的基本关系以及充分必要条件．

【参考答案】A

【试题解析】因，反之或，不一定有．

4．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ( )

A． B． C． D．

【测量目标】空间几何体三视图的判断，柱、锥、台、及简单组合体的

表面积、体积的求法．

【考查方式】给出几何体的三视图，直接考查对其三视图的判断，画出

立体图形求其体积．

【参考答案】D

【试题解析】有三视图可知该几何体是一个长方体和球组成的组合体，其体积5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下

的列联表：

男女总计

爱好402060

不爱好203050

总计6050110

由算得，

附表：

0.0500.0100.001

3.841 6.63510.828

参照附表，得到的正确结论是 ( )

A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关”

【测量目标】变量间的相关关系，独立性检验．

【考查方式】给出随机变量，根据卡方统计量计算出其观测值，并且的值越大，说明两者有关系成立的可能性越大，可根据表格判断．

【参考答案】A

【试题解析】由，而，故由独立性检验的意义可知选A．

6．设双曲线的渐近线方程为，则的值为 ( )

A．4 B．3 C．2 D．1

【测量目标】双曲线标准方程，渐近线方程．

【考查方式】给出双曲线渐近线方程，求双曲线标准方程的．

【参考答案】C

【试题解析】由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知．

7．曲线在点M(，0)处的切线的斜率为 ( )

A． B． C． D．

【测量目标】同角三角函数的基本关系式，导数的几何意义．

【考查方式】给出曲线方程进行变换，根据在某点的切线的斜率即为在该点的导数值求出结果．

【参考答案】B

【试题解析】，

．

8．已知函数，若有，则b的取值范围( )

A． B．

C． D．

【测量目标】指数函数、一元二次函数的值域、定义域，一元二次不等式．

【考查方式】给出两个复合函数表达式，结合一元二次不等式求解．【参考答案】B

【试题解析】由题意知，，，若有，则，即，解得．

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上．

（一）选做题（请考生在9、10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）

9．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为．

【测量目标】参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的转化．

【考查方式】给出曲线的参数方程与曲线的极坐标方程，将其转化为直角坐标系下的方程，判断两曲线的交点．

【参考答案】2个

【试题解析】曲线，曲线，联立方程消去得，易知，故有个交点．10．已知某试验范围为，若用分数法进行次优选试验，则第二次试点可以是．

【测量目标】分数法．

【考查方式】利用分数法解决实际的优选问题．

【参考答案】40或60

【试题解析】有区间长度为80，可以将其等分8段，利用分数法选取试

点：

，

，由对称性可知，第二次试点可以是40或60。

（二）必做题（11～16题）

11．若执行如图所示的框图，输入

则输出的数等于．

【测量目标】算法及程序框图的理解与认识

【考查方式】程序框图的逻辑关系，并根据程序框图求出的值

【参考答案】

【试题解析】由框图功能可知，输出的数等于．

12．已知为奇函数，，，则_________．

【测量目标】奇函数的性质．

【考查方式】给出与的关系式及的值，间接地考查了奇函数的性质，求出的值．

【参考答案】

【试题解析】，则．

又为奇函数，所以

13．设向量满足，且与的方向相反，则的坐标为________．

【测量目标】向量的三要素、向量的坐标表示、向量的模．

【考查方式】给出向量的模及另一个向量的坐标，根据两向量之间的关系求出的值，间接地考查了向量的三要素．

【参考答案】

【试题解析】由题，所以．

14．设m>1，在约束条件下，目标函数的最大值为，则的值为

_________．

【测量目标】二元线性规划．

【考查方式】采取逆向思维，给出二元线性规划目标函数的最大值，求

出约束条件中的参数间接地考查了线性规划知识．

【参考答案】3

【试题解析】由题意知在点取最大值为，解得．

15．已知圆C：，直线：．

⑴圆C的圆心到直线的距离为________;

⑵圆C上任意一点A到直线的距离小于的概率为_______．

【测量目标】点到直线的距离，几何概型．

【考查方式】⑴根据圆方程求出圆心，直接考查了点到直线的距离．⑵根据圆心到直线的距离与半径求出弧所对圆心角，结合几何概型求解．

【参考答案】，

【试题解析】⑴由点到直线的距离公式可得；

⑵由⑴可知圆心到直线的距离为，要使圆上点到直线的距离小于，即与圆相交所得劣弧上，由半径为，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为，故所求概率为．

16．给定，设函数满足：对于任意大于k的正整数n，．

⑴设，则其中一个函数在处的函数值为_________．

⑵设，且当时，，则不同的函数的个数为________．

【测量目标】函数的概念，乘法原理．

【考查方式】直接考查函数的概念；与集合结合求出函数个数．

【参考答案】⑴(为正整数)；⑵

【试题解析】⑴由题可知，而时，则，故只须，故．

⑵由题可知，则，而时，即，即

，，由乘法原理可知，不同的函数的个数为．

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在中，角所对的边分别为，且满足．

⑴求角的大小；

⑵求的最大值，并求当取得最大值时，角的大小．

【测量目标】三角函数的定义及性质，三角函数的恒等变换，正弦定理．

【考查方式】给出等式直接考查了正弦定理；考查三角函数的诱导公式将代数式转化成同名三角函数求解角的大小．

【试题解析】⑴由正弦定理得，（步骤1）

，，从而．

又，，则．（步骤2）

⑵由⑴知，于是

（步骤3）

，从而当，即此时，取最大值．（步骤4）

综上所述，的最大值为，此时．（步骤5）

18．（本小题满分12分）

某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，

当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为：

⑴完成如下的频率分布表

近20年六月份降雨量频率分布表

降雨量70110140160200220

频率

⑵假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．

【测量目标】样本估计总体．

【考查方式】给出数据，考查频率分布表，用样本的频率分布估计总体分布．

【试题解析】⑴在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米

的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为

⑵（“当电量低于490万千瓦时或查过530万千瓦时”）

(或)(或)

故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千

瓦时）的概率为．

19．（本小题满分12分）

如图，在圆锥中，已知=，圆O的直径，点在弧上，且，为的中点．

⑴证明：平面；

⑵求直线和平面所成角的正弦值．

【测量目标】空间点、线、面之间的位置关系，线面垂直的判定，直线与平面所成角．

【考查方式】线面垂直的判断．判断直线与平面所成角．

【试题解析】⑴因为，是的中点，所以．（步骤1）

又底面圆，底面圆，所以．（步骤2）

又是平面内的两条相交直线，所以平面．（步骤3）

⑵由⑴知，平面，又平面，

所以平面平面．（步骤4）

在平面中，过作于，

则平面，（步骤5）

连结，则是在平面上的射影，

所以是直线和平面所成角．（步骤6）

在中，，（步骤7）

在中，．（步骤8）

20．（本小题满分13分）

某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备，的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初的价值为上年初的75%．

⑴求第年初的价值的表达式；

⑵设，若大于80万元，则继续使用，否则须在第年初对更新．证明：须在第9年初对更新．

【测量目标】等差数列、等比数列的公式、性质，等差数列与等比数列的求和公式，及其求解的方法．

【考查方式】公式的直接应用，分组求和法的应用．

【试题解析】⑴当时，数列是首项为，公差为的等差数列．

．（步骤1）

当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，

又，所以．（步骤2）

因此，第年初，的价值的表达式为（步骤3）

⑵设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得

当时，，，（步骤4）

当时，

，．（步骤5）

因为是递减数列，所以是递减数列，

又，（步骤6）

所以须在第9年初对M更新．

21．（本小题满分13分）

已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1．

⑴求动点的轨迹的方程；

⑵过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．

【测量目标】圆锥曲线的方程，圆锥曲线中的定值问题，基本不等式．【考查方式】给出参数列方程求解；由韦达定理结合向量求解．

【试题解析】⑴设动点

的坐标为，由题意为

化简得，，（步骤1）

当时，；当时，．（步骤2）

所以动点的轨迹的方程为和．（步骤3）

⑵由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．（步骤4）

由，得，（步骤5）

设，则是上述方程的两个实根，

于是．（步骤6）

因为，所以的斜率为．（步骤7）

设，则同理可得，（步骤8）

故

．（步骤9）

当且仅当，即时，取最小值16．（步骤10）

22．（本小题满分13分）

设函数．

⑴讨论函数的单调性．

⑵若有两个极值点；记过点的直线斜率为．问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【测量目标】导数研究函数单调性与导数的运算，分类讨论思想．【考查方式】求导判断函数单调性；构造函数判断．

【试题解析】⑴的定义域为，．（步骤1）

令，其判别式．

①当时，，故在上单调递增．

②当时，的两根都小于0，在上，，故在上单调递增．

③当时，的两根为，

当时，；当时，；当时，，故分别在上单调递增，在上单调递减．（步骤2）

⑵由⑴知，．

因为

所以，（步骤3）

又由⑴知，．于是，（步骤4）

若存在，使得，则．即．

亦即（步骤5）（*）

再由⑴知，函数在上单调递增，而，

所以这与（*）式矛盾．故不存在，使得．

（步骤6）