初二数学因式分解知识点及基础练习题汇编

整式乘除与因式分解

概述

定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

因式分解的方法

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则

1 分解要彻底

2 最后结果只有小括号

3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）

基本方法

⑴提公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式

⑵公式法

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2；

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

立方差公式：a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)；

完全立方公式：a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3=(a±b) 3． 公式：a 3+b 3+c 3 =(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca) 例如：a 2 +4ab+4b 2 =(a+2b) 2。 （3）分解因式技巧

1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：

①等式左边必须是多项式；

②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；

③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

3.提公因式法基本步骤： （1）找出公因式；

（2）提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

一、知识点总结：

1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。 3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、多项式按字母的升（降）幂排列： 如：1223

2

2

3

--+-y xy y x x

按x 的升幂排列：3

2

2

3

221x y x xy y +-+-- 按x 的降幂排列：1223

2

2

3

--+-y xy y x x 按y 的升幂排列：3

2

2

3

221y y x xy x --++- 按y 的降幂排列：1223

2

2

3

-++--x xy y x y

5、同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +=（n m ,都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：2

3

5

()()()a b a b a b ++=+ 6、幂的乘方法则：mn

n

m a

a =)(（n m ,都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10

2

53)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn

a a a )()(==

如：2

33

26

)4()4(4==

7、积的乘方法则：n

n

n

b a ab =)(（n 是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（5

2

3

)2z y x -=5

10

15

5

5

25

35

32)()()2(z y x z y x -=???-

8、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3

3

3

4

)()()(b a ab ab ab ==÷ 9、零指数和负指数；

10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。

p

p a a 1

=

-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。

如：8

1)2

1(233=

=- 10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 注意：

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 如：=?-xy z y x 323

2

11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式) 注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。] 如：)(3)32(2y x y y x x +--

12、多项式与多项式相乘的法则； 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

如：)

6)(5()3)(23(-+-+x x b a b a

13、平方差公式：2

2

))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如：))((z y x z y x +--+

14、完全平方公式：2

2

2

2)(b ab a b a +±=±

公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。 注意：

ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+ ab b a b a 4)()(22-+=-

222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+-

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。 15、三项式的完全平方公式：

bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++

16、单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式

如：b a m b a 2

42497÷-

17、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。 即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++ 18、因式分解：

常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……

三、知识点分析：

1.同底数幂、幂的运算： a m ·a n =a m+n (m ，n 都是正整数). (a m )n =a mn (m ，n 都是正整数).

例题1.若6422=-a ，则a= ；若8

)3(327-=?n

，则n= 例题2.若125512=+x ，求x

x +-2009)2(的值。

例题3.计算()[

]()[]

m

n

x y y x 2322--

练习

1.若32=n a ，则n a 6= .

2.设4x =8y-1,且9y =27x-1,则x-y 等于 。

2.积的乘方

(a b)n =a n b n (n 为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

例题1. 计算：()

[

]()()[]4

3p p

m n n m m n -?-?-

3.乘法公式

平方差公式：()()2

2

b a b a b a -=-+

完全平方和公式：()2

22

2b ab a b a ++=+

完全平方差公式：()2

22

2b ab a b a +-=-

例题1. 利用平方差公式计算：2009×2007－20082

例题2.利用平方差公式计算：2

2007

200720082006

-?． 3.（a －2b ＋3c －d ）（a ＋2b －3c －d ）

5. 因式分解：

1.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。 例1把2105ax ay by bx -+-分解因式．

分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列，然

后从两组分别提出公因式2a 与b -，这时另一个因式正好都是5x y -，这样可以继续提取公因式．

解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--

说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．

例2把2

2

2

2

()()ab c d a b cd ---分解因式．

分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．

解：2

2

2

2

2

2

2

2

()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+ 2222()()abc a cd b cd abd =-+-

()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+

说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．

2. 公式法：根据平方差和完全平方公式 例题1 分解因式2

2

925x y - 3.配方法：

例1分解因式2616x x +-

解：2

2

2

2

2

2

616233316(3)5x x x x x +-=+??+--=+-

(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-

说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．

4.十字相乘法：

（1）．2

()x p q x pq +++型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．

22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++

因此，2

()()()x p q x pq x p x q +++=++

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例1把下列各式因式分解：

(1) 2

76x x -+

(2) 2

1336x x ++

解：(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-?--+-=-

2

76[(1)][(6)](1)(6)

x x x x x x ∴-+=+-+-=--．

(2) 3649,4913=?+=

2

1336(4)(9)

x x x x ∴++=++ 说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项

系数的符号相同． 例2把下列各式因式分解：

(1) 2524x x +-

(2) 2215x x --

解：(1) 24(3)8,(3)85-=-?-+=

2

524[(3)](8)(3)(8)

x x x x x x ∴+-=+-+=-+ (2)

15(5)3,(5)32-=-?-+=-

2

215[(5)](3)(5)(3)

x x x x x x ∴--=+-+=-+ 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 例3把下列各式因式分解：

(1) 2

2

6x xy y +-

(2) 222

()8()12x x x x +-++

分析：(1) 把2

2

6x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是2

6y -，一次项系数是

y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．

(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解

二次三项式2812a a -+．

解：(1) 2

2

2

2

66(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+- (2) 2

2

2

2

2

()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-

(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-

（2）．一般二次三项式2

ax bx c ++型的因式分解

大家知道，2

112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2

121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++

我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a

c c 写成1

122

a c a c ?，

这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 例4把下列各式因式分解：

(1) 21252x x --

(2) 2

2

568x xy y +-

解：(1) 2

1252(32)(41)x x x x --=-+

3

24

1-?

(2) 22

568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-

1 254y y -?

说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．

金云梯教育基础练习题

一、填空题：

2．(a －3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)；