高中数学-圆锥曲线题型总结
直线和圆锥曲线常考题型
运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22
x x y y
x ++=
=，其中,x y 是点
1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。
2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，
则
1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
2222221212121212()()()()(1)()AB x x y y x x kx kx k x x =-+-=-+-=+-
221212(1)[()4]k x x x x =++-
或者
22222
12121212122111
()()()()(1)()AB x x y y x x y y y y k k k =-+-=-+-=+-
2
121221(1)[()4]y y y y k
=+
+-。 3、两条直线111222:
,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-
两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =
4、韦达定理：若一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c
x x x x a a
+=-=。
常见的一些题型：
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22
:
14x y C m
+=始终有交点，求m 的取值范围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22
:
14x y C m +=过动点0),4m m ±≠（，且，如果直线:1l y kx =+和椭圆22
:14x y C m
+
=始终有交点，则14m m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：
:101l y kx =+?过定点（，） :(1)1l y k x =+?-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+?-过定点（，2）
题型二：弦的垂直平分线问题
例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存
在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线
:(1)
l y k x =+，
k ≠，
11(,)
A x y ，
22(,)
B x y 。
由
2
(1)y k x y x
=+??=?消
y
整
理
，
得
2222(21)0
k x k x k +-+=
① 由
直
线
和
抛
物
线
交
于
两
点
，
得 2242(21)4410
k k k ?=--=-+>
即
2104
k <<
②
由韦
达
定理，得：
2122
21
,
k x x k -+=-121
x x =。
则线段AB
的
中
点
为
22
211(,)22k k k
--。 线
段
的
垂
直
平
分
线
方
程
为
：
2
2
1112()22k y x k k k --=--
令
y=0,
得
0211
22
x k =
-，
则
211(
,0)22
E k - ABE
?为
正
三角形，
∴
211
(
,0)22E k -到
直
线
AB
的
距
离
d
为
3
2
AB 。
22
1212()()AB x x y y =-+-
22
2
141k k k -=
+
2
12k d k +=
22
2
2
3141122k k k k k
-+∴
+=
解
得
3913
k =±
满足②式
此时0
53
x =
。 题型三：动弦过定点的问题
例题3、已知椭圆C ：22
22
1(0)x y a b a b +=>>的离心率为32
，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
（
I
）
求
椭
圆
的
方
程
；
（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN
是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
解：（I ）由已知椭圆C 的离心率
32
c e a =
=，
2
a =,则得
3,1
c b ==。
从而椭圆的方
程为
2
214
x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由122
(2)
44y k x x y =+??+=?
消y 整理得
222121(14)161640
k x k x k +++-=
1
2x -和是方程
的
两
个
根
，
2112
1164
214k x k -∴-=
+
则
2
112
12814k x k -=
+，
112
1414k y k =
+，
即点
M
的坐
标
为
21122
11284(,)1414k k k k -++，
同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N
的
坐
标
为
2222222
824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)
p p y k t y k t =+=-
12122
k k k k t
-∴
=-+，
直
线
MN
的
方
程
为
：
121
121
y y y y x x x x --=
--，
∴
令y=0，得
211212
x y x y x y y -=
-，将点M 、N 的坐标代入
，
化
简
后
得
：
4x t
=
又
2
t >，
∴
402t
<
< 椭
圆
的
焦
点
为
(3,0)
4
3t
∴=，即
433
t =
故
当
433
t =
时，MN 过椭圆的焦点。
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22
221x y a b
+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中
心O
，
且
AC BC =，2BC AC
=，
如图。 (I)
求点C 的
坐
标
及
椭
圆
E
的
方
程
；
(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线
3
x =对称，求直线PQ 的斜率。
解
：
(I)
2BC AC
=，
且
BC
过
椭
圆
的
中
心
O OC AC ∴=
AC BC = 2
ACO π
∴∠=
又
A (23,0)
∴点C
的坐
标
为(3,3)
。 A
(23,0)
是椭圆的
右
顶
点
， 23
a ∴=，
则
椭
圆
方
程
为：
22
2112x y b
+=
将
点
C
(3,3)
代入方程，得
24
b =，
∴
椭圆E 的方程为
22
1124
x y += (II)
直线PC 与直线QC 关于直线
3
x =对
称
，
∴
设直线
PC
的斜率为
k
，则直线QC
的斜率为
k
-，从而直线PC
的方程为：
3(3)y k x -=-，
即 3(1)
y kx k =+-，
由
223(1)3120
y kx k x y ?=+-??+-=??消y ，整理得：
222(13)63(1)91830k x k k x k k ++-+--=3
x =是方程的一个根，
22
9183313P
k k x k --∴=
+
即22
9183
3(13)
P k k x k --=+ 同
理
可
得
： 2291833(13)
Q k k x k +-=
+
3(1)3(1)
P Q P Q y y kx k kx k -=+-+-+＝
()23P Q k x x k +-
＝
2
123(13)
k
k -+ 222
291839183
3(13)3(13)
P Q k k k k x x k k --+--=-++
＝
2
363(13)
k
k -+ 13
P Q PQ P Q
y y k x x -∴=
=
-
则直线PQ 的斜率为定值13
。 题型五：共线向量问题
例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22
194
x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ ,求实数的取值范围。
解
：
设
P(x 1,y 1),Q(x
2,y 2),
DP
DQ
(x 1,y 1-3)=
(x 2,y 2-3)
即
121
2
3
(3)
x x y y
方法
一：方
程
组消
元法
又
P
、
Q
是
椭
圆
2
9x +
24
y =1
上
的
点
2222
22
22
1
94
()(33)1
9
4
x y x y
消去x2，
可得
222
2 22
(33)
1
4
y y
即y2=
13
5
6
又－
2y22，
－2
135
6
2 解之得：
1
5
5
λ
≤≤则实数的取值范围是
1
,5
5
??
??
??
。
方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为：3,0
y kx k
=+≠，
由
22
3
4936
y kx
x y
=+
?
?
+=
?
消y整理后，得22
(49)54450
k x kx
+++=
P、Q是曲线M上的两点22
(54)445(49)
k k
∴?=-?+＝2
144800
k-≥
即2
95
k≥①由韦达定理得：1212
22
5445
,
4949
k
x x x x
k k
+=-=
++
2
1212
1221
()
2
x x x x
x x x x
+
=++
222
2
54(1)
45(49)
k
k
λ
λ
+
∴=
+
即
2
222
36944
1
5(1)99
k
k k
λ
λ
+
==+
+
②
由①得
2
11
95
k
<≤，代入②，整理得2
369
1
5(1)5
λ
λ
<≤
+
，解之得
1
5
5
λ
<<当直线PQ的斜率不存在，即0
x=时，易知5
λ=或
1
5
λ=。
总之实数的取值范围是
1,55??????
。 题型六：面积问题
例题6、已知椭圆C ：12222=+b
y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36
短轴一个端点到右焦点的距离为3。 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为
2
3
，求△AOB 面积的最大值。 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意6
33c a a ?=
???=?，，
1b ∴=，∴所求椭圆方程为2
213
x y +=。
（Ⅱ）设
11()A x y ，，22()B x y ，。
（1）当
AB x ⊥轴时，3AB =。
（2）当AB 与x 轴不垂直时，
设直线
AB 的方程为y kx m =+。 由已知
2
32
1m k =
+，得2
23(1)4m k =+。
把
y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，
122
631
km
x x k -∴+=+，2122
3(1)31m x x k -=+。 2
2
2
21(1)()AB k x x ∴=+-2222
222
3612(1)(1)(31)
31k m m k k k ??
-=+-??++?? 222222222
12(1)(31)3(1)(91)
(31)(31)k k m k k k k ++-++==++
2
42
2
2
121212
33(0)34
1
961236
96
k
k
k k k
k
=+=+≠+=
++?+
++
≤。
当且仅当2
2
1
9k
k
=，即
3
3
k=±时等号成立。当0
k=时，3
AB=，
综上所述
max
2
AB=。
∴当AB最大时，AOB
△面积取最大值
max
133
222
S AB
=??=。
题型七：弦或弦长为定值问题
例题7、在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A、B两点。
（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。
（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得
?
?
?
+
=
=
.
2
2
p
kx
y
py
x
消去y得x2-2pkx-2p2=0.
由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.
于是
2
1
2
2
1
x
x
p
S
S
S
ACN
BCN
ABN
-
?
=
+
=
?
?
?
＝
2
1
2
2
1
2
1
4
)
(x
x
x
x
p
x
x
p-
+
=
-
＝.2
2
8
42
2
2
2
2+
=
+k
p
p
k
p
p
2
2
2
min
0p
S
k
ABN
=
=
∴
?
）
时，（
当.
（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a,AC 的中点为为直与AC t O ,'径的圆相交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则
）
点的坐标为（2
,2,11p
y x O PQ H O +'⊥' 212
1)(2
121p y x AC P O -+=='
＝22121p y +. ,22
1
211p y a p y a H O --=+-
=' 2
2
2
H
O P O PH '-'=∴
=
21221)2(4
1
)(41p y a p y ---+ ＝),()2
(1a p a y p
a -+-
22
)2(PH PQ =∴
=.)()2(4
2??
????-+-a p a y p a 令02=-
p a ，得p PQ p a ==此时,2为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2
p
y =， 即抛物线的通径所在的直线. 解法2：
（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
2
2222122122128414)(11p k p k x x x x k x x k AB +?+=-+?+=-+=
＝.21222+?+k k p
又由点到直线的距离公式得2
12k
p d
+=
.
从而，
,22122122121222
22+=+?+?+?=??=
?k p k p k k p AB d S ABN
.22max 02p S k ABN ==∴?）时，（当
（Ⅱ）假设满足条件的直线t 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为
,0))(())(0(11=-----y y p y x x x 将直线方程y=a 代入得
).
(1)2(4))((4,
0))((121112a p a y p a y a p a x y a p a x x x -+??????
-=---?=----＝则 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P （x 2,y 2）,Q （x 4,y 4）,则有
.)()2(2)()2(41143a p a y p a a p a y p a x x PQ -+-=??
?
???-+-=-=
令p PQ p a p a ===-
此时得,2,02为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2
p
y =.
即抛物线的通径所在的直线。 题型八：角度问题
例题8、（如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足：
6.PM PN +=
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）若
2·1cos PM PN MPN
-∠＝
,求点P 的坐标.
解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴
b =
225a c -=，
所以椭圆的方程为22
1.95
x y += (Ⅱ)由2
,1cos PM PN MPN
=
-得
cos 2.PM PN MPN PM PN =- ①
因为cos 1,MPN
P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形.在△PMN 中，4,MN =由余弦定理有
2
2
2
2cos .MN PM PN PM PN MPN =+- ②
将①代入②，得 22
2
4
2(2).PM PN PM PN =+--
故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为23的双曲线2
213x y -=上. 由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22
195
x y +=，所以 由方程组22225945,3 3.x y x y ?+=??+=?? 解得33
,25.
2
x y ?=±????=±??
即P 点坐标为
335335335335
(
,)22222222
-、（，-）、（-，）或（，-）.
问题九：四点共线问题
例题9、设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点(2,1)M ，且着焦点为1(2,0)F -
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点
,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB
=，证明：点
Q 总在某定直线上
解 (1)由题意：
2222222
211c a b
c a b ?=?
?+=???=-?
，解得22
4,2a b ==，所求椭圆方程为 22142x y += (2)方法一
设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。
由题设知
,,,AP PB AQ QB
均不为零，记AP AQ PB
QB
λ=
=
,则0λ>且1λ≠
又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-=
于是 1241x x λλ-=
-， 12
11y y λλ-=-
121x x x λλ+=+， 12
1y y y λλ
+=+
从而
222
12
2
41x x x λλ-=-，（1）
222
12
2
1y y y λλ-=-，
（2）
又点A 、B 在椭圆C 上，即 2
21
124,(3)x y += 22
2224,
(4)x y +=
（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y +=
即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上
方法二
设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，
,,,PA PB AQ QB 均不为零。
且
PA
PB AQ
QB
=
又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±,于是
1
141,11x y
x y λλλλ--=
=
-- （1） 2241,11x y
x y λλλλ
++==
++ （2） 由于
1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2224,x y +=整理得
222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3） 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)
(4)－(3) 得 8(22)0x y λ+
-=
0,220x y λ≠+-=∵∴
即点(,)Q x y 总在定直线220x y +
-=上
问题十：范围问题（本质是函数问题）
设1F 、2F 分别是椭圆14
22
=+y x 的左、右焦点。 （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的最大值和最小值； （Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取
值范围。
解：（Ⅰ）解法一：易知2,1,3a
b c ===
所以()(
)1
2
3,0,3,0
F F -
，设(),P x y ，则
()(
)
22123,,
3,3PF PF x y x y x y ?=-----=+-()22
21
133844
x x x =+--=-
因为[]2,2x ∈
-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ?有最小值2-
当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ?有最大值1
解法二：易知2,1,3a
b c ===，所以()(
)12
3,0,3,0
F F -，设(),P x y ，则
2
2
2
1212
1212121212
cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-?=??∠=??
?
()
()
2
2
2
2221
3
3
1232x y x y x y ??=+++-+-=+-?
???
（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线0x
=不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，
联立22
2
1
4
y kx x y =-???+=??，消去y ，整理得：2214304k x kx ??+++= ???
∴12
122
2
43,114
4
k x x x x k k +=-
?=
+
+
由()2214434304k k k ?
??
=-+?=-> ??
?得：32k <或32k >-
又0
00
090cos 000A B A B OA OB <∠??>
∴12120OA OB x x y y ?=
+>
又()()()2
121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++2
2223841144k k k k -=++++221
14
k k -+=+
∵
2223
1
01144
k k k -++>++
，即24k < ∴22k -<<
故由①、②得322
k -<<-
或
3
22
k << 问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）
设椭圆E: 22
221x y a b
+=（a,b>0）过M （2，2） ，N(6,1)两点，O 为坐标原点，
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: 22
221x y a b
+=（a,b>0）过M （2，2） ，N(6,1)两点,
所以2222421611a b a b +=+=???????解得2211
8
114a b
?=????=??所以22
84a b ?=?=?椭圆E 的方程为
22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为
y kx m =+解方程组22
18
4x y y kx m
+==+?????得222()8x kx m ++=,即222
(12)4280k x kmx m +++-=, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则△=2
22222164(12)(28)8(84)0k
m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>
1222
1224122812km x x k m x x k ?
+=-??+?-?=?+?
,
2222222
2
212121212222
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=
+++要使OA OB ⊥,
需使12120x x y y +=,即22222
28801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=,所以223808
m k -=≥又22
840k m -+>,所以22
238
m m ?>?≥?,所以2
83m ≥,即263m ≥或26
3
m ≤-
,因为直线
y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径
为2
1m
r k =+,222
228381318
m m r m k ===-++
,
263r =,所求的圆为
2283
x y +=
,此时圆的切线
y kx m =+都满足
263m ≥
或26
3m ≤-
,而当切线的斜率不存在时切线为26
3
x =±
与椭圆
22
184
x y +=的两个交点为2626(,)33±或
2626(,)33-
±满足OA OB ⊥,综上, 存在圆心在原点的圆228
3
x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点
A,B,且OA OB ⊥.
因为122
2
12241228
12km x x k m x x k ?+=-??+?-?=?+?
,
所以2222
2
21212122222
4288(84)
()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--?=+++,
()
222
2
2
2
2
12121222
8(84)||()(1)()(1)
(12)k m AB x x y y k x x k k -+=-+-=+-=++
4224242
3245132[1]34413441
k k k k k k k ++=?=+++++, ①当0k
≠时2
2321
||[1]1344
AB k k
=
+++
因为2
2
1448k
k +
+≥所以2211
01844k k
<≤++, 所以2
232321[1]1213344
k k
<+≤++,
所以
4
6||233
AB <≤当且仅当22k =±时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ② 当0k =时,46
||3
AB =
.
③ 当AB 的斜率不存在时, 两个交点为2626(
,)33±或2626(,)33-±,所以此时46
||3
AB =,
综上, |AB |的取值范围为
46||233AB ≤≤即: 4
||[6,23]3
AB ∈
圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质：
注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：
（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；
二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
圆锥曲线的定义方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<
最新圆锥曲线题型总结
圆锥曲线题型总结
直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点 1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点 1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则 1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB === = 或者 AB === = 3、两条直线111222: ,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 4、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 常见的一些题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22 : 14x y C m +=过动点04m ≠（，且，如果直线 :1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m + =14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l y kx =+?过定点（，） :(1)1l y k x =+?-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+?-过定点（，2）
(新)高中数学圆锥曲线方程知识点总结
§8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程 1. 椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于定长（定长通常等于2a ，且2a >F 1F 2） 的点的轨迹叫椭圆。 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ （1）①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 22 2 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . 注：A.以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中2 2 2 b a c =-； B.在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2 x 和 2y 的分母的大小。 ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：12 22 2=+ b y a x 的参数方程为???==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. ⑵椭圆的性质 ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率：)10( e a c e = .【∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为2 2 2 x y a +=。】 ⑦焦（点）半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a b y a x =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a a y b x =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 ?-=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF
高中数学圆锥曲线详解【免费】
解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典 结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2 =2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2 =4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2 =4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =
(完整版)高考圆锥曲线题型归类总结(最新整理)
）直接法：直接利用条件建立之间的关系； 和直线的距离之和等于 ），端点向圆作两条切线
的距离比它到直线的距离小于 ：和⊙：都外切，则动圆圆心 代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨 是抛物线上任一点，定点为,分所成的比为 参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 过抛物线的焦点作直线交抛物线于
?OA OB ⊥?121K K ?=-?0OA OB ?= ?12120 x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”?? >0； ?1212x x y y + ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；?120K K +=12K K = ④“共线问题” （如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； AQ QB λ= ?（如：A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等）；? ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；? ⑥“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；?六、化简与计算；七、细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结
圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝 对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|， 则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方 程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时1 22 22=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条 件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2 y x +的最小值是___ ） （2）双曲线：焦点在x 轴上： 2 2 22b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴 上，离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开 口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在 分母大的坐标轴上。 如已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴 上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)2 3 ,1()1,( --∞） （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦 点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长 为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =± ； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆 越圆；e 越大，椭圆越扁。 如（1）若椭圆152 2 =+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__（答：3或 3 25）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角 形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： 22） （2）双曲线（以22 22 1x y a b -=（0,0a b >>）为 例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等 时，称为等轴双曲线，其方程可设为 2 2 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤ 离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大； ⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围： 0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几 何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线： 一条准线2 p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线 ?1e =。 如设R a a ∈≠,0，则抛物线2 4ax y =的焦点坐标为 ________（答：)161 , 0(a ）； 5、点00(,)P x y 和椭圆122 22=+b y a x （0a b >>）的 关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>；（2） 点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1；（3）点 00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 6．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 （2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切； （3）相离：0?中， 以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要 条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 11．了解下列结论 （1）双曲线1 2 222 =-b y a x 的渐近线方程为0=±b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线 12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λ λ(22 22=-b y a x 为参数，λ≠0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2 2 1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称 轴的弦）为2 2b a ，焦准距（焦点到相应准线的距离） 为2b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB ， 1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++； ②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 12.圆锥曲线中线段的最值问题： 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)
高中数学圆锥曲线专题-理科
圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O
二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由
高中数学圆锥曲线小结论
椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
高考圆锥曲线解题技巧总结
第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分：基础知识 1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0）， 四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时， 称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离 心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦 点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结7558
圆锥曲线 1、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆122 22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0 202y a x b ； 在双曲线22 221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 202y a x b ；在抛物线 22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 2．了解下列结论 （1）双曲线1222 2=-b y a x 的渐近线方程为02222 =-b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222 =-b y a x 为参数，λ≠0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为22 1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2 2b a ，焦准距（焦点到相应准线 的距离）为2 b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++； ②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1）在ABC ?中，给出() 12 AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线; （2）在ABC ?中，给出2 22OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （3）在ABC ?中，给出=++，等于已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （4）在ABC ?中，给出?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （5） 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=r r 使；③若存在实数 ,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+u u u r u u u r u u u r 且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已 知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角,
历年高考数学圆锥曲线试题汇总
高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)
高考的数学中圆锥曲线重要结论地最全的总结
高考数学圆锥曲线重要结论 一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。 第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0 圆锥曲线基本题型总结：提纲： 一、定义的应用： 1、定义法求标准方程： 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题： 二、圆锥曲线的标准方程： 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用： 三、圆锥曲线的性质： 1、已知方程求性质： 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题： 四、直线与圆锥曲线的关系： 1、位置关系的判定： 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题： 4、韦达定理的应用： 一、定义的应用： 1. 定义法求标准方程： (1)由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：(注意细节的处 理) 1.设F1, F2 为定点，|F1F2| =6,动点M满足|MF1| + |MF2| = 6,则动点M的轨 迹是() A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【注：2a>|F1 F2| 是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】 2. 设 B - 4,0) , C4,0),且厶ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为) x2 y2 y2 x2 A.25+ -9 = i y z0) B.25^9 = 1 徉0) x2 y2 y2 x2 C.^+16= 1 y z 0) D￡+_9 = 1 y z 0) 【注：检验去点】 3. 已知A0, - 5)、B0,5) ,|PA| - |PB| = 2a,当a= 3 或 5 时，P点的轨迹为) A. 双曲线或一条直线 B. 双曲线或两条直线 C. 双曲线一支或一条直线 D. 双曲线一支或一条射线【注：2av|F1 F2|是双曲线，2a=|F1 F2|是射线，注意一支与两支的判断】 高中数学圆锥曲线解题 技巧总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。圆锥曲线基本题型总结
高中数学圆锥曲线解题技巧总结