2018高考数学一轮复习第10章概率热点探究训练6概率与统计中的高考热点问题文北师大版

1 热点探究训练(六) 概率与统计中的高考热点问题 A组 基础达标 (建议用时：30分钟) 1．(2017·揭阳模拟)为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间(单位：分钟)作为样本分成5组，如表所示： 组别 候车时间(分钟) 人数 一 [0,5) 2 二 [5,10) 6 三 [10,15) 4 四 [15,20) 2 五 [20,25] 1 (1)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数； (2)若从表中第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率． [解] (1)由题表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8. 2分

所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约为60×815＝32(人). 5分 (2)设第三组的乘客为a，b，c，d，第四组的乘客为1,2. “抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A，所得基本事件共有15种，即ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2,12. 10分

其中事件A包含基本事件a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，共8种．

由古典概型可得P(A)＝815. 12分 2．柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据： x 4 5 7 8

y 2 3 5 6

(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a； (3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数． 2

相关公式：b＝∑ni＝1xiyi－nx－y－∑ni＝1x2i－nx－2，a＝y－－bx－

[解] (1)散点图如图所示．

4分 (2)∑4i＝1xiyi＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106，

x－＝4＋5＋7＋84＝6，y－＝2＋3＋5＋64＝4，

∑4i＝1x2i＝42＋52＋72＋82＝154，

则b＝∑4i＝1xiyi－4x－y－∑4i＝1x2i－4x－2＝106－4×6×4154－4×62＝1，6分 a＝y－－bx－＝4－6＝－2，

故线性回归方程为y＝bx＋a＝x－2. 8分 (3)由回归直线方程可以预测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7. 12分 3．全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示： 组号 分组 频数 1 [4,5) 2 2 [5,6) 8 3 [6,7) 7 4 [7,8] 3 3

(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率； (2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数. 【导学号：66482470】 [解] (1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个. 3分

其中，没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是{B1，B2}，共1个．

所以所求的概率P＝1－110＝910. 7分 (2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 4．5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05. 12分 4．(2017·东北师大附中等校联考)甲、乙两位学生参加某项竞赛培训，在培训期间，他们参加的5项预赛成绩的茎叶图记录如下：

图3 (1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率； (2)现要从中选派一人参加该项竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？并说明理由． [解] (1)记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用数对(x，y)表示基本事件： (82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，(79,95)，(79,75)，(79,80)，(79,90)，(79,85)，(95,95)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,95)，(87,75)，(87,80)，(87,90)，(87,85)，3分 基本事件总数n＝25， 记“甲的成绩比乙的成绩高”为事件A，事件A包含的基本事件如下：(82,75)，(82,80)，(82,75)，(82,80)，(79,75)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,75)，(87,80)，(87,85)，5分 事件A包含的基本事件数m＝12，

所以P(A)＝mn＝1225. 8分 (2)派甲参赛比较合适．理由如下： 4

x甲＝85，x乙＝85，s2甲＝31.6，s2乙＝50，10分

因为x甲＝x乙，s2甲＜s2乙， 所以甲的成绩较稳定，故派甲参赛比较合适. 12分 5．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)． (1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率； (2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b＜0的概率． [解] (1)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，共有6×6＝36个基本事件． 由a·b＝－1，得2x－y＝1. 2分 ∴a·b＝－1包含的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)共3种情形，

故P(a·b＝－1)＝336＝112. 5分 (2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}；满足a·b＜0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6

且－2x＋y＜0}．画出图形如图，8分

正方形的面积为S正方形＝25，阴影部分的面积为 S阴影＝25－12×2×4＝21，

故满足a·b＜0的概率P＝2125. 12分 6．(2017·西安模拟)为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表： 年龄 [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65] 频数 5 10 15 10 5 5 支持 “生育 二胎” 4 5 12 8 2 1

(1)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点 5

对“生育二胎放开”政策的支持度有差异； 年龄不低于45 岁的人数 年龄低于45 岁的人数 总计

支持 a＝________ c＝________ 不支持 b＝________ d＝________ 总计 (2)若对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？ 参考数据： P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001

x0 3.841 6.635 10.828

χ2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d. [解] (1)由题设，列2×2的列联表如下： 年龄不低于45 岁的人数 年龄低于45 岁的人数 总计

支持 a＝3 c＝29 32 不支持 b＝7 d＝11 18 总计 10 40 50

χ2＝50×3×11－7×2923＋729＋113＋297＋11≈6.27＜6.635， 所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异. 5分 (2)设年龄在[5,15)中支持“生育二胎”的4人分别为a，b，c，d，不支持“生育二胎”的人记为M， 则从年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，M)，(b，c)，(b，d)，(b，M)，(c，d)，(c，M)，(d，M). 8分

设“恰好这两人都支持“生育二胎”为事件A， 则事件A所有可能的结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，所以

P(A)＝610＝35. 10分

所以对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查时，恰好这两人都支持“生育二胎”的概率为35. 12分