山东省2012高三11月月考试题数学
2025届九师联盟高三11月月考数学试题+答案
九师联盟高2025届三上学期11月月考数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数yy=tan xx的值域可以表示为( )A. {xx|yy=tan xx}B. {yy|yy=tan xx}C. {(xx,yy)|yy=tan xx}D. {yy=tan xx}2.若“sinθθ=−√ 22”是“tanθθ=1”的充分条件，则θθ是( )A. 第四象限角B. 第三象限角C. 第二象限角D. 第一象限角3.下列命题正确的是( )A. ∃xx∈RR，2xx<0B. ∀xx∈(0,4)，0<log2xx<2C. ∃xx∈(0,+∞)，xx3<xx12D. ∃xx∈(0,ππ2)，4sin xx cos xx=√ 54.函数ff(xx)=xx2−xx4的大致图象是( )A. B.C. D.5.已知向量ee1���⃗，ee2���⃗满足|ee1���⃗|=|ee2���⃗|=1，ee1���⃗⋅ee2���⃗=0，则向量ee1���⃗与ee1���⃗−ee2���⃗的夹角为( )A. 45∘B. 60∘C. 120∘D. 135∘6.已知tan5αα+ππ10=2，则tan4ππ−5αα5=( )A. 125B. −125C. 43D. −437.已知aa>0，bb>0，aa+bb=9，则36aa+aa bb的最小值为( )A. 8B. 9C. 12D. 168.若∀xx>0，(xx2−aaxx−1)(ln aaxx−1)≥0，则aa=( )A. ee√ 3−eeB. ee√ 4−eeC. ee√ee+2D. ee√ee+1二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数ff(xx)=2sin (−xx)，则( )A. ff(xx)的值域为[12,2]B. ff(xx)为奇函数C. ff(xx)在[−ππ2,ππ2]上单调递增D. ff(xx)的最小正周期为2ππ10.国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略.某顾客计划消费xx(xx>0)元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则( )A. 当0<xx<200时，应进甲商场购物B. 当200≤xx<300时，应进乙商场购物C. 当400≤xx<500时，应进乙商场购物D. 当xx>500时，应进甲商场购物11.已知函数ff(xx)满足：①∀xx，yy∈RR，ff(xxyy)=[ff(xx)]yy;②ff(−2)>1，则( )A. ff(0)=0B. ff(xx+yy)=ff(xx)⋅ff(yy)C. ff(xx)在R上是减函数D. ∀xx∈[1,3]，ff(xx2−kkxx)⋅ff(xx−3)≥1，则kk≥3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2024-2025学年山东省菏泽市高三上学期第二次月考数学检测试题(含解析)
注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息22024-2025学年山东省菏泽市高三上学期第二次月考数学检测试题．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）我一定能学好它，心诚则灵！一、单选题（共24分）1．（本题3分）命题“R x "Î，310x +£”的否定为（ ）A ．R x "Ï，310x +>B ．R x $Î，310x +£C ．R x "Î，310x +>D ．R x $Î，310x +>2．（本题3分）已知集合{}Z |21M x x =Î-<£,{}3,2,1,0,1,2,3N =---，则N M =ð（ ）A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}3,2,2,3--C ．{}1,0,2-D ．{}2,33．（本题3分）清朝末年，面对清政府的腐朽没落，梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强”的口号．其中“国强”是“少年强”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（本题3分）若()()12i i 21z +=--，则z =（ ）A ．1i-B ．1i+C ．2i-D ．2i+5．（本题3分）已知向量(1,2),(,4)a b x ==r r ，若//()a a b +r r r ，则实数x =（ ）A ．2-B ．11-C ．11D ．26．（本题3分）函数ln y x =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（本题3分）等差数列{}n a 满足344a a +=，788a a +=，则1112a a +=（ ）A ．12B ．16C ．24D ．328．（本题3分）在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且cos cos 0a B b A c --=，则A =（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°二、多选题（共12分）9．（本题4分）为了得到函数2π()sin 23f x x æö=-ç÷èø的图象，只需把正弦曲线上所有的点（ ）A ．先向右平移2π3个单位长度，再将横坐标缩短到原米的12，纵坐标不变B ．先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．先将横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度D ．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度10．（本题4分）已知函数()πtan 24f x x æö=-ç÷èø，则下列命题中正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 的定义域为()ππ|,28k x x R x k ìüι+ÎíýîþZ C ．()f x 图象的对称中心为ππ,048k æö+ç÷èø，k ÎZD ．()f x 的单调递增区间为πππ3π,2828k k æö-+ç÷，k ÎZ11．（本题4分）已知函数2()cos f x x x x =）A ．函数()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向左平移π8个单位长度，个单位长度得到B ．函数()f x的一个对称中心为3π,8æççèC ．函数()f x 的最小值为12-D ．函数()f x 在区间π3π,88æöç÷èø单调递减第II 卷（非选择题）我一定能学好它，心诚则灵！三、填空题（共9分）12．（本题3分）形如a b c d的式子叫做行列式，其运算法则为a bad bc c d=-，则行列式sin15cos15°°的值是 .13．（本题3分）设a 为第二象限角.若3sin 2cos 21a =a -，则sin a = .14．（本题3分）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若π3A =，a =，2b =，则ABC V 的面积为 ．四、解答题（共55分）15．（本题8分）已知()3287f x x x x =+-+.(1)求函数()y f x =的导数；(2)求函数()y f x =的单调区间和极值.16．（本题10分）已知向量(1,3),(,2)a b x =-=r r ，且(2)a b a -^r r r .(1)求||a b +r r ;(2)求a b -r r 与a r的夹角.17．（本题12分）已知函数()22cos sin f x x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求函数()f x 的单调区间；(3)求()f x 在区间ππ,66éù-êúëû上的最值.18．（本题12分）设全集U =R ，集合{}|15=££A x x ，非空集合{}|212B x a x a =-££+，a ÎR .(1)若3a =，求()U A B I ð；(2)若“x A Δ是“x B Δ的必要不充分条件，求a 的取值范围.19．（本题13分）在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin2sin b A B ，ABC V 的面积为b c =.(1)求角A 的大小；(2)求a 的值；(3)求()cos B A -的值.参考答案：题号12345678910答案D B B A D D A C AC ACD 题号11 答案CD1．D【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解.【详解】“R x "Î，310x +£”的否定为：R x $Î，310x +>.故选：D 2．B【分析】写出集合M ，按照补集的运算计算即可.【详解】由题得{}1,0,1=-M ，又{}3,2,1,0,1,2,3N =---，所以{}3,2,2,3M =--N ð．故选：B 3．B【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】少年强则国强；国强不一定少年强，所以“国强”是“少年强”的必要条件.故选：B 4．A【分析】由复数的四则运算化简可得复数z .【详解】由()()12i i 21z +=--可得()()()()12i i 212i 5i1i i 2i 2i 25z +--+--====-----，故1i z =-．故选：A.5．D【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】()1,6a b x +=+r r ，因为//()a a b +rr r ，则()1621x ´=+，解得2x =.故选：D.6．D【分析】结合对数函数图象结合翻折判断即可.【详解】ln y x =图象就是ln y x =的图象在x 轴上方部分不变，将x 轴下方的图象对称的翻折到x 轴上方，则D 选项正确．故选：D ．7．A【分析】根据等差数列通项公式可得1a 与d ，进而可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d +-=，则3417812542138a a a d a a a d +=+=ìí+=+=î，解得13412a d ì=ïïíï=ïî，则()311114242n a n n =+-×=+，所以1112111112124242a a =++=++，故选：A.8．C【分析】利用正弦定理将边化角，整理即可求得.【详解】cos cos 0a B b A c --=Q ，\由正弦定理可得sin cos cos sin sin 0A B A B C --=，又Q 在ABC V 中()sin sin C A B =+，()sin cos cos sin sin 0A B A B A B \--+=，()sin cos cos sin sin cos cos sin 0A B A B A B A B \--+=，2cos sin 0A B \-=，Q 在ABC V 中，sin 0B >，cos 0A \=，且A 为ABC V 的内角，90A \=°，故选：C ．9．AC【分析】根据三角函数图象平移、变换求解解析式方法即可判断选项.【详解】正弦曲线sin y x =先向右平移2π3个单位长度，得到函数2πsin 3y x æö=-ç÷èø的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数2π()sin 23f x x æö=-ç÷èø的图象，故A 正确，B 错误；先将正弦曲线sin y x =上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数sin 2y x =的图象，再向右平移π3个单位长度，得到函数2π()sin 23f x x æö=-ç÷èø的图象，故C 正确，D 错误.故选：AC 10．ACD【分析】根据正切函数的图象及性质解决即可.【详解】由题知，函数()πtan 24f x x æö=-ç÷èø，所以()f x 的最小正周期为ππ2T w ==，故A 正确；()f x 的定义域满足ππ2π42x k -¹+，即()3ππ,82k x k ¹+ÎZ 所以()f x 的定义域为()π3π|,28k x x x k ìüι+ÎíýîþR Z ，故B 错误；()f x 图象的对称中心应满足ππ242k x -=，即ππ48k x =+，k ÎZ 所以()f x 图象的对称中心为ππ,048k æö+ç÷èø，k ÎZ ，故C 正确；()f x 的单调递增区间应满足ππππ2π242k x k -+<-<+，即πππ3π2828k k x -<<+，k ÎZ ,所以()f x 的单调递增区间为πππ3π,2828k k æö-+ç÷èø，k ÎZ ，故D 正确；故选：ACD 11．CD【分析】化简得()1πsin 224f x x æö=+ç÷èø，逐项验证即可解决.【详解】由题知，()21πcos 22sin 224f x x x x x x x æö===+ç÷èø，对于A ，sin 2y x =的图像向左平移π8个单位长度，得πsin 24y x æö=+ç÷èø，个单位长度得到πsin 24y x æö=+ç÷èøA 错误；对于B ，3π13ππsin 08244f æöæö=+=ç÷ç÷èøèø，所以函数()f x 的一个对称中心为3π,08æöç÷èø，故B 错误；对于C ，()1πsin 224f x x æö=+ç÷èø，当πsin 214x æö+=-ç÷èø时，函数()f x 取最小值为12-，故C 正确；对于D ，()1πsin 224f x x æö=+ç÷èø，所以单调减区间应满足ππ3π2π22π242k x k +£+£+，解得π5πππ,z 88k x k k +££+Î，所以单调减区间为π5ππ,π,z 88k k k æö++Îç÷èø，因为π3ππ5π,π,π8888k k æöæöÎ++ç÷ç÷èøèø，所以函数()f x 在区间π3π,88æöç÷èø单调递减，故D 正确.故选：CD 12．12-【分析】根据新定义计算即可．sin151sin 45sin15cos 45cos15cos 602cos15°°°=°°-°°=-°=-°．故答案为12-．13．14/0.25【分析】由二倍角公式得到关于sin a 的一元二次方程，求解即可.【详解】因为3sin 2cos 21a =a -，所以()23sin 212sin 1a a =--，所以24sin 3sin 10a a +-=，解得1sin 4a =或sin 1a =-，因为a 为第二象限角，所以1sin 4a =.故答案为：1414【分析】由余弦定理求出c ，代入三角形面积公式求解.【详解】由余弦定理可得222a b A =-，即2742c c =+-，解得3c =或1-（舍去），所以ABC S V 1sin 232A =´´=15．(1)()2328f x x x ¢=+-(2)单调递增区间为(),2¥--和4,3¥æö+ç÷èø,单调递减区间为42,3æö-ç÷èø,函数的极大值为19,极小值为1327.【分析】（1）根据导数运算法则求解；（2）令()0f x ¢=求其解，分区间判断导数的正负，列表确定函数单调性及极值.【详解】（1）因为()3287f x x x x =+-+，所以()2328f x x x ¢=+-.（2）因为()3287f x x x x =+-+,所以()()()2328342f x x x x x =+-=-+¢,令()()()3420f x x x =-+=¢,可得2x =-或43x =,当x 变化时,()(),f x f x ¢的变化情况如下表,x(),2¥--―242,3æö-ç÷èø434,3¥æö+ç÷èø()f x ¢正0负0正()f x 单调递增极大值19单调递减极小值1327单调递增所以函数的单调递增区间为(),2¥--和4,3¥æö+ç÷èø,单调递减区间为42,3æö-ç÷èø,函数的极大值为19,极小值为1327.16．(1)5(2)45°【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算求得1x =，即可求得；（2）根据数量积的定义即可求得.【详解】（1）因为向量(1,3),(,2)a b x =-=r r ，所以2(12,1)a b x -=---r r ，由(2)a b a -^r r r得1230x +-=，解得1x=，所以(1,2)b =r又(0,5)a b +=r r ，所以||5a b +==r r（2）设向量a b -r r 与向量a r的夹角为q ，因为(1,3),(2,1)a ab =--=-rr r ，所以()cos ||||a b a a b a q -×===-×r r r r r r 又0180q °°££，所以45q °=，即向量a b -r r 与向量a r的夹角是45°17．(1)π(2)单调增区间为：5πππ,π1212k k éù-+êúëû，Z k Î；单调减区间为：π7ππ+,π1212k k éù+êúëû，Z k Î.(3)最小值为0，最大值为2.【分析】（1）先利用三角变换公式把()f x 化成()()sin f x A x =+w j 的形式，利用2πT w=求函数周期.（2）整体换元法求函数的单调区间.（3）整体换元法求函数的值域.【详解】（1）因为())22sin cos 2cos 1f x x x x =-sin 22x x =π2sin 23x æö=+ç÷èø.由2ππ2T ==，所以函数()f x 的最小正周期为：π.（2）由πππ2π22π232k x k -£+£+，Z k Î得：5ππππ1212k x k -££+，Z k Î.由由ππ3π2π22π232k x k +£+£+，Z k Î得：π7πππ1212k x k +££+，Z k Î.所以函数()f x 的单调增区间为π,π12ππ125k k éù-+êúëû，Z k Î；单调减区间为：π7ππ,π1212k k éù++êúëû，Z k Î.（3）因为ππ66x -££Þπ2π0233x £+£，所以π0sin 213x æö£+£ç÷èø.所以()02f x ££.所以函数()f x 在ππ,66éù-êúëû上的最小值为0，最大值为2.18．(1)答案见解析(2)1|13a a ìü££íýîþ【分析】（1）根据补集、交集的定义计算可得；（2）依题意可得非空集合B 是集合A 的真子集，即可得到不等式组，解得即可；【详解】（1）{}|15A x x =££Q ，{|1U A x x \=<ð或5}x >当3a =时，{}|17B x x =-££，(){|11U A B x x \=-£<I ð或57}x <£.（2）“x A Δ是“x B Δ的必要不充分条件等价于非空集合B 是集合A 的真子集，易知212a a -£+，即13a ³，则有21125a a -³ìí+£î，且等号不能同时取到，解得1a £.故a 的取值范围为1|13a a ìü££íýîþ.19．(1)π6A =(2)a =【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简已知式，再由余弦值求角即得；（2）由ABC V 的面积为bc =b c ,b c ，最后利用余弦定理求得边a ；（3）由余弦定理求得cos B ，继而求得sin B ，再利用差角的余弦公式计算即得.【详解】（1）因sin2sin b A B 和正弦定理，sin sin2sin B A A B =，又B ∈(0,π)，所以sin 0B >，所以sin2A A =，又sin22sin cos A A A =，所以2sin cos A A A =，又()0,πA Î，所以sin 0A >，所以cos A π6A =；（2）因1sin 2ABC S bc A ==V bc =又因b c =b =2=，解得4c =，故b =由余弦定理得，2222cos 2716367a b c bc A =+-=+-=，故得a =（3）由（2）已得a =b =4c =，由余弦定理，可得222cos 2a c b B ac +-===因22sin cos 1B B +=且B ∈(0,π)，故sin B ===所以()1cos cos cos sin sin 2B A B A B A -=+==。
毛坦厂中学火箭班高三11月月考数学试卷参考答案
2024~2025学年度高三年级十一月份月考安徽省六安市毛坦厂中学（火箭班）数学试卷考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．命题范围：高考范围．第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设函数()()()222123()666f x x x c xx c xx c =-+-+-+，集合(){}{}123450,,,,M x f x x x x x x *===ÍN ，设123c c c ³³，则13c c -等于（ ）A. 6B. 8C. 2D. 4【答案】D 【解析】【分析】把所给的方程整理，得到三个一元二次方程，要使所给的方程出现正整数解集，可以列举出c 的值有三个，把其中两个相减找出差的最大值即可.【详解】方程()()()2221236660x x c xx c xx c -+-+-+=，则2106x x c -+=，或2206x x c -+=，或2306x x c -+=，因为正整数解集为{}12345,,,,x x x x x ，结合韦达定理可知任意方程的两个根的和均为6，所以当5c =时，1x =或5x =，当8c =时，2x =或4x =，当9c =时，3x =，符合正整数解集，因为123c c c ³³，所以139,5c c ==，所以134c c -=，故选：D.2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是正六边形126A A A L的中心，若114A ö÷÷ø，则点3A 的纵坐标为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】使用正弦的和公式进行计算.【详解】直接计算可得11OA =，故O 到正六边形的每个顶点的距离都是1.所以每个顶点k A 的坐标都可以表示为()()1π1πcos ,sin 33k k a a æöæöæö--++ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø，从而()1cos ,sin A a a ，32π2πcos ,sin 33A a a æöæöæö++ç÷ç÷ç÷øèøèø.而114Aö÷÷ø，故cos a =1sin 4a =，所以2π2π2π1sin sin ·cos cos ·sin sin 3332a a a a a æö+=+=-=ç÷èø故选：C.3. 古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着,,A B C 三根金铜石细柱，其中细柱A 上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若A 柱上现有3个金盘（如图），将A 柱上的金盘全部移到B 柱上，至少需要移动次数为.A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】B 【解析】【分析】设细柱A 上套着n 个大小不等环形金盘，至少需要移动次数记为{}n a ，则121n n a a -=+，利用该递推关系可求至少需要移动次数.【详解】设细柱A 上套着n 个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为{}n a .要把最下面的第n 个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的1n -个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动1n a -次.把第n 个金盘移到另一个柱子上后，再把1n -个金盘移到该柱子上，故又至少移动1n a -次，所以121n n a a -=+，11a =，故23a =，37a =，故选B.【点睛】本题考查数列的应用，要求根据问题情境构建数列的递推关系，从而解决与数列有关的数学问题.4. 若函数π3π()ln cos cos πcos cos 2π22x x f x x x éù=×××êúëû的定义域与区间(0,1)的交集由n 个开区间组成，则n 的值为（ ）A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】【分析】先求解π3πcoscos πcos cos 2π022x x x x ×××=在区间(0,1)上的根，将区间(0,1)进行分区，在每一个区间内利用函数的图象研究函数()f x 的正负，从而得出结果.【详解】函数的定义域需要满足0π3πcos cos πcos cos 2π22x x x x ××>×，可以先考虑0π3πcoscos πcos cos 2π22x xx x ×××=，的因为(0,1)x Î，πcos02x >当cos π0x =时，12x =；当3πcos 02x=时，13x =；当cos 2π0x =时，14x =或34；这时区间(0,1)自然就被分为五个区间，分别为10,4æöç÷èø，11,43æöç÷èø，11,32æöç÷èø，13,24æöç÷èø，3,14æöç÷èø，然后对每一个区域分析函数π3πcoscos πcos cos 2π22x x y x x =×××的符号，根据图象可得，当10,4x æöÎç÷èø时，πcos02x >，cos π0x >，03πcos 2x >，cos 2π0x >，所以0π3πcoscos πcos cos 2π22x xx x ××>×，故满足题意；同理可得11,43x æöÎç÷èø时，0π3πcos cos πcos cos 2π22x xx x ×××<，故不满足题意；11,32x æöÎç÷èø时，0π3πcos cos πcos cos 2π22x xx x ××>×，故满足题意；13,24x æöÎç÷èø时，0π3πcos cos πcos cos 2π22x xx x ×××<，故不满足题意；3,14x æöÎç÷èø时，0π3πcos cos πcos cos 2π22x xx x ××>×，故满足题意.故选：B.5. 下列不等关系中错误的是（ ）A. ln 2ln 323< B. e e (1)a b b a a b >>>C. 131cos 432<D. 77sinπ22+>【答案】C 【解析】【分析】对于A ，直接证明即可；对于B ，使用导数工具证明即可；对于C ，用导数说明不等式不成立即可；对于D ，使用导数工具证明即可.【详解】对于A ，因为3ln 22ln 3ln8ln 90-=-<，所以ln 2ln 323<，故A 正确；对于B ，设()e x f x x=，则对x >1有f ′(x )=(x―1)e xx 2>0，所以f (x )在()1,+¥上递增，从而对1a b >>有e e a ba b >，即b e a >a e b ，故B 正确；对于C ，设()2cos 12x g x x =+-，则()sin g x x x =-¢，由于对π02x <<，显然()g x ¢的导函数y =1―cos x >0，故()g x ¢在π0,2æöç÷èø上单调递增.从而对π02x <<有()()00g x g ¢¢>=，所以()g x 在π0,2æöç÷èø上单调递增，所以cos 14―3132=>g (0)=0，即cos 14>3132，故C 错误；对于D ，设()sin h x x x =+，则对7π2x <<有ℎ′(x )=cos x +1>―1+1=0，所以()h x 在7π,2æöç÷èø上单调递增，从而sin 72+72=>ℎ(π)=π，故D 正确.故选：C.6. 已知正数x ，y ，z 满足2221x y z ++=，则12zS xyz+=的最小值为（ ）A. 3B.C. 4D. 1)+【答案】C 【解析】【分析】由基本不等式可得()114z z -£，由题意整理可得1121z xy z +³-，即可得()11421z xyz z z +³³-.【详解】由题意可得，01,011z z <<<-<则()211124z z z z +-æö-£=ç÷èø，当且仅当1z z =-，即12z =时，等号成立，又因为2221x y z ++=，则22212z x y xy -=+³，当且仅当x y =时，等号成立，可得2112z xy -³，即()()1112z z xy-+³，又因为10z ->，则1121z xy z+³-，可得()11421z xyz z z +³³-，当且仅当12x y z ===时，等号成立，所以12zS xyz+=的最小值4.故选：C.7. 已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()e sin x g x h x x x +=+-，若函数|2020|2()3(2020)2x f x g x l l -=---有唯一零点，则实数l 的值为（ ）A. 1-或12B. 1或12-C. 1-或2D. 2-或1【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，求出()e e 2x x g x -+=，结合函数的对称性得出20203x y -=和()2020g x -都关于2020x =对称，由()f x 有唯一零点，可知()20200f =，即可求l .【详解】已知()()e sin xg x h x x x +=+-，①且()g x ，ℎ(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则()()()e sin xg x h x x x --+-=+-+，得：()()esin xg x h x x x --=-+，②①+②得：()e e 2x xg x -+=，则()01g =，由3xy =为偶函数，关于0x =对称，则20203x y -=关于2020x =对称，又()g x 为偶函数，关于0x =对称，则()2020g x -关于2020x =对称，故f (x )关于2020x =对称，由于()()20202320202x f x g x l l -=---有唯一零点，则必有()20200f =，即：()()0222020302120f g l l l l =--=--=，解得：1l =-或12.故选：A.8. 过(0,)M p 且倾斜角为π,π2a a æöæöÎç÷ç÷èøèø的直线l 与曲线2:2C x py =交于A ，B 两点，分别过A ，B 作曲线C 的两条切线1l ，2l ，若1l ，2l 交于N ，直线MN 的倾斜角为b ，则tan()a b -的最小值为（ ）A.B.C. D. 【答案】C 【解析】【分析】首先画出平面图形，求出tan tan 2k k a b ¢×=×=-的结论，再利用两角和与差的正切公式以及前面的结论将()tan a b -化简为()2k k æö-+-ç÷èø的形式，由基本不等式即可求得最值.【详解】如图，设()00,N x y ，1122()A x y B x y ,,(,)，由于曲线2:2x C y p=，则x y p ¢=，所以在A 点的切线方程为111()x y y x x p-=-，同理在B 点的切线方程为222()x y y x x p-=-，由于N 点是两切线的交点，所以1010120202()()x y y x x px y y x x pì-=-ïïíï-=-ïî，则AB l 为()000000()2xx xy x y x x y y y p px p y y -=-ÞÞ=-+-=，且过()0,M p ，0y p \=-且0tan x k p a ==，设2tan ,2p k k k x b ¢¢==-\×=-，()tan tan tan 1tan tan a b a b a b -\-=+()21k k k k k k -æö==-+-³ç÷+×èø¢¢当且仅当k =“=”成立，故选：C.【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：（1）设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x ¢-=-；（2）若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 下列四个结论中正确的是（ ）A. 已知{},,a b c r r r 是空间的一组基底，则{},,a b b b c --r r r r r也是空间的一组基底B. 已知向量(4,2,9)a =-r ，(1,2,2)b =r ，则向量a r 在向量b r上的投影向量的坐标为(3,6,6)C. 若A ，B ，C ，D 四点共面，则存在实数x ，y ，使AB xAC y AD=+uuu r uuu r uuu r D. 已知空间中的点(1,0,2)A ，(0,1,2)B ，(1,3,0)C ，(1,2,2)D -，则直线AB 与直线CD 的夹角的余弦【答案】AD 【解析】【分析】设()()a b xb y b c x y b yc -=+-=+-r r r r r r r，判断x ，y 是否有解即可判断A ；根据投影向量公式计算即可判断B ；根据平面向量基底的条件即可判断C ；求出,AC AD uuu r uuu r，利用向量夹角公式求解可判断D .【详解】对于A 选项，设()()a b xb y b c x y b yc -=+-=+-r r r r r r r，因为{},,a b c r r r是空间的一组基底，所以1010x y y =ìï-=+íï=-î，无实数解，故,,a b b b c --r r r r r 不共面，所以{},,a b b b c --r r r r r也是空间的一组基底，A 正确；对于B 选项，因为(4,2,9)a =-r ，(1,2,2)b =r，所以a r 在b r 方向上的投影向量为24418(1,2,2)(2,4,4)144||a b b b ×-+×=×=++r rr r ．故B 项错误；对于C 选项，若A 、C 、D 共线，即,AC AD uuu r uuu r共线，不能作为平面向量的基底，故当B 不在A 、C 、D 所在直线上时，不存在实数x ，y ，使得AB xAC y AD =+uuu r uuu r uuu r，C 错误；对于D 选项，由条件可知(1,1,0)AB =-uuu r，(2,1,2)CD =--uuu r ，则cos,AB CDáñ==uuu r uuu r，故D项正确．故选：AD．10. 如图，摩天轮的半径为50米，摩天轮的中心O点距离地面的高度为55米，摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处，下列结论正确的是（）A. 经过12分钟，点P首次到达最低点B. 第16分钟和第32分钟点P距离地面一样高C. 从第28分钟至第40分钟点P距离地面的高度一直在降低D. 摩天轮在旋转一周的过程中，点P有8分钟距离地面的高度不低于80米【答案】ABD【解析】【分析】由题意结合诱导公式可得π()50cos55,012h t t t=+³，根据题意结合余弦函数性质逐项分析判断即可.【详解】设t为摩天轮匀速逆时针旋转的时间，单位为分钟，则πππ()50sin5550cos55,012212h t t t tæö=++=+³ç÷èø.对于A选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈，因为0t³，则π12t³，令ππ12t=，解得12t=，所以经过12分钟，点P首次到达最低点，故A选项正确；对于B选项，因为()42(16)50cosπ5530,(32)850cosπ553033h h h=+===+=，即(16)(32)h h=，所以第16分钟和第32分钟点P距离地面一样高，B选项正确；对于C选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈，所以第28分钟至第40分钟，相当于第4分钟至第16分钟，根据A 选项可知，经过12分钟，点P 首次到达最低点，所以第4分钟至第12分钟，摩天轮高度降低，第12分钟至第16分钟，摩天轮高度上升，所以C 选项错误；对于D 选项，由()π50cos 558012h t t =+³，则π1cos 122t ³，其中024t ££，即π02π12t ££，则ππ0123t ££或5ππ2π312t ££，解得04t ££或2024t ££，故摩天轮在旋转一周的过程中点P 有448+=分钟距离地面不低于80米， D 选项正确.故选：ABD.11. 定义在(0,)+¥上的函数()f x 满足(1)()f x f x x +=-，当01x <£时，()f x x =，则（ ）A. 当23x <£时，()22f x x =-+B. 当n 为正整数时，2()2n n f n -=C. 对任意正实数t ，()f x 在区间(,1)t t +内恰有一个极大值点D. 若()f x 在区间(0,)k 内恰有3个极大值点，则k 的取值范围是73193,3664æùçúèû【答案】BD 【解析】【分析】求出()f x 在()*1n x n n -<£ÎN 上的表达式，然后利用函数工具分别考查每个选项，即可得到答案.【详解】当x >0满足()*1n x n n -<£ÎN时，有()()()()()()()()()()11221...112...1f x f x x f x x x f x n x n x n x =---=-----==-+--+--+---()()()()()()()()11121111222n n n n n n f x n n x x n n x nx ---+=-+--+=-+--+=+.此时有()12f x n n =-==¢.从而对21114n x n n -<<+-有()0f x ¢>，对2114n x n n+-<<有()0f x ¢<，故()f x 在211,14n n n æö-+-ç÷èø上递增，在211,4n n n æö+-ç÷èø上递减，这表明()f x 的全部极大值点是()*2114x n n n=+-ÎN .对于A ，取3n =即知()()3523f x x x =-+<£，所以A 错误；对于B ，有()()()2221221222n n n n n n f n n n n -++--=-×+=-+=，所以B 正确；对于C ，在2114x n n =+-中取1n =和2n =，即知14x =和1716x =都是()f x 的极大值点，它们都在19,88æöç÷èø中，故结论对18t =不成立，所以C 错误；对于D ，由于21114n n n n-<+-<，故()f x 的前四个极大值点分别是1,2,3,4n =的情况，对应的极大值点是11773193,,,4163664，这表明条件等价于731933664k <£，所以D 正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对不同的区间分别讨论对应的函数表达式.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. n+展开式中的第7项与倒数第7项的比是1:6，则展开式中的第7项为___________．【答案】563【解析】【分析】求出二项式展开式通项，根据题意列方程，解方程即可求解.【详解】根据题意可知6667Cn nT -=，666165C nn n n n T T --+--==，由666666C :C 1:6n n n nn---éùéù=êúêúêúêúëûëû，化简得41366n --=，所以413n-=-，解得9n =，所以69663799156C C 293T -==´´=.的故答案为：563.13. 商家项目投资的利润产生是一个复杂的系统结果．它与项目落地国的商业环境，政府执政能力，法律生态等都有重大的关联．如表所示是某项目在中国和南亚某国投资额和相应利润的统计表．项目落地国中国南亚某国投资额x （亿元）10111213141011121314利润y （亿元）11121416191213131415请选择平均利润较高的落地国，用最小二乘法求出回归直线方程为___________．参考数据和公式：()52110ii x x =-=å，中国()()5120i i i x y y x =-=-å，南亚某国()()517i i i x x y y =--=å，()()()51521ˆiii ii x x y y bx x ==--=-åå，ˆˆa y bx=-．【答案】29.6y x =-【解析】【分析】比较平均利润，然后根据题设数据得到答案.14.4=和121313141513.45++++=，故中国的平均利润较高.根据题设数据，有2020ˆ1b==，14.ˆˆ42129.6a y bx=-=-´=-.故答案为：29.6y x =-.14. A 与B 二人进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，A 手中有3张两两不同的牌，B 手上有4张牌，其中3张牌与A 手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同．游戏规则为：（ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，A 先从B 手中抽取；（ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃；（ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家；假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，则A 获胜的概率为________．【答案】35##0.6【解析】【分析】A 获胜分为3种情况，利用概率的加法公式求解即可.【详解】记初始A 手上n 张牌时， A 胜的概率为n P ，①当A 手上有1张牌，B 手上2张牌，包含1张“鬼牌”时，A 获胜的概率为1P 若A 抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为12，若A 抽中的是“鬼牌”，时，B 抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为11122P ´´，若A 抽中的是“鬼牌”，时，B 抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在，所以11111222P P =+´´，解得123P =,②当A 手上有2张牌，B 手上3张牌，包含1张“鬼牌”时，A 获胜的概率为2P 若A 抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为23，若A 抽中的是“鬼牌”，时，B 抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为21133P ´´，若A 抽中的是“鬼牌”，时，B 抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在，所以22211333P P =+´´，解得234P =,③当A 手上有3张牌，B 手上4张牌，包含1张“鬼牌”时，A 获胜的概率为3P 若A 抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜的概率为134P ，若A 抽中的是“鬼牌”，时，B 抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为31144P ´´，若A 抽中的是“鬼牌”，时，B 抽中的不是“鬼牌”，此轮结束后A 有3张牌，包含一张“鬼牌”， B 有2张牌，当A 再抽一次时，A 有2张牌，包含一张“鬼牌”， B 有1张牌，A 有2张牌，包含一张“鬼牌”，B 有1张牌，此时A 胜的对立事件为当A 有1张牌， B 有2张牌，包含一张“鬼牌”，此时A 胜，则若A 抽中的是“鬼牌”，时，B 抽中的不是“鬼牌”， A 胜的概率为()113144P ´-，所以()313131113144444P P P P =+´´+´-，解得335P =,故答案为：35.【点睛】关键点睛：当遇到某个事件的概率不好求的时候，可以考虑求其对立事件的概率，利用该事件发生的概率与其对立事件发生的概率和为1来求解，例如题目中，若A 有2张牌，包含一张“鬼牌”， B 有1张牌，此时A 胜的概率就可以转化为求其对立事件当A 有1张牌， B 有2张牌，包含一张“鬼牌”， 此时A 胜的概率.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知,,A B C ，是ABC V 的三个内角，若向量1cos(),cos 2A B m A B -æö=-+ç÷èør，5,cos 82A B n -æö=ç÷èør ，且98m n ×=r r.（1）求证：1tan tan 9A B ×=；（2）求222sin ab Ca b c +-的最大值.【答案】（1）证明见解析 （2）38-【解析】【分析】（1）根据两角和差的余弦公式和二倍角的余弦公式可得9sin sin cos cos A B A B =，整理即可证明；（2）根据余弦定理、诱导公式和两角和的正切公式可得222sin 9(tan tan )16ab C A B a b c =-++-，结合tan tan 0A B >>，利用基本不等式求出tan tan A B +的最小值即可.【小问1详解】证明：由98m n ×=Þr r()2591cos cos 828A B A B -éù-+×+=ëû，即51cos()9(1cos cos sin sin )828A B A B A B +--++=，故5551119cos cos sin sin cos cos sin sin 8882228A B A B A B A B -++++=，整理得9sin sin cos cos A B A B =，sin sin 1cos cos 9A B A B \=，即1tan tan 9A B =；【小问2详解】222cos ,2a b c C ab +-=Q 222sin sin 11tan tan tan tan()2cos 222(1tan tan )ab C C A BC A B a b c C A B +\===-+=-+--=1tan tan 9(tan tan )121619A B A B +-=-+-.,A B Q 为三角形的内角，1tan tan 09A B =>，即tan 0,tan 0.A B >>2tan tan 3A B \+³=，当且仅当1tan tan 3A B ==时等号成立，故222sin 9231638ab C a b c £-´=-+-222sin ab C a b c \+-的最大值为38-.16. 在如图①所示的平面图形中，四边形ACDE 为菱形，现沿AC 进行翻折，使得AB ^平面ACDE ，过点E 作//EF AB ，且12EF AB =，连接,,FD FB BD ，所得图形如图②所示，其中G 为线段BD 的中点，连接FG .（1）求证：FG ^平面ABD ;（2）若2AC AD ==，直线FG 与平面BCD ，求平面ABC 与平面BFD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接EC ，交AD 于点H ，连接GH ，由题意得EH AD ^，AB EH ^，由线面垂直的判定定理可得EH ^平面ABD ，由题意可得四边形EFGH 为平行四边形，可得//FG EH ，继而即可证明.（2）取ED 的中点为K ，连接AK ，由题意，以A 为坐标原点，以,,AB AC AK 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2(0)AB a a =>，由直线FG 与平面BCD ，计算可得1a =，再利用法向量及两平面夹角的余弦公式即可求解.【小问1详解】连接EC ，交AD 于点H ，连接GH ，Q 四边形ACDE 为菱形，EH AD \^，AB ^Q 平面ACDE ，又EHÌ平面ACDE ，AB EH \^，又AB AD A =Q I ，,AB AD Ì平面ABD ，EH \^平面ABD ，,G H Q 分别为线段,BD EC 的中点，//GH AB \，且12GH AB =，又//EF AB Q ，且12EF AB =，//EF GH \，且EF GH =，故四边形EFGH 为平行四边形，//FG EH \，FG \^平面ABD .【小问2详解】在菱形ACDE 中，AC AD =Q ，ACD V \和ADE V 都是正三角形，取ED 的中点为K ，连接AK ，AK AC \^，又AB ^Q 平面ACDE ，,AC AK Ì平面ACDE ，,AB AC AB AK \^^，即,,AB AC AK 两两互相垂直，如图，以A 为坐标原点，以,,AB AC AK 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2(0)AB a a =>，已知2AC AD ==，1 (0,2,0),(2,0,0),(,(,2C B aD F a G a\-，3(0,,2FG\=uuu r，(2,2,0),(0,BC a CD=-=-uuu r uuu r，设平面BCD的法向量为(,,)m x y z=u r，则20m BC ym CD yì×=-=ïí×=-+=ïîuuu rruuu rr，取1z=，则m=u r，设直线FG与平面BCD所成角为q，因为直线FG与平面BCD，则sin cos,FG mFG mFG mq×=====uuu r ruuu r ruuu r r=1a\=，(2,0,0),(1,B D F\-，设平面ABC的法向量为1nur，取1(0,0,1)n=ur，(1,(1,2,0)BF FD=--=-uuu r uuu r，设平面BFD111(,,)x y zuu r，则211121120n BF x yn FD x yì×=--+=ïí×=-+=ïîuu r uuu ruu r uuu r，取11y=，则2n=uu r，设平面ABC与平面BFD所成角为a，则1cos cos ,n n a ==ur uu ，故平面ABC 与平面BFD【点睛】17. 如图，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ，双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b 的左，右焦点分别为3F ，4F ，离心率为2e，已知12e e =，142F F =+．（1）求1C ，2C 的方程；（2）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为弦AB 的中点，当直线OM 与2C 交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．【答案】（1）221:13+=x C y ，222:13x C y -=；（2）．【解析】【分析】(1)由12e e =推出223a b =,从而()1,0F ,()42,0F b ,因此142F F b =+,推出1b =,a =从而得到12,C C 的方程;(2)设直线AB 的方程为1x my =-,联立22113x my x y =-ìïí+=ïî,利用韦达定理和中点坐标公式求出223,33m M m m -æöç÷++èø,从而得到直线PQ 的方程为3m y x =-,再联立22313m y x x y ì=-ïïíï-=ïî,由韦达定理和弦长公式求出PQ ,再利用点到直线的距离公式求出A 到直线PQ 的距离以及B 到直线PQ 的距离,进而得到四边形APBQ 的面积的最小值.【详解】(1)∵12e e =,=∴44489a b a -=,即223a b =,∴()1,0F ,()42,0F b ,∴1422F F b =+=+,∴1b =,a =∴1C 的方程为2213x y +=,2C 的方程为2213x y -=.(2)依题意,直线AB 的方程可设为1x my =-,设()11,A x y ,()22,B x y ,由22113x my x y =-ìïí+=ïî消去y 可得()223220m y my +--=,∴12223m y y m +=+,12223y y m -=+,∴()12122623x x m y y m -+=+-=+,∴AB 中点坐标为223,33m M m m -æöç÷++èø,∴直线PQ 的方程为3m y x =-,由22313m y x x y ì=-ïïíï-=ïî消去y 可得()2239m x -=,∴230m ->且2293x m =-,2223m y m =-,∴PQ ==设A 到直线PQ 的距离为d ,则B 到直线PQ 的距离也为d ,∴2d ∵()()1122330mx y mx y ++<,,∴当0m =时,S 取得最小值,且min S =,即四边形APBQ 面积的最小值为.【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题,考查计算能力,需要学生对相关知识熟练掌握且灵活应用,难度较大.18. 已知a ÎR ，函数()e 1x f x ax =--，()ln(1)g x x x =-+（e 是自然对数的底数）．（1）讨论函数()f x 极值点的个数；（2）若()e 10xf x ax =--³对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值；（3）在第（2）小题的条件下，若存在[)0,x ¥Î+，使得()()f x kg x <，求实数k 的取值范围．【答案】（1）当0a £时，f (x )极值点的个数为0；当a >0时，f (x )极值点的个数为1,（2）1（3）()1,+¥【解析】【分析】（1）对0a £和a >0分类讨论，即可得到答案；（2）先通过题设条件得到1a =，然后证明1a =满足条件即可；（3）分1k £和1k >进行讨论，在相应情况下利用导数工具研究原条件是否成立即可.【小问1详解】当0a £时，由f ′(x )=e x ―a >―a ≥0知f (x )单调递增，所以f (x )极值点的个数为0；当a >0时，对ln x a <有()e 0x f x a =¢-<，对ln x a >有f ′(x )=e x ―a >0，所以f (x )在(),ln a -¥上递减，在()ln ,a +¥上递增，所以f (x )恰有1个极值点ln x a =.综上，当0a £时，f (x )极值点的个数为0；当a >0时，f (x )极值点的个数为1；【小问2详解】根据已知有()1e 110af -+-=-³，所以a ≥1―e ―1>1―e 0=0，故a >0.此时由（1）中得到的单调性，可知f (x )仅在ln x a =处取得最小值.假设ln 0a ¹，则f (0)>f (ln a )≥0，但()00e 010f =--=，这导致矛盾，所以ln 0a =，即1a =.当1a =时，由（1）中得到单调性知f (x )在ln 0x a ==处取得最小值，所以()()00f x f ³=，确实满足条件.综上，a 的值为1.【小问3详解】此时()e 1xf x x =--，()()ln 1g x x x =-+，根据（2）的结论，我们有()0f x ³.设()()()()()()()e 1ln 1e 1ln 11x x h x f x kg x x k x x k x k x =-=----+=-+++-，则()()e 11x k h x k x +¢=-++.再设()()()e 11x k x h x k x f ==-+++¢，则()()2e 1x k x x f =-+¢.情况一：若1k £，则对x >0有ϕ′(x )=e x ―k (x+1)2>1―k 12=1―k ≥0，故()()h x x f ¢=在()0,+¥上递增，从而对x >0有ℎ′(x )>ℎ′(0)=1―(k +1)+k =0.的从而()h x 在()0,+¥上递增，这就意味着对0x ³都有()()()()00f x kg x h x h -=³=.从而对任意[)0,x ¥Î+，都有()()f x kg x ³，不满足条件；情况二：若1k >，令u 是两个正数1-中较小的一个，则对0x u <<有()()2e 01x kx x f =-<==+¢.故()()h x x f ¢=在()0,u 上递减，从而对0x u <<有()()()0110h x h k k <=-++¢=¢.从而()h x 在()0,u 上递减，这就意味着()()()()00f u kg u h u h -=<=，所以存在x =u >0使得()()f x kg x <，满足条件.综合以上两种情况，可知k 的取值范围是()1,+¥.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用导数工具研究相应函数的单调性.19. 对于整数除以某个正整数的问题，如果只关心余数的情况，就会产生同余的概念.关于同余的概念如下：用给定的正整数m 分别除整数,a b ，若所得的余数（小于正整数m 的自然数，即0，1，2,,1m ×××-）相等，则称,a b 对模m 同余，记作()mod a b m º.例如：因为7231=´+，10331=´+，所以()710mod3º；因为6320,0020=´+=´+，所以()60mod2º.表示对模m 同余关系的式子叫做模m 的同余式，简称同余式，同余式的记号()mod a b m º是高斯在1800年首创.两个同模的同余式也能够进行加法和减法运算，其运算规则如下：已知整数a b c d ,,,，正整数m ，若()()mod ,mod a b m c d m ºº，则()mod a c b d m +º+，()mod a c b d m -º-.阅读上述材料，解决下列问题：（1）若()2024mod12a º，且整数()100,110a Î，求a 的值；（2）已知整数a b c d ,,,，正整数m ，证明：若()()mod ,mod a b m c d m ºº，则()mod ac bd m º；（3）若11011010101010n n n n a a a a a --=´+´+×××+´+´，其中n a 为正整数，n 为非负整数，证明：a 能被11整除的充要条件为()01231n n a a a a a -+-+×××+-能被11整除.【答案】（1）104（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，得到()128100,110a x =+Î，结合Z x Î，求得8x =，即可求解；（2）由()()mod ,mod a b m c d m ºº，转化为()213123112ac m x x m x t x t t t =+++，得到12131231t t ac mx x x t x t m m =+++和12242241t t bd mx x x t x t m m=+++，的余数等于12t t 除以m 的余数，即可求解；（3）由()101mod11º-，得到()()101mod11k k º-，得到()0,1n k k k a a =´-å对模11同余，即可得证.【小问1详解】解：因为2024121688=´+，所以存在整数x 满足()128100,110a x =+Î，解得231732x <<，因为Z x Î，所以8x =，则1288104a =´+=.【小问2详解】解：若()()mod ,mod a b m c d m ºº，则存在整数123412,,,,,x x x x t t 满足11a mx t =+，21b mx t =+，32c mx t =+，42d mx t =+，且10t m £<，20t m £<，则()()()2113213123112ac mx t mx t m x x m x t x t t t =++=+++，因此12131231t t ac mx x x t x t m m=+++，即整数ac 除以m 的余数等于12t t 除以m 的余数，同理12242241t t bd mx x x t x t m m =+++，即整数bd 除以m 的余数等于12t t 除以m 的余数，因此,ac bd 对模m 同余，即()mod ac bd m º.【小问3详解】由()101mod11º-，因为()()()()01011010111C 111C 111C 111n n n n n n n n n n --=-=××-+×××+××-+××-，因为()()01011C 111C 111n n n n n --××-+×××+××-能被11整除，所以()()101mod11,0,1,2,,k k k n º-=×××）又因为()mod11k k a a º，所以()()101mod11k k k k a a ´º´-，则()()01mod11n k k k a a =º´-å，因此()0,1n kk k a a =´-å对模11同余，因此a 能被11整除的充要条件是()()0123011n k nk n k a a a a a a =´-=-+-+×××+-å能被11整除.【点睛】方法点睛：有关新定义有关的问题的求解策略，1、通过给出一个新的的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决；3、解决此类综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.。
甘肃省张掖二中2012届高三11月月考试卷(数学文)
张掖二中2011—2012学年度高三月考试卷(11月)高三数学（文科）命题人：张红生第Ⅰ卷 (选择题 满分60分)一、选择题：本大共12小题,每小题5分,在每小题的四个选项中只有一个是正确的. 1、已知U={0，1，2，3，4}，M={0，2，3}，N={1，3，4}，则（C U M ）∩（C U N ）= A ．{4}B ．{1，3}C ．ΦD ．{2，0}2、若角α的始边为x 轴的非负半轴，顶点为坐标原点，点P(8，-6)为其终边上一点，则cosα的值为 A 、45B 、－35C 、－45D 、±353、在等差数列{}n a 中，已知13116a a a ++=，那么9s = A. 2B. 8C. 18D. 364、已知向量a = (-4 ,2 ) , b =(x, 8) , 若a ⊥b ，则x= A ．4 B ．-4C ．-16D ．165、1xy>的一个充分不必要条件是 A ．x y >B ．0x y >>C ．x y <D ．0y x <<6、五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有 A ．1444C C 种 B ．1444C A 种C ．44C 种 D ．44A 种 7、一个与球心距离为2的平面截球所得的圆面面积为16π，则球的表面积为A ． 12πB ．48πC ．20πD ．80π8、口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列{}n a 满足：1,1,n n a n -⎧=⎨⎩第次摸到红球第次摸到白球，如果n S 为数列{}n a 的前n 项和，那么51S =的概率为A ．23252133C ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．23351233C ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．23351133C ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．23252233C ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭9、如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P ，射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 A ． B ．6C ．D ．10、已知12,F F 是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任一点（不是顶点），从某一焦点引12FQF ∠ 的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线11、如图，在三棱锥P —ABC 中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，M 在△ABC 内，∠MPA=60°，∠MPB=45°，则∠MPC 的度数为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°12、设函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且满足(2)()f x f x -=-对一切x R ∈恒成立，当11x -≤≤时，3()f x x =。
山东省名校考试联盟2025届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)
山东省名校考试联盟2025届高三上学期12月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A ={−2,−1,0,1,2}，B ={x|−52<x <2}，则A ∩B =( ) A. {−1,0,1}B. {−2,−1,0,1}C. {−1,0,1,2}D. {−2,−1,0,1,2}2.若a ⃗=(x,1)，b ⃗⃗=(2,x −1)，则“x =2”是“a ⃗//b ⃗⃗”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数f(x)=e x −x 在[−1,1]上的最小值为( ) A. 0 B. 1C. 1e +1D. e −14.函数y =e x −1e x +1cosx 的图象大致为( )A. B.C. D.5.已知数列{a n }满足：a 1=m ，m 为正整数，a n+1={a n2,当a n 为偶数时,3a n +1,当a n 为奇数时.若a 4=2，则m 所有可能的取值的集合为( ) A. {2}B. {16}C. {2,16}D. {2,4,16}6.已知x ∈R ，则2√2的最小值为( ) A. 1B. √ 2C. 2D. 3√ 227.已知ω>0，若函数f(x)=sin(ωx +π6)在(0,π)上有且只有两个极值点，则ω的取值范围是( ) A. (43,73]B. [43,73]C. (73,103]D. [73,103]8.祖暅，字景烁，祖冲之之子，南北朝时代的伟大科学家.祖暅在数学上有突出的贡献，他在实践的基础上，提出了祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C ：x 2−y 23=1，若直线y =0与x =2在第一象限内与双曲线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕y 轴旋转一周所得几何体的体积为( ) A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π二、多选题：本题共3小题，共18分。
山东省广饶一中2012届高三10月月考数学文
山东省广饶一中2012届高三10月文科数学试题一、选择题（每小题５分，共６０分）1. 若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ ）A ．第一象限角B ． 第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2.sin 330︒=（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．2- 3.函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ） A ．6x π=- B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π= 4.()2tan cot cos x x x +=( )Ａtan x Ｂsin x Ｃcos x Ｄcot x5. 要得到函数sin y x =的图像，只需将函数cos()3y x π=-的图像（ ） A.向右平移6π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向左平移个3π单位 D.向左平移6π个单位 6.若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形狐所对的弦长也是2，则这个扇形的面积为（ ） A.21cos 1 B. 21sin 1 C. 22cos 1 D. 22sin 1 7．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12-8.已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ ）A.()()76f f >B. ()()96f f >C. ()()97f f >D. ()()107f f >9 .定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且[0,]2x π∈时，x x f sin )(=，则5()3f π的值为（ ）A.21-B.23 C .23- D.21 10. 已知定义在R 上的函数()f x ，对任意x R ∈，都有()()()168f x f x f +=+成立，若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()2008f =（ ）A ．0B ．1008C ．8D ．200811.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意1x ,2x (12x x ≠ ). 2121()()f x f x x x -<-恒成立”的只有（ ） A.1()f x x= B.()f x x = C.()2f x x = D.2()f x x = 12．已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ）A ． (0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ． (,0)-∞二、填空题（每小题４分，共１６分）13.命题“存在x R ∈,使得2250x x ++=”的否定是14. 已知sin 1cos 8αα=，且42ππα<<，则sin cos αα-= 15.直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ 16.已知()sin ,()4f n n n Z π=∈，则(1)(2)(3)(2010)f f f f +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=三、解答题（本大题共６小题，满分７４分） 17. 设二次函数()f x 满足：（1）(2)(2)f x f x +=-，（2）被x 轴截得的弦长为2，（3）在y 轴截距为6，求此函数解析式。
山东省威海市乳山一中2015届高三上学期11月第三次月考试题 理科数学Word版含答案
高三理科数学第三次自主练习一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}2,1,0{=M ，},2|{M a a x x N ∈==，则集合M N ⋂= A ．}0{B ．}20{，C ．}2,1{D ． }1,0{2.以下说法错误的是A.命题“若2320x x -+=”,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则2320x x -+≠”B.“x=1”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C.若p ∧q 为假命题,则p,q 均为假命题D.若命题p:∃0x ∈R,20x +0x +1<0,则﹁p:∀x ∈R,21x x ++≥03.A ．y=xsinxB ．C ．y=xlnxD ．y=x x sin 3+4.已知,a b R Î，则“33log log a b >”是 ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知R A.()1,2B.[]0,2 C.[]1,2D. ∅6. 若两个非零向量a ，b 满足||2||||a b a b a=-=+，则向量a b+与b a -的夹角为 ABCD 7.，则sin θ=（A（B（C（D 8. 已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0, ⎥ϕ⎢<π2)的部分图象如图所示，则y=f(x+π6)取得最小值时x的集合为（ ）A. {x ⎢x= k π-π6, k ∈Z }B. {x ⎢x= k π-π3, k ∈Z }C. {x ⎢x=2k π-π6, k ∈Z }D. {x ⎢x=2k π-π3, k ∈Z }9.已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=，且在区间[0，2]上是增函数，则 (A) (10)(3)(40)f f f -<< (B) (40)(3)(10)f f f <<- (C) (3)(40)(10)f f f <<- (D) (10)(40)(3)f f f -<<10.定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为A.(1,2]B.（1,2）．C. （0,2）D. （0,1）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.山东省中学联盟 11.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1532,3a a a ==,则9S =_____________;12.已知函数,0,()ln ,0,x e x f x x x ⎧<=⎨>⎩则． 13.若函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是_____________．14．设0a >.与直线,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ，则a =______.15. 已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，n S 、n T 分别是它们的前n项和，_______________．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）(sin ,1),(3cos m x n A ==，函数()f x m n =⋅的最大值为6.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移错误！不能通过编辑域代码创建对象。
2024-2025学年山东省济南市山东省实验中学高三(上)第三次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年山东省实验中学高三（上）第三次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x||x|≤2,x ∈Z}，B ={x|y =ln (3x−x 2)}，则A ∩B =( )A. {x|0<x <2}B. {x|−2<x <3}C. {1}D. {1,2}2.若复数z 满足z(1−i)=1+i ，则z 3=( )A. 1B. −1C. iD. −i3.农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为13，则每粒种子发芽的概率p =( )A. 23B. 13C. 1415D. 1154.锐角α、β满足sin β=cos (α+β)sin α，若tan α=12，则cos (α+β)=( )A. 12B.22C.32D. −225.已知P(A)=35，P(AB )=15，P(A|B)=12，则P(B)=( )A. 45B. 35C. 25D. 156.把函数f(x)=sin (ωx +π4)(ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，得到的函数图象关于点(π2,0)对称，则当ω取最小值时，曲线y =f(x)与y =ln x 的交点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 47.已知函数f(x)=e x +x,g(x)=ln x +x ，若f (x 1)=g (x 2)，则x 1x 2的最小值为( )A. −eB. −1eC. −1D. −e 28.定义域为R 的函数f(x)满足f(x +2)=2f(x)−2，当x ∈(0,2]时，f(x)={x 2−x,0<x <11x,1⩽x⩽2，若x ∈(0,4]时，t 2−7t 2≤f(x)≤52−t 恒成立，则实数t 的取值范围是( )A. [1,+∞)B. [32,2]C. [2,52]D. [1,32]二、多选题：本题共3小题，共18分。
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- 1 - 1l1l3lC B A 2l3l
鱼台二中2012届高三11月月考试题数学（理） 第I卷
一、选择题。（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设 l、m、n 为不同的直线，、为不同的平面，则正确的命题是( ) A．若 ⊥，l⊥，则 l ∥ B．若 ⊥，l，则 l⊥ C．若 l⊥m，m⊥n，则 l ∥n D．若m⊥，n∥且∥，则 m⊥n
2．设函数axxxfm)(的导函数是12)(xxf，则数列})(1{nf)(*Nn的前n项和为（ ） A．21nn B．1nn C．12nn D．nn1 3．已知x，y均为正数，且x≠y，则下列四个数中最大的一个是（ ） A．12(1x+1y) B．1x+y C．1xy D．12(x2+y2)
4．已知各项均不为零的数列{}na,定义向量1,nnnaac，1,nndn，n*N. 下列命题中真命题是（ ） A．若n*N总有nndc成立，则数列{}na是等差数列 B．若n*N总有nndc成立，则数列{}na是等比数列 C．若n*N总有nndc//成立，则数列{}na是等差数列 D．若n*N总有nndc//成立，则数列{}na是等比数列 5．定义方程()()fxfx的实数根x0叫做函数()fx的“新驻点”，如果函数()gxx，
()ln(1)hxx，()cosxx（()x，）的“新驻点”分别为，，，那么，，的大小关系是( ) A． B． C． D．
6．如图123,,lll是同一平面内的三条平行直线， 1l与2l间的距离是2，2l与3l间的距离是4。 三角形ABC的三个顶点分别在1l、2l、3l 上，且三边AB，BC，AC的长之比为1：
2：3则△ABC的边长AC是( ) - 2 -
A．4 B．23 C．43 D．26 7. 已知p：关于x的不等式220xaxa的解集是R，q：01a，则p是q（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
8. 函数xxgxxf122)(log1)(与在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A B C D 9. 已知等差数列na中，10795aaa，记nnaaaS21，则13S的值（ ） A. 130 B. 260 C. 156 D. 168
10. 下列结论错误．．的是（ ） A．命题：“若20232xxx，则”的逆否命题为:“若2x，则
0232xx”. B. 命题:“存在x为实数，02xx”的否定是“任意x是实数，02xx”. C. “22bcac”是“ba”的充分不必要条件. D. 若p且q为假命题，则p、q均为假命题.
11. 如右图，在一个长为，宽为2的矩形OABC内，曲线 sin0yxx与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所 投的点落在阴影部分的概率是（ ）
A．4 B. 3 C. 2 D. 1
12. 函数f (x)的定义域为D，若对于任意12,xxDÎ，当12xx则称函数()fx在D上为非减函数 . 设函数f (x)在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件： - 3 -
①(0)0f=；② 1()()32xffx=；③(1)1()fxfx-=-，则11()()38ff+等（ ） A. 12 B. 34 C. 1 D. 23 二、填空题：本大题5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在答卷中． 13．设a、b为两非零向量，且满足baba23，则两向量a、b的夹角的余弦值 为 。 14．已知x>0,y>0，且2x+1y=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是 。 15．数列na为等比数列，若21a，且112nnnaaa,2nNn，则此数列的前 4项和4S 。
16．已知x，y满足1,24,0.xxyaxbyc且目标函数zxy的最大值为3，最小值为-1，则 abca的值为 。
17．已知函数3221()(21)13fxxxaxaa，若()0fx在（0，2]上有解，则实数a 的取值范围为 。 三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤．
18．（本小题12分）已知向量a113(,sincos)222xx与yb,1共线，且有函数 ().yfx （1）求函数()fx的周期及最大值；
（2）已知锐角ABC中的三个内角分别为A、B、C，若有3)3(Af，边 7BC，721sinB，求的ABC的面积。
19．（本小题满分12分）已知数列{}na、{}nb满足12a，11(1)nnnaaa，1nnba。 （Ⅰ）求数列{}nb的通项公式；
（II）求数列2{}nnb的前n项和nD； - 4 -
（III）若数列{}nb的前n项和为nS，设 2nnnTSS，求证：1nnTT。 20．（本小题满分14分）上海某玩具厂生产x万套世博会吉祥物海宝所需成本费用为P元,且]200,0(,101510002xxxP,而每万套售出价
格为Q元,其中，，5000(abxaQ)5b,问: （1）该玩具厂生产多少万套吉祥物时,使得每万套成本 费用最低？
（2）若产出的吉祥物能全部售出,问产量多大时,厂家 所获利润最大?
21.（本小题满分14分）如图,ABCD是边长为4的正方形，DE平面ABCD， DEAF//，4DEAF。
（1）求证：AC平面BDE；
（2）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得//AM平面BEF，并 证明你的结论。
22. （本小题满分13分） 已知向量a=(sin,cos(π))xx，b=(2cos,2cos)xx，函数()1fxab+.
A B
C D F
E - 5 -
（Ⅰ）求π()4f的值； （Ⅱ）求函数()fx在区间π0,2上的最大值和最小值，并求出相应的x值.
参考答案： 1-5 DBBCD 6-10 BCADD 11-12 BD 13．13 14．-4
18．（本小题满分12分） 解：（1）因为ab与共线，所以113(sincos)0222yxx ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分 则()2sin()3yfxx，所以()fx的周期T=2,﹍﹍﹍﹍3分
当max2,,26xkkZf ┄┄┄┄┄┄┄5分 （2）3)3,2sin()3,sin3332AA因为f(A-﹍﹍﹍﹍7分 023AA因为.21,sinsinsin7BCACBAB由正弦定理得又 sin3212,sinsin14BCBACCA且﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分
133sin22ABCSACBCC┄┄┄┄┄┄┄┄12分
19．（本小题满分12分） 解：（1）由1nnba得 1nnab 代入 11(1)nnnaaa，
得 1(1)nnnbbb，整理得 11nnnnbbbb。﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分 ∵ 0nb， 否则 1na，与 12a 矛盾。 - 6 -
从而得 1111nnbb， ∵ 1111ba ∴数列 1{}nb 是首项为1，公差为1的等差数列。﹍4分 ∴1nnb，即1nbn．--------------------------------------------------------------6分
（2）22nnnnb 2322232nD ┄┄+2nn(1) 2342122232nD┄┄+12nn(2)﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分
23222nD┄┄122nnn
12(12)212nnn
1(1)22nnDn.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
（3）∵11123nS„„n1，
∴2nnnTSS＝（31211„„111nn„„n21）— （31211„„n1）＝1112nn„„n21。﹍﹍﹍﹍﹍12分 证法1：∵ 11123nnTTnn„„221n（2111nn„„+n21） ＝11121221nnn ＝11102122(21)(22)nnnn ∴1nnTT．--------------------------------------------------------------14分
证法2：∵2122nn， ∴112122nn，
∴ 1111022221nnTTnnn。 ∴1nnTT．---------------------------------------------------------------12分
20．（本小题满分14分）
解：（1）xxxxP210151000„„„„„„„„„„„3分 255101000xx（当且仅当100x时，取等号）
生产100万套时，每万套成本费用最低„„„„„„.6分 （2）由题设，利润
1000)5(101)10151000()()(22axbxxxxbxaxf，