初中数学七年级下册第12章证明12.2证明作业
初中数学七年级下册第12章证明12.3互逆命题作业
的四个步骤：
①A B C 180 ，这与三角形内角和为180 矛盾
②因此假设不成立．B 90
③假设在 ABC 中， B… 90
④由 AB AC ，得 B C… 90 ，即 B C…180 ．这四个步骤正确的顺序应是 ( )
A．③④①②
B．③④②①
C．①②③④
D．④③①②
3．用反证法证明，“在 ABC 中， A 、 B 对边是 a 、 b ，若 A B ，则 a b ．”第一
A．两个锐角都大于 45
B．两个锐角都小于 45
C．两个锐角都不大于 45
D．两个锐角都等于 45
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出
的结论是否成立即可．
【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 45 ”时， 应先假设两个锐角都大于 45 ． 故选： A ． 【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立
【解答】解：知五个正数的和等于 1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于
1 应先假设这五个数都小于 1 ，
5
5
故答案为：这五个数都小于 1 5
【点评】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一
步应假设 ( )
A． a b
B． a b
C． a„ b
D． a… b
4．用反证法证明“ a 0 ”，应当先假设 ( )
A． a 0
B． a„ 0
C． a 0
苏科版数学七年级下册江苏省铜山区清华中学：12.2证明(1)导学案(无答案)
初中数学试卷课题：12.2 证明（1）主备：张金凤初审: 王莉终审: 初一数学备课组自学篇——【自学内容】数学课本第147—149内容【学习目标】1．经历探索一些问题时，由于“直观判断不可靠”、“直观无法做出确定判断”，但运用已有的数学知识和方法可以确定一个数学结论的正确性的过程，初步感受证明的必要性；2．尝试用证明的方法解决问题，体验证明必须步步有据，培养严密分析问题的能力．【学习重点】感受“证明”的必要性，体会“证明”是确认一个数学结论正确性的有力工具.【学习难点】感受“证明”的必要性，体会“证明”是确认一个数学结论正确性的有力工具.【自学导引】一、个人自主预习思考下列问题：1．（课本147页如图12-2（1）），把长方形草坪中间的一条1m 宽的直道改造成如图12-2（2）处1m 宽的“曲径”．问题1：两条小道占用草坪的面积相同吗？说说你的理由．问题2：你认为应该如何计算小道占草坪的面积？操作1：用一张透明纸覆盖在图12-2（2）上，描出小道左边草坪的边框．操作2：把透明纸向右平移，使左、右两边的草坪拼合．你发现了什么？2.问题1：当x=－5、12-、0、2、3时，计算代数式2x 2x 2+-的值与同学交流． 问题2：换几个数再试试，你发现了什么？问题3：你认为以下结论正确吗？你能说明理由吗？（1）无论x 取什么数，代数式的值总是偶数；（2）无论x 取什么数，代数式的值总是正数；（3）无论x 取什么数，代数式的值不是负数；（4）无论x 取什么数，代数式的值大于1．【展示交流】画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC，（1）将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB 的两边分别相交于点E、F，并比较PE、PF 的长度．（2）把三角尺绕点P旋转，比较PE、PF的长度，你能得到什么结论？你的结论一定成立吗？与同学交流．二、拓展练习1、（1）计算下列各式：1×3﹢1=＿＿；2×4﹢1=＿＿；3×5﹢1=＿＿；4×6﹢1=＿＿；5×7﹢1=＿＿；…(2)从第（1）小题的计算中，你发现了什么？能说明你的结论是正确的吗？2、（1）填写下表：。
苏科版数学七年级下册12.2《证明》教学设计2
苏科版数学七年级下册12.2《证明》教学设计2一. 教材分析《苏科版数学七年级下册12.2》这一节内容是学生在学习了初中数学的一些基本概念和性质后，对证明的基本方法和思路进行深入学习的开始。
教材通过具体的例子和问题，引导学生理解和掌握证明的概念、方法和步骤，培养学生的逻辑思维能力和证明能力。
本节内容为学生以后学习更复杂的数学证明打下坚实的基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了一些基本的数学概念和性质，具备一定的逻辑思维能力。
但是，对于证明这一较为抽象的数学概念，学生可能还存在一定的困难和模糊的理解。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，用生动的例子和具体的问题，帮助学生理解和掌握证明的基本方法和思路。
三. 教学目标1.让学生理解证明的概念，知道证明的方法和步骤。
2.培养学生运用逻辑推理进行证明的能力。
3.培养学生分析问题、解决问题的能力。
四. 教学重难点1.证明的概念和意义。
2.证明的方法和步骤。
3.运用逻辑推理进行证明的能力。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，让学生在解决问题的过程中，理解和掌握证明的方法和步骤。
2.使用具体的例子和问题，帮助学生理解和掌握证明的概念。
3.采用分组讨论和合作交流的方式，培养学生的团队协作能力和逻辑思维能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备一些具体的例子和问题，用于讲解和练习证明的方法和步骤。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的例子，引出证明的概念，激发学生的学习兴趣。
例如，我们可以从一个简单的问题开始，如：“如何证明一个三角形是等腰三角形？”让学生思考和讨论，从而引出证明的概念。
2.呈现（15分钟）呈现证明的基本方法和步骤，让学生了解和掌握证明的结构。
可以通过讲解和示范，让学生了解证明的三个部分：前提、结论和推理过程。
同时，给出一些证明的例子，让学生观察和分析，理解证明的方法和步骤。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论和合作，运用所学的证明方法和步骤，解决一些具体的问题。
七年级数学下册第12章证明12.1证明
知识 梳 (zhī shi) 理
2021/12/12
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知识 梳 (zhī shi) 理
中考(zhōnɡ kǎo)在线
考点：简单的证明、推理 .
【例】（2015台州）某班有20位同学参加围棋(wéiqí)、象棋比赛，甲说：
“只参加一项的人数大于14人.”乙说：“两项都参加的人数小于5人.”对
【参考答案】1.解：∵∠3=∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），由于 没有其它条件(tiáojiàn)不能识别AD∥BC
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课堂练习
7．根据提示，同桌合作，完成括号内的依据. 如图12.2-25，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分 ∠ADC，则BE与DF有何位置关系(guān xì)？试说明理由．
图12.2-12
【参考答案】周长(zhōu chánɡ)相 等。
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课堂练习
5. 两个连续奇数的平方差能被8整除吗？请说明(shuōmíng)你的理由．
【参考答案】两个连续奇数的平方差能被8整除(zhěngchú)．理由：设这两个连续奇 数分别为：（2n+1）与（2n-1），∵（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1+2n-1）（2n+12n+1）=4n×2=8n．
1.经历探索些问题时，由于“直观判断(pànduàn)不可靠”、“直观无 法做出确定判断(pànduàn)”，但运用已有的数学知识和方法可以确定 个数学结论的正确性的过程，举反例说明结论的错误性，初步感受 说理的必要性.。
2.尝试(chángshì)用说理的方法解决问题，在交流中发展有条理思考和有 条理表达的能力。
初中数学七年级下册第12章证明12.3互逆命题
12.3互逆命题12.3互逆命题(1)教学目标1.引导学生通过具体实例，了解原命题及其逆命题的概念；2.会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立；3.通过具体的例子了解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的教学重点会识别两个互逆命题，并能利用反例证明一个命题是错误的.教学难点准确表述一个命题的逆命题，学会利用反例进行有条理的表述.教学过程(教师) 学生活动二次备课问题情境出示：两直线平行，同位角相等.同位角相等，两直线平行.提问：1.这两个命题的条件和结论分别是什么?是真命题还是假命题?2.从结构上看，这两个命题有什么联系和区别?揭示课题.积极思考，回答问题12.3互逆命题(2)教学目标1.体会认识图形“位置关系”和“数量关系”的内在联系；2.经历构造一个命题的逆命题，并证明这个逆命题是真命题，获得新的数学结论的过程，学习逆向思考研究问题教学重点体会认识图形“位置关系”和“数量关系”的内在联系.教学难点有条理的说理.教学过程(教师) 学生活动二次备课情景导入复习提问：在你已经学习过的命题中，举出两个命题，它们不仅是逆命题，而且都是真命题积极思考，回答问题引导学生既举数学中的例子，也举生活中的例子.探索活动如图：(1)如果AD//EF,那么可以得到什么结论?(2)如果∠EFC+∠C= 180°,那么可以得到什么结论呢?(3)证明AD//EF,需要什么条件?证明EF//BC呢?(4)证明AD//EF//BC需要什么条件?学生回顾“三线八角”的相关知识，积极思考，回答问题.问题(1)、(2)是“由已知想可知”的思考；问题(3)、(4)是“由未知想需知”的思考.引导学生逐步认识：图形特殊的“位置关系”往往决定了图形具有特殊的“数量关系”;反过来，图形特殊的“数量关系”常常决定了图形具有特殊的“位置关系”.体会认识图形需要关注形与数之间的内在联系，并为例1作铺垫.例题教学例1 证明：平行于同一条直线的两条直线平行.A DE FB C1.按照证明与图形有关的命题的一般步骤画图，写已知、求证.2.观察、思考、证明.3.学生板演.巩固与图形有关的命题证明的一般步骤.结合上一个问题的分析思考，学生意识到要得到直线平行这个“位置关系”,就需要有三线八角的“数量关系”作为条件.主动添加辅助线，构造新图形，进行证明.通过板演，进一步学会规范书写和有条理的说理 .。
初中数学七年级下册苏科版12.2证明优秀教学案例
5.全面的教学目标：本节课的教学目标涵盖了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个部分。不仅要求学生掌握证明的概念和方法，还注重培养学生的自主学习能力和合作交流能力，以及积极情感态度和正确的价值观。这种全面的教学目标有助于学生全面发展，提高他们的数学素养和综合素质。
三、教学策略
（一）情景创设
为了激发学生的学习兴趣和好奇心，我会通过创设情境来引入本节课的内容。例如，我可以提出一个实际问题，如“证明一个三角形的两边之和大于第三边”，让学生思考和探索证明的方法。通过这样的情境创设，学生能够更好地理解和感受到证明的重要性，激发学习的动力。
（二）问题导向
在本节课的教学过程中，我会以问题为导向，引导学生进行思考和探索。例如，我可以提出一些问题，如“证明的目的是什么？证明的过程包括哪些步骤？如何选择合适的证明方法？”等，让学生通过思考和回答这些问题，逐渐理解和掌握证明的概念和方法。通过问题导向，学生能够更加深入地思考和理解证明的相关知识，提高学习的有效性。
2.问题导向的教学策略：本节课以问题为导向，引导学生进行思考和探索。通过提出一系列问题，如“证明的目的是什么？证明的过程包括哪些步骤？如何选择合适的证明方法？”等，让学生逐步深入地理解和掌握证明的概念和方法。这种问题导向的教学策略有助于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.合作交流的学习方式：本节课组织学生进行小组合作，共同进行证明的练习和讨论。通过小组合作，学生能够相互交流和分享证明的方法和经验，互相学习和借鉴。这种合作交流的学习方式不仅能够提高学生的学习效果，还能够培养学生的团队合作能力和沟通表达能力。
苏科初中数学七年级下册《12.2定义与命题》教案 (1).doc
12. 1 定义与命题
一、设计思路
说理无疑是重要的，也是十分必要的．合情推理和演绎推理都是获得数学结论的重要途径，演绎推理关注的是发展合乎逻辑的思考. 推理与证明的意识，步步有据有理的表达，这都离不开定义、命题，真、假命题等概念清晰的认可，为证明做必要的准备. 通过球赛、天气预报两个情境的展示，体会一些常用术语的描述，让学生感受理解有关名称和术语的重要性，引起学生对概念的关注. 回顾学过的多个结论性的句子，其中包括正确的和不正确的，通过讨论、交流、分析，引导学生感受命题及命题的组成，进而能独立判断一个句子是不是命题，并能说出命题中的条件和结论，由观察、操作、实验、猜想得到的结论并不是全都正确，判断一个命题是假命题，只要举出一个反例就可以说明了，而要确认一个命题是真命题就必须要用演绎推理的方法去说明理由，从而为后续学习“证明”打好基础．
二、目标设计
1．了解定义、命题、真命题的含义，会区分命题的条件和结论．
2．在交流中发展有条理思考和有条理表达的能力．
3．感受交流的重要性，积极参与团队协作
三、活动设计
录像片断
“好，漂亮很快要进球了，可惜越位了”
最低局部地区有雷
怎样的两个数是“互为相反数”？
什么不同？
说明：这些句子，一类是对某一件事情做出了判断；另一类是
角相等，那么这两个角是对顶角．
角相等，那么这个三角形是
生，
和结论不明显的命题可以先画与命题相关的图形或将
五、拓展练习
师
老师出了题目：比较。
新苏科版数学导学案七年级第12章证明
课堂笔记栏课堂笔记栏⑴猜想：a与b、c与d的大小关系？m与n平行吗？图④中，中间两个圆哪个大？⑵你的猜想对吗？如何检测你的猜想？谈谈你的感受．⑴猜想：这两条小道哪个长？这两条小路的面积相等吗？⑵你有什么理由或证据让别人信服你的猜想？1、如图①是一张88⨯的正方形纸片，把它剪成4块：⑴能拼成一个如图②的长方形吗？⑵分别计算出这两个图形的面积，你有何发现？2、如图所示网格中的△ABC 、△DEF 、△GHI ：⑴你感觉它们哪一个面积最大？⑵实际计算一下，验证你的感觉是否正确．3、下面的判断是否正确？为什么？⑴无论x 取什么数，代数式342-+-x x 的值总是负数；⑵无论x 取什么数，代数式342-+-x x 的值不可能为2．4、⑴填表：⑵观察上表，小明发现“1>a 或2-<a 时，代数式()()12-+a a 的值是正数”．你认为小明的结论正确吗？为什么？a4-3-2-1-01234()()12-+a a课堂笔记栏1、如图，点A、B、E在一条直线上．⑴∵∠1＝∠3（已知）∴AB∥DC（）；⑵∵∠DAE＝∠CBE（已知）∴AD∥BC（）；⑶∵∠CDA＋∠DAB＝180°（已知）∴AB∥DC（）；⑷∵∠2＝∠4（已知）∴∥（内错角相等，两直线平行）；⑸∵∠DCB＋∠ABC＝180°（已知）∴∥（同旁内角互补，两直线平行）；⑹∵∠DAB＋∠ABC＝180°（已知）∴∥（同旁内角互补，两直线平行）．2、已知：如图，∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3．求证：AD∥BC．证明：∵∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3（），∴∠BAD―＝∠DCB―（等式性质），即∠＝∠，∴AD∥BC（）．3、已知：如图，D、B、C三点在同一条直线上，∠A＝60°，∠1＝2∠2．求证：AB∥CD．4、已知：如图，∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D，且AD∥BC．求证：∠C＝2∠D．课堂笔记栏1、填写下列空格：已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．证明：∵CE平分∠ACD（），∴∠＝∠（），∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠（），∴AB∥CD（）．2、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF∥AD，EF交AB于点G．求证：∠AGF＝∠F．3、已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交AB、AC和CB的延长线于点D、E、F．求证：∠F＋∠FEC＝2∠A．4、证明：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直．课堂笔记栏班级：学号：姓名：金果学堂12.3互逆命题（第二课时）※学习目标：1、体会认识图形“位置关系”和“数量关系”的内在联系，学习逆向思考研究问题；2、经历构造一个命题的逆命题，并证明这个逆命题是真命题，获得新的数学结论的过程．※自主学习：阅读课本P159、160页探索如图：⑴如果AD ∥EF ，那么可以得到什么结论？⑵如果∠EFC ＋∠C ＝180°，那么可以得到什么结论呢？⑶证明AD ∥EF ，需要什么条件？证明EF ∥BC 呢？⑷证明AD ∥EF ∥BC ，需要什么条件？证明证明下列命题：⑴证明：平行于同一条直线的两条直线平行．⑵证明：直角三角形的两个锐角互余．⑶证明：有两个角互余的三角形是直角三角形．练习1、如图，AB ∥CD ，AB 、DE 相交于点G ，∠B ＝∠D ．在下列括号内填写推理的依据：⑴∵AB ∥CD （已知），∴∠EGA ＝∠D （），又∵∠B ＝∠D （已知），∴∠EGA ＝∠B （），∴DE ∥BF （）．⑵上述推理中，应用了哪两个互逆的真命题？2、已知：如图，在直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 上一点，且∠ACD ＝∠B ．求证：CD ⊥AB ．3、已知：如图，在△ABC 中，点E 在AC 上，点F 在BC 上，点D 、G 在AB 上，FG ∥CD ，∠1＝∠2．求证：∠AED ＝∠ACB ．课堂笔记栏※巩固练习：1、如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，填写下列空格：⑴∵EC ∥FD （已知），∴∠F ＝∠（），∵∠F ＝∠E （已知），∴∠＝∠E （），∴∥（）．⑵上述推理中，应用了哪两个互逆的真命题？2、已知：如图，直线AB 、CD 、EF 被直线BF 所截，∠B ＋∠1＝180°，∠2＝∠3．求证：∠B ＋∠F ＝180°．3、已知：如图，BD 、CE 是△ABC 的高．BD 、CE 相交于点O ．求证：∠A ＋∠BOC ＝180°．4、已知：如图，AB ⊥BC ，AB 、CD 相交于点E ，∠A ＝∠C ．求证：CD ⊥AD ．作业订正栏班级：学号：姓名：金果学堂第12章证明（复习）※学习目标：1、体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程；2、知道证明要合乎逻辑，初步会综合法证明的格式．※自主学习：阅读课本P162、163页1、下列语句中，不属于命题的是………………………………………………………（）A ．延长线段AB 到点C B ．有两条边相等的三角形是等腰三角形C ．自然数都是整数D ．平行于同一条直线的两条直线平行2、若三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是………………………………（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定3、如图，AB ∥CD ，DA ⊥AC ，垂足为A ．若∠ADC ＝35°，则∠1的度数为……（）A ．65°B ．55°C ．45°D ．35°4、在锐角三角形中，最大角α的取值范围是…………………………………………（）A ．︒<<︒900αB ．︒<≤︒9060αC ．︒<<︒18060αD ．︒<<︒9060α5、下列命题中，属于真命题的是………………………………………………………（）A ．锐角小于它的余角B ．锐角小于它的补角C ．锐角与锐角的和是钝角D ．锐角与钝角的和等于平角6、如图，将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺所对的直角边和含45°角的三角尺的一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为…………（）A ．75°B ．65°C ．45°D ．30°7、下列条件：①∠A ＋∠B ＝∠C ；②∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3；③∠A ＝90°―∠B ；④∠A ＝∠B ＝21∠C ．其中，能确定△ABC 是直角三角形的有……………………………………………（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、如图，直线a ∥b ，直线l 与a 、b 分别相交于A 、B 两点，过点A 作直线l 的垂线交直线b 于点C ．若∠1＝58°，则∠2的度数为．9、如图，AB ∥CD ，FE ⊥DB ，垂足为E ，∠1＝50°，则∠2＝．10、如图，直线a ∥b ，△ABC 的顶点B 在直线b 上，∠C ＝90°，∠1＝36°，则∠2的度数为．11、如图，把一块直角三角尺的含60°角的顶点放在直尺的一边上．若∠1＝2∠2，则∠1＝．12、如图，直线1l ∥2l ，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝．课堂笔记栏13、写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题的真假．若是假命题，请举反例说明．⑴如果b a =，那么b a 33=；⑵互为相反数的两个数的积为负数；⑶钝角小于180°；⑷等底等高的两个三角形面积相等．14、已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，点E 在BC 上，点G 在CA 的延长线上，EG 交AB 于点F ，且∠AFG ＝∠G ．求证：GE ∥AD．15、已知：如图，点B 、E 分别在AC 、DF 上，AF 分别交BD 、CE 于点M 、N ，∠1＝∠2，∠A ＝∠F ．求证：∠C ＝∠D．16、已知：如图，∠ABC ＋∠C ＋∠CDE ＝360°，GH 分别交AB 、ED 相交于点G 、H ．求证：∠1＝∠2．作业订正栏。
苏科版数学七年级下册第12章《证明》(竞赛专题).docx
初中数学试卷 马鸣风萧萧第12章《证明》（竞赛专题）【例1】正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中全体正三角形的个数是( ).A. 24B.36C.38D.76【解析】分类计算:设正六边形的边长为2，那么边长为1的正三角形有24个，边长为2的正三角形有12个，边长为3的正三角形有2个，共计38个.【答案】 C.【例2】如图，在ABC V 中，AD 为BAC ∠的平分线，BP AD ⊥，垂足为P .已知5AB =，2BP =，9AC =.试说明3ABC ACB ∠=∠.【解析】作辅助线，利用角的关系解决.【答案】如图，延长BP 交AC 于点E ，因为AD 平分BAC ∠, BP AD ⊥，所以AD 为ABE V 的对称轴.故24BE BP ==，5AE AB ==.所以954CE AC AE =-=-=，故BE EC =.所以EBC ACB ∠=∠， ABC ABE EBC ABE ACB ∠=∠+∠=∠+∠()3ACB EBC ACB ACB =∠+∠+∠=∠.1. 在ABC V 中，已知60CAB ∠=︒，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且60AED ∠=︒，ED DB CE +=，2CDB CDE ∠=∠，则DCB ∠等于( ).A. 15︒B. 20︒C. 25︒D. 30︒2. 有下列四个判断:(1)有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等;(2)有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等;(3)三角形6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等;(4)一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等.上述判断是否正确?若正确，说明理由;若不正确，请举出反例.3. (1)如图(1)，在四边形ABCD 中，BC CD ⊥，ACD ADC ∠=∠.求证:22AB AC BC CD +>+; (2)如图(2)，在ABC V 中，边AB 上的高为CD ，试判断2()AC BC +与224AB CD +之间的大小关系，并证明你的结论.参考答案1. B2.判断(1)(2)(3)(4)都不正确.判断(1)的反例:如图(1)，在ABC V 、'AB C V 中，AC AC =，'BC B C =高AH AH =，但两个三角形不全等判断(2)的反例:如图(2)，在ABC V 、'AB C V 中，AB AB =，'AC AC =，高A H A H =，但两个三角形不全等.判断(3)的反例:设ABC V 的三边长分别为16AB =，24AC =，36BC =；'''A B C V 的三边长分别为''24A B =，''36A C =，''54B C =.由于ABC V 与'''A B C V 的对应边成比例，故'''A B C A B CV :V ，从而它们有5个边角元素分别相等: 'A A ∠=∠，'B B ∠=∠，'C C ∠=∠，''AC A C =，''BC A C =，但它们不全等.判断(4)的反例:如图(3)，在ABC V 中，AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的高，作BAF BAC ∠=∠，BF AF ⊥于点F ，延长BC 、FA 交于点'C ，则高BF BE =，AD AD =，又A B A B =，但ABC V 与'ABC V 不全等.综上所述.题中四个判断都不正确.3. (1)连接BD 即可证明.(2)大小关系是222()4AC BC AB CD +≥+提示:如图，作EB AB ⊥，2EB CD =，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ，易知12BF CD BE EF ===，则CB CE =.应用(1)的结论，易证.。
【初中数学】专题：全等三角形判定的思路和方法
D
C
F E
A
B
重叠部分EF
练习 如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2. 求证：BC=DE.
思路：△ABC≌△ADE AB=AD AC=AE 还需一对夹角 ∠BAC =∠DAE ∵∠1=∠2
∴ ∠1+∠DAC=∠2+∠DAC B
即∠BAC=∠DEC
A
2
两角一边相等1 ASA √
两角一边相等2 AAS √
全等三角形的判定
6种情况中：4种可以判定两个三角形全等，2种不能.
可以判定
SSS 三边相等 SAS
“二夹一” ASA（AAS）
不可以判定： AAA 和 SSA
记这个更容易
直角三角形全等的判定
可以判定
SSS SAS ASA（AAS） HL
不可以判定： AAA
B
E
O
C
C
D
例2 已知：如图，AB=AD，BC=CD．
求证：（1）△ABC≌△ADC；
（2）∠B=∠D.
证明：在△ABC和△DEF中， AB=AD
BC=CD
AC=AC ∴ △ABC≌△ADC (SSS)
∴ ∠B=∠D
A
B
D
C 公共边AC
例3 已知：如图，AB=AC，AE=AD.
求证：△ABE≌△ACD. 证明：在△ABE和△ACD中，
练习 已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.
求证：AD∥BC．
证明：在Rt△ABD和Rt△CDB中， AD=CB BD=DB
∴ △ABD≌△CDB (HL). ∴ AB=CD ∴∠ADB=∠CBD ∴AD∥BC
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12.2 证明 一．选择题（共9小题） 1．甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0 2．某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是( ) A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁 3．（思维拓展）如图所示，①代表0，②代表9，③代表6，则④代表( )
A．1 B．3 C．5 D．7 4．一排有10个座位，其中某些座位已有人，若再来1人，他无论坐在何处，都与1人相邻，则原来最少就座的人有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6 6．某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是( ) A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丁 D．丙、丁 7．小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1 人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道( ) A．15 B．20 C．25 D．30 8．甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了( ) A．1场 B．2场 C．3场 D．4场 9．某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是( ) A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对 C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对 二．填空题（共3小题） 10．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有 天． 11．字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两
两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 ．
12．A、B、C、D、E、F六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B队比赛的球队是 ． 三．解答题（共5小题） 13．A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由． [注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]． 14．大冠买了一包宣纸练习书法，每星期一写1张，每星期二写2张，每星期三写3张，每星期四写4张，每星期五写5张，每星期六写6张，每星期日写7张．若大冠从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数已超过120张，则5月30日可能为星期几？请求出所有可能的答案并完整说明理由． 15．某足球协会举办了一次足球联赛，其积分规则为：胜3，平1，负0，当全部比赛结束（每队平均比赛12场）时，A队共积19分，请通过计算，判断A队胜、平、负各几场． 16．在学习中，小明发现：当1n，2，3时，26nn的值都是负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，26nn的值都是负数．小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由． 17．阅读以下材料， 并解答以下问题 ． “完成一件事有两类不同的方案， 在第一类方案中有m种不同的方法， 在第二类方案中有n种不同的方法 ． 那么完成这件事共有Nmn种不同的方法， 这是分类加法计数原理；完成一件事需要两个步骤， 做第一步有m种不同的方法， 做第二步有n种不同的方法 ． 那么完成这件事共有Nmn种不同的方法， 这就是分步乘法计数原理 ． ”如完成沿图 1 所示的街道从A点出发向B点行进这件事 （规 定必须向北走， 或向东走） ，会有多种不同的走法， 其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在图 2 填出 ． （1） 根据以上原理和图 2 的提示， 算出从A出发到达其余交叉点的走法数， 将数字填入图 2 的空圆中， 并回答从A点出发到B点的走法共有多少种？ （2） 运用适当的原理和方法算出从A点出发到达B点， 并禁止通过交叉点C的走法有多少种？ （3） 现由于交叉点C道路施工， 禁止通行 ． 求如任选一种走法， 从A点出发能顺利开车到达B点 （无 返回） 概率是多少？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 1．甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；由此进行分析即可． 【解答】解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同， 所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场； 若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾， 所以甲只能是胜两场， 即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场． 答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场． 故选：D． 【点评】此题是推理论证题目，解答此题的关键是先根据题意，通过分析，进而得出两种可能性，继而分析即可． 2．某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是( ) A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁 【分析】直接利用已知得出甲得分为7分，2胜1平，乙得分5分，1胜2平，丙得分3分，1胜0平，丁得分1分，0胜1平，进而得出答案． 【解答】解：Q甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数， 甲得分为7分，2胜1平，乙得分5分，1胜2平，丙得分3分，1胜0平，丁得分1分，
0胜1平， Q甲、乙都没有输球，甲一定与乙平， Q丙得分3分，1胜0平，乙得分5分，1胜2平， 与乙打平的球队是甲与丁．
故选：B． 【点评】此题主要考查了推理与论证，正确分析得出每队胜负场次是解题关键． 3．（思维拓展）如图所示，①代表0，②代表9，③代表6，则④代表( )
A．1 B．3 C．5 D．7 【分析】根据图形得出图①可以代表0点，图②可以代表9点，图③可以代表6点，进而得出答案． 【解答】解：Q如图所示，①代表0，②代表9，③代表6，
， 图①可以代表0点，图②可以代表9点，图③可以代表6点，
则④代表3点．
故选：B． 【点评】此题主要考查了推理与论证，利用已知图形得出各点所代表的数结合钟表数字得出是解题关键． 4．一排有10个座位，其中某些座位已有人，若再来1人，他无论坐在何处，都与1人相邻，则原来最少就座的人有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】先根据所给的条件再来1人，他无论坐在何处，分别进行判断，即可求出答案． 【解答】解：Q一排有10个座位，若再来1人，他无论坐在何处，都与1人相邻， 第一个座位可以没人坐，第二个必须有人坐，第三个、第四个可以无人坐，
第五个座位必须有人坐，第六个、第七个可以无人坐， 第八个座位必须有人坐，第九个可以无人坐， 第十个座位必须有人坐， 原来最少就座的人有4人，
或：第一、四、七、十个座位必须有人坐， 剩下的可以无人坐，共有4人． 故选：B． 【点评】此题考查了推理与论证；解题的关键是读懂题意，能够根据叙述进行分析求出答案． 5．一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据题意结合正方形的性质得出只有表示出矩形的各边长才可以求出面积，进而得出符合题意的答案． 【解答】解：如图所示：设①的周长为：4x，③的周长为2y，④的周长为2b，即可得出①的边长以及③和④的邻边和， 设②的周长为：4a，则②的边长为a，可得③和④中都有一条边为a， 则③和④的另一条边长分别为：ya，ba， 故大矩形的边长分别为：baxabx，yaxayx， 故大矩形的面积为：()()bxyx，其中b，x，y都为已知数， 故n的最小值是3． 故选：A．
【点评】此题主要考查了推理与论证，正确结合正方形面积表示出矩形各边长是解题关键． 6．某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是( ) A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丁 D．丙、丁 【分析】根据导游说的分两种情况进行分析：①假设要去甲；②假设去丙；然后分析可得答案． 【解答】解：导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个，；③丙、丁要么都去，