第03讲 规律探究性问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(原卷版)
第10讲 折叠翻转性问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(原卷版)
12019年中考数学总复习巅峰冲刺专题10折叠翻转性问题【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；有关图形折叠的相关计算，首先要熟知折叠是一种轴对称变换，即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；然后根据图形折叠的性质，即折叠前、后图形的对应边和对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平分进行相关计算,折叠问题常常伴随着勾股定理，这是解决问题的关键所在．图形的折叠通常和动点问题结合在一起进行考查，常见的问题类型有以下3种：（1）求线段的取值范围；（2）求最值问题；（3）分类讨论线段长度. 其中第（3）种类型在河南中招考试中为常考类型，解决此类型题，一般运用等量代换，并结合勾股定理或相似三角形的性质来构造方程，进而求解线段的长度.【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】如图，把一张长方形纸片ABCD 进行折叠之后，恰好使其对角顶点A 与C 能够重合，且使的折痕与BC 的交点恰好在其三等分点处，则下列图形长度能够满足题意的是（ ）A ．AB=10，BC=20B ． AB=10，BC=30C ． 3，BC=20D ． 3，BC=30【原创2】如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB=1：3，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF=___．2 【原创3】如图1，矩形OABC 的对角线OB 、AC 相交于点D,，OC ＝6，sin ∠BOC=45.反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图像经过点D ，（1）求反比例函数的关系式；（2）如图2，将ΔA OC 沿过C 点的直线折叠，使点A 落在x 轴上的点E 处，折痕所在直线交y 轴正半轴于点F ，求直线CF 的解析式.（3）如图3，将图2中的直线CF 向上平移m 个单位，与反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图像相交，当直线与反比例函数的图像只有一个交点时，求m 的值.3 【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【例题1】求线段的取值范围:如图，有一矩形纸片ABCD ，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A 落在BC 边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB 、AD （包括端点），设BA′=x ，则x 的取值范围是 ．【例题2】求最值问题:如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点(不与点A ，D 重合)，将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于点H ，折痕为EF ，连结BP ，BH.(1)求证：∠APB ＝∠BPH.(2)当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论．(3)设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 关于x 的函数表达式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．4【例题3】分类讨论线段长度.对一张矩形纸片ABCD 进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD 与BC 重合，得到折痕MN ，展开．第二步：再一次折叠，使点A 落在MN 上的点A′处，并使折痕经过点B ，得到折痕BE ，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图①.第三步：再沿EA′所在的直线折叠，使点B 落在AD 上的点B′处，得到折痕EF ，同时得到线段B′F ，展开，如图②.(1)求证：∠ABE ＝30°.(2)求证：四边形BFB′E 为菱形．5 【例题4】涉及折叠的函数与几何图形综合问题：已知抛物线y ＝x 2－2x ＋a(a<0)与y 轴相交于点A ，顶点为M.直线y ＝12x －a 分别与x 轴，y 轴相交于B ，C 两点，并且与直线AM 相交于点N.(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则点M ()1，a －1，N ⎝⎛⎭⎫43a ，－13a . (2)如图，将△NAC 沿y 轴翻折，若点N 的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积．(3)在抛物线y ＝x 2－2x ＋a(a<0)上是否存在一点P ，使得以P ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由．6【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。
第06讲 分类讨论性问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(原卷版)
【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；1．分类讨论是重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，很多数学问题很难从整体上去解决，若将其划分为所包含的各个局部问题，就可以逐个予以解决．分类讨论在解题策略上就是分而治之各个击破．2．一般分类讨论的几种情况：(1)由分类定义的概念必须引起的讨论；(2)计算化简法则或定理、原理的限制，必须引起的讨论；(3)相对位置不确定，必须分类讨论；(4)含有多种不定因素，且直接影响完整结论的取得，必须分类讨论．3．分类讨论要根据引发讨论的原因，确定讨论的对象及分类的方法，分类时要做到不遗漏、不重复，善于观察，善于根据事物的特性与规律，把握分类标准，正确分类．应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一、不重复、不遗漏，并力求最简．运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．分类讨论应当遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清层次应逐级进行，不越级讨论，其中最重要的一条是“不漏不重”．分类讨论的基本方法是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复)；再对各个分类逐步进行讨论，分层进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】阅读下列解方程的过程，并完成（1）、（2）小题的解答．解方程：|x﹣2|=3解：当x﹣2＜0，即x＜2时，原方程可化为：﹣（x﹣2）=3，解得x=﹣1；当x﹣2≥0，即x≥2时，原方程可化为：x﹣2=3，解得x=5；综上所述，方程|x﹣2|=3的解为x=﹣1或x=5．（1）解方程：|2x+1|=5．（2）解方程：|2x+3|﹣|x﹣1|=1．【原创2】已知点P为线段CB上方一点，CA⊥CB，PA⊥PB，且PA＝PB，PM⊥BC于M，若CA＝1，PM＝4.求CB的长是．【原创3】如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）A． B． C． D．【原创4】如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b的图像和正比例函数y=3x相交于点A（1,m），且与y轴的交点为C为（0,5），在一次函数y=kx+b图像上存在点B，点B到x轴的的距离为6. （1）求A点的坐标和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积.【原创5】如图所示，平面直角坐标中一边长为4的等边△AOB，抛物线L经过点A、O、B三点。
第10讲 折叠翻转性问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(解析版)
2019年中考数学总复习巅峰冲刺专题10折叠翻转性问题【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；有关图形折叠的相关计算，首先要熟知折叠是一种轴对称变换，即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；然后根据图形折叠的性质，即折叠前、后图形的对应边和对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平分进行相关计算,折叠问题常常伴随着勾股定理，这是解决问题的关键所在．图形的折叠通常和动点问题结合在一起进行考查，常见的问题类型有以下3种：（1）求线段的取值范围；（2）求最值问题；（3）分类讨论线段长度. 其中第（3）种类型在河南中招考试中为常考类型，解决此类型题，一般运用等量代换，并结合勾股定理或相似三角形的性质来构造方程，进而求解线段的长度. 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】如图，把一张长方形纸片ABCD进行折叠之后，恰好使其对角顶点A与C能够重合，且使的折痕与BC的交点恰好在其三等分点处，则下列图形长度能够满足题意的是（）A．AB=10，BC=20 B．AB=10，BC=30C．，BC=20 D．BC=30【解析】：根据折叠图形的性质，利用勾股定理求出AF=2BF，，由此即可判定D正确．解：选项D正确．理由是根据题意可知AF=2BF，利用勾股定理或者30°的直角三角形判断计算AB=，根据线段之间的关系可选得答案。
故选D．【原创2】如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF=___．【解析】设AD=k，则DB=3k，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=4k，∠A=∠B=∠C=∠EDF=60°，∴∠EDA+∠FDB=120°，又∵∠EDA+∠AED=120°，∴∠FDB=∠AED，∴△AED∽△BDF，由折叠，得CE=DE，CF=DF∴△AED的周长为5k，△BDF的周长为7k，∴△AED与△BDF的相似比为5：7∴CE：CF=DE：DF=5：7．故答案为5：7．【原创3】如图1，矩形OA BC的对角线OB、AC相交于点D,，OC＝6，sin∠BOC=45.反比例函数y＝kx(x＞0)的图像经过点D，（1）求反比例函数的关系式；（2）如图2，将ΔAOC沿过C点的直线折叠，使点A落在x轴上的点E处，折痕所在直线交y轴正半轴。
2019年河南中考数学总复习 29_专题一 规律探究
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2.与图形坐标有关的规律探究 例2-2 (2018河南许昌二模)如图,弹性小球从点P(0,1)出发,沿图 中所示方向运动,当小球碰到正方形OABC的边时反弹,反弹时反 射角等于入射角,小球第1次碰到正方形的边时的点为P1(2,0),第2 次碰到正方形的边时的点为P2(4,1),……,第n次碰到正方形的边
,
1 4
,故选B.
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精准学，只练你不会的中考必考点
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4.(2017四川达州)如图,将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针 方向旋转90°至①的位置,继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋 转90°至②的位置,……,以此类推,这样连续旋转2 017次.若AB=4,
AD=3,则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为 (D )
A.2 017π B.2 034π C.3 024π D.3 026π
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答案 D 连接AC,BD,∵AB=4,BC=3,
∴AC=BD=5.
由题意可知转动第一次顶点A经过的路径长是 90 4 =2π,
180
转动第二次顶点A经过的路径长是 90 5= 5 π,
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河南中考数学中规律探究型问题涉及的知识广泛,所以解答 这类题目,不仅要掌握扎实的数学基础知识,还需要有敏锐的观察 能力、严密的逻辑推理能力和一定的计算能力. 其解题过程一般是:从特殊情况入手→探究发现规律→综合归纳 →猜想、得出结论→验证结论.
2 017秒时,点P的坐标为 ( B )
A.
第19讲 线段的最值问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(原卷版)
2019年中考数学总复习巅峰冲刺专题19线段的最值问题【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；，0），对称轴为【原创】如图，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于一点（-2+直线x=﹣2，抛物线上存在B、C两点，点B在对称轴左侧，点C在对称轴右侧，BC=6且平行于x轴。
（1）求此抛物线的解析式．（2）求△ABC的面积.（3）点P在x轴负半轴上，且PA+PB的最小值为，求点P的坐标．直线CP将线段AB分成1：3两部分，试求点P的坐标。
【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【例题1】如图1，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，求PK＋QK的最小值．图1【例题2】如图1，已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a＋1, 0)，求a为何值时，四边形ABEF周长最小？请说明理由．图1【例题3】在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。
第22讲 函数中四边形存在问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(原卷版)
2019年中考数学总复习巅峰冲刺专题22函数中四边形存在问题【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；四边形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊四边形的问题，如：平行四边形、菱形、梯形的存在性等，往往结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算等．解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．具体的解题思路：①寻找定量，结合特殊四边形判定确定分类；②转化四边形的存在性为点的存在性或三角形的存在性；③借助几何特征建等式．难点拆解：①平行四边形存在性，由定线分别作边、对角线分类，通过平移或旋转画图，借助坐标间关系及中点坐标公式建等式求解．②菱形存在性可转化为等腰三角形存在性处理．③等腰梯形存在性通常直接表达两腰长，利用两腰相等建等式；两腰不易表达，借助对称性和中点坐标公式联立求解．④直角梯形存在性关键是利用好直角．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠O）与x轴交于点A、B两点，其中点A在点B的左侧，其坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，4），抛物线的对称轴为x=1，连接BC．（1）直接写出a、b、c的值。
（2）对称轴上是否存在两点，并与A、B两点为顶点组成正方形，若存在求出这两点的坐标，若不存在，请说出理由。
（3）若点G为直线BC上方的抛物线上的一动点，试判断以A、B、G、C为顶点的四边形面积有最大值还是有最小值，其数值是多少？（4）若点H为对称轴上的一个动点，点P为抛物线上的一动点，当H、P、B、C四点为顶点的四边形为平行四边形时，求出点H的坐标。
第09讲 方案设计性问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(解析版)
解得：
x
=
2
y = 3
答：一支圆珠笔需要 2 元，一本笔记本需要 3 元。
（2）设购买圆珠笔 m 支，则购买笔记本（900-m）本，由题意可得：
900 − m m
解得： 445 m 450
2m + 3(900 − m) 1355
2019 年中考数学总复习巅峰冲刺
专题 09 方案设计性问题
【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破； 方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要．如让学生设计图形、设计测量方
案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主． 方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题．题型主
，
40 x + 15 y = 2000
20 x + 30 y = 1900
解得：
．
x = 35
y = 40
答：冰糖橙每箱的进价为 35 元，睡美人西瓜每箱的进价为 40 元，……4 分
（2）根据题意要求可设购进的冰糖橙箱数为 a 箱，从而得到睡美人西瓜的箱数为（200-a），根据题意得：
种水果的箱数为（200-a），可根据总利润=单箱利润×购进数量列得 W 关于 a 的函数关系式。
（3）根据条件可得到 A 取值范围，从而根据关系式的增减性判断取得最大利润时 a 的值，可以计算得到最
大利润。
【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 设 冰糖 橙 每 箱 的 进 价 为 x 元 ， 睡 美 人 西 瓜 每 箱 的 进 价 为 y 元 ， 根 据 题 意 得：
第09讲 方案设计性问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(解析版)
2019年中考数学总复习巅峰冲刺专题09方案设计性问题【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要．如让学生设计图形、设计测量方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主．方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题．题型主要包括：1．根据实际问题拼接或分割图形；2．利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等．方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视．解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案．解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】为了迎接全市的“传统文化体验教育现场会”，我校需要购进一批圆珠笔和笔记本，通过调查发现购买3支圆珠笔和4本笔记本需要18元；购买2支圆珠笔和1本笔记本需要7元。
（1） 求圆珠笔和笔记本的单价各是多少元？学校计划购进圆珠笔和笔记本共900件，其中笔记本的件数不少于圆珠笔的件数，并且计划消费不超过1355元，请问共有几种购买方案？【解析】：1）可根据“购买3支圆珠笔和4本笔记本需要18元；购买2支圆珠笔和1本笔记本需要7元”，列出方程组求出答案；（2）要根据“购进圆珠笔和笔记本共900件，其中笔记本的件数不少于圆珠笔的件数，并且计划消费不超过1355元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案【解答】解：（1）设购买一支圆珠笔需要x 元，一本笔记本需要y 元，由题意得：341827x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：23x y =⎧⎨=⎩答：一支圆珠笔需要2元，一本笔记本需要3元。
第04讲 新情景设计问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(原卷版)
【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；实物情景中的数学，是指有实际背景或现实意义的数学问题，其特点是：(1)创设新情境，赋予新内涵；(2)试题呈现形式活泼新颖；(3)一般取材于学生熟悉的生活实际，具有时代气息和教育价值．这种问题一般都是先提供一种情景，或者一个解题思路，或介绍一种解题方法，或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料，然后要求大家自主探索，理解其内容、思想方法，把握本质，解答试题中提出的问题．对于这类题求解步骤是“阅读→分析→理解→创新应用”，其中最关键的是理解材料的作用和用意，一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材．因此这种试题是考查大家随机应变能力和知识的迁移能力．1.涉及到定义知识的新情景问题：它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．解此类型题的步骤有三：(1)认真阅读，正确理解新定义的含义；(2)运用新定义解决问题；(3)得出结论．2.涉及到数学理论应用探究问题：学习此类型题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法．即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤．3.涉及到日常生活中的实际问题：处理此类问题需要结合生活实际将图形转化为数学图形，利用数学知识进行解答。
【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创】问题情境:情境A：两条直线相交，有一个交点，三条直线相交，最多有3个交点，四条直线呢？情境A图情境B图情境B：在一条直线上任意作两个端点（不重合的两点），可得到一条线段，作三个端点，最多得到3条线段，四个端点呢？情境C：两条有公共端点的射线可组成一个角，从端点出发增加一条射线，可得到3个角，增加两条射线呢？情境C图解决问题：（1）从上面的问题情境中任选一个作答。
第25讲 数学文化性问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(原卷版)
2019年中考数学总复习巅峰冲刺 专题25 数学文化性问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破； 数学文化指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。在近几年的中考中，以数学文化为载体的数学题越来越多，只要我们平时注意积累和了解这方面的常识，解题时注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过现象看本质，问题便可迎刃而解． 此类问题涉及到古代数学名著中关于数学计算的典例事例分析，或者典型问题展示，也会涉及到古代著名数学家提出的相关问题，首先理解问题内容，再转化为数学语言进行解答即可，难度一般不大。 主要类型有以科技或数学时事为题材、以数学名著为题材、以数学名人为题材. 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创】《河妇荡杯》是《孙子算经》中著名的趣题之一。原题是：妇女河上荡杯，津吏问“杯何以多？” 妇人曰：“有客。”津吏曰：“客几何？” 妇人曰：“两人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五。不知客几何？” 大意为：一个妇女在河边洗碗，河官问：“洗多少碗？有多少客 ？”妇女答：“洗 65 只碗，客人二人共用一只饭碗，三人共用一只汤碗，四人共用一只肉碗。你说有多少客人用餐？”
【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三； 【例题1】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九2x＝﹣6章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？” 译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱； 如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？” 设有x个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ） A．9x+11＝6x﹣16 B．9x﹣11＝6x+16 C． D．
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【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；
1、解数式规律型问题的一般方法:
(1)当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正数列、奇数列、偶数列还是正整数列经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果；(2)当数字是分数和整数结合时，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律；(3)当所给的代数式含有系数时，先观察其每一项的系数之间是否有自然数列、正整数列、奇数列、偶数列或交替存在一定的对称性，然后观察其指数是否存在相似的规律，最后将系数和指数的规律结合起来求得结果．
数字循环类规律题就是几个数循环出现，解决此类问题时，一般是先求出前几个数，再观察其中隐含的规律，若和序号有关，则第n个数用含n的式子表示，用n除以循环出现的数的个数，找出余数即可找到对应的结果．
2、探索等式规律的一般步骤:
(1)标序数；(2)对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，2，3，4，…，n)之间的关系，把其隐含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；(3)根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验．
3、根据图形寻找点的坐标的变换特点，这类题目一般有两种考查形式：一类是点的坐标变换在直角坐标系中递推变化；另一类是点的坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化．解决这类问题可按如下步骤进行：(1)根据图形点坐标的变换特点确定属于哪一类；(2)根据图形的变换规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点的坐标，找出点的坐标与序号之间的关系，归纳得出第M个点的坐标与变换次数之间的关系；(3)确定第一类点的坐标的方法：根据(2)中得到的倍分关系，得到第M个点的坐标；确定第二类点坐标的方法：先找出循环一周的变换次数，记为n，用M÷n＝ω……q(0≤q＜n)，则第M次变换与每个循环中第q次变换相同，再根据(2)中得到的第M个点的坐标与变换次数的关系，得到第M个点的坐标．
4、对于求面积规律探索问题的一般步骤：(1)根据题意可得出第一次变换前图形的面积S；(2)通过计算得到第一次变换后图形的面积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍分关系；(3)根据找出的规律，即可求出第M次变换后图形的面积．
5、找图形累加型变化规律的一般步骤:
(1)写序号，记每组图形的序数为“1，2，3，…n”；(2)数图形个数，在图形数量变化时，要数出每组图形表示的个数；(3)寻找图形数量与序数n的关系，若当图形变化规律不明显时，可利用图示法，即针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来
观察是否有恒等量的变化，然后按照定量变化推导出第n 个图形的个数．
【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；
【原创1】如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x 值为2，那么我们要进行的第一次计算是进行偶数程序，结果输出的是1，返回进行第二次运算则按照奇数程序进行运算，输出的是6，…第2019次输出的结果为 .
【原创2】发现 任意一个偶数减去其
12，再减去余下的13
，一直减去到余下的此偶数的倒数，结果为1. 验证 （1）10减去其12，再减去余下的13，一直减去到余下的14，一直减到最后余下的110
其结果等于几？. （2）设一个偶数2n ，依次减去其12，再减去余下的14，一直减下去，一直减到最后余下的12n ，结果等于几？并验证发现的结论是否正确。
【原创3】如图，在平面直角坐标系中，点A （0，1）和点B （1，0），连接AB,以AB 为边作等边三角形，顶点为C ，过点C 作A 1B 1//AB ，分别交y 轴、x 轴于点A1，B1，再以A 1B 1为边作等边三角形，……,逐次作等边三角形，则第2 017个等边三角形的顶点C 2019坐标是 .
【原创4】如图所示，最外面的正方形的边长为1，在其中作最大的圆，则之间阴影的面积为14π-
；再在
圆内第二次作最大正方形，正方形中再作最大圆，取之间部分为阴影面积，依次逐渐作下去，则第三次作
圆与其外面正方形之间的阴影面积为 ，第2019次作圆与其外面正方形之间的阴影面积是 。
【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；
【例题1】（2018·湖北随州·3分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，
6
，
1
…
）
和
“
正
方
形数”
（
如1
A ．33
B ．301
C ．386
D ．571
【例题2】(2018·东营中考)如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2，A 3，…和点B 1，B 2，B 3，…分别在直线y ＝15x ＋b 和x 轴上．△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…都是等腰直角三角形，如果点A 1(1，1)，那么点A 2 018的纵坐标是 .
【例题3】（2018•贵州黔西南州•12分）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．
例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10.图n 有 多少个点？ 我
们
将
每个图
形
分
成
完
全
相
同
的
6
块，每
（1）第5个点阵中有61个圆圈；第n 个点阵中有 个圆圈．
（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．。