9.1不等式的性质(2)

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9.1.2-不等式的性质(2)

探索提高:
1、分别比较下列各式中左右两个算式的结果大小(在横线上填“>,<,=”）
> (1)32 42 _____234;
= (2)22 22 ______222; > (3)(2)2 (5)2 ______2(2)(5);
> (4)(1)2 (2)2 _____来自_212;2323
通过观察归纳，你能写出这种规律的一般式吗？
2、如果
x y
＞0，那么xy
＞
0；
3、如果a＞-1，那么a-b ＞ -1-b；
4、若a＜b，则a-b ＜ 0；
5、若a＞b，则 a
3
＞
b 3
；
6、若2a＞3a，则a是负数；
7、若
a 2
＞
a 3
，则a是
正
数；
8、若ax＜a，且x＞1，则a是负数。
例1、解不等式，并将解集在数轴上表示出来. 2x-1＜4x+13
在数轴上表示V的取值范围如图：
0
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例5、三角形中任意两边之差与第三边有怎样的大小关系？
解：如图，设a、b、c为任意一 a
b
个三角形的三条边的长，则：
c
a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b.
由式子a+b＞c移项可得： a＞c-b，b＞c-a. 类似地，由式子b+c＞a及c+a＞b移项可得：
c＞a-b，b＞a-c及c＞b-a，a＞b-c. 从中你得到什么规律？
不等式性质1：若a＞b,则a±c＞b±c.
不等式性质2：若a＞b,c ＞0,则ac＞bc(或 a b ). cc
不等式性质3：若a＞b,c ＜0,则ac＜bc(或 a b ). cc

9.1.2不等式的性质2

铁冲中学七年级数学导学案制定人：审核：课题 9.1.2不等式的性质（第二课时）学习目标 1、掌握一元一次不等式的解法。

2、培养学生利用类比方法学习的能力。

3、培养学生准确的计算能力学习重点一元一次不等式的解法；学习难点不等式性质3在解不等式中的运用。

课堂流程学法指导教师点拨情境导入目标点睛1.解方程(1) x －7=26 （2）3x = 2x ＋1 （3）32x = 50 (4)-4x=3解方程的的目的是使方程最后转换成x=a 的形式，同样解不等式的目的也要使不等式逐步化为x ＞a 或x <a 的形式。

合作探究激情展示一区例1 解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1) x －7＞26 （2）3x < 2x ＋1（3）32x ≥ 50 (4)-4x ≤3解：(1) x －7＞26根据不等式的性质，给不等式两边同时，不等式的方向，得x －7 ＞26 ∴x在数轴上表示这个解集为（2）3x < 2x ＋1根据，不等式两边都，不等号的方向得3x < 2x ＋1 ，∴x 在数轴上表示这个解集为（3）32x ≥ 50根据不等式的性质，不等式两边都不等号的方向，得x ∴x在数轴上表示这个解集为(4)-4x ≤3根据不等式的性质，不等式两边都，不等号的方向，得，∴x在数轴上表示这个解集为由上面的x －7＞26得x ＞26+7，实际上是方程中的，即把不等式的一边的某项后移到另一边，而不等号的方向。

二区解方程21x-1=32 (2x+1) 仿做：解不等式21x-1≤32(2x+1) 解：去分母，得解：去分母，得去括号，得去括号，得移项，得移项，得合并，得合并，得系数化为1，得系数化为1，得归纳：解一元一次不等式的步骤：三区1．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.（1） x －5＞－1; （2）－2x ＞3; （3）3x ＜－9四区（1）4x ＋3＜3x （2）4－2x ≥4 （3）23x －4≥0 五区解一元一次不等式防错汇总：六区巩固梳理当堂检测我的收获。

人教版七年级数学下册教案：9.1.2不等式的性质

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解不等式的基本概念。不等式是表示两个数之间大小关系的式子。它是数学中非常重要的一部分，可以帮助我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了不等式在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调不等式的性质及其应用这两个重点。对于难点部分，如不等式的传递性和乘法性质，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
人教版七年级数学下册教案：9.1.2不等式的性质
一、教学内容
人教版七年级数学下册教案：9.1.2不等式的性质
1.不等式的定义与符号；
2.不等式的性质：
（1）传递性：若a>b，b>c，则a>c；
（2）对称性：若a>b，则b<a；
（3）加法性质：若a>b，c为任意实数，则a+c>b+c；
（4）乘法性质：若a>b，c为正实数，则ac>bc；若a>b，c为负实数，则ac<bc；
-解决实际问题，如已知一组数的大小关系，求另一组数的大小关系，训练学生将现实问题转化为数学问题。
2.教学难点
本节课的难点内容包括：
（1）不等式的传递性理解与应用；
（2）不等式乘法性质的灵活运用，特别是负数情况；
（3）将现实问题抽象为不等式问题。
举例解释：
-不等式的传递性，如a>b，b>c，推导出a>c的过程，让学生理解这一性质的应用；
3.培养学生的数学建模能力：引导学生将现实生活中的问题转化为数学不等式问题，培养数学建模能力，增强数学在实际生活中的应用意识。
4.培养学生的数学运算能力：通过不等式的性质进行推导和运算，提高学生的数学运算速度和准确性，增强数学运算能力。

9.1.2不等式的性质(2)

V+3×5×3≤3×5×10
解：新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即解得 V≤105 又由于新注入水的体积不能是负数，因此， V的取值范围是 V≥0并且V≤105 在数轴上表示V的取值范围如图
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练习
1、求不等式3（x－3）+6 ＜ 2x＋1的正整数解。 2、X取什么值时，代数式x＋的值。
是说不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式基本性质3：
a b 如果a>b，c<0 那么ac<bc(或 c c )就是说不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
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课堂检测：
若a>b，用“<”或“>”填空。 (1)a+1 (3) -3a b+1; (2) a-5 -3b; (4) 6-a b-5; 6-b;
移项，得－2x +3x ＞3 －1 合并，得 x ＞ 2
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例题讲解
例1 解一元一次不等式 x ＋ 3 < 10
解: 移项得 x ＜10-3 即 x＜7 这个不等式的解集在数轴上表示如下：
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
问题1：实心小圆点和空心小圆圈分别在什么时候适用
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学习新知
圣诞节到了，小明去买贺卡花了x元，买邮票花了 3元，他总共花了10元，请问小明买贺卡花了多少元？（列方程求解）

9.1.2 不等式的性质(课件)七年级数学下册(人教版)

D.-2m>-2n
2.【数形结合思想】实数a，b，c满足a>b且ac<bc，它们在数轴上的位置可
能是( A )
迁移应用
3.如果a>b，那么下列不等式一定成立的是( D )
A.a+c>b-c
B.ac-1>bc-1
4.用“>”或“<”填空：
(1)若a-b<c-b，则a____c；
＜
(2)若3a>3b，则a____b；
如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc

(或＞

).
不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc

(或＜

).
比较上面的性质2和性质3，指出它们有什么区别.再比较等式的性
质和不等式的性质，它们有什么异同？
考点解析
重点
例1.根据不等式的性质，用不等号填空：
在数轴上表示解集如图所示.
迁移应用
3.用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集：
(1) x与3的和是非负数；
解:(1) x+3≥0，解集为x ≥-3.
在数轴上表示解集如图所示.
(2)1Biblioteka y≤-4，解集为y≤-12.
3
在数轴上表示解集如图所示.
(2)
1
y的小于或等于-4.
3
考点解析
难点
a<-1
＜
＜
自学导航
用“＞”或“＜”填空，并总结其中的规律：
＞
＞
＜
＜
不变
当不等式两边加或减同一个数(正数或负数)时，不等号的方向______.

2023~2024学年 9.1.2 课时1 不等式的性质1、2、3(17页)

或
a c
＞
b c
．
不等式的性质3：
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
符号语言：
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc
或
a＜b cc
．
（1）等式的性质有2条，它们表示了等式两边进行同样的运算时相等关系不变；
（2）不等式的性质有3条，它们表示了不等式两边进行相同的运算时大小关系有时改变，有时不变．对于乘法（或除法）运算，要对乘（或除以）的数的正负分别进行讨论．
性不等式两边加（或减）同一个数质1 （或式子），不等号的方向不
变．
如果a＞b，那么a±c＞b±c．
性不等式两边乘（或除质2
以）同一个正数，不
等号的方向不变．
性质3
不等式两边乘（或除
以）同一个负数，不
等号的方向改变．
如果a＞b，c＞0，
那么 ac＞bc
或
a c
＞
b c
．
如果a＞b，c＜0，
第九章不等式与不等式组 9.1.2 课时1 不等式的性质1、2、3
学习目标
1.探索并理解不等式的性质，体会不等式与等式的基本性质的异同. 2.应用不等式的基本性质进行变形，体会归纳和类比的方法．
复习导入等式
文字语言
符号语言
等式两边加（或减）同一个数
性质1 （或式子），结果仍相等．
如果a＝b，那么 a＋c＝b ＋ c， a－c＝b－c．
把“数”的范围扩大到整式可以吗？可以
不等式的性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号
的方向不变．
符号语言：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
用“＜”或“＞”填空，并总结其中的规律：（1）6＞2，6×5 ＞2×5，

人教版数学七年级下册9.1.2不等式的性质教学设计

4.各小组汇报讨论成果，分享解题思路和方法，教师给予评价和鼓励。
（四）课堂练习
1.教师布置一些具有代表性的练习题，涵盖本节课所学的不等式性质和应用。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导，关注学生的解题过程，并及时给予反馈。
3.教师选取部分学生的作业进行展示和讲解，分析解题思路和易错点。
4.学生互相讨论、交流，共同提高解题能力。
4.教师通过板书和多媒体展示，讲解如何运用不等式的性质解决实际问题，如：求解不等式、比较大小等。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组分配一个实际问题，要求学生运用不等式的性质解决问题。
2.学生在小组内展开讨论，共同探究不等式的性质和解决方法。
3.教师巡回指导，关注学生的讨论过程，及时解答他们的疑问。
-通过生活实例引入不等式的概念，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发他们的学习兴趣。
-设计富有趣味性的问题，引导学生积极思考，主动探生，通过简单易懂的例子和详细的讲解，帮助他们理解和掌握不等式的定义和性质。
-对于基础较好的学生，提供更具挑战性的问题和拓展练习，提高他们的思维能力和解题技巧。
3.学生回答后，教师总结：这些场景中都存在一种大小关系，我们称之为不等式。今天我们将学习不等式的性质，并运用它们解决实际问题。
（二）讲授新知
1.教师讲解不等式的定义，并通过例子解释不等式的符号表示。
2.讲解不等式的性质，如：可加性、可减性、可乘性、可除性，并举例说明。
3.分析生活中的实际问题，引导学生学会将实际问题抽象为不等式问题。
人教版数学七年级下册9.1.2不等式的性质教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解不等式的定义，了解不等式的符号表示，并能用文字和符号两种方式表达不等关系。

不等式的性质(二)

不等式的性质（二）1．理解同向不等式，异向不等式概念；2．掌握并会证明定理1，2，3；3．理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3是移项法则的依据；4．初步理解证明不等式的逻辑推理方法.教学重点：定理1，2，3的证明的证明思路和推导过程教学难点：理解证明不等式的逻辑推理方法教学方法：引导式教学过程（）一、复习回顾上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法,主要根据的是实数运算的符号法则,而这也是推证不等式性质的主要依据,因此，我们来作一下回顾： 这一节课，我们将利用比较实数的方法，来推证不等式的性质.二、讲授新课在证明不等式的性质之前,我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念.1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如： 是同向不等式.异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如： 是异向不等式.2．不等式的性质：定理1：若 ，则 定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向.在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性.证明：∵ ，∴ 由正数的相反数是负数，得 说明：定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用.定理2：若 ，且 ，则 .证明：∵ ∴ 根据两个正数的和仍是正数，得 ∴ 说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.定理3：若 ，则 定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.证明：∵ ∴ 说明：（1）定理3的证明相当于比较 与 的大小，采用的是求差比较法；（2）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若 ，则 即 .定理3推论：若 .证明:∵ ,∴ ①∵ ∴ ②由①、②得 说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；（4）定理3的逆命题也成立.（可让学生自证）三、课堂练习1．证明定理1后半部分；2．证明定理3的逆定理.说明：本节主要目的是掌握定理1，2，3的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行.课堂小结通过本节学习，要求大家熟悉定理1，2，3的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法.课后作业1．求证：若 2．证明：若 板书设计§6.1.2 不等式的性质1．同向不等式3.定理2 4.定理3 5.定理3异向不等式证明证明推论2．定理1 证明说明说明证明第三课时教学目标1．熟练掌握定理1，2，3的应用；2．掌握并会证明定理4及其推论1，2；3．掌握反证法证明定理5.教学重点：定理4，5的证明.教学难点：定理4的应用.教学方法：引导式教学过程（）：一、复习回顾上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1，2，3，并初步认识了证明不等式的逻辑推理方法，首先，让我们来回顾一下三个定理的基本内容.（学生回答）好，我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进一步熟悉不等式性质的应用.二、讲授新课定理4：若 若 证明： 根据同号相乘得正，异号相乘得负，得当 说明：（1）证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；（2）定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变.推论1：若 证明： ①又 ∴ ②由①、②可得 .说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；（2）所有的字母都表示正数，如果仅有 ，就推不出 的结论.（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.推论2：若 说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；（2）应强调学生注意n∈N 的条件.定理5：若 我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即 ，所以不能仅仅否定了 ，就“归谬”了事，而必须进行“穷举”.说明：假定 不大于 ，这有两种情况：或者 ，或者 .由推论2和定理1，当 时，有 ；当 时，显然有 这些都同已知条件 矛盾所以 .接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.例2 已知 证明：由 例3 已知 证明：∵ 两边同乘以正数 说明：通过例3，例4的学习，使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础.在应用定理4时，应注意题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论.接下来，我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.三、课堂练习课本P7练习1，2，3.课堂小结通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础.课后作业课本习题6.1 4，5.板书设计§6.1.3 不等式的性质。

七年级数学下册9.1.2不等式的性质教学设计

七年级数学下册9.1.2不等式的性质教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解不等式的定义，知道不等号表示的意义，能够识别并正确书写常见的不等式。
2.掌握不等式的性质，包括但不限于：可加性、可减性、可乘性、可除性、对称性、传递性等。
3.能够运用不等式的性质解决实际问题，如比较大小、求解未知数等。
4.学会使用数轴来直观表示不等式及其解集，理解不等式解集的区间表示方法。
3.情感态度：鼓励学生勇于尝试、善于合作，培养他们面对数学问题的信心和兴趣。
4.课后作业：布置适量、有针对性的课后作业，帮助学生巩固所学知识，为下一节课做好准备。
五、作业布置
为了巩固学生对不等式性质的理解，提高他们解决实际问题的能力，特布置以下作业：
1.请同学们完成课本第92页的练习题第1-4题，这些题目涵盖了不等式的定义和基本性质，旨在帮助学生巩固基础知识。
2.完成第93页的第5-8题，这些题目设计了较为复杂的不等式问题，需要学生运用所学的性质进行推理和求解。通过这些题目，学生可以进一步提升解题技巧和逻辑思维能力。
3.结合生活实际，设计一道与不等式相关的实际问题，要求学生将其转化为数学模型，并利用不等式的性质解决问题。此题旨在培养学生将数学知识应用于生活的能力，激发他们的学习兴趣。
1.对不等式的概念理解不深，容易混淆不等号的意义。
2.在运用不等式性质解决问题时，可能缺乏灵活性和策略性。
3.对数轴的运用不够熟练，难以将抽象的不等式与具体的图形结合起来。
4.部分学生在解决实际问题时，可能难以将问题转化为数学模型。念的教学，通过实例对比，帮助学生明确不等号的意义。
7.教学拓展：针对学有余力的学生，可以设计一些拓展性练习，如研究不等式的证明、解决更复杂的问题等，激发学生的兴趣，提高他们的数学素养。

人教版七年级下册9.1.2不等式的性质教学设计

难点：掌握不等式的解题方法和技巧，如移项、合并同类项等。
3.重点：将实际问题转化为不等式。
难点：从实际情境中抽象出数学模型，建立实际问题与不等式之间的联系。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用启发式教学，引导学生通过观察、思考、讨论，发现和掌握不等式的性质。
（2）运用数形结合的方法，将不等式与图形相结合，帮助学生直观地理解不等式的性质。
（4）引导学生互相提问，解答疑问，共同进步。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计具有代表性的练习题，让学生运用不等式的性质和解题方法解决实际问题在规定时间内完成。
（2）学生独立解题，教师关注学生的解题过程，及时发现问题并进行个别指导。
（3）学生互相讨论解题方法，分享经验。
人教版七年级下册9.1.2不等式的性质教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
本节课是关于不等式的性质的学习，旨在帮助学生掌握以下知识与技能：
1.理解不等式的定义，知道不等式的表示方法，如“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等。
2.掌握不等式的性质，包括：传递性、对称性、可加性和可乘性。
3.学会解简单的一元一次不等式，如ax+b>c或ax+b<c的形式。
4.能够将实际问题转化为不等式，并运用不等式的性质解决实际问题。
（二）过程与方法
1.引导学生通过观察和思考，发现不等式的性质，培养他们的观察能力和逻辑思维能力。
2.采用举例、讨论、归纳等方法，帮助学生总结和掌握不等式的性质。
3.设计具有实际背景的问题，让学生在实际情境中运用不等式的性质，提高他们解决实际问题的能力。
（1）解一元一次不等式，如ax+b>c或ax+b<c的形式。

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0 33
锋芒初试
利用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示解集：
(1)3X<2X+1; (2)X+5>-1； (3)4X<3X-5.
我是最棒的
☞
利用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示解集： 2 (1) X>50; 3 (2) – 4X>3.
想一想
利用不等式的性质解不等式与解方程有什么共同点和不同点习
利用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示解集：
(
1)X+3>- 1;
1 7 6 X< 7
(2)6X<5X-7;
; (4)-8X>10.
(3)
小结
拓展
回味无穷
本节课你的收获是什么？
前面遇到的问题
小颖种了一株树苗，开始时树苗高为 40厘米. 栽种后每周树苗长高约15厘米，大约几周后树苗高超过1米？
作业：
P134 习题9.1：6
下课了!
9.1.2 不等式的性质（2）
初生牛犊不畏虎
小颖种了一株树苗，开始时树苗高为40 厘米. 栽种后每周树苗长高约15厘米，几周后树苗高超过1米？
>1m
40cm
知识探索
☞
观察下列不等式，你发现了什么？
言必有“据”
X-7>26 根据不等式的性质1，不等式两边都加7，得： X-7+7>26+7
X>33