2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(广东卷)理

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2011年全国高考文科数学试题及答案-广东

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将字迹的姓名和考生号、实施号、座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把大题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡个题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选作题地题号对应的信息点，再作答，漏凃，错涂、多涂。

答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体体积公式V=13Sh,其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

线性回归方程^^^y b x a =+中系数计算公式^^^121(1)(1),(1)ni ni x x y y b a y b x x ==--==--∑∑样本数据x 1,x 2, (x)21()2(2)()n x x x x x x -+-+- 其中,x y 表示样本均值。

N 是正整数，则1221()(ab )n n n n n n a b a b a a b b -----=-+++……一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足iz=1，其中i 为虚数单位，则 A ．-i B ．i C ．-1 D ．12．已知集合A=(,),x y x y 为实数，且221x y +=，B=(,),x y x y 为实数，且1x y +=则A ⋂B 的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．13．已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(广东.文)含详解

绝密★启用前试卷类型：B2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑ ， ay bx =- ，样本数据12,,,n x x x 的标准差，222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x ，y 表示样本均值．n 是正整数，则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ ．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足1iz =，其中i 为虚数单位，则z =A ．i -B ．iC ．1-D ．1 2．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且1}x y +=，则A B ⋂的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．1 3．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ=A ．14 B ．12C ．1D ．2 4．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-⋃+∞ D ．(,)-∞+∞5．不等式2210x x -->的解集是A ．1(,1)2-B ．(1,)+∞C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ 6．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为(2,1)，则z OM OA=⋅的最大值为A ．3B ．4C ．32D ．4223正视图图1侧视图图22 俯视图 2图37．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有A ．20B ．15C ．12D ．10 8．设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线0y =相切，则C 的圆心轨迹为A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆 9．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A ．43 B ．4 C ．23 D ．210．设(),(),()f x g x h x 是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数()f g ()x 和()f g ()x ：对任意x ∈R ，()f g ()x =(())f g x ；()f g ()x =()()f x g x ，则下列等式恒成立的是A ．(()f g h )()x =(()f h ()g h )()xB ．(()f g h )()x =(()f h ()g h )()xC ．(()f g h )()x =(()f g ()g h )()xD ．(()f g h )()x =(()f g()g h )()x二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（9 ~ 13题）11．已知{}n a 是递增的等比数列，若22a =，434a a -=，则此数列的公比q = ．12．设函数3()cos 1f x x x =+．若()11f a =，则()f a -= ．13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x （单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：图4BAC DEF时间x 1 2 3 4 5 命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为．（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩(t ∈)R ，它们的交点坐标为___________．15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，4AB =，2CD =，,E F 分别为,AD BC 上的点，且3EF =， EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求(0)f 的值；（2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ+的值．17．（本小题满分13分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用n x 表示编号为n (1,2,,6)n = 的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5 成绩n x7076727072（1）求第6位同学的成绩6x ，及这6位同学成绩的标准差s ；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．18．（本小题满分13分）图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右BAB 'A 'CC 'DD 'EE 'G H '1O2O1O '2O '图5水平平移后得到的．,,,A A B B ''分别为 CD , C D '', DE , D E ''的中点，1122,,,O O O O ''分别为CD ,C D '', DE ,D E ''的中点．（1）证明：12,,,O A O B ''四点共面；（2）设G 为AA '中点，延长1A O ''到H '，使得11O H A O ''''=．证明：2BO '⊥平面H B G ''．19．（本小题满分14分）设0a >，讨论函数2()ln (1)2(1)f x x a a x a x =+---的单调性． 20．（本小题满分14分）设0b >，数列{}n a 满足1a b =，111n n n nba a a n --=+-(n ≥2)．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，2n a ≤11n b ++．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，直线l ：2x =-交x 轴于点A ．设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足MPO AOP ∠=∠．（1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；（2）已知(1,1)T -，设H 是E 上动点，求HO HT +的最小值，并给出此时点H 的坐标；（3）过点(1,1)T -且不平行于y 轴的直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线1l 的斜率k 的取值范围．1．（A ）．1()iz i i i i -===-⨯- 2．（C ）．A B ⋂的元素个数等价于圆221x y +=与直线1x y +=的交点个数，显然有2个交点 3．（B ）．(1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=124．（C ）．10110x x x -≠⎧⇒>-⎨+>⎩且1x ≠，则()f x 的定义域是(1,1)(1,)-⋃+∞5．（D ）．21210(1)(21)02x x x x x -->⇒-+>⇒<-或1x >，则不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-⋃+∞6．（B ）．2z x y =+，即2y x z =-+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线2y x z =-+经过点(2,2)时，z 取得最大值，max 2224z =⨯+=7．（D ）．正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有5210⨯=条8．（A ）．依题意得，C 的圆心到点(0,3)的距离与它到直线1y =-的距离相等，则C 的圆心轨迹为抛物线 9．（C ）．该几何体是一个底面为菱形的四棱锥，菱形的面积1223232S =⨯⨯=，四棱锥的高为3，则该几何体的体积112332333V Sh ==⨯⨯= 10．（B ）．11．2． 2243224422402(2)(1)0a a a q a q q q q q -=⇒-=⇒--=⇒-+=2q ⇒=或1q =-∵{}n a 是递增的等比数列，∴2q =12．9-3()cos 111f a a a =+=，即3()cos 10f a a a ==，则33()()cos()1cos 11019f a a a a a -=--+=-+=-+=- 13．0.5；0.53小李这5天的平均投篮命中率1(0.40.50.60.60.4)0.55y =++++= 3x =，1222221()()0.2000.1(0.2)0.01(2)(1)012()niii ni i x x y y bx x ==--++++-===-+-+++-∑∑ ， 0.47a y bx =-=∴线性回归方程 0.010.47y x =+，则当6x =时，0.53y = ∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.5314．25(1,)5．5cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(5501)x y -<≤≤≤且，254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x =,22221(5501)5450145x y x y x x x y x ⎧+=-<≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩且或5x =-（舍去），又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为25(1,)515．75如图，延长,AD BC ，AD BC P =∵23CD EF =，∴49PCD PEF S S ∆∆= ∵24CD AB =，∴416PCD PEF S S ∆∆= ∴75ABEF EFCDS S =梯形梯形16．解：（1）(0)2sin()16f π=-=-（2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α= 16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴212cos 1sin 13αα=-=，24sin 1cos 5ββ=-= ∴5312463sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=17．解：（1）61(7076727072)756x +++++=，解得690x = PBAC DEFxy O2x =-AP l MM标准差22222222212611[()()()](5135315)766s x x x x x x =-+-++-=+++++= （2）前5位同学中随机选出的2位同学记为(,)a b ，,{1,2,3,4,5}a b ∈且a b ≠则基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中设A 表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75）中” 则A 中的基本事件有(1,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)共4种，则42()105P A == 18．证明：（1）连接2,BO 22,O O '依题意得1122,,,O O O O ''是圆柱底面圆的圆心∴,,,CD C D DE D E ''''是圆柱底面圆的直径∵,,A B B ''分别为 C D '', DE , D E ''的中点∴1290A O D B O D ''''''∠=∠=∴1A O ''∥2BO '∵BB '//22O O '，四边形22O O B B ''是平行四边形∴2BO ∥2BO ' ∴1A O ''∥2BO ∴12,,,O A O B ''四点共面（2）延长1A O '到H ，使得11O H AO ''=，连接1,,HH HO HB '' ∵11O H A O ''''=∴1O H ''//2O B ''，四边形12O O B H ''''是平行四边形 ∴12O O ''∥H B ''∵1222O O O O '''⊥，122O O B O ''''⊥，2222O O B O O ''''= ∴12O O ''⊥面22O O B B ''∴H B ''⊥面22O O B B ''，2BO '⊂面22O O B B '' ∴2BO H B '''⊥易知四边形AA H H ''是正方形，且边长2AA '=∵11tan 2HH HO H O H '''∠==''，1tan 2A G A H G A H '''∠==''∴1tan tan 1HO H A H G ''''∠⋅∠=∴190HO H A H G ''''∠+∠= ∴1HO H G ''⊥易知12O O ''//HB ，四边形12O O BH ''是平行四边形∴2BO '∥1HO '∴2BO H G ''⊥，H G H B H ''''= ∴2BO '⊥平面H B G ''21．解：（1）如图所示，连接OM ，则PM OM =∵MPO AOP ∠=∠，∴动点M 满足MP l ⊥或M 在x 的负半轴上，设(,)M x yxy O 2x =-TN l HNH∙H xy O TA 1l 1l1l① 当MP l ⊥时，2MP x =+，22OM x y =+222x x y +=+，化简得244y x =+(1)x ≥-② 当M 在x 的负半轴上时，0y =(1)x <-综上所述，点M 的轨迹E 的方程为244y x =+(1)x ≥-或0y =(1)x <-（2）由（1）知M 的轨迹是顶点为(1,0)-，焦点为原点的抛物线和x 的负半轴0y =(1)x <- ① 若H 是抛物线上的动点，过H 作HN l ⊥于N由于l 是抛物线的准线，根据抛物线的定义有HO HN = 则HO HT HN HT +=+当,,N H T 三点共线时，HN HT +有最小值3TN =求得此时H 的坐标为3(,1)4--② 若H 是x 的负半轴0y =(1)x <-上的动点显然有3HO HT +>综上所述，HO HT +的最小值为3，此时点H 的坐标为3(,1)4-- （3）如图，设抛物线顶点(1,0)A -，则直线AT 的斜率12AT k =-∵点(1,1)T -在抛物线内部，∴过点T 且不平行于,x y 轴的直线1l 必与抛物线有两个交点则直线1l 与轨迹E 的交点个数分以下四种情况讨论： ① 当12k ≤-时，直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点 ② 当102k -<<时，直线1l 与轨迹E 有且只有三个不同的交点 ③ 当0k =时，直线1l 与轨迹E 有且只有一个交点 ④ 当0k >时，直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点综上所述，直线1l 的斜率k 的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞。

2011高考广东卷(文科数学)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）试卷类型：A参考公式：锥体的体积公式 sh V 31=，其中s 为锥体的底面积，h 为锥体的高线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式121()()ˆˆˆ,()nii i nii xx y y b ay b x xx ==--==--∑∑, 样本数据n x x x ,,,21 的标准差])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=其中y x ,表示样本均值。

n 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数z 满足iz=1，其中i 为虚数单位，则z= A .-i B .i C .-1 D .12.已知集合},1,|),{(22=+=y x y x y x A 为实数，且},1,|),{(=+=y x y x y x B 为实数，且则A ∩B 的元素个数为A ．4B .3C .2D .13.已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）.若λ为实数，()a b λ+∥c ，则λ= A .14 B .12C .1D .2 4.函数)1lg(11)(x xx f ++-=的定义域是 A .)1,(--∞ B .（1，+∞） C . ),1()1,1(+∞⋃- D .（-∞，+∞） 5.不等式0122>--x x 的解集是A .1(,1)2-B .（1，+∞）C .（-∞，1）∪（2，+∞）D .1(,)(1,)2-∞-⋃+∞6.在平面直角坐标系xoy 上的区域D 由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx y x 2220给定.若M(x,y)为D 上的动点，点A 的坐标为)1,2(，则OA OM z ∙=的最大值为A .3B .4CD 7.正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有A .20B .15C .12D .10 8.设圆C 与圆1)3(22=-+y x 外切，与直线y =0相切，则C 的圆心轨迹为A .抛物线B .双曲线C .椭圆D .圆 9.如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为A .34B .4C .32D .210.设)(),(),(x h x g x f 是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数))(())((x g f x g f o ∙和；对任意))(())((,x g f x g f R x o =∈；)()())((x g x f x g f =∙，则下列恒等式成立的是 )))(()(())().((x h g h f x h g f A o o ∙∙=∙ )))(()(())().((x h g h f x h g f B o o o ∙=∙ )))(()(())().((x h g h f x h g f C o o o o o = )))(()(())().((x h g h f x h g f D ∙∙∙=∙∙ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)参考答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考答案一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，共10小题，每小题5分，满分50分 A 卷：1—5DBCBA 6—10CADCB二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共5小题，每小题5分，满分20分，其中14—15题是选做题，考生只能选做一题11．2 12．-9 13．0.5，0.53 14．1,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭15．7：5 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16．（本小题满分12分）解：（1）(0)2sin 6f π⎛⎫=-⎪⎝⎭2sin16π=-=-；（2）10132sin 32sin ,132326f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⨯+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭61(32)2sin (32)2sin 2cos ,5362f ππβπβπββ⎛⎫⎛⎫=+=⨯+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭53sin ,cos ,135αβ∴==12cos ,13α∴===4sin ,5β===故5312463sin()sin cos cos sin .13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯= 17．（本小题满分13分）解：（1）611756n n x x ===∑5616675707672707290,n n x x x =∴=-=⨯-----=∑//622222222111()(5135315)4966n n s x x ==-=+++++=∑，7.s ∴=（2）从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法： {1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法： {1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，故所求概率为2.518．（本小题满分13分）证明：（1）,,A A CD C D '''分别为中点，11//O A O A ''∴连接BO 2直线BO 2是由直线AO 1平移得到12//AO BO ∴12//O A BO ''∴12,,,O A O B ''∴共面（2）将AO 1延长至H 使得O 1H=O 1A ，连接1,,HO HB H H ''∴由平移性质得12O O ''=HB21//BO HO ''∴11,,2A G H O H H A H O H H GA H π''''''''''==∠=∠=1GA H O H H ''''∴∆≅∆12H O H GH A π'''∴∠+=1O H H G ''∴⊥ 2BO H G ''∴⊥12212222222,,O O B O O O O O B O O O O '''''''''''⊥⊥⋂=1222O O B BO O ''''∴⊥平面122O O BO '''∴⊥ 2BO H B '''∴⊥H B H G H ''''⋂=2.BO H B G '''∴⊥平面19．（本小题满分14分）解：函数()f x 的定义域为(0,).+∞22(1)2(1)1(),a a x a x f x x---+'=当212(1)10a a x ≠--+=时,方程2a(1-a)x 的判别式112(1).3a a ⎛⎫∆=-- ⎪⎝⎭①当10,0,()3a f x '<<∆>时有两个零点，12110,22x x a a ≠->=+且当12120,()0,()(0,)(,)x x x x f x f x x x '<<>>+∞或时在与内为增函数；当1212,()0,()(,)x x x f x f x x x '<<<时在内为减函数；②当11,0,()0,()(0,)3a f x f x '≤<∆≤≥+∞时所以在内为增函数；③当11,()0(0),()(0,)a f x x f x x'==>>+∞时在内为增函数；④当111,0,0,2a x a >∆>=->时210,()2x f x a '=+<所以在定义域内有唯一零点1x ，且当110,()0,()(0,)x x f x f x x '<<>时在内为增函数；当1x x >时，1()0,()(,)f x f x x '<+∞在内为减函数()f x 的单调区间如下表：103a <<113a ≤≤ 1a >1(0,)x12(,)x x2(,)x +∞(0,)+∞1(0,)x1(,)x +∞（其中121122x x a a =-=+）20．（本小题满分14分）解：（1）由1110,01n n n nba a b a a n --=>=>+-知1111n n n n a b b a --=+令11,,n n n A A a b== 当1112,n n n A A b b -≥=+时 111111n n A b b b --=+++1111.n n b b b-=+++①当11111,1(1)1n n n n b b b b A b b b⎛⎫- ⎪-⎝⎭≠==--时②当1b =时，.n A n =(1),111,1n n n nb b b a b b ⎧-≠⎪∴=-⎨⎪=⎩（2）当12(1)1,(21,1n n n nnb b b a b b +-≠=≤+-时欲证只需112(1))1n nn b nb bb +-≤+-12211121(1)11n n n n n n n b bb b b b b b +-+---+=+++++++-11111n n n n n b b b b b b b --⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭(222)n b >+++2,n nb =12(1)21.1n n n nnb b a b b +-∴=<+-综上所述12 1.n n a b +≤+21．（本小题满分14分）解：（1）如图1，设MQ 为线段OP 的垂直平分线，交OP 于点Q ， ,,||||.MPQ AOP MP l MO MP ∠=∠∴⊥=且|2|,x =+即24(1)(1).y x x =+≥-①另一种情况，见图2（即点M 和A 位于直线OP 的同侧）MQ 为线段OP 的垂直平分线，.MPQ MOQ ∴∠=∠又,.MPQ AOP MOQ AOP ∠=∠∴∠=∠因此M 在x 轴上，此时，记M 的坐标为(,0).x为分析(,0)M x x 中的变化范围，设(2,)P a -为l 上任意点().a R ∈由||||MO MP =（即||x =211 1.4x a =--≤-故(,0)M x 的轨迹方程为0,1y x =≤-②综合①和②得，点M 轨迹E 的方程为24(1),1,0, 1.x x y x +≥-⎧=⎨<-⎩（2）由（1）知，轨迹E 的方程由下面E 1和E 2两部分组成（见图3）：21:4(1)(1)E y x x =+≥-；2:0, 1.E y x =<-当1H E ∈时，过Ｔ作垂直于l 的直线，垂足为T '，交E 1于3,14D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭再过H 作垂直于l 的直线，交.l H '于因此，||||HO HH '=（抛物线的性质）||||||||||3HO HT HH HT TT ''∴+=+≥=（该等号仅当H T ''与重合（或H 与D 重合）时取得）当2H E ∈时，则||||||||1 3.HO HT BO BT +>+>+>综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H 的坐标为3,1.4⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）由图3知，直线1l 的斜率k 不可能为零设1:1(1)(0).l y k x k +=-≠故11(1)1,x y E k =++代入的方程得：24480.y y k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭因判别式221644482280.k k k ⎛⎫⎛⎫∆=++=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1l 与E 中的E 1有且仅有两个不同的交点又由E 2和1l 的方程可知，若1l 与E 2有交点，则此交点的坐标为12111,0, 1.0,2k k k l E k k ++⎛⎫<--<<⎪⎝⎭且即当时与有唯一交点1,0k k +⎛⎫⎪⎝⎭，从而1l 表三个不同的交点因此，直线1l k 斜率的取值范围是1(,](0,).2-∞-⋃+∞。

2011年高考江西省数学试卷-理科(含详细答案)

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第Ⅱ卷3 至4页，满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，考试注意：1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考试要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人的准考证号、姓名是否一致.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，.第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并交回。

参考公式：样本数据（11,y x ），（22,y x ），...，（n n y x ,）的线性相关系数∑∑∑===----=ni ini ini i iy yx xy y x xr 12121)()())(( 其中nx x x x n +++= (21)ny y y y n+++= (21)锥体的体积公式 13V Sh =其中S 为底面积，h 为高第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. （1）若ii z 21+=,则复数-z = ( )A.i --2B. i +-2C. i -2D.i +2 答案：C 解析： i i ii i ii z -=--=+=+=21222122（2）若集合}02|{},3121|{≤-=≤+≤-=xx x B x x A ,则B A ⋂= ( )A.}01|{<≤-x xB.}10|{≤<x xC.}20|{≤≤x xD.}10|{≤≤x x 答案：B 解析：{}{}{}10/,20/,11/≤<=⋂≤<=≤≤-=x x B A x x B x x A （3）若)12(21log1)(+=x x f ,则)(x f 的定义域为 ( )A. (21-,0) B. (21-,0] C. (21-,∞+) D. (0,∞+)答案： A 解析：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∴<+<∴>+0,211120,012log 21x x x（4）若x x x x f ln 42)(2--=,则0)('>x f 的解集为 ( )A. (0,∞+)B. (-1,0)⋃(2,∞+)C. (2,∞+)D. (-1,0) 答案：C 解析：()()()2,012,0,02,0422'2>∴>+-∴>>-->--=x x x x xx x x x x f（5）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:m n m n S S S +=+,且11=a ,那么=10a ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 55答案：A 解析： 11,41,31,2104314321321212==∴=+==∴=+==∴=+=a a S S S a S S S a S a a S（6）变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1).1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数,2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数,则 ( )A.012<<r rB. 120r r <<C.120r r <<D. 12r r =答案：C 解析： ()()()()∑∑∑===----=ni ini ini i iyyxxyy x xr 12121第一组变量正相关，第二组变量负相关。

【高考试卷】2011年高考数学试题(广东卷文)及答案

【高考试卷】2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东B 卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将字迹的姓名和考生号、实施号、座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把大题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡个题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选作题地题号对应的信息点，再作答，漏凃，错涂、多涂。

答案无效。

5. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体体积公式V=13Sh,其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

线性回归方程^^^y b x a =+中系数计算公式^^^121(1)(1),(1)ni ni x x y y b a y b x x ==--==--∑∑样本数据x 1,x 2,……，xa 的标准差，211()2(2)()n x x x x x x n+-+-+- 其中,x y 表示样本均值。

（1）设复数z 满足iz=1，其中i 为虚数单位，则 A.-i B.i C.-1 D.1（2）.已知集合A=(,),x y x y 为实数，B=(,),x y x y 为实数，且1x y +=则A ⋂B 的元素个数为A.4B.3C.2D.1（3）已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(上海.理)含答案

2011年上海市高考数学试题（理科 2011-6-7）一、填空题（56分） 1、函数1()2f x x =-的反函数为1()fx -= 。

2、若全集U R =，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤ ，则U C A = 。

3、设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219yxm-=的一个焦点，则m = 。

4、不等式13x x+<的解为。

5、在极坐标系中，直线(2c o s sin )2ρθθ+=与直线c o s 1ρθ=的夹角大小为。

6、在相距2千米的A 、B 两点处测量目标C ，若075,60C A B C B A ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离是千米。

7、若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为。

8、函数sin ()c o s()26y x x ππ=+-的最大值为。

9、马老师从课本上抄录一个随机变量ε的概率分布律如下表请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。

据此，小牛给出了正确答案E ε= 。

10、行列式a b cd（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是。

11、在正三角形A B C 中，D 是B C 上的点，3,1A B B D ==，则A B A D ⋅=。

12、随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是（默认每月天数相同，结果精确到0.001）。

13、设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为。

14、已知点(0,0)O 、0(0,1)Q 和0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10P R 中的一条，记其端点为1Q 、1R ，使之满足11(||2)(||2)0O Q O R --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q 、2R ，使之满足22(||2)(||2)0O Q O R --<；依次下去，得到点12,,,,n P P P ，则0lim ||n n Q P →∞= 。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅱ.理)含详解

(9)设 f ( x ) 是周期 (致) -
5 2
1 2
1 4
(C)
1 4
(D)
1 2
答案致命题意解析本题要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法.
f ( x) 是周期若的奇函数 , 利用周期性和奇偶性得 : 5 5 1 1 1 1 1 f (− ) = f (− + 2) = f (− ) = − f ( ) = −2 × × (1 − ) = − . 2 2 2 2 2 2 2 2 C 交于 A ， B 点．则 (令代) 知抛物线 C y = 4 x 的焦点 F ，直线 y = 2 x − 4 cos ∠AFB = 4 3 3 4 (致) (B) (C) − (D) − 5 5 5 5
(k + 2)(k + 1) k (k − 1) × 2] − [k ×1 + × 2] = 4k + 4 = 24 ，解得 2 2
(5)设函数 f ( x) = cos ω x (ω > 0) ，将 y = f ( x) 的原致重合，则 ω 的最小值等于
向右移
π
3
个单长度，所得的
1 3 2π
解析致 C 答案 B 命题意解析本题要考查原函数解得 x = 函数的求法.
x2 ( x ∈ R) 4 y = 4 x2 ( x ∈ R) y=
B D
y=
x2 ( x ≥ 0) 4 y = 4 x 2 ( x ≥ 0)
y2 ,又原函数的值域 4
y ≥ 0 ,所函数 y = 2 x ( x ≥ 0) 的
a1 = 1 ，公差 d = 2 ， Sk + 2 − Sk = 24 ，则 k =

2011年高考数学广东卷(文)全解析版

2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)参考公式：锥体的体积公式V =13sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高．线性回归方程y bx a =+中系数计算公式x b y a x xy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==,)())((211样本数据12,,...n x x x 的标准差()()()[]222211x x x x x x ns n -++-+-=，其中y x ,表示样本均值，n 是正整数，则))((1221----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．设复数z 满足1=iz ，其中i 为虚数单位，则z =( ) A ．i - B ．i C ．1- D ．12．已知集合{}22(,)|,1A x y x y x y =+=为实数,且，{}(,)|,1B x y x y x y =+=为实数,且，则A B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．已知向量(1,2)a = ，(1,0)b = ，(3,4)c =，若λ为实数，//a b c λ+ ，则λ=( )A ．41 B ．21C ．1D ．2 4．函数)1lg(11)(x xx f ++-=的定义域是( ) A ．()1,-∞- B ．),1(+∞ C ．),1()1,1(+∞- D ．),(+∞-∞ 5．不等式0122>--x x 的解集是( ) A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21 B ．),1(+∞ C ．),2()1,(+∞-∞ D ．),1(21,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-6．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx y x 2220给定。

若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为)，则z ∙=的最大值为( )A ．3B ．4C ．23D ．247．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A ．20B ．15C ．12D ．108．设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线0y =相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆9．如图1～3，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则几何体体积为( )A ．34B ．4C ．32D ．210．设()f x ，()g x ，()h x 是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数()()f g x 和()()f g x ∙：对任意x R ∈，()()(())f g x f g x = ；()()f g x ∙=()()f x g x ，则下列等式恒成立的是( )A ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙∙=∙B ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙=∙C ．()()()()()())(x h g h f x h g f =D ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙∙∙=∙∙ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国大纲卷)数学试题 (理科)(解析版)

2 22 2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修 II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷 1 至 2 页。

第Ⅱ卷 3 至 4 页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在．试．题．卷．上．作．答．无．效．。

． 3．第Ⅰ卷共 l2 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题(1)复数 z = 1+ i ， z 为 z 的共轭复数，则 z z - z -1 =( )（A ） -2i 【答案】B（B ） -i （C ） i （D ） 2i 【命题意图】本题主要考查复数的运算.【解析】 z z - z -1 =|z| 2 -z -1 = 2-(1+i)-1= -i .(2)函数 y = 2 x (x ≥ 0) 的反函数为()（A ） y = x (x ∈ R ) 4 （B ） y = x (x ≥ 0)4（C ） y = 4x 2 (x ∈ R ) 【答案】B（D ）y = 4x 2 (x ≥ 0) 【命题意图】本题主要考查反函数的求法.y 2【解析】由原函数反解得 x = ,又原函数的值域为 y ≥ 0,所以函数 y = 2 4x (x ≥ 0) 的反函数为y = x(x ≥ 0) .4(3)下面四个条件中，使 a > b 成立的充分而不必要的条件是()（A ） a ＞b +1 【答案】A（B ） a ＞b -1 （C ） a 2＞b 2（D ） a 3＞b 3【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题 P ,使 P ⇒ a > b ,且 a > b 推不出 P ,逐项验证知可选 A.(4)设 S n 为等差数列 {a n }的前 n 项和，若 a 1 = 1，公差 d = 2 ， S k +2 - S k = 24 ，则 k =( )（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一 S k +2 - S k = [(k + 2) ⨯1+(k + 2)(k +1) 2 ⨯ 2] - [k ⨯1+ k (k -1)2⨯ 2] = 4k + 4 = 24 ，解αAlDβECB1⨯ 2 34 4 得k =5 .解法二:S k +2 - S k = a k +2 + a k +1 = [1+ (k +1) ⨯ 2] + (1+ k ⨯ 2) = 4k + 4 = 24，解得k = 5 .(5)设函数 f (x ) = cos ωx (ω> 0) ，将 y = f (x ) 的图像向右平移像重合，则ω的最小值等于 1π个单位长度后，所得的图像与原图3（A ）3（B ） 3 （C ） 6 （D ） 9【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性及三角函数图像的平移变换.【解析】由题意得 2π⨯ k = π(k ∈ Z ) ,解得ω= 6k ,又ω> 0 ,令k = 1,得ω= 6 .ω3min(6)已知直二面角α- l - β,点 A ∈α， AC ⊥ l , C 为垂足, B ∈β， BD ⊥ l , D 为垂足．若 AB = 2, AC = BD = 1，则 D 到平面 ABC 的距离等于(A)3(B)3(C)3(D) 1【答案】C【命题意图】本题主要考查空间点到平面距离的求法.【解析】如图,过 D 作 DE ⊥ BC ,垂足为 E ,因为α- l - β是直二面角 AC ⊥ l ,∴ AC ⊥平面β,∴ AC ⊥ DE , BC ⊥ DE , AC I BC = C ,∴ DE ⊥ 平面 ABC ,故 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离.在 Rt ∆BCD 中,由等面积法得 DE = BD ⨯ C D = = 6.BC 3(7)某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有 (A)4 种 (B)10 种 (C)18 种 (D)20 种【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力. 【解析】分两类:一是取出 1 本画册,3 本集邮册,此时赠送方法有C 1= 4种；二是取出 2 本画册,2 本集邮册，此时赠送方法有C 2= 6 种.故赠送方法共有 10种.(8)曲线 y = e-2 x+ 1在点(0,2)处的切线与直线 y = 0和 y = x 围成的三角形的面积为1 (A)31 (B)22 (C)3(D)1【答案】A【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式. 【解析】 y '= -2e-2 x, ∴曲线 y = e -2 x + 1在点(0,2)处的切线的斜率k = -2,故切线方程是y = -2x + 2 ,在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为(0,0)、(1,0)、( 2 , 2)，3 3∴三角形的面积是 S = 1 ⨯1⨯ 2 = 1.2 3 32 3 63 13 13(9)设 f (x ) 是周期为 2 的奇函数，当0 ≤ x ≤ 1时， f (x ) = 2x (1 - x ) ,则 f (- 5) =21 (A) -2【答案】A(B) - (C) 14 41 (D)2【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 【解析】由 f (x ) 是周期为 2 的奇函数,利用周期性和奇偶性得:f (- 5) = f (- 5 + 2) = f (- 1) = - f ( 1) = -2 ⨯ 1 ⨯ (1- 1) = - 1 .2 2 2 2 2 2 2(10)已知抛物线 C ： y 2= 4x 的焦点为 F ，直线 y = 2x - 4 与C 交于 A ， B 两点．则cos ∠AFB =4 (A)53(B)5 (C) - (D) - 45 5【答案】D【命题意图】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,余弦定理的应用.⎧ y 2 = 4x 【解析】联立 ⎨ y = 2x - 4 消去 y 得 x - 5x + 4 = 0 ,解得 x = 1, x = 4 ,不妨设 A 点在 x 轴的上方,于是 2 A ， B 两点的坐标分别为(4,4),(1, -2),又 F (1, 0) ,可求得 AB = 3 5, AF = 5, BF = 2 .在V ABF 中,AF 2 + BF 2 - AB 2 4由余弦定理cos ∠AFB = = - .2 ⨯ AF ⨯ BF 5(11)已知平面α截一球面得圆 M ，过圆心 M 且与α成600二面角的平面β截该球面得圆 N .若该球面的半径为 4，圆 M 的面积为 4π，则圆 N 的面积为 (A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆 M 的面积为 4π知球心O 到圆 M 的距离OM = 2 3 ,在 Rt ∆OMN 中, ∠OMN = 30︒ , ∴ ON = 1OM = ,2故圆 N 的半径 r = S = πr 2 = 13π.= ,∴圆 N 的面积为r r 1 (12)设向量 a ， b ， c 满足| a |=| b |= 1， a g b = - 2， < a - c ,b - c >= 60︒，则| c | 的最大值等于(A)2 (B) 【答案】A(c) 2 (D)1【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积运算、向量加减法、四点共圆的条件及数形结合的思想.B【解析】如图，设 AB = a , AD = b , AC = c ，则∠BAD = 120︒ ,∠BCD = 60︒ ，∠BAD + ∠BCD = 180︒ ，∴ A , B , C , D 四点共圆，当 AC 为圆的直径时， | c |最大，最大值为 2.AC⎩R 2- ON 235 5 2 5 绝密★启用前注意事项：2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修 II)第Ⅱ卷1 答题前，考生先在答题卡上用直径 0．5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

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用心爱心专心
1
试卷类型：A
2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。满分40分．在每小题给出的四个选项中。只
有一项是符合题目要求的．
1．设复数z满足(1+i)z=2，其中i为虚数单位，则Z=
A．1+i B．1-i C．2+2i D．2-2i
2．已知集合A={ (x，y)|x，y为实数，且x2+y2=l}，B={(x，y) |x，y为实数，且y=x}，则
A ∩ B的元素个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a+2b)=
A．4 B．3 C．2 D．0
4．设函数()fx和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
A．()fx+|g(x)|是偶函数 B．()fx-|g(x)|是奇函数
C．|()fx| +g(x)是偶函数 D．|()fx|- g(x)是奇函数

5已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组02{22xyxy给定.若M(x，y)为D上动点，
点A的坐标为(2，1)．则
zOMOA


的最大值为

A.42 B.32 C.4 D.3
6甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局
才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为

A.12 B.35 C.23 D.34
7如图l—3．某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，
则该几何体的体积为
用心爱心专心
2

A.63 B.93 C.123 D.183
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题．每小题5分．满分30分.
(一)必做题(9—13题)

9.不等式130xx的解集是______.

10.72()xxx的展开式中，4x 的系数是______ (用数字作答).
11.等差数列na前9项的和等于前4项的和.若141,0kaaa，则k .
12.函数32()31fxxx在x 处取得极小值.
13.某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因
儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为
cm.

（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5cos(0)sinxy≤＜和

2
5
()4xttRyt






，它们的交点坐标为 .

15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点P分
别作圆的切线和割线交圆于,AB。且7PB，C是圆上
一点使得5BC，BACAPB，则AB .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）

已知函数1()2sin(),36fxxxR
用心爱心专心
3

（1）求5()4f的值；
（2）设106,0,,(3),(32),22135ff求cos()的值.
17.（本小题满分13分）
为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别
抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的
测量数据：

（1）已知甲厂生产的产品共98件，求意厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x，y满足≥175且y≥75，该产品为优等品，用上述样本数据估计
乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分
布列及其均值（即数学期望）.

18.如图5，在椎体PABCD中，ABCD是便常委边长为1的棱形，且
0
60DAB
,2PAPD,2,PB,EF分别是,BCPC的中点，

（1）证明：ADDEF平面
（2）求二面角PADB的余弦值。

19.设圆C与两圆222254,54xyxy（+）（）中的一个内切，另一个外切.
（1）求C的圆心轨迹L的方程.

（2）已知点3545()555MF，，（，0），且P为L上动点，求MPFP的最大值及此
用心爱心专心
4

时点P的坐标.
20设0,b数列na满足111=,(2)22nnnnbaabanan,
(1) 求数列na的通项公式；
(2) 证明：对于一切正整数n,1112nnnba

（2）设(,)Mab是定点，其中,ab满足240aba＞0，≠.过(,)Mab作L的两条切线
12,ll，切点分别为22112211(,),'(,)44EppEPP，12
,ll
与y分别交于,'FF.线段EF上异于两

端点的点集记为X.证明：112(,)(,)2PMabXPPab＞；

(3)2minmax15(,)1,(1),44Dxyyxyx设当点（p,q）,取遍D时，求（p,q）的最小值（记为）和最大值（记为）