数值逼近：方程求根(2)
数值分析函数逼近
阜师院数科院 第六章 函数k 逼 近0
第165-页1，5 本讲稿共44页
正规方程组的几种形式（续）
在(6-4)中打开和式 m 令j=0,1,2,…,m，则 正规方程组为: k 0
j0 j1
10,,00
0,1 1,1
10,,m maa10((yy,,10))
(6-5
jmm,0 m,1 m,mam (y,m)
阜师院数科院 第六章k函 0 数逼近i 1
i 1
(j0 ,1 , ,m )
（紧接下屏） 6- 第9页，9本讲稿共44页
打开和式
m
即：
多项式拟合（续）
nao
n
k 0 xi a1
n
xi2
a2
n
ximam
n
yi
i1 i1
i1
i1
n
i1
xi
n a0 i1
m
证明 : 对任意的 (x) ck k (x) 2 i ( yi ( xi ) ( xi ) ( xi )) 2
i 1
i 1
n
n
i ( yi ( xi )) 2 2 i ( yi ( xi ))( ( xi ) ( xi ))
势？首先要建立好坏的标准。
假定a0，a1已经确定，yi* = a0+a1xi(i =1,2,…,n) 是由近似
函数求得的近似值，它与观测值
y
yi 之差ri = yi yi*=yi a0a1xi
8
(i =1,2,…,n) 称为偏差。显然， 6
图6-1
* *
偏差的大小可作为衡量近似
4
*
函数好坏的标准。偏差向量
{k(x)} 线性无关 系数矩阵非奇异 唯一解:
数学解方程问题解法总结
数学解方程问题解法总结解方程是数学中重要的基础知识之一，它涉及到了数学思维的推理和逻辑，是解决实际问题和理论证明的重要工具。
本文将对常见的数学解方程问题解法进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和应用解方程的方法。
一、一次方程一次方程是最简单的方程类型，形式为ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x 为未知数。
解一次方程的基本原则是通过变换使得方程转化为形如x = k的形式，其中k为某个常数。
解一次方程的步骤如下：1. 将方程中的常数项移到等式的另一侧，即ax = -b；2. 如果a不为0，则通过除以a的操作将方程转化为x = -b/a的形式；3. 如果a为0，且-b为0，那么方程有无穷解；如果-b不为0，那么方程无解。
二、二次方程二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c为已知常数，x为未知数。
解二次方程的一种常用方法是求根公式：\[x= \frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]其中，±表示取两个根，即正根和负根。
具体求解二次方程的步骤如下：1. 根据方程的系数a、b和c的值，计算出判别式∆ = b^2 - 4ac；2. 如果∆大于0，那么方程有两个不相等的实数根；3. 如果∆等于0，那么方程有两个相等的实数根；4. 如果∆小于0，那么方程没有实数解，但可能存在虚数解。
分式方程的基本形式为\[\frac{u(x)}{v(x)} = 0\]其中，u(x)和v(x)为多项式函数。
解分式方程的关键是找到使得分子为0的x值，这些x值称为方程的根。
解分式方程的步骤如下：1. 将分式方程转化为分子为0的等式，即u(x) = 0；2. 解u(x) = 0的方程，得到方程的根；3. 将根代入v(x)中，判断是否满足v(x) ≠ 0。
如果根满足v(x) ≠ 0，则为方程的根；如果不满足，则舍去。
四、绝对值方程绝对值方程的一般形式为|u(x)| = a，其中u(x)为多项式函数，a为已知常数。
第二章求方程根的近似方法
ba 1 先验估计： | xn x | n 102 , 解出等分次数n 8。 2 2
*
误差 分析： ab ba x |x x*| 第1步产生的 1 2 有误差 1 2
第 k 步产生的 xk 有误差 对于给定的精度 , 可估计二分法所需的步数 k ：
ba ε k 2 ln b a ln ε k ln 2
§2.2 迭代法
一. 迭代法的建立与收敛性
1. 建立:把f ( x ) 0 改写成 x ( x )， ( f ， 连续）
所以, 为f的根的充要条件是为的不动点。
取定初值 x0 xn 1 ( xn ) ( n 0, 1, 2, ...)
则产生数列 x1 , x2 ,..., xn , xn 1..., 若此数列收敛，不妨设极限为 ，则
lim xn1 lim ( xn ),
n n
i.e., ( )
即是 f ( x ) 0的根，故当 n充分大时, xn 1可作为的近似值。
( x ) 形式不唯一， 我们该怎样取它？如：
习题5.3，第一种方法，另一种方法用Newton迭代法，在[1,2]收敛，初值取1.5
1 (3) xn x n 1 x n , 1－L Ln (4) | xn | x1 x0 . 1 L
注1：L越小，收敛越快。 由定理结论(3)或(2.2.2)，只要前后两次迭代值的差值足 够小，就可使近似值 xn1 达到任意的精度。在实际计算 中，一般用 | xn1 xn | 来控制迭代过程结束。 注2：定理条件非必要条件，可将[a, b]缩小，定义局部收敛性： 定义2.2.1 若存在 的某 邻域 B = { x | | x | } , 使由 x0B 开始的迭代都收敛, 则称迭代法具有局部收敛性。 定理2.2.2 设(x)在的某邻域内具有连续的一阶导数， 且 | '() | < 1， 则迭代法xn+1 = (xn)具有局部收敛性。
数值分析实验报告——非线性方程求根
数值分析实验报告——非线性方程求根一、实验目的：1.掌握求解非线性方程的常用方法；2.了解非线性方程求根问题的数值解法；3.熟悉使用数值分析软件进行非线性方程求根的实现。
二、实验原理：非线性方程指的是形如f(x)=0的方程，其中f(x)是一个非线性函数。
非线性方程求根的常用方法包括二分法、割线法和牛顿法等。
其中，二分法是通过不断缩小区间范围来逼近方程的解；割线法是通过使用割线来逼近方程的解；牛顿法则是通过使用切线来逼近方程的解。
对于给定的非线性方程，可以根据实际情况选择合适的方法进行求根。
三、实验内容：1.编写求解非线性方程的函数，包括二分法、割线法和牛顿法；2.使用编写的函数求解给定的非线性方程，比较各个方法的收敛速度和精确程度；3.根据实际情况分析和选择合适的方法进行求根。
四、实验步骤：1.针对给定的非线性方程，编写二分法的函数实现：（1）首先确定方程的解存在的区间；（2）根据方程的解存在的区间，使用二分法逐步缩小区间范围；（3）根据设定的精度要求，不断循环迭代，直至满足要求或达到迭代次数限制；2.针对给定的非线性方程，编写割线法的函数实现：（1）首先需要确定方程的解存在的初始点；（2）根据方程的解存在的初始点，根据割线的定义进行迭代；（3）设定迭代的精度要求和限制次数，结束迭代；3.针对给定的非线性方程，编写牛顿法的函数实现：（1）首先需要确定方程的解存在的初始点；（2）根据方程的解存在的初始点，根据牛顿法的定义进行迭代；（3）设定迭代的精度要求和限制次数，结束迭代；4.根据给定的非线性方程，分别使用二分法、割线法和牛顿法进行求解，并比较各个方法的收敛速度和精确程度；5.分析实际情况，选择合适的方法进行求解。
五、实验结果：4.通过比较，发现割线法和牛顿法的收敛速度较快，精确程度较高，因此选择割线法进行求解。
六、实验总结：通过本次实验，我掌握了求解非线性方程的常用方法，并使用数值分析软件实现了二分法、割线法和牛顿法。
5.4 第2课时 用逼近法求一元二次方程的近似根
第2课时用逼近法求一元二次方程的近似根知识点1用图像求一元二次方程的近似根1.抛物线y=x2-2x+0.5如图5-4-5所示,利用图像可得方程x2-2x+0.5=0的近似根(精确到0.1)为()图5-4-5A.1.7或0.3B.1.6或0.4C.1.5或0.5D.1.8或0.22.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点坐标为(-1,-3.2),部分图像如图5-4-6,由图像可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1≈1.3和x2≈()图5-4-6A.-1.3B.-2.3C.-0.3D.-3.33.图5-4-7是二次函数y=ax2+bx-c的部分图像,由图像可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c 的两个根可能是.(精确到0.1)图5-4-7知识点2用表格求一元二次方程的近似根4.下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是()A.1B.1.1C.1.2D.1.35.下面的表格列出了函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的部分x与y的对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是()A.6<x<6.17B.6.17<x<6.18C.6.18<x<6.19D.6.19<x<6.206.二次函数y=ax2+bx+c中,自变量x与函数y的部分对应值如下表:则一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,且a≠0)的两个根x1,x2(x1<x2)的取值范围是下列序号中的.①-<x1<0,<x2<2;②-1<x1<-,2<x2<;③-<x1<0,2<x2<.7.已知二次函数y=-x2-2x+2.(1)填写下表,并在如图5-4-8所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像;(2)结合函数图像,直接写出方程-x2-2x+2=0的近似根(指出在哪两个连续整数之间即可).图5-4-88.已知二次函数y=ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如下表:现给出下列说法:①该函数图像开口向下;②该函数图像的对称轴为过点(1,0)且平行于y轴的直线;③当x=2时,y=3;④方程ax2+bx+c=-2的正根在3与4之间.其中正确的说法为.(只需写出序号)9.已知二次函数y=x2+x的图像如图5-4-9所示.(1)根据方程的根与函数图像之间的关系,将方程x2+x=1的根在图上近似地表示出来,并根据图像,写出方程x2+x=1的根(精确到0.1);(2)在同一平面直角坐标系中画出一次函数y=x+的图像,观察图像写出自变量x的取值在什么范围内时,一次函数的值小于．．二次函数的值.图5-4-910.某小区有一块长100 m、宽80 m的空地,现将其建成花园广场,设计图案如图5-4-10,阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等矩形),空白区域为活动区,且四周出口一样宽,宽度不小于50 m,不大于60 m.预计活动区每平方米造价60元,绿化区每平方米造价50元.(1)设一块绿化区的长为x m,写出工程造价y与长边x之间的函数表达式.(写出x的取值范围)(2)若小区投资46.9万元,则能否完成工程任务?若能,请写出x为整数的所有工程方案;若不能,请说明理由.(参考数据:≈1.732)图5-4-1011.图5-4-11是二次函数y=(x+h)2+k的图像,其顶点坐标为M(1,-4).(1)求图像与x轴的交点A,B的坐标.(2)在二次函数的图像上是否存在点P,使S△P AB=S△MAB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)将二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折,图像的其余部分保持不变,得到一个新的图像,请你结合这个新的图像回答:当直线y=x+b(b<1)与此图像有两个公共点时,b的取值范围是多少?图5-4-11教师详解详析1.A[解析] ∵抛物线y=x2-2x+0.5与x轴的两个交点坐标分别近似是(0.3,0),(1.7,0),∴方程x2-2x+0.5=0的近似根是1.7或0.3.2.D[解析] 因为抛物线的对称轴为直线x=-1,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是x1≈1.3,所以另一根x2≈-3.3.故选D.3.x1≈0.8,x2≈3.2(合理即可)4.C5.C6.③7.解:(1)填表如下:所画图像如图:(2)由图像可知,方程-x2-2x+2=0的两个近似根在-3与-2之间和0与1之间.8.①③④[解析] ∵二次函数值先由小变大,再由大变小,∴抛物线的开口向下,故①正确;∵抛物线过点(0,1)和(3,1),∴抛物线的对称轴为直线x=,故②错误;∵抛物线的对称轴为直线x=,∴当x=2时的函数值与当x=1时的函数值相等,为3,故③正确;∵当x=-1时,y=-3,∴当x=4时,y=-3,∴二次函数y=ax2+bx+c的函数值为-2时,-1<x<0或3<x<4,即方程ax2+bx+c=-2的负根在-1与0之间,正根在3与4之间,故④正确.9.解:(1)如图,作出直线y=1与抛物线交于点A,B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为C,D,点C,D在x轴上表示的数就是方程x2+x=1的根.由图像知方程x2+x=1的根为x1≈-1.6,x2≈0.6(合理即可).(2)画直线y=x+如图.由图像可知当x<-1.5或x>1时,一次函数的值小于二次函数的值.10.解:(1)由题意,得出口宽为(100-2x)m,∴一块绿化区的宽为[80-(100-2x)]=(x-10)m,∴y=50×4×x(x-10)+60×[8000-4×x(x-10)]=200x2-2000x+480000-240x2+2400x,即y=-40x2+400x+480000(20≤x≤25).(2)能.令-40x2+400x+480000≤469000,∴x2-10x-275≥0,解得x≤5-10(舍去)或x≥5+10≈22.32,∴投资46.9万元,能完成工程任务.方案一:每块矩形绿地长为23 m,宽为13 m;方案二:每块矩形绿地长为24 m,宽为14 m;方案三:每块矩形绿地长为25 m,宽为15 m.11.[解析] (1)依据题目条件可直接求出二次函数的表达式,求图像与x轴的交点A,B的坐标,也就是计算当y=0时x的值;(2)可先求出S△MAB,根据S△P AB=S△MAB求出△P AB的底边AB上的高(即点P纵坐标的绝对值),求得点P的纵坐标,进而计算点P的横坐标;(3)分别计算出直线y=x+b(b<1)经过点A,B时b的值,即可求出b的取值范围.解:(1)∵(1,-4)是二次函数y=(x+h)2+k的顶点坐标,∴y=(x-1)2-4=x2-2x-3.令x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,∴A,B两点的坐标分别为(-1,0),(3,0).(2)在二次函数的图像上存在点P,使S△P AB=S△MAB.设P(x,y),则S△P AB=|AB|×|y|=2|y|.又∵S△MAB=|AB|×|-4|=8,∴2|y|=×8,即y=±5.∵二次函数的最小值为-4,∴y=5.当y=5时,x=-2或x=4.故存在符合题意的点P,点P的坐标为(-2,5)或(4,5).(3)如图,当直线y=x+b(b<1)经过点A时,可得b=1;当直线y=x+b(b<1)经过点B时,可得b=-3.由此可知符合题意的b的取值范围为-3<b<1.。
方程求根的数值计算方法
代替牛顿法中的导数有
以下快速弦截法迭代公式：
xk +1 = xk − f ( xk ) − f ( xk −1 ) f ( xk )
( xk − xk −1 )
三、方程求根的弦截法
•弦 截 法 求 根 的 基 本 步 骤 ： 1 设 定 初 值 x 0 , x1 ; 2 求 出 f ( x 0 ), f ( x1 ); 3 利 用 弦 截 法 求 根 公 式 求 近 似 根 x; x = x1 − f ( x1 ) × ( x1 − x 0 ) /( f ( x1 ) − f ( x 0 )) 4 将 x1作 为 新 的 初 值 x 0, 新 的 近 似 根 x 作 为 新 的 初 值 x1 , 再 回 到 2;...如 此 循 环 往 复 直 到 x − x1 < ε & & f ( x ) < ε 为 止 。 •注 意 ： 对 于 弦 截 法 也 有 可 能 陷 入 死 循 环 。 解 决 的办法与牛顿法一样。
*
*
0
*
k +1
k
*
二、方程求根的牛顿法 对于方程 f ( x) = 0 ，设已知它的近似根 为 xk ，则函数 f ( x) 在点 xk 附近可用一阶 泰勒多项式 p( x) = f ( xk ) + f ′( xk )( x − xk ) 来近似， 若取 p( x) =0 的根作为 f ( x ) = 0 新的近似根， 记为 ，则有如下著名的牛顿公式 牛顿公式： x k +1 牛顿公式 相应的迭代函数是：
迭代法的设计思想
– 迭代法是一种逐次逼近法，这种方法使用某个 迭代法是一种逐次逼近法， 固定公式－即迭代公式反复校正根的近似值， 固定公式－即迭代公式反复校正根的近似值， 使之逐步精确化，直至满足精度要求的结果。 使之逐步精确化，直至满足精度要求的结果。 – 迭代法的求根过程分成两步，第一步先提供根 迭代法的求根过程分成两步， 的某个猜测值，即所谓迭代初值， 的某个猜测值，即所谓迭代初值，然后将迭代 初值逐步加工成满足精度要求的根。 初值逐步加工成满足精度要求的根。
matlab牛顿迭代法求多项式方程的根
matlab牛顿迭代法求多项式方程的根【主题】matlab牛顿迭代法求多项式方程的根1. 引言在数学和工程领域中，求解多项式方程的根是一项常见且重要的任务。
牛顿迭代法是一种有效的数值方法，可以用来逼近多项式方程的根。
本文将详细介绍如何利用matlab实现牛顿迭代法，以及该方法的应用和局限性。
2. 牛顿迭代法简介牛顿迭代法是一种基于导数的数值逼近方法，用于求解方程 f(x)=0 的根。
该方法的基本思想是从一个初始近似值开始，通过逐步改进来逼近方程的根。
牛顿迭代法的迭代公式为：\[x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]其中，\(x_n\)是第n次迭代的近似根，f(x)是方程，\(f'(x)\)是f关于x的导数。
3. 在matlab中实现牛顿迭代法在matlab中，我们可以利用函数和循环结构来实现牛顿迭代法。
需要定义方程f(x)以及其导数f'(x)的函数表达式。
选择一个初始值作为近似根，通过迭代公式不断改进，直到满足预设的精度要求。
4. 应用实例我们将以一个具体的多项式方程为例，来演示如何利用matlab的牛顿迭代法来求解其根。
假设我们要求解方程\(x^2-2=0\)的根。
我们可以定义方程及其导数的matlab函数表达式，然后选择一个适当的初始值，进行迭代计算，最终得到方程的根。
5. 算法优化与局限性虽然牛顿迭代法在求解多项式方程的根上表现出色，但也存在一些局限性。
需要提前知道方程的导数表达式；初始值的选取可能影响迭代结果的精度等。
在实际应用中，需要根据具体情况灵活选择迭代算法，甚至进行一些优化来提高求解效率。
6. 结语通过matlab实现牛顿迭代法求解多项式方程的根，不仅可以帮助我们深入理解数值计算方法，也可以应用到实际工程问题中。
对于复杂的多项式方程，利用数值方法求解是一种有效的途径。
当然，在应用过程中需要注意算法的优化和局限性，以确保求解的准确性和稳定性。
函数的数值逼近
函数的数值逼近用比较简单的函数代替复杂的函数,是函数逼近。
函数最佳逼近,即不满足插值条件而整体具有好的逼近效果的函数拟合方法。
下面先讨论函数的数值逼近的基本理论与方法，例如最佳平方逼近函数的存在性、惟一性以及最佳平方逼近函数的求法。
最后讨论曲线拟合的最小二乘解问题。
1、 预备知识1.1正交多项式的概念及几个重要性质定义1.1 设有C [a,b]中的函数组,),(,),(),(10 x x x n ΦΦΦ若满足{)1.1()()()(),(,0,⎰≠=>=ΦΦ=ΦΦbak j k j A k j k j k dx x x x ρ其中)(x ρ为权函数,则称此函数组为在区间[a,b]上带权)(x ρ的正交函数组,其中k A 为常数,若k A =1,称该函数组是标准正交的.定理1.1 设函数组{}∞=Φ0)(k k x 正交,则它们一定线性无关.证 设),,2,1()(n i x i =Φ为{}∞=Φ0)(k k x 中任意n 个函数,令,0)()()(2211=Φ++Φ+Φx C x C x C n n 上式两边与)(x k Φ作内积,由内积的性质和正交性有 ).,,2,1(0),(n k C k k k ==ΦΦ因为,0),(≠ΦΦk k 故有),,2,1(0n k C k==.得证.定理1.2 设{}],,[)(0b a C x nk k ∈Φ=它们线性无关的充分必要条件是其Gram 行列式,0≠n G 其中)2.1(),(),(),(),(),(),(),(),(),(101110101000n n n n n n n G ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ=证 我们主要在实内积空间讨论问题.由内积的定义可知),,(),(k j j k ΦΦ=ΦΦ故n G 对应的矩阵是对称矩阵.考虑以n a a a ,,,10 为未知元的线性方程组∑===ΦΦnk k j kn j a)3.1().,,1,0(0),(其系数行列式为n G .由线性代数知识知道：式（1.3）仅有零解),,1,0(0n k a k ==的充要条件是,0≠n G充分性 设,0≠n G 要证明{}n k k x 0)(=Φ线性无关. 作线性组合∑==Φnk kk a 0,0显然有∑∑∑=====ΦΦ=ΦΦ=ΦΦnk nk nk k j k j k k j k k n j a a a 0).,,1,0(0),(),(),(这表明),,1,0(n k a k =满足式(1.3).又因,0≠n G 故有),,1,0(0n k a k ==,按线性无关的定义知{}nk k x 0)(=Φ线性无关.必要性 设{}nk k x 0)(=Φ线性无关.要证明.0≠n G设),,1,0(n k a k =满足式(1.3).即 ∑===ΦΦnk k j kn j a).,,1,0(0),(则有 ∑∑====ΦΦ=ΦΦnk j k k nk j k kn j a a),,,1,0(0),(),(从而有 .0),(0∑∑===ΦΦnk nk kkkka a由上式可知.00∑==Φnk kk a由于{}nk k x 0)(=Φ线性无关,则有),,1,0(0n k a k ==,即齐次线性方程组(1.3)仅有零解,故.0≠n G定义1.2 给定区间[a,b]和对应的权函数)(x ρ及多项式序列∑===kj jjk k x ax g 0),,2,1,0()(其中首项系数,0≠k a 若满足{)9.1()()()(),(,0,⎰≠=>==ba k j k j A k j k j k dx x g x g x g g ρ则称之为在区间[a,b]上带权)(x ρ的正交多项式序列, )(x g k 称为k 次正交多项式. 没说明时,认为权函数)(x ρ≡1.2、最佳平方逼近2.1 最佳平方逼近函数的概念定义2.1 设],[)(b a C x f ∈及],[b a C 中的子集},,,,{10n span ΦΦΦ=Γ 其中n ΦΦΦ,,,10 线性无关. 若存在Γ∈*)(x S 使得)1.2()]()()[(min ||)()(||min ||)()(||22222⎰-=-=-Γ∈Γ∈*ba S S dxx S x f x x S x f x S x f ρ 成立,则称)(x S *为f(x)在Γ中的最佳平方逼近函数.特别地,当},,,,1{nx x span =Γ满足式(2.1)的Γ∈*)(x S n 称为f(x)的n 次最佳平方逼近多项式,简称n 次最佳平方逼近.2.2 最佳平方逼近函数的求法定理 2.1 对于任意的函数],[)(b a C x f ∈,其在Γ中的最佳平方逼近函数)(x S *是存在且唯一的.证 Γ中的函数形如∑=Φ=nj jj x a x S 0),()(由式(2.1)可知,求f(x)的最佳平方逼近函数等价于求多元函数∑⎰=Φ-=nj j j ban dxx a x f x a a a I 0210)2.2()]()()[(),,,(ρ的最小值问题.由极值存在的必要条件有)3.2(),,,1,0(0n k a Ik==∂∂积分与求导交换次序有: ∑⎰==Φ-Φ-nj k j j badx x x a x f x 0.0))()](()()[(2ρ故∑⎰===ΦΦ-nj k j j ban k dx x x a x f x 0)4.2(),,,1,0(0)()]()()[( ρ∑⎰⎰=Φ=ΦΦnj babak j k j dx x x f x dx x x x a 0.)()()()()()(ρρ所以∑==Φ=ΦΦnj k j j kn k f a 0)5.2().,,1,0(),(),(这是以n a a a ,,10为未知元的线性方程组,因为n ΦΦΦ,,,10 线性无关,其系数行列式,0≠n G 故式(2.5)有唯一解.设其解为),,,1,0(n i a i =*则∑=**Φ=ni iia x S 0)6.2(.)(下面证明)(x S *满足式(2.1).即需证明,)(Γ∈∀x S⎰⎰-≤-*babadx x S x f x dx x S x f x 22)]()()[()]()()[(ρρ成立.为此只需证明 ⎰⎰≥---=*babax S x f x dx x S x f x D .0)]()()[()]()()[(22ρρ由于⎰⎰*-=b abadxx S x dx x S x D 22)]()[()]()[(ρρdx x S x f x dx x S x f x bab a⎰⎰*+-)()()(2)()()(2ρρ⎰*-=badx x S x S x 2)]()()[(ρ⎰**--+badx x S x f x S x S x ,)]()()][()()[(2ρ由于,)()(Γ∈-*x S x S 由(2.4)知上式第二项为零. 故 .0)]()()[(2⎰≥-=*badx x S x S x D ρ这表明)(x S *为f(x)在Γ中的最佳平方逼近函数.由于式(2.5)的解),,,1,0(n i a i =*存在且唯一,所以f(x)在Γ中的最佳平方逼近函数)(x S *存在且唯一. 最佳平方逼近函数的误差由式(2.4)知 22||)()(||x S x f *-),(),(),(),(f S f S S f f S f S f S f ******-=---=--= ),(||||),(),(022∑=**-=-=nk k k f a f f S f f φ)7.2(.),(||||022∑=*-=k k k f af φ例 2.1 求函数x e x f =)(在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式)(1x S *,并计算22||)()(||x S x f *-.解 设,)(101x a a x S +=*1,1)(,,1},,1{10===Φ=Φ=Γn x x x span ρ，由式（2.5）知⎩⎨⎧Φ=ΦΦ+ΦΦΦ=ΦΦ+ΦΦ),(),(),(),(),(),(11110010110000f a a f a a ⎰==ΦΦ1000,11),(dx⎰==ΦΦ=ΦΦ10110,21),(),(xdx ⎰⎰-==Φ==ΦΦ10010211,1),(,31),(e dx e f dx x x ⎰==Φ11,1),(dx xe f x所以 ,11312121110⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡e a a⎩⎨⎧-=-=.618,10410e a e a 故.)618(104)(1x e e x S -+-=*由式(2.7)知22||)()(||x S x f *-=∑=-=122),(||||k k k f a f φ.1094.3)618()1)(104(132⎰-⨯=-----=e e e dx e x 3、用正交多项式作函数的最佳平方逼近设},,,,{10n span ϕϕϕ =Γ{}ni i 0=ϕ在[a,b]上带权)(x ρ正交。
根据函数像求解方程的方法
根据函数像求解方程的方法函数是数学中一种重要的工具，可用于描述数值之间的依赖关系。
求解函数的零点，即方程的根，一直是数学中一个重要的问题。
在本文中，我们将探讨根据函数像求解方程的方法。
一、试误法试误法是求解方程的一种常见方法，也可以用于根据函数来求解方程。
该方法的基本思想是通过试探函数图像上不同的点的值，来逼近方程的根。
举例来说，如果我们要求解方程 f(x) = 0 的根，首先我们可以画出函数 f(x) 的图像。
然后，我们可以试验一些 x 值，计算相应的函数值f(x)，直到找到满足 f(x) = 0 的点。
该方法的优点是简单易行，适用于大部分简单的函数，但对于复杂的函数可能需要更多的试验点。
二、割线法割线法是一种数值逼近法，可用于根据函数像求解方程。
该方法的基本思想是利用函数图像上两个不同点的连线（割线），通过递推的方式逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始点 x0 和 x1，在函数图像上确定这两个点；2. 利用这两个点构建直线，得到与 x 轴交点的新点 x2；3. 以 x1 和 x2 作为新的不同点，重复步骤2，直到满足终止条件。
割线法的优点是收敛速度较快，精度较高。
但需要注意的是，初始点的选择会对结果产生影响。
三、二分法二分法是一种简单而有效的求根方法，同样可以用于根据函数像求解方程。
该方法的基本思想是将函数图像上根的区间划分为一系列子区间，然后通过比较函数值的符号来逼近根。
具体步骤如下：1. 选择根所在的初始区间 [a, b]；2. 计算中点 c = (a + b) / 2，计算函数值 f(c)；3. 根据 f(c) 的符号确定新的区间 [a, c] 或 [c, b]；4. 重复步骤2和步骤3，直到满足终止条件。
二分法的优点是收敛速度较快且稳定，但对于非单调或有多个根的函数可能需要更多的迭代次数。
综上所述，根据函数像求解方程的方法有试误法、割线法和二分法。
每种方法都有各自的适用场景和优缺点，我们可以根据具体问题的需求选择合适的方法来求解方程的根。
第四章 方程求根的数值解法
证： （存在性）设 f ( x ) = ϕ ( x ) − x . 则
f (a ) = ϕ (a ) − a ≥ 0, f (b) = ϕ (b) − b ≤ 0 f (a ) = 0 或 f (b) = 0 时存在不动点x*=a或b；
xk +1 = ϕ 1 ( xk ) = (3 + xk − 2 x )
xk +1 = ϕ 2 ( xk ) = xk + 4 − 1
1 2 4 k
…… , x26 = x27 = 1.124123
…… , x6 = x7 = 1.124123
4 2 xk +1 = ϕ 3 ( xk ) = xk + 2 xk − 3
2013-11-21 SCHOOL OF MATHEMATICS 10
对[a1, b1]继续同样的步骤压缩有根区间. 反复进行 可得一系列有根区间
[a , b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ ⊃ [an , bn ] ⊃
由于每一区间长度都是前一区间长度的一半，故区 间[an , bn]的长度为 1 bn − an = n (b − a ) 2 若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程 将无限进行下去. 当 n→∞ 时，区间必将最终收缩为 一点 x* ，显然 x* 就是所求的根.
2013-11-21
SCHOOL OF MATHEMATICS
8
二分法
对于在区间[a, b] 上连续、且 f (a) f (b) < 0 的函数 y = f (x)，通过不断地把函数 f(x) 的零点所在区间一 使区间的两个端点逐步逼近零点， 从而得到 分为二， 零点近似值的方法.