全等三角形辅助线--截长补短、倍长中线、三线合一、角平分线等(部分答案)

全等三角形辅助线之倍长中线、截长补短、三线合一、角平分线(2019-2020整理版) 知识梳理倍长中线角平分线之截长补短角平分线等腰三角形EDCBA“角平分线+平行”模型“角平分线+垂直”模型“角平分线+斜交”模型E DCBAEDCBA等腰三角形三线合一模型等角对等边模型等边对等角模型FE DBA典型例题一、倍长中线【例1】 已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．【练1】在△ABC 中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【练2】如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．MCBADCBA【例2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【练1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =【练2】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．【解析】 延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ．在CEF ∆和BEH ∆中CE BE CEF BEH FE HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG ==∴EHB BGE ∠=∠，而B G E A G F ∠=∠∴AFG AGF ∠=∠又∵EF AD ∥∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠∴CAD BAD ∠=∠ ∴AD 为ABC ∆的角平分线．FEDC BA FEDCBAF GE DCBAHAF GBE DC【练3】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．【练4】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB【例3】 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【解析】 延长FM 到N ，使M N M F =，连结BN 、EN ．易证BNM ∆≌CFM ∆，∴BN CF =， 又∵AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ，∴90EMF EMN ∠=∠=， 利用SAS 证明EMN ∆≌EMF ∆，∴EN EF =，在EBN ∆中，BE BN EN +>，∴BE CF EF +>．GFEDCBAFACD E B MFECBANMFECBA【练1】已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【练2】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【解析】 延长FD 到点G ，使FD GD =，连结EG 、BG ．在CDF ∆和BDG ∆中CD BD CDF BDG FD GD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CDF BDG ∆∆≌ ∴BG CF =，FCD GBD ∠=∠∵90A ∠=︒∴90ABC ACB ∠+∠=︒∴90ABC GBD ∠+∠=︒在EDF ∆和EDG ∆中90ED ED EDF EDG FD GD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴EDF EDG ∆∆≌∴EF EG =故以线段BE 、EF 、FC 为边能构成一个直角三角形．【练3】在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．(勾股定理)【解析】 如图、延长DF 至点G ，使得DF FG =，联结GB 、GE ．由AF FB =，有 ADF BGF ∆∆≌3BG AD ⇒==ADF BGF ⇒∠=∠AD GB⇒∥180GBE ACB ⇒∠+∠=︒90GBE ⇒∠=︒5GE ⇒=．又DF FG =，EF DG ⊥5DE GE ⇒==．FEMCBAF EDCBAGAE BDCF FEDCBA 图 6GEFDB CA【例4】 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使B D A B =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证2CD EC =．【解析】 解法一：如图所示，延长CE 到F ，使EF CE =．容易证明EBF EAC ∆∆≌，从而BF AC =，而AC AB BD ==，故BF BD =．注意到CBD BAC ACB BAC ABC ∠=∠+∠=∠+∠， CBF ABC FBA ABC CAB ∠=∠+∠=∠+∠，故CBF CBD ∠=∠，而BC 公用，故CBF CBD ∆∆≌，因此2CD CF CE ==．解法二：如图所示，取CD 的中点G ，连接BG ．因为G 是CD 的中点，B 是AD 的中点，故BG 是DAC ∆的中位线，从而1122BG AC AB BE ===，由BG AC ∥可得GBC ACB ABC EBC ∠=∠=∠=∠，故BCE BCG ∆∆≌， 从而EC GC =，2CD CE =．【练1】已知△ABC 中，AB =AC ，BD 为AB 的延长线，且BD =AB ，CE 为△ABC 的AB 边上的中线．求证CD =2CE【练2】如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．【解析】 如图所示，设AM 交DC 于H ，要证明AM CD ⊥，实际上就是证明90AHD ∠=︒，而条件BM ME =不好运用，我们可以倍长中线AM 到F ，连接BF 交AD 于点N ，交CD 于点O ．容易证明AM E FM B ∆∆≌EDCBA54321KE DCBAMECBAFNO H ABC EM则AE FB =，EAF F ∠=∠，从而AE FB ∥，90ANF ∠=︒而90CAD DAB ∠+∠=︒，90DAB ABN ∠+∠=︒，故CAD ABN ∠=∠ 从而CAD ABF ∆∆≌，故D F ∠=∠ 而90D DON FOH F ∠+∠=∠+∠=︒ 故90AHD ∠=︒，亦即AM CD ⊥二、 截长补短截长法与补短法，是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例1、已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.求证：AB =AC +CD . （分别用截长补短两种方法证明）例2、在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.练1：已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB+BC=2BD.求证：∠BAP +∠BCP =180°.DCB A 12DCB A 12例3、AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE=∠CDE ，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.分析：结论是CD=AD+BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF=CB ，只要再证DF=DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.例4、已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．例5、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD=∠FAE ．求证：BE +DF=AE ．【分析】延长CB 到G ，使BG=DF ，连接AG ，由四边形ABCD 为正方形，利用正方形的性质得到AB=AD ，AB ∥CD ，∠D=∠ABC=90°，进而得到∠5=∠BAF=∠1+∠3，∠ABG=180°﹣∠ABC=90°，利用SAS 得到三角形ABG 与三角形ADG 全等，利用全等三角形对应角相等得到∠G=∠5，∠1=∠2=∠4，等量代换得到∠G=∠EAG ，利用等角对等边得到AE=GE ，由GE=BE +BG ，等量代换即可得证．练1. 如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．【分析】延长AB到F，使BF=CE，连接EF与BC相交于点N，利用“角角边”证明△BFN 和△CEN全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=CN，EN=FN，再根据正方形的性质可得∠BAN=∠DAM，然后求出∠BAN=∠EAN，再根据等腰三角形三线合一可得AE=AF，从而得证．例6、如图所示，等边△ABC的边长为2，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个△AMN，则△AMN的周长为4．【分析】通过证明△BDM≌△CDP，△NMD≌△NPD，证得△AMN的周长=AB+AC=4．【解答】解：令CP=BM，交AC延长线于P，连接DP．∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°又∵△ABC等边三角形∴∠ABC=∠ACB=60°∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°同理可得∠NCD=90°∴∠PCD=∠NCD=∠MBD=90°又∵CP=BM，∴△BDM≌△CDP∴MD=PD∠MDB=∠PDC∵∠MDN=60°∴∠MDB+∠NDC=∠PDC+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°即∠MDN=∠PDN=60°∴△NMD≌△NPD（SAS）∴MN=PN=NC+CP=NC+BM∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2+2=4故△AMN的周长为4．故填4．【点评】本题解题的关键是证明△AMN的周长=AB+AC．三、角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。