高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法练习(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选

2.2.2 反证法

一、选择题

1．用反证法证明命题：“三角形的内角至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）

A ．假设三内角都不大于60度

B ．假设三内角都大于60度

C ．假设三内角至多有一个大于60度

D ．假设三内角至多有两个大于60度

【答案】B

【解析】由反证法的证明命题的格式和语言可知答案B 是正确的，所以选B.

2．用反证法证明“如果a b >>

A =<=

C D =<

【答案】D

【解析】>反证法需假设结论的反面，应为小于或等于，=<

3．用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（）

A ．方程02=++b ax x 没有实根

B ．方程02=++b ax x 至多有一个实根

C ．方程02=++b ax x 至多有两个实根

D ．方程02=++b ax x 恰好有两个实根

【答案】A

【解析】方程02=++b ax x 至少有一个实根的否定是方程02=++b ax x 没有实根，∴用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是方程02=++b ax x 没有实根．故选A ．

4．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可以被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”假设的内容是（）

A ．a ，b 都能被5整除

B ．a ，b 都不能被5整除

C ．a 不能被5整除

D ．a ，b 有1个不能被5整除

【答案】B

【解析】用反证法证明时，要假设所要证明的结论的反面成立，本题中应反设a ，b 都不能被5整除.

5．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”

时正确的假设为（）

A ．自然数c b a ,,都是奇数

B ．自然数c b a ,,都是偶数

C ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数

D ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数

【答案】D

【解析】反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数.

6．设椭圆22

221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12

，右焦点为F (c ，0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )

A ．必在圆x 2＋y 2＝2上

B ．必在圆x 2＋y 2＝2外

C ．必在圆x 2＋y 2＝2内

D ．以上三种情形都有可能

【答案】C 【解析】∵12

c e a ==，∴a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2.假设点P (x 1，x 2)不在圆 x 2＋y 2＝2内，则2

2122x x +≥，但()2

22212121222b c x x x x x x a a ⎛⎫+=+-=-+ ⎪⎝⎭ 223272424

c c c c =+=<，矛盾．

∴假设不成立．∴点P 必在圆x 2＋y 2＝2内．故选C.

二、填空题

7．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是.

【答案】方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根

【解析】因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根个数大于或等于1”，所以假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．

8．用反证法证明命题“若210x -=，则1x =-或1x =”时，应假设.

【答案】1-≠x 且1≠x

【解析】反证法的反设只否定结论，或的否定是且，所以是1-≠x 且1≠x .

9．用反证法证明命题：“设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于3

1”时，第一步应写：假设．

【答案】c b a ,,都小于3

1 【解析】反证法第一步是否定结论，a 、b 、c 中至少有一个数不小于

31的否定是c b a ,,都小于31． 10．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：

①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．

③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.上述步骤的正确顺序为________．

【答案】③①②

【解析】由反证法证明数学命题的步骤可知，步骤的顺序应为③①②.