指数函数 教案

指数函数教案

教学目标：

1.知识目标：

理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质； 2.能力目标：

在学习过程中，体会研究具体函数及其性质的过程与方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等； 学会数学软件画图的简单应用； 3.情感目标：

使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感.

学情分析：情感层面，对数学普遍不感兴趣，但思想活跃，对新事物有强烈的好奇心，有

较强的动手能力和观察能力，乐于实践；能力层面，数学基础薄弱，分析推理能力较低，需要引导；知识储备层面，学生对实数指数幂已有一定的认识，已具有一定的分析和解决问题的能

教学重点：掌握指数函数的概念和性质；

数学研究的方法和思想：数形结合、分类讨论、构造函数.

教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质；单调性应用

教学过程：

一、引入 [师生共同探究两个实例]

（1）一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，问若对折x 次所得层数为y ，则y 与x 的关系是：x

y 2= [实践活动，动手操作] （2）一根1米长的绳子从中间剪一次剩下

2

1米，再从中间剪一次剩下

4

1米，若这条绳子剪

x 次剩下y 米，则y 与x 的关系是：x

y )2

1

(= [分析研讨]

问题一：上面两个关系式是我们以前学过的函数吗？

问题二：那它们是函数吗？

问题三：它们有什么共同特征呢？

二、指数函数的定义

一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .

问题四：为什么规定a>0且a 1≠呢？ 讨论一下1,0,0=<=a a a 会出现什么情况？

[设计说明：对a 的范围的具体分析，有利于学生对指数函数一般形式的掌握，同时为后面研究函数的图象和性质埋下了伏笔.]

跟踪练习： [指数函数概念强化]

1、判断下列函数是否为指数函数

(1)x

y )2(-= (2)x

y )3

1

(= (3)x y π= (4)x

x y =

(5)5

2

+=x y (6)13+=x y (7)x

y -=2

2、函数 y = (a 2 - 3a + 3) a x 是指数函数，求 a 的值.

解 由题意得：1332

=+-a a ，即0232

=+-a a ，因式分解得0)2)(1(=--a a ，则1=a 或2.

三、 指数函数的图象和性质

问题五：已知一个函数解析式，我们还应该去探索它的哪些性质呢？

探索研究内容：定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点、最大（小）值．

问题六：用什么方法去研究它的这些性质呢？

研究的步骤：1、作出函数图象；2、研究规律，归类；3、总结性质.

问题七：怎样才能得到指数函数的图象？

1、PPT 演示在同一坐标系中画出下列函数图象：

1(

)

2

x

y =，

2

x

y = ；

2、课堂实践：学生练习作图：y=3x

，y=x

)3

1

( ，再PPT 演示；

3、用数学画图软件“几何画板”演示多个(0,1)x y a a a =>≠且的图象.

问题八：观察图像，分类讨论指数函数的图像有什么特点？

问题九：通过图象，你能”读出“我们想要研究的这些性质吗？

4、根据图象归纳：指数函数的性质 [课本76页].

四、例题讲解

例1. （课本）判断下列函数在R 内单调性：

(1)x y 4= (2)x

y -=3

(3)32x

y =

例2.（课本）指数函数

()x

f x a

=（0,1a a >≠且）的图象经过点（2，

4

9），求)2.1(f 的值. 解 由题意，将点（2，

4

9）代入

()x

f x a

=得4

9)2(=

f ，即4

92

=

a ，所以2

3±

=a . 又

0,1a a >≠且，则2

3=

a . 所以x x f )2

3

()(=，63.1)2

3()2.1(2.1≈=f .

问题十：怎么确定指数函数解析式，方法是什么？ [待定系数法]

例3. 比较下列各组中两个值的大小：

（1）1

.075

.0，2

.075

.0 （2）π3，14

.33

分析：（1）根据两数的底数是相同的，记x

x f 75.0)(=，那么

)1.0(75

.01

.0f =， )2.0(75

.02

.0f =

于是1

.075

.0与2

.075

.0比大小，就是)1.0(f 与)2.0(f 比大小. 由)(x f 单减，则

)2.0()1.0(f f >，所以1

.075.0>2

.075

.0.

（2）分析同（1）.

跟踪练习： (1) 1

.0-π

2

.0-π

(2) 5

.021?

?

?

?? 7

.021?

?

?

??

问题十一：观察这两组数有什么相同的方面？作比较的两个数的底数是一样的 问题十二：对于同底的两个数比大小，应用指数函数的哪个性质去解决？ 单调性法：构造函数，利用单调性

例4. 解不等式：[解题过程规范]

(1) a

a 21

)

2

1(

2

-+< (2)3

2)

3

1

(3

1

2

+>m m

）（

解 （1）原不等式化简为：a

a 21

2

2<+. 由x

y 2=单增，则a a 21<+，得1>a . 所以原不等

式的解集是),1(+∞.

（2）由x

y ??

? ??=31单减，则322

+

所以原不等式的解集是)3,1(-.

跟踪练习： 解不等式 x

x 28

3

312

-->?

?

?

??.

问题十三：解关于指数型不等式，应该怎么操作？是用指数函数的哪个性质去解决的？

先化简，再利用单调性，后解一般不等式

[设计说明：本题是为了让学生用抽象的函数性质来解决实际的数学问题，培养学生的抽象思维能力，学有所用]

五、课堂小结

1、问题十四：今天我们共同体验了研究一个新函数的过程，也就是？学会了？？

（1）给出函数定义；（2）画出函数图象（3）研究函数性质；（4）解决简单问题（5）学会了研究新函数的方法

2、指数函数的性质

六、作业布置[分层做题]

1、必做题：课本77页1、

2、3题.

2、选做题：练习册5、6题. [拓展]

指数函数教案

× × ×

2017