多元函数的微分学典型例题

多元函数的微分学典型例题

例 1 设 2 2 y xy x z + - = ．求它在点 ) 1 , 1 ( 处沿方向v = ) sin , cos ( a a 的方向导 数，并指出：

（1） 沿哪个方向的方向导数最大？ （2） 沿哪个方向的方向导数最小？ （3） 沿哪个方向的方向导数为零？

解 1 ) 1 , 1 ( = x z ， 1 ) 1 , 1 ( = y z ． ) 1 , 1 (v z

¶ ¶ a a sin cos + = ．因此

（1） 函数 a a a j sin cos ) ( + = 在 4

p

a = 取最大值，即沿方向 ) 1 , 1 ( 的方向导

数最大．

（2） 函数 a a a j sin cos ) ( + = 在 4 p

a - = 取最小值，即沿方向 ) 1 , 1 ( - - 的方

向导数最小．

（3） 4

3p

a - = 是函数 a a a j sin cos ) ( + = 的零点，即沿方向 ) 1 , 1 (- 的方向

导数为零．

例 2 如果函数 ) , ( y x f 在点 ) 2 , 1 ( 处可微， 且从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 2 , 2 ( 方向的方向 导数为2，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 1 , 1 ( 方向的方向导数为 2 - ．求 （1） 该函数在点 ) 2 , 1 ( 处的梯度；

（2） 该函数在点 ) 2 , 1 ( 处从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 6 , 4 ( 方向的方向导数． 解 （1） 设 x f 和 y f 分别表示函数 ) , ( y x f 在点 ) 2 , 1 ( 处关于x 和 y 的偏导 数，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 2 , 2 ( 的方向为 1 l ，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 1 , 1 ( 的方向为 2 l ，则 1 l 和 2 l 的方向余弦分别为 ) 0 , 1 ( 和 ) 1 , 0 ( - ，于是就有

x f l f = ¶ ¶ 1

2 0 1 = × + × y f ，故 2 = x f ； 2 1 0 2 - = × - × = ¶ ¶ y x f f l f ，故 2 = y f ． 因此 ) 2 , 2 ( ) 2 , 1 ( = gragf ．

（2） 在点 ) 2 , 1 ( 处从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 6 , 4 ( 方向的方向余弦为 ÷ ø ö

ç è æ 5 4,5 3 ，设

该方向为l ，则 l f ¶ ¶ ) 2 , 1 ( 5

14

5 4 2 5 3 2 = ´ + ´ = ．

例 3 验证函数

) , ( y x f ï

î ï í ì = + ¹ + + = . 0 ,

0 , 0 , 2 2 2

2 2

2 y x y x y

x xy 在原点 ) 0 , 0 ( 连续且可偏导，但它在该点不可微．

验证 注意不等式 | | 2 2 xy y x ³ + ，就有

0 | | 0 2 2 2

2 2 2 2

2 ® + = + + £ + £

y x y x y x y x xy ， ) , ( y x ® ) 0 , 0 ( ．

故而 0 ) , ( lim

)

0 , 0 ( ) , ( = ® y x f y x f = ) 0 , 0 ( ．因此， ) , ( y x

f 在原点 ) 0 , 0 ( 连续． x f ) 0 , 0 ( = 0

lim

® x 0 )

0 , 0 ( ) 0 , ( = - x

f x f ，由变量对称性得 y f ) 0 , 0 ( 0 = ．

即该函数在原点 ) 0 , 0 ( 可偏导．

假如 ) , ( y x f 在原点 ) 0 , 0 ( 可微，就应有

) , ( y x f = - ) 0 , 0 ( f x f ) 0 , 0 ( + x y f ) 0 , 0 ( ) ( 2 2 y x y + +o ，

即 ) , ( y x f = ) ( 2 2 y x + o ．但这是不可能的，因为沿路径 ) 0 ( ¹ = k kx y ，就有

= + ® 2 2 )

0 , 0 ( ) , ( )

, ( lim

y

x y x f kx x = + ® 2 2 ) 0 , 0 ( ) , ( lim y x xy

kx x 0 1 lim 2 2 2 2 2 0 ¹ + = + ® k k x k x kx x ．

可见， ) , ( y x f ¹ ) ( 2 2 y x + o ．因此， ) , ( y x f 在原点 ) 0 , 0 ( 不可微． 例 4 验证函数

) , ( y x f ï î

ï í

ì = + ¹ + + + = . 0 , 0 , 0 , 1 sin ) ( 2 2 2

2 2

2 2 2 y x y x y x y x 的偏导函数 ) , ( y x f x 和 ) , ( y x f y 在原点 ) 0 , 0 ( 不连续，但它却在该点可微．

验证

x f ) 0 , 0 ( = 0

lim

® x 0 1

sin lim ) 0 , 0 ( ) 0 , ( 2 0 = = - ® x

x x f x f x ； ) , ( y x ¹ ) 0 , 0 ( 时，

) , ( y x f x 22 2222222

121 2sin

()cos () x x x y x y x y x y

æö =++- ç÷ +++ èø 2 2 2 2 2 2 1

cos

2 1 sin

2 y x y x x y x x + + - + = ．

因此， ) , ( y x f x ï î ï í

ì

= + ¹ + + + - + = . 0 , 0 , 0 , 1 cos 2 1 sin 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 y x y x y x y x x y x x 由变量对称，得

) , ( y x f y ï î

ï í

ì

= + ¹ + + + - + = . 0 , 0 , 0 , 1 cos 2 1 sin 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 y x y x y x y x y y x y ) , ( y x f x 在点 ) 0 , 0 ( 不连续．事实上，沿路径 x y = ， ® ) , ( x x ) 0 , 0 ( 时，

2 2 2 2 1 cos 2 2 2 1 sin

2 ) , ( x x x x x x x f x - = 中，第一项趋于零，而第二项 2

2 1

cos 1 x x - 的

极限不存在(比如取 p

k x k 2 1

=

， +¥ ® k 时有 0 ® k x ，而